Исследование динамики двумерной газовой полости вблизи свободной поверхности весомой жидкости

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И Том XIV 1983
№ 2
УДК 532. 528
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ДВУМЕРНОЙ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ ВБЛИЗИ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ВЕСОМОЙ жидкости
В. В. Воронин
Решается задача о движении границы двумерной газовой полости в поле сил тяжести. Из кинематического условия на границе методом последовательных приближений относительно малых деформаций полости находится связь между абсолютным потенциалом течения жидкости и кинематическими характеристиками движения полости. Из динамического условия на границе получается система рекуррентных дифференциальных уравнений, пригодная для численного решения на ЭВМ. Результаты расчетов хорошо совпадают с экспериментальными данными.
1. В работах [1−3], посвященных исследованию динамики границ тонкой каверны под воздействием различного рода возмущений, показано, что в случае, когда деформации границ тонкой каверны много меньше ее поперечных размеров, задача в линейном приближении сводится к определению независимого движения и деформации плоского поперечного сечения. Именно по этой причине практическую важность приобретает вопрос о достаточно точном аналитическом решении задачи движения двумерной газовой полости при различных возмущающих факторах.
Существует значительное количество работ, содержащих аналитическое решение задачи о динамике сферической газопаровон полости в поле переменного давления [4, 5], вблизи твердого экрана [6, 7] и т. д. Но практически отсутствуют работы, рассматривающие вопрос о движении плоской газопаровой полости- немногочисленные примеры аналитического решения такой задачи ограничиваются условием постоянства объема полости [8]. Объясняется это тем, что изменение объема двумерного пузыря в безграничной жидкости или вблизи твердой стенки приводит к логарифмической особенности потенциала течения на бесконечности и к расходящемуся интегралу кинетической энергии.
Указанные трудности легко устраняются, если решается задача о движении границы двумерной газовой полости переменного
объема в присутствии свободной поверхности (см. рис. 1). Если отношение где -радиус полости, к — расстояние от
центра полости до свободной поверхности, то абсолютный потенциал течения представляется в виде ряда мультиполей, в том
Граница газовой полости, симметричная относительно вертикали, в цилиндрических координатах (г, 6), начало которых связано с подвижным центром полости (центром тяжести геометрической фигуры, контур которой совпадает с границей полости), задается функцией Р (г, 6, і) такой, что
на границе полости.
Задача состоит в том, чтобы, во-первых, из кинематического условия на границе полости найти связь между коэффициентами потенциала Сп и деформации ап во-вторых, из динамического условия получить систему дифференциальных рекуррентных уравнений объемных колебаний, перемещения и деформации полости.
2. Кинематическое условие (условие непротекания) на границе газовой полости состоит в том, что скорость частицы жидкости на границе по нормали к ней равна нормальной скорости самой границы. Так как функция F (r, 0, t) из (3) задает границу полости в подвижной системе координат, то условие непротекания можно выразить в виде
где и = и (cos б, -sin 6) — поступательная скорость перемещения центра полости (см. рис. 1).
Уравнение (4) в развернутом виде на границе полости будет иметь вид
числе и отраженных относительно невозмущенного уровня поверхности, т. е.
ф (г, б, t) =
Свободная '-
поверхность
где
г$ = [г2 + 4/г3 — 4/гг соэ 0],/2-
05 = г-81п0-(2А — г соэ 0)-1.
Вблизи поверхности газовой полости используем разложение г8 и б5 в ряд по
Г
rs л
степеням малого отношения т] = и, огра-
ничиваясь только линейными членами, получим из (1) выражение для абсолютного потенциала скоростей в виде
Ф (г, 9, /г, t) = С01п +
Рис. 1
СО
F (r, 0, t)-r — R (t) — У'-і ап (t) cos «8 = О
(3)
(4)
§ + + u-sm 0)4-'-W+ (Уг- „-cos 0)~ = O. (5)
Компоненты скорости жидкости (V, 1/е) определяются дифференцированием потенциала (2) и равны
+ -^-cosQ — У п -^-rcos/гб,
г дг г 1 2h jLu rn + l
п = 1
і & lt-эф
С0
г дв 2 h
Введем обозначения
sin 0 — п sin „б.
П~ 1
(6)
bn = CnR~n
оо
Z=1 + ?cos/г0 = 1 + Г. j
(7)
п=2
В уравнение (5) подставляются значения компонентов скорости (6) с обозначениями (7), в результате получается уравнение
R zb
X пГГ2- sin nQ ~ Е П& amp-+1 008 ПЬ + Ь° 2h C0S 9 + Ь* 2Л Т Sin 6 +
/1 = 1 П=1
h z'- 00
-f≅"-^-sin0 + M cos 9 + /? + E a“ cos (8)
n=2
Уравнение (8) умножается на Zcosy'-9d0 и интегрируется от нуля ДО ТТ. Первый, пятый и шестой члены интегрируются один раз по частям, окончательно из (8) получается
ОО 1C 1C г, '7Г
— у ^ bn j& quot- -- sir* „9 sin у0 rf9 -) — й0 j cos y'-9 rf9 4- jb0 f Z sin 0 sin y'-0 db =
n=l 0 0 0
7Z TZ 00 1C
— /? j Z cos y'-0 d9 + /И J z sin 0 sin j 9 rf0 + ^ a“ j Z cos „0 cos /0 rf0. (9)
0 0 n=2 0
Предполагается, что амплитуды деформации a“ малы в сравнении с радиусом R, т. е. существует еще один малый параметр
s = 1- произведения a, aft, aiak, at ah имеют порядок г2. В даль-
н
нейшем ищется решение, линейное относительно малых парамет-ров s и т), т. е. члены порядка е-т) и выше отбрасываются.
При у -0 из (9) в линейном приближении получается
b0 = R. (10)
Очевидно, что коэффициенты Ьп в уравнении (9) являются линейной комбинацией скоростей и, R и ап, т. е.
= и
(И)
или
Ь — uq -f- Rs -f aD.
Согласно [5] коэффициенты Ьп ищутся в виде степенного ряда по малому параметру е, и решение ограничивается линейными членами, т. е.
q — q (0) 4. е^('-) -f-.. -
(12)
s = v]s (°) 4- ss (1) + • • ¦-
Z& gt- = Z& gt-<-°) + s/& gt-<-!).
3. Линейная комбинация (11) подставляется в уравнение (9), после чего из (9) получаются три самостоятельных уравнения для
нахождения векторов q, s и матрицы D. Метод решения полученных уравнений можно продемонстрировать на примере нахождения

вектора q.
Вектор q, характеризующий поступательное движение газовой полости, находится из соответствующей части уравнения (9):
со т. тс
sin/гб sin /в fife = - { Zsin б sin/в dO. (13)
tl- 1 о о
Дополнительно обозначается
тс
Ynj- | Yk sin nb sin/б dO, (14)
о
причем простые вычисления позволяют получить, что
У0 _ 71 g. IЛ ____ л ап+1 ап- / 1 [-4
I nj = ~Y °nji уп 1-------4--------------------------------
где on/- - символ Кронекера.
Обозначения (12) и (14) подставляются в уравнение (13), в результате получается
ОО
? (& lt-?Г + + •. .) (У°п- - п Yj) = - Y? J — Yj. (16)
П= 1
Из (16) выписываются члены нулевого порядка малости, т. е.
оо ОО
V4 /7(0) Н° _ V'-°-=4. V'- /7(0)Г, _ _8
У. Яп I nj I IJ ==& gt- 2^ Чп °nj — °1/& gt-
Л=1 п=1
откуда
(17)
Далее в (16) группируются члены первого порядка малости, т. е.
оо оо СО.
х y°nj-Z №чУ Kj=-4^,
/2 = 1 /2=1 /2=1
откуда
(1) ап + - ап_ 1 / 1 о
Щп =-------^------• (1“)
Полное выражение для компонента вектора q, определенного с точностью 0(e), получается сложением (17) и (18)
5 I ^/i+l -1 /10
& lt-7п = -81ПН-------я-----• ^™
Аналогичным образом из соответствующих уравнений методом
последовательных приближений находятся компоненты вектора „и элементы матрицы й в виде
~ ______ К р __________.
п 2Л '-1п пЯ '- --------------------
(20)
Полученные решения (19) -(20) подставляются в (11), и с учетом первого соотношения (7) получается связь между коэффициентами потенциала С“, п = 1, 2.. и кинематическими характеристиками движения границы полости в виде
С» = Ф
— иЯЪ1п + и (а,
п+Г
• /?2
Я/і-і) + И 2^^1п
К-1 -я ^ п п
(21)
В известных работах [1−3] в соотношениях, аналогичных (21), учитывались только первый и два последних члена. Таким образом, одно из уточнений, предлагаемых в настоящей работе, состоит в том, что в (21) учитываются дополнительные члены, линейные относительно малых деформаций полости.
4. Важной интегральной характеристикой движения газовой полости является присоединенный импульс Вх в направлении перемещения центра полости
(22)
интегрирование производится по контуру Ь границы полости.
Скалярное произведение векторов (П1Х) (см. рис. 1) легко определить следующим образом:
(п 1Х) = (пг г'-г + Пб 4) Ьх =
: (соэ 0, -ЭШ 0) [ 1,----------
соэ 6 + Кеэт 0. (23)
Элемент дуги с11 на границе газовой полости определяется из соотношений
і+і^
½
& lt-*0^/?(1 + у) ёВ.
(24)
В выражение (22) подставляются значения потенциала (2) с учетом (21) и значения скалярного произведения и элемента дуги (23)-(24) — после интегрирования по углу 0 в линейном приближении получается, что
Вх = тер. Я (# - 2а,) и — тгрЛ?2 Л? ¦-.
(25)
Второй член в (25) описывает обтекание газовой полости потоком от симметричного относительно свободной поверхности
о
фиктивного источника- при 0 этим членом можно пренебречь.
Следовательно, присоединенный импульс плоской деформируемой полости зависит от продольного сжатия границы, что может быть наглядно истолковано с помощью простых соображений. Известно,
что присоединенная масса эллипса при движении вдоль одной из полуосей пропорциональна квадрату второй полуоси. Отсюда следует, что в случае движения эллиптической полости вдоль оси (к--а2) ее присоединенный импульс должен быть пропорциональным (К — а2)2 ~/?(/? -2а2), что совпадает с первым членом соотношения (25).
5. Динамическое условие на границе полости, заключающееся в том, что давление жидкости не меняется при переходе от одной точки границы к другой, позволяет записать интеграл Коши-Лагранжа в подвижной системе координат в виде
дФ -*¦ 1уФ|2 Рк Ратч
ж — и, Ф + -У-)"*г+ ~ - - + гк — ЯЮ. с°8 6. (26)
В уравнение (26) подставляются значения производных потенциала (2) с коэффициентами (21), затем группируются члены, стоящие при косинусах кратных углов яб, п = 0, 1, 2 … Каждая
группа членов приравнивается нулю, и получается бесконечная
система рекуррентных дифференциальных уравнений:
(пп I ТУ& gt- 1 ^ I и2 + К2 I Рь ^а™ и п
а) {RR + R-)nJF^------------Ь- 4----------------------- -= 0-
б) 1,5а2) + 2и (Я — кщ — а2) + и2-^ -
— 4- 2Я2) А _ ^ (/? + 0,5 а2) = 0-
в) к = - и
г) а2Я + 2а2 $ - а2 + 6 — а3 (зи + 2и~- 4 #) —
— 4а3 к + 4а4 + 2и2 — 2 и/? = 0-
Д) ^ + 2 ^ - ая (л — 1) (4 + 2 -^) -2 (ап+1 — а"_,) и-
г"+11о.:. о. Л, , ап-1 / -, 0. /г
Згг 4- 2ы ^ -1−4* 2и-^- 4& quot- Ял+2-^- п--
(27)
+ Он-2 -^г (л ~~ 2) — 0-
п = 3, 4, 5.. .
Легко заметить, что в случае нулевых деформаций и вдали
П
от свободной поверхности, когда -* 0, уравнение б) системы (27)
переходит в известное по [1] уравнение всплывания поперечных сечений тонкой каверны
М=-!ГЯ2 (х) & lt-/т.
Уравнения г) — д) системы (27) являются линейными относительно коэффициентов малых деформаций ап газовой полости, и так как скорость всплывания и{?) не является одной из форм деформации и ее малость не оговаривается, то естественным образом сохраняются члены, содержащие квадрат скорости к (аналогичный результат впервые получен в [1]). Отсюда также следует,
что скорость и не может быть произвольно большой величиной- необходимо, чтобы по крайней мере квадрат скорости и был величиной первого порядка малости, т. е. и2 -О (г). Можно показать, что выполнение этого условия необходимо для устойчивости решения задачи Коши об отыскании потенциала течения, удовлетворяющего условию непротекания на деформируемой границе полости.
Уравнение д) системы (27), как показано в [3], в некоторых приближениях можно свести к рекуррентной зависимости, выражающей возмущение порядка п через возмущение порядка п- 1, а именно:
Если скорость и является величиной нулевого порядка малости, то из (28) следует, что все деформации ап имеют одинаковый порядок малости. Однако в этом случае решение задачи Коши для уравнения Лапласа, удовлетворяющее в начальный момент времени граничным условиям
является неоднозначным, а сама задача Коши — некорректно поставленной (9).
Задача Коши может быть регуляризована, если скорость и (^) имеет, например, порядок 0(е½). Тогда из (28) следует, что порядок малости возмущений повышается с ростом индекса, т. е. ап — 0(ап/2). Можно показать, что решение задачи Коши в этом случае становится однозначным и устойчивым.
В уравнении д) системы (27) целесообразно сохранить члены, содержащие квадрат скорости и,(1), так как, например, произведение м2а"_2 имеет тот же порядок, что и возмущение ап. Значимость этих членов возрастает в случае движения границы полости, форма которой в начальный момент времени отличается от круговой.
6. Система уравнений (27), описывающих движение двумерной газовой полости, решалась численно методом Блёсса при различном числе учтенных форм деформации 10 & lt- п & lt-50. Показано, что решения практически не отличаются друг от друга при я & gt-25. Процесс решения прекращается, если на очередном шаге итерации центр тяжести полости выходит за контур ее границы, т. е. при выполнении условия
На рис. 2 представлены результаты расчета динамики двумерных газовых полостей различной формы в поле сил тяжести. Наиболее интенсивно деформируется нижняя часть границы полости любой формы: граница прогибается внутрь полости и образует мощную кумулятивную струю, направленную вверх. Первоначально деформированная верхняя часть полости выравнивается и становится выпуклой (варианты 2, 3), нижний боковой прогиб имеет тенденцию подворачиваться под газовую полость и сливаться с кумулятивной струей (вариант 3).
(28)
о
^ '-Зг,=л = ^(в) — 2)?^° ПРИ Г^°°,
со
жо+?(-1)ям*)& lt-о.
— ^ + & lt-7, С0!* в' ^
/?0л /с «_
Перепад давленик йр-0,5
7. На специальной установке, которая формирует плоскую газонаполненную полость вблизи свободной поверхности жидкости, проведены физические исследования динамики полости в поле тяжести. Установка представляет собой плоскую вертикальную камеру размерами 120X50X2 см3, выполненную из органического стелка, и тонкостенного стакана с внутренним диаметром 100 мм, связанного посредством троса, переброшенного через блок, с чашкой, на которую падает груз (см. также [8]). Падающий с высоты 1,2 м груз передвигает стакан за границу плоской камеры и освобождает газовую полость за время 0,02 с.
Течение регистрируется с помощью скоростной кинокамеры •с частотой съемки 32 кадра/с. Киносъемка производится в проходящем свете на черном фоне- для удобства расшифровки на переднюю стенку камеры нанесена масштабная сетка с шагом 20 мм.
На рис. 3 приводится кинограмма всплывания плоской газовой полости в весомой жидкости с некоторой глубины до пересечения со свободной поверхностью- давление газа в полости в момент пуска равно атмосферному.
Кадры 1 — 11 демонстрируют процесс начальной деформации газовой полости. В работе [1] показано, что абсолютное ускорение частиц жидкости на поверхности постоянного давления направлено всегда вдоль нормали к этой поверхности и определяется величиной. Отсюда следует, что в случае движения газовой полости
в поле тяжести нижняя часть границы должна прогибаться внутрь полости, так как абсолютное ускорение частиц жидкости на границе увеличивается при 0 -& gt- я. В силу симметрии течения в нижней части полости образуется мощная кумулятивная струя. По мере развития струя принимает грибовидную форму (см. также [8]), ее боковые точки касаются изнутри стенок полости- при этом формируются два симметричных относительно вертикали вихря, види-
мых благодаря мелким пузырькам воздуха, попавшим в область пониженного давления.
Кадры 12−18 зафиксировали всплывание газовой полости в форме кругового сегмента (см. [10)) с двумя спутными вихрями, присутствие которых обеспечивает в основном постоянство давления вдоль нижней границы-хорды. По мере всплывания объем газовой полости увеличивается, давление газа уменьшается, что приводит к изменению расположения вихрей относительно нижней границы и друг друга. В общем, как указывается в [11], система «газовая полость-спутные вихри» представляет собой замкнутую круговую область, которая обтекается внешним потоком.
Кадры 19−27 показывают процесс пересечения свободной поверхности газовой полостью, начинающийся тогда, когда практически весь объем полости находится выше уровня невозмущенной свободной поверхности. Выравнивание давления газа в полости с атмосферным происходит настолько быстро, что падение давления на нижней границе не успевает компенсироваться изменением расположения спутных вихрей. Поэтому часть кинетической энергии жидкости, движение которой индуцировано спутными вихрями, переходит в потенциальную энергию поднятой над уровнем невозмущенной поверхности жидкости. Одновременно с подъемом нижней границы полости происходит быстрое разбегание вихрей в горизонтальном направлении.
На кадрах 28 — 44 показан процесс выравнивания свободной поверхности после прорыва газа из полости в атмосферу. Характерной особенностью является отсутствие волновых движений свободной поверхности, так как потенциальная энергия поднятой жидкости расходуется на увеличение скорости разбегания оставшихся внутри жидкости спутных вихрей.
На рис. 4 приводятся результаты расчета начальной деформации газовой полости, движение которой приводится на рис. 3.
f J У & gt-
}
1 1 f* 0c 1 t У 0,031c У
f & quot-V
w 3 t = {/ 0,062c 4 t V --0,093c
Так как масса и температура газа внутри полости остаются практически неизменными, систему уравнений динамики (27) необходимо дополнить уравнением состояния газа
pk + 0,5 X, а j = const.
Результаты расчета границы полости (сплошная линия) сравниваются с экспериментальными данными (точки). Очевидно, что теоретическое решение хорошо описывает реальное течение даже в случае значительной деформации полости. Отклонения становятся существенными, когда вершина струи поднимается достаточно близко к центру тяжести полости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Логвинович Г. В. Гидродинамика течений со свободными границами. Киев, «Наукова думка*, 1969.
2. Журавлев Ю. Ф. Методы теории возмущений в пространственных струйных течениях. Труды ЦАГИ, вып. 1532, 1973.
3. Б у й в о л В. Н. Колебания и устойчивость деформируемых систем в жидкости. Киев, «Наукова думка», 1975.
4. Y е h Н. С., Yang W. J. Dynamics of bubbles moving in liquid with pressure gradient. J. Appl. Physics, vol. 39, N 7, 1968.
5. Hermans W. A. H. J. On the instability of translating gas bubble under the influence of a pressure step. Philips Res. Repts Suppl. ,
N 3, 1973.
6. Левковский Ю. Л. Структура кавитационных течений.
Л., «Судостроение& quot-, 1978.
7. Kobayashi R. Growth and collapse of a cavity close to solid boundary. Tohoku Univ., Inst, of High Speed Mech., Rept N 173, 1966.
8. W a 11 e r s J. K., Davidson J. F. The initial motion of a gas bubbles, formed in a inviscid liquid. «J. Fluid Mech. «, vol. 12, N 3, 1962.
9. A p с e н и н В. Я. Методы математической физики и специальные функции. М., «Наука& quot-, 1974.
10. Collins R. The rise velocity of davidson’s fluidization bubble. Chem. Eng. Sci., vol. 20, 1965.
11. Collins R. Structure and behaviour of wakes behind two-dimensional air bubbles in water. Chem. Eng. Sci., vol. 20, 1965.
Рукопись поступила 10/VII 1981 г.

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой