Построение полиномиальных решений задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 956. 225+517. 575
ПОСТРОЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛ ЬНЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ШАРЕ
В. В. Карачи к1, Н.А. Антропова2
Найдено полиномиальное решение задачи Дирихле для неоднородного бигармонического уравнения с полиномиальной правой частью и полиномиальными граничными данными в единичном шаре. Использовалось явное представление гармонических функций в формуле Альманси.
Ключевые слова: бигармоническое уравнение, полиномиальные решения, задача Дирихле, формула Альманси.
1. Введение
Хорошо известно классическое представление Альманси для полигармонической функции
й (х):
а (х) = Н0(х)+1 хI2 Щ (х) + +1 хI2& quot- Н8(х), (1)
где Нк (х) — некоторые гармонические функции, которые успешно применяются при построении решений модельных задач для гармонического, бигармонического и полигармонического уравнений. На основании результатов по построению нормированных систем функций для оператора Лапласа [1] в работах автора [2, 3] конечное представление Альманси распространено на аналитические функции действительных переменных. Имеются также многочисленные работы, посвященные обобщению представления Альманси на дифференциальные операторы, отличные от оператора Лапласа, например [4, 5].
В настоящей работе представления Альманси сначала применяются для построения решения однородной задачи Дирихле для неоднородного бигармонического уравнения (раздел 2), а затем и для построения решения общей задачи Дирихле для неоднородного бигармонического уравнения в единичном шаре (раздел 3). В [6] с помощью формулы Альманси были построены полиномиальные решения уравнения Пуассона Аи (х) = Q (х) и полигармонического уравнения
Аты (х) = Q (х), где Q (х) — произвольный полином. Найденные решения отличаются от полиномиальных решений дифференциальных уравнений в частных производных общего вида [7,8]. В работе [9] было построено полиномиальное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона, а также третьей краевой задачи. Настоящая работа является продолжением этих исследований на задачу Дирихле для бигармонического уравнения.
В разделе 2 настоящей работы, с помощью исследования свойств представлений Альманси, описанных в леммах 1−5 и теореме 1, в теоремах 2 и 3 будут даны формулы (17) и (20), позволяющие легко вычислять полиномиальное решение однородной задачи Дирихле для неоднородного бигармонического уравнения. В разделе 3, в теореме 6, на основании теорем 4 и 5 получена формула (30) для представления полиномиального решения общей задачи Дирихле для бигармонического уравнения с полиномиальными данными. К сожалению, полученные полиномиальные решения для записи их в обычном виде требуют вычисления степеней оператора Лапласа от некоторых многочленов, определяемых данными краевой задачи. Этот недостаток легко устраняется с помощью применения пакета МаЛвтайса (см. примеры 1 и 6).
2. Полиномиальное решение однородной задачи Дирихле для неоднородного бигармонического уравнения
Сначала рассмотрим следующую однородную краевую задачу для неоднородного бигармонического уравнения в единичном шаре О = {хе М" :1×1& lt- 1}:
1 Карачик Валерий Валентинович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений и динамических систем, факультет вычислительной математики и информатики, Южно-Уральский государственный университет. e-mail: karachik@susu. ru
2 Антропова Наталия Александровна — аспирант, преподаватель, кафедра дифференциальных уравнений и динамических систем,
фкультетВычислительной^атематикииинфо?матики, Юж2оУЕалЬ? к2й^оуд2Е?. т? еннЫй. у22? ери1е1^^^^^^^_. ^^^^^^^_ Серия «Математика. Механика. Физика», выпуск 5 39
А 2ы (х) = Q (х), х ей- (2)
«|Эй= 0, ды = 0 (3)
дп |эп
с полиномиальной правой частью Q (х) и при п & gt- 2. В работе [6] установлено, что некоторое полиномиальное решение бигармонического уравнения (2) можно записать в виде
ы (х) = - ?----------------[!(1 — а) к+1ак+п/2−1(-А)к Q (аx) йа. (4)
4 к=0(2к)!!(2к + 4)!!-, 0
Предположим сначала, что Q (х) = Qm (х) — однородный полином степени т. В [6] показано,
что в этом случае решение (4) может быть записано также в виде
ы (х) =? (-1)& gt- _(!±|)[х!!+4^!йт (х1_. (5)
3 (2,2),+2(2т — 2* + п, 2),+2
Здесь (а, Ь) к = а (а + Ь)--- (а + (к — 1) Ь) — обобщенный символ Похгаммера с соглашением
(а, Ь) о = 1. Например, (2,2)к = (2к)!!. Заметим, что в знаменателе дроби под знаком суммы стоит
выражение (2т-2* + п, 2)*+2 = (2т-2* + п)---(2т + п + 2), которое не обращается в нуль, поскольку 2* & lt- т. В [6] установлено, что некоторое полиномиальное решение уравнение Пуассона Ау = Q (х) имеет вид
I х |2 ~ | х |2к «1
у (х) =----?------------------[ (1 -а)как+п/2−1(-А)kQ (аx) йа. (6)
2 к=0(2к)!!(2к + 2)!Н0
Кроме этого показано [6], что при Q (х) = Qm (х) решение (6) может быть записано в ином виде
=? (-!)*-----. (7)
?0 (2,2)»,(2т — 2* + «, 2)»,
Установим связь между формулами (7) и (5).
Лемма 1. Пусть полином у (х) определяется из (7), а полином ы (х) определяется тоже по формуле (7), но при Qm+2(х) = у (х), тогда полином ы (х) имеет вид (5).
Доказательство. По условию леммы
«(х)=?(-1)& gt- |х|2'-+2 А'-««(х)
=0 (2,2)*+1(2т — 2* + п, 2)*+1
и поскольку deg у (х) = т + 2, то
х) =? (_ц,-------|х|2& quot-2 а'-у (х)------.
3 (2,2)*+1(2т + 2−2! + п, 2) г+1
Преобразуем полином ы (х). Имеем
,, | х|2 у (х) * |хР+2 А*у (х)
ы (х) =-----------+? (-1) ------------------------------.
2(2т + п + 2) ^ (2,2)*+1(2т + 2 — 2* + п, 2)*+1
Подставим в первый член значение у (х), а во второй сумме учтем, что Ау = Qm (х). Кроме этого
при преобразовании первого члена заметим, что (2т + п + 2)(2т — 2* + п, 2)*+1 = (2т — 2* + п, 2)*+2
и (2* + 4)(2,2)*+1 = (2,2)*+2. Имеем
ы (х) =? (-1)* (* + 2) | х |2*+4 АsQm (х) +? | х |2*+2 Аs~1Qm (х)
^ *=0 (2,2)*+2(2т — 2* + п, 2) *+2 '-(2,2) *+1(2т + 2 — 2* + п, 2) ш'-
Сдвинем индекс суммирования во второй сумме * ^ * +1 и тогда области суммирования обоих сумм будут одинаковы. Объединим эти суммы
ы (х) = ?& lt--«'-, 22) ЫГ А ((* + 2)-«•
*=0 (2,2)*+2(2т — 2* + п, 2)*+2
Отсюда сразу следует формула (5).
Рассмотрим бигармоническое уравнение со специальной правой частью
Карачик В. В., Построение полиномиальных решений задачи Дирихле
Антропова Н. А. для бигармонического уравнения в шаре
А2и =1×2т р (х), х е В, (8)
где Р8 (х) — однородный гармонический полином степени я, а В с Мп — звездная область с центром в начале координат. Из результатов работы [6] следует, что решение уравнения Ау = х 2тр (х), записанное в форме (7), имеет вид
и х) =. (9)
(2т + 2)(2т + 2* + п)
Установим аналогичный результат и для бигармонического уравнения.
Теорема 1. Решение уравнения (8), записанное в форме (4) или (5), имеет вид
и (х) = Ст^ х 2т+Ч (х), (10)
где 1/Ст * = (2т + 2)(2т + 4)(2т + 2* + п)(2т + 2* + п + 2).
Доказательство. Обозначим у (х) = Аи. Тогда Ау = х 2 т Р* (х). Будем последовательно применять формулу (7) для нахождения сначала полинома у (х) при Q2m+s (х) = х 2 т Р* (х), а затем и и (х) при Q2m+*+2(х) = у (х). Согласно лемме 1 мы должны получить при этом формулу (5). С другой стороны, полином у (х) будет записан в виде (9)
у (х) = х 2т+2---------^--------N х 2т+2 Р'-(х).
(2т + 2)(2т + 2* + п) *
А, значит, опять используя этот результат, получим, что полином и (х) будет записан в виде
и (х) = х 2т+4-----------------------Р^-.
(2т + 4)(2т + 2* + п + 2)
Подставляя сюда значение Р'-(х), получим (10). Таким образом, формула (5) при 22т+*(х) = х 2 т Р* (х) имеет вид (10). Согласно [6] формула (5) может быть переписана в виде (4) и значит (4) при Q (х) = х 2 т Р* (х) имеет вид (10).
Разложим Qm (х) с помощью формулы Альманси (1) на слагаемые вида х Р Ят-2* (х):
Qm (х) = & amp-т (х)+ х 2 Ят-2(х) + & quot- '- + х Р ^т-2*(х), т — 2* & gt- 0. (11)
Применим к обеим частям формулу (5). Тогда по теореме 1 решение уравнения
А2у (х) = Qm (х), задаваемое формулой (5) имеет вид
[т/2] х 2*+4 # (х)
у (х) = У --------------------------------т-2*(х)-----, (12)
^=0 (2* + 2)(2* + 4)(2т — 2* + п)(2т — 2* + п + 2)
где [а] - целая часть числа, а, а однородные гармонические полиномы Як (х) определяются формулой Альманси (11). Из явного вида полиномов Як (х), найденного в [2], аналогично формуле (7), верно утверждение.
Лемма 2 [9]. Гармонические полиномы Ят_2к (х) в разложении однородного полинома Qm (х) по формуле Альманси (11) имеют вид
К = 2 т — 4к + п — 2 У (-1)* х 2* А*+kQm (х)
т-2к х (2,2)к у (2,2)* (2т — 4к — 2* + п — 2,2)*+к+1.
Рассмотрим задачу Дирихле (2)-(3) при Q (х) = х 2* Ят2* (х).
Лемма 3. Решение у*(х) однородной задачи Дирихле (2)-(3) при Q (х) = х Р Ят2* (х) имеет
вид
У* (х) = С, (х 2*+4 +(* +1) — (* + 2) х 2) Ят-2* (х), (13)
где 1/С'-т* = (2* + 2)(2* + 4)(2т — 2* + п)(2т — 2* + п + 2).
Доказательство. Пусть полином и* (х) определяется формулой
У* (х) = Ст,* (х ^т-2* (х) + Нт-2* (х) — х Нт-2* (х)) ,
1 2
ГДе Нт-2з (х) И Нт-2* (х) — однородные гармонические полиномы степени т — 2s. Легко видеть, ЧТО С'-т* = С*т-2*, где Ст !1 определен в теореме 1. Используя теорему 1, получим равенство
А2у* (х) =1 х Р Ят-2 $ (х). Будем подбирать полиномы Нхт-2* (х) и Нт-2* (х) так, чтобы выполнялись однородные граничные условия (3). Тогда будем иметь
1 2 Кт-2и (х) — Нт-2* (х) — Нт-2* (х) = 0 ^ У*!ЭП = 0,
(т + 4)^т-2* (х) — (т — 2*) Н т-2* (х) — (т — 2* + 2) Нт-2* (х) = 0 ^ = 0
дп! ЭП
и поэтому необходимо решить систему уравнений
НПі-2* (х) + ^ -2* (х) = ^т-2* (х),
(т — 2*)нП-2* (х) + (т — 2* + 2) нП-2* (х) = (т + 4)^т-2* (х) —
1 2
Решение этой системы относительно Нт-2* (х) и Нт-2* (х) методом Крамера имеет вид
т-2* (2
т-
Нт-2* (х) = ^т-2* (х)
Нт-2* (х) = ^т-2* (х)
1 1
т + 4 т -2* + 2 11 т — 2* т + 4
11
т — 2* т — 2* + 2
11 т — 2* т — 2* + 2
= -(* +1)Кт-2з (х),
= (* + 2) Я-т-2* (х) —
Подставляя полученные значения в формулу для у* (х), получим (13).
Теперь можно построить полином и0(х) — решение задачи Дирихле (2)-(3) при
Q (х) = Qm (х). Раскладывая однородный полином Qm (х) по формуле (11), а затем применяя к каждому слагаемому лемму 3 (* заменяется на к), получим решение нашей задачи в виде
[т/2] [т/2]
и& gt-(х) = У Ук (х) = У ст, к (х 2к+4 +(к +1) — (к + 2) х 2) Ят-2к (х),
к=0
к=0
где Ст, к определены как и в лемме 3. Как было доказано выше полином
[т/2]
У ст, к х 2к+4 Ят-2к (х) к=0
равный полиному из (12), записывается в виде (5). Поэтому
[т/2]
5(х) = у Ук (х) = У (-1)
к (к +1)! х 12к+4 АО (х) ^
к=0
к=0
(2,2)к+2(2т — 2к + п, 2) к+2 к=0
+ у ст, к ((к +1) — (к + 2)! х I2) Ят-2к (х). (14)
Преобразуем решение и0 (х).
Лемма 4. Пусть, А = т + п /2 и
А* к = к (А — 2* + 2к — 3)(А — * + к +1) + (* - к +1)(А — 2* + 2к -1)(А — 2* + к — 2)
тогда справедливо равенство
и
«(х)=УАОх У-
*=0 4
(-1)4,к I х |2к
(15)
к=0 к !(* - к + 2)!(А — 2* + к — 2)*+4 где (а)* = а (а +1) • • ¦ (а + * -1).
Доказательство. Воспользуемся леммой 2 для преобразования многочлена и00(х) из (14). Учитывая что 1/С'-т* = (2* + 2)(2* + 4)(2т — 2* + п)(2т — 2* + п + 2), а также
(2,2)к+2 = (2к + 2)(2к + 4)(2,2)к и
(2т + п — 4к — 2* - 2,2) *+к+3 = (2т — 2к + п)(2т — 2к + п + 2)(2т + п — 4к — 2* - 2,2)*+к+1, перепишем это решение в виде
и
Карачик В. В., Построение полиномиальных решений задачи Дирихле
Антропова Н. А. для бигармонического уравнения в шаре
и"(х)=У (-1)* (*+1)'-х'-2,+4А°-(х) +
0 «0 (2,2)»,(2т — 2* + «, 2)*+,
+ [У2] (к +1) — (к + 2) х 2 У (-1)* (2т + п — 4к — 2) х 2* А'-+р (х)
к=0 (2,2)к+2 2*+2к& lt-т (2,2)* (2т + п — 4к — 2* - 2,2)* +к +3
Обозначим * + к = а и учтем при этом, что (2,2)к+2(2,2)* = 2а+2(а- * + 2)!*! и
(2т + п — 4к — 2* - 2,2)*+к+3: вание преобразуется к виду
(2т + п — 4к — 2* - 2,2)*+к+3 = 2а+3(А — 2а+ * - 1) а+3, где, А = т + п/2. Тогда повторное суммиро-
и Г х! У Г И* (* + 1) х2*+4 ^ (х) ,
и0(х) -2(-1) 4*+2(* + 2)!(А — *)"г + + уАЩ» У (-,). (а — 2а+2* - 1)(а-* + 1) х ^ ^ * + 2) Ы& quot-2.
а=0 4 2 *=0 (а-* + 2)!*!(А -2а+ * - 1) а+3
Заменим в двукратной сумме, а на *, * на, а и разделим эту сумму на два слагаемых
м х) = У АО» ((_1)^ _(?±11^ + У (-1)а х
0 ^ 45+2 (* + 2)!(А — *)», а=0
(*-а+1)(А — 2* + 2а-1) х 2а У (1)а (*-а+2)(А — 2* + 2а-1)х 2а+2)
(*-а+ 2)!а!(А — 2* + а-1)*+3 а=0 (*-а+2)!а!(А — 2* + а-1)*+3
Преобразуем выражение в больших круглых скобках, которое обозначим 11. Если в последней сумме сдвинуть индекс суммирования а^а-1 и выделить отдельно первый член (при, а = 0) у второй суммы, то получим
] = (* (* +1) х 2*+4 + У (а х 2а [ (* -а +1)(А — 2* + 2а-1) +
1 (* + 2)!(А — *)*+2 а=1 [(*-а+ 2)!а!(А — 2* + а-1)*+3
(*-а+ 3)(А — 2* + 2а-3) и (* +1)(А — 2* -1)
(16)
±--------------------------I +
]-
или
(* - а+3) !(а-1)!(А — 2* + а — 2)*+3 (* + 2)!(А — 2* -1)*+3
г (-1)* (* +1) х 2*+4 У (-1)а х 2
71 = Л ч--------------------+ У'-
(* + 2) !(А — *)*+2 а=1 а!(* - а + 2)!(А — 2* + а-1)*+2
х[ (* - а+1)(А — 2* + 2а -1) + а (А — 2* + 2а — 3) ] + (*+1)(А — 2* -1)
А — * + а+1 А — 2* + а- 2 (* + 2)!(А — 2* -1)*+3
Суммирование во внутренней сумме можно продолжить и на значение, а = 0 и при этом под знаком суммы мы получим значение выражения, равное последнему члену в формуле. Поэтому можно записать
. (-1)*+2(* +1) х2*+4 У (-1)а х 2а
11 = ---- ----- -------+ У --------- - -----------------х
(* + 2)!(А — *)*+2 а=0 а!(* - а + 2)!(А — 2* + а -1)*+2
х[(* - а+1)(А — 2* + 2а -1) + а (А — 2* + 2а — 3)]
А — * + а+1 А — 2* + а- 2
Вычислим значение выражения под знаком суммы при, а = * + 2. Имеем
(-1)*+2×2*+4 [ + (* + 2)(А +1) ] = (-1)*+2×2*+4 (*А + 2* + А + 2) =
(* + 2)!(А — * +1)*+2[ + А — * ] = (* + 2)!(А — *)*+3 =
= (-1)*+2(* +1) х 2*+4 (А + 2) = (-1)*+2(* +1) х 2*+4
(* + 2)! (А — *)*+3 (* + 2)!(А — *)*+2.
Поэтому можно записать
= У2__________(-1)а х 2а_[(*-а+1)(А — 2* + 2а-1) + а (А — 2* + 2а-3) ]
а=0 а!(*- а+ 2)!(А — 2* + а-1)*+2 А — * + а+1 А — 2* + а- 2
х
Если привести дроби к общему знаменателю и учесть значение А!, а, то получим
^ = I? (_1)а ^ I X |2а
=0 а!(я — а+2)!(А — 2s + а-2)
Подставляя вычисленное значение /1 в (16), получим (15).
Из полученной формулы (15) сразу не видно, что полином и0(х), находимый из (15), удовле-
/& quot-2 / п Эи0(Х) п
творяет однородным условиям (3) и0 (х)|х|=1 = 0, -г = 0.
ап 1×1=1
Теорема 2. Решение и0(х) задачи (2)-(3) при 0(х) = 0 т (х) можно записать в виде
^ ^ ^ ^ | х |
щ,(х)=(іхі2-і)2?(*+1)А От (х)у (-1)': «г », (17)
V к
?=о 44~(л + 2)! к=о где, как и в лемме 4, для краткости обозначено, А = т + и /2.
Доказательство. Обозначим полином из (17) через у (х) и разобьем внутреннюю сумму на три слагаемых. Заменяя к ^ к -1 во второй сумме и к ^ к — 2 в третьей сумме, получим =? АО (х)? к |х|2к -2 | х 12к+2 +1×12к+4 =
?=0 4і+2(і + 2) к=0 к !(* - к)!(А — 2* + к)*+2
=? АО^т (х) (? (-1)к I х |2к +
? 4?+2 (і + 2) ?о к !(* - к)!(А — 2* + к)*+2
+?______________2(-1)к I х 12к__________+ ?_______________(-1)к I х 12к_____________)
+? (к — 1)!(* - к +1)!(А — 2* + к -1)?+2 + ?(к + 2)!(і - к + 2)!(А — 2* + к — 2)?+2
х) =? А От (х) (? (-1)к (і - к + 2)(і - к +1)1×12к +
'-? 4*+2(і + 2)(? к!(і - к + 2)!(А — 2* + к^
или
??1 2(-1)кк (* - к + 2) I х 12к + ?2 (-1)кк (к -1)1×12к)
к=і к !(і - к + 2)!(А — 2* + к -1)*+2 к=2 к !(* - к + 2)!(А — 2* + к — 2)*+2
Учитывая специфику членов у трех рассматриваемых сумм в круглых скобках, суммирование можно взять в общих пределах от 0 до я + 2:
= I AsQm (х) |2 (-1)к|х|2к х ?4+2С? + 2)1 к !(я — к + 2)!
((я — к + 2)(я — к +1) 2к (я — к + 2) к (к — 1))
(А — 2я + к) я+2 (А — 2я + к -1)^+2 (А — 2я + к — 2)^+2
Если обозначить
к = (я — к + 2)(я — к +1)(А — 2я + к — 2)(А — 2я + к — 1) +
+2к (я — к + 2)(А — 2я + к — 2)(А — я + к +1) + к (к -1)(А — я + к)(А — я + к +1),
то получим
У АО (х) У2 (-1)кВяк |х|2к
у (х) = У +0"(х) У------------- 5, к----------------------------------. (18)
я=0 4я (я + 2) к=0 к !(я — к + 2)!(А — 2я + к — 2) я+4
Разложим коэффициент В5 к по степеням я + 2. Для этого можно воспользоваться пакетом
ЫаЛетаНеа. Имеем
В5 к = (-6 — 10к — 2к2 — 5 А — 4кА — А2)(я + 2) +
+(16 + 16к + 4к2 + 9 А + 4кА + А2)(я + 2)2 + (-14 — 8к — 4 А)(я + 2)3 + 4(я + 2)4.
Если же разложить коэффициент Ая, к по степеням я + 2, то получим
Карачик В. В., Построение полиномиальных решений задачи Дирихле
Антропова Н. А. для бигармонического уравнения в шаре
А, к =-6−10к — 2к 2 — 5 А — 4кА — А2 +
+(16 + 16к + 4к 2 + 9 А + 4кА + А2)(, + 2) + (-14 — 8к — 4 А)(, + 2)2 + 4(, + 2)3.
Видно, что В, к = А, к (, + 2). Подставляя это значение в (18) и сокращая на (я + 2) получаем (15). Значит у (х) = и0(х).
Теперь легко непосредственно видеть, что многочлен ио (х), удовлетворяющий неоднородному бигармоническому уравнению (2) с 2(х) = 0 т (х), удовлетворяет и однородным условиям Дирихле (3).
Замечание 1. Формулы, задающие решение однородной задачи Дирихле для гармонического уравнения иД х) [9] и бигармонического уравнения ^(х) (17), очень похожи:
и (х)=(I х |2 ру А'-@т (х) у (-1)к Г® 1________1 х |2к______
1() (+ 1)!кк=0() I к) (т — 2, + к + п/2)^+1
и
и2(х) = (I х I2 -1)2? (® ++^А°& amp-т (х)? (-1)к Г ® 1^------------.
2 я=0 4®+2(, + 2)! к=0 (к) (т-2, + к + п/2),+2
3 2
Пример 1. Решение задачи Дирихле (2)-(3) при 26(х) = х1×2×3, записанное в виде (17), легко вычисляется с помощью пакета Мыкетайса и имеет вид
(2 + 2 + 2 1)2
и (х1, х2, х3) = - -х2 х —) (-255 + 245×4 — 63×4 -1190×32 + 861×34 +
1 2 3 12 252 240 1233
+14 х?(-17 + 13х| - 350×32) +14 х|(17 + 57×32)).
Еще немного преобразуем многочлен ^(х), являющийся решением задачи Дирихле (2)-(3) при
б (х) = 0 т (х), чтобы затем иметь возможность получить формулу для произвольного 2(х).
Лемма 5. Имеет место равенство
и0(х) = (1х|2−1)2? Г1(1 --|х|2)* (1- - Г1 А и (иг/2- *. (19)
0 4 (2,)!!(2, + 4)!! т
Доказательство. Пользуясь формулой (17), запишем
и0(х) =(|х|2−1)2 Гг & lt-?+!№№Г (-,)кГ®) |х|2к ,
4 -=0 2'Ш + 4)!! к.0 Iк!(А-2® + к),+2
где, А = т + п /2. Преобразуем внутреннюю сумму в полученном выражении. Используя определение символа Похгаммера (а)к, свойство гамма функции Г (х +1) = хГ (х) и связь гамма Г (х) и бета В (х) функций Эйлера, можем записать
1 1 Г (т + п/2 — 2, + к)
(А — 2s + к) с+2 (А — 2s + к)••¦(А — - + к +1) Г (т + п/2 — - + к + 2)
¦^т+п /2+к-2--1
В (- + 2, т + п /2 — 2 + к) _ 1 Г1(1 — і)-+1гт+п/2+к-2--1
_ (с +1)! Jo ()
Г (, + 2) (, + 1) Н°
Используя это равенство, внутреннюю сумму, умноженную на, +1, запишем в виде
11
Г (1 — г)-+1гт+п/2−2--1У (-1)к I х 12к гк Лг _ - Г (1 — г)& quot-+1(1 — г І х 2)-гт-2-гп/2−1 Лг.
-!-0 к0 к) — ^0
Следовательно, многочлен и0(х) можно записать в форме
ио (х) _? У Г1(1 -г) (1 -г|х& gt-д-От. (, х), п '-2- Л.
0 4 -=0 (2- + 4)!!(2-)!! т
что совпадает с формулой (19).
Получим решение задачи Дирихле (2)-(3) с неоднородным многочленом О (х). Теорема 3. Решение задачи Дирихле (2)-(3) можно записать в виде
и (х) = (1х|2 -1)2 г. ГГ (1 -а|х|2)-(1-а)-+1 А, д (ахд/2-а (20)
4 -«0,=0 (2-)!!(2- + 4)!!
Доказательство. Пусть 0(х) — произвольный полином. Представим его в виде суммы однородных слагаемых 0(х) = Г От (х). Обозначим через ит (х) полиномиальное решение задачи
т
Дирихле (2)-(3) с правой частью 0(х) = От (х). Тогда очевидно, что искомое решение имеет вид и (х)=г и т (х). Из формулы (19) следует, что
т
,. ,. (| х|2 -1)2 ^ г1 (1 — а|х|2)-(1 -а),+1 п/2−1*/ л
и (х)=т. (х)=^_г>-. ггс (2,)"(2-+4)!! а, А (ах)а
=(|х|2−1)2 Г-Гг (1 -а|х|2) — (1 -«г-А .д, а, 2-, а
4 ¦'-О. =0 (2-)!!(2- + 4)!!
Замечание 2. Функцию (оператор) Грина задачи Дирихле (2)-(3) в единичном шаре в случае полиномиальных функций 0(х) можно записать в виде
. (|х|2 -1)2 У (1 -а| х|2)-(1 -а)-+1 п/2-ьа,
0(х-а)-=----------- У------------- - ап 1(А--)(ах)
4. =0 (2-)!!(2- + 4)!!
и тогда решение (20) имеет вид
и (х) = Г G (х-а) 0(х) йа.
*0
Пример 2. Пусть в задаче Дирихле (2)-(3) 0(х) = х1, а значит т = 1. Тогда в сумме из формулы (20) будет только один член при. = 0. Получаем
(| х |2 -1)2 Г1. ап/2−1, (| х |2 -1)2
и (х) = -------------------- [ (1 -а)ах,------------йа = х
а к 1 о. л 1
4 -«0 2−4 8(п + 2)(п + 4)
Можно воспользоваться формулой (15). Тогда так как
А. к = к (А — 2- + 2к — 3)(А — - + к +1) + (- - к +1)(А — 2- + 2к -1)(А — 2- + к — 2) и — = 0, т = 1, то
А0,0 = (А -1)(А — 2), А0,1 = (А -1)(А + 2), А0& gt-2 = 2(А +1)(А + 3) — (А + 3) А = (А + 3)(А + 2),
А = (п + 2) / 2 и то же решение имеет вид
2 4
и (х) = 4 (-А0--------+ А)^!) =
4 2(А — 2)4 (А -1)4 2(А)4
хи 1 | х |2 | х |4 Ч х (| х |2 -1)2 (| х |2 -1)2
42 2А (А +1) А (А +1) 2А (А +1/ 8−2А (2А + 2) 8(п + 2)(п + 4)
3. Полиномиальное решение неоднородной задачи Дирихле для однородного бигармонического уравнения
Рассмотрим теперь следующую задачу Дирихле для уравнения Лапласа в единичном шаре й
А 2и (х) = 0, х ей- (21)
и|Эо = Р (х), ^ = 0 (22)
дп |Эп
с полиномиальным граничным значением Р (х) и при п & gt- 2.
Сформулируем утверждение, дополняющее утверждение теоремы 3.
п
Рассмотрим оператор Ли = Г хки%к. Он обладает легко проверяемыми свойствами:
к=1
— = Лщд^ - если функция и — гармоническая в й, то функция Ли тоже гармоническая в й —
дп |дй
верно равенство Л (иу) = у Ли + иЛу — ЛРт (х) = тРт (х).
Карачик В. В., Построение полиномиальных решений задачи Дирихле
Антропова Н. А. для бигармонического уравнения в шаре
Теорема 4. Решение задачи (21)-(22) можно записать в виде
п, ч 1- | х |2 ч (|х |2 -1)2
у (х) = Р (х) ±--ЛР (х) ±---------х
22 4 (23)
хГ1 Г (1 -а| х|)-(1 -а)-а,+1(лр-^АР)(ах)ап/2−1 йа.
. =0 (2-)!!(2- + 2)!! 2- + 4
Доказательство. С помощью формулы (20) найдем решение следующей задачи Дирихле:
А2и (х) = А2 Р (х), х ей- и|хЬ1 = 0, — = 0.
дп |х|=1
Имеем
(I х |2 — 1)2 Г1^ (1 — а| х |2)-(1 — (х)+1. $+2пҐ ч п/2−1 і
и (х) = ------- I У ----------------- -ДР (ах)ап йа.
4 -«0 -=0 (2-)!!(2- + 4)!!
Пусть гармонический полином и0(х) удовлетворяет условию и0(х)|х|=1 = ЛР (х)х=1. Тогда
следующий полином у (х) = Р (х) + и0(х)(1- | х|)/2 — и (х) является бигармоническим, поскольку
2 2 2
Д у (х) = Д Р (х) — Д и (х) = 0 и в силу свойств оператора Л и функции и (х) удовлетворяет граничным условиям у (х)|х|=1 = Р (х)|х|=1 и
2
= л (р (х) + ^ и0 (х))|х|=1 = дп |х|=1 2
1-| х |2
= (ЛР (х)-1 х |2 и0(х) + -2^ Ли0 (х))х|=1 = (ЛР (х) — и0 (х))|х|=1 = 0. Преобразуем решение у (х). Полином и0(х) запишется в виде
и0(х) = ЛР (х)-^ Г1 Г (1 -а|х|2). (1 -а)• А. +1ЛР (ал)а"-'-2-йа.
0 2 •, 0. =0 (2.)!!(2. + 2)!!
Поэтому искомое решение у (х) запишется в виде
1- | х |2
у (х) = Р (х) ±-2- ЛР (х) +
+ (Ы2 -1)2 Г. У (10ГЇМд-+. (ЛР-1-адР)(ах)аП-а 4 -& gt-0^ (2-)!!(2- + 2)!! 4 2- + 4 7
4 -«0 ^ (2.)!!(2. + 2)!! 4 2. + 4
Решение задачи (21)-(22) найдено и оно имеет вид (23).
Пример 3. Пусть в задаче (21)-(22) Р (х) = х2. Тогда в сумме из формулы (23) будет только
2 2 2
один член. = 0. Ясно, что Ах- = 2, Лх^ = 2х^ и поэтому
, 2, п | 2Ч 2, (| х |2 -1)2 Г1 1
у (х) = х2 + (1- | х |2) х2 + --- Г -4ап/2−1 йа =
1 Л. то
4 ¦'-0 2
=х2+(1−1 х |2)х2+1(| х |2 -1)2=2×2 — х21 х |2+| х | -2 х | +1.
пп
2
Проверим, что найденное у (х) действительно является решением задачи (21)-(22) с Р (х) = х:.
Воспользуемся простым равенством [6] Д
Тогда легко получить
Д (| х |к Рт (х)) = к (2т + к + п — 2) | х |к-2 Рт (х)+1 х |к ДРт (х).
1
и значит полином у (х) бигармонический
Ду (х) = 4 — 2(п + 4) х2 — 21 х |2 +(4(п + 2)| х |2 -4п) / п
Д2у (х) = -4(п + 4) — 4п + 8п (п + 2) = 0. (24)
п
2
Кроме этого у (х) удовлетворяет условиям У|х|=1 = (х1)|х|=1 и
дУ, а (л 2 ,|2||2 4| х | -4| х |
= Лу|х|=1 = (4х} - 4х] | х | ±-------------)|х|=1 = 0.
дп |х|=1 п
Рассмотрим другую задачу Дирихле для уравнения апласа в единичном шаре й
А 2и (х) = 0, х ей- (25)
«йп = 0, ^ = Ж (х) (26)
дп |дй
с полиномиальным граничным значением Ж (х) и при п & gt- 2.
Теорема 5. Решение задачи (25)-(26) можно записать в виде
у (х) = ^Жх) -(|х|2 -1)211 ГГ (1 -а|х|2). (1 -а). А «яд)*^ йа. (27)
2 4 -& gt-0. =0 (2.)!!(2. + 2)!!
Доказательство. Пусть гармонический полином и1(х) удовлетворяет условию и1(х)|х|=1 = Ж (х)|х|=1. Тогда следующий полином у (х) = и1(х)(| х| -1)/2 является бигармоническим и удовлетворяет условиям у|х|=1 = 0 и
ду. (, ч. | х |2 -1 | х |2 -1
= Лу|х|=1 = (и1(х)Л -------±-----
дп |х|=1 2 2
4 = Лу|х|=1 = (и1(х)Л--------------------Ли1(х))|х|=1 = (Ж (х) | х |2)|х|=1 = Ж (х)|х|=1.
Полином и1(х) можно записать в виде
г т |х|2 -1 г1^ (1 -а|х|2). (1 — а).. +1 п/2−1 I
и1(х) = Ж (х)-------------I Г ------------------А Ж (ах)а йа
2 -«0. =0 (2.)!!(2. + 2)!!
и поэтому
| х
у (х) =- Г
2 4. =0 (2.)!!(2. + 2)!!
у (х)=ж х) _(|х|2 -1)2 г1 ГГ (1 -а|х|2). (1 -а).А /2−1 йа.
2 4 (?.)!!(?. + 2)!!
Что и утверждалось.
2
Пример 4. Пусть в задаче (25)-(26) Р (х) = хк. Тогда в сумме из формулы (27) будет только один член. = 0. Поэтому
у (х) =х2 -(|х|2−1)2 ГМ*-^йа = | '- 2…2 1)2
2 к 4 ^0?
2 4 -& gt-0 2 2 2п
Аналогично формуле (24) из примера 3 полином у (х) бигармонический
А 2у (х) = 2(п + 4) + 2п — 8п (п + 2) /(2п) = 0.
Кроме этого у (х) удовлетворяет условиям у|х|=1 = 0 и
ду _Л = (о 2, |2 2 4| х |4 -4| х |2) =, 2Л
— = Лу|х|=1 = (2хк | х | -хк---------«-)|х|=1 = (хк)|х|=1.
дп |х|=1 2п
Объединяя теоремы 4 и 5 получим следующее общее утверждение.
Теорема 6. Решение задачи Дирихле
А 2и (х) = 0(х), х ей- (28)
и|дй= Р (х), = Ж (х) (29)
дп |дй
в единичном шаре й с полиномиальными данными 0(х), Р (х) и Ж (х) имеет вид
| |2 1 (| |2 1)2
и (х) = Р (х) + -(Ж (х) -ЛР (х)) ±х~4--------------х
х, х. |2). (1 -а).А. (А (Л Р ж. 1 -а
Г1 Т (1 а|х|) (1 а) А. (а (лр — ж) + (0 — А 2Р))(ах) а1 ^ йа.
. =0 + 2)!! 4 2. + 4 Л
(30)
Карачик В. В., Построение полиномиальных решений задачи Дирихле
Антропова Н. А. для бигармонического уравнения в шаре
Доказательство. Как нетрудно заметить решение задачи (28)-(29) можно разложить на сумму решений трех задач (2)-(3), (21)-(22) и (25)-(26). Сумма этих решений, находимых из формул (20), (23) и (27), и дает искомое решение (30).
Пример 5. Найдем решение задачи
А и (х) = х, х е й- и|дй = х: '-|дй, = хк|дй.
дп |дй
В соответствии с примерами 2, 3 и 4 будем иметь
и (х) = х, (1х|2 -1)2 + 2×2 -х2 |х|2 +(|х|2−1)2 + ^ х2-(|х|2 -1)2 =
г 8(п + 2)(п + 4) ] ] п 2 к 2п
= х2 + (| х |2 -1)(х2 /2 — х2) + (| х |2 -1)2(-------------х-±).
: к ] 8(п + 2)(п + 4) 2п
Пример 6. С помощью пакета МаЛвтайса вычислим решение задачи Дирихле
А2и (х) = х^ - 2 х|, х ейс М3-
/42 5 ди /6 4 2
и|дй = (х1×2 + х2×3) , — = (х1 + х2×3)
|дй V 1 2 2 3 /|дй дп|дй 1 1 2 '-|дй
2 2 2 2
по формуле (30). Обозначая | х | = х1 + х2 + х3, запишем
,. 4 2 5 I XI -1/ 642 4 2 ^ 5
u (X1, X2, X3) = X1 X2 + X2X3 ±--------(X1 — 6 X1 X2 + X2 X3 — 6 X2 X3)¦
----- (30 240×4 — 7×2(-1727 + 19 260×2 — 5400x2x3 + 720×32) + +2(2409 + 4410×4 +
83 160
+18900x2x3 + 352×32 — 630×34 — 900x2x3(22 + 105×32) + x|(-2783 + 13 230×32))).
Литература
1. Karachik, V.V. Normalized system of functions with respect to the Laplace operator and its applications / V.V. Karachik // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2003. V. 287, № 2. -pp. 577−592.
2. Карачик, В. В. Об одном представлении аналитических функций гармоническими /
В. В. Карачик // Математические труды. — 2007. — V. 10, № 2. — pp. 142−162.
3. Карачик, В. В. Об одном разложении типа Альманси / В. В. Карачик // Математические заметки. — 2008. — V. 83, № 3. — pp. 370−380.
4. Nicolescu, N. Probleme de l'-analyticite

Статистика по статье
  • 49
    читатели
  • 4
    скачивания
  • 0
    в избранном
  • 0
    соц. сети

Ключевые слова
  • БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ,
  • ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ,
  • ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ,
  • ФОРМУЛА АЛЬМАНСИ,
  • BIHARMONIC EQUATION,
  • POLYNOMIAL SOLUTIONS,
  • DIRICHLETPROBLEM,
  • ALMANSI EQUATION

Аннотация
научной статьи
по математике, автор научной работы & mdash- Карачик Валерий Валентинович, Антропова Наталия Александровна

Найдено полиномиальное решение задачи Дирихле для неоднородного бигармонического уравнения с полиномиальной правой частью и полиномиальными граничными данными в единичном шаре. Использовалось явное представление гармонических функций в формуле Альманси.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой