Исследование динамики механической системы шарнирных стержней с двумя степенями свободы

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 531. 395
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ШАРНИРНЫХ СТЕРЖНЕЙ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Смирнов Д. А., Тежикова Н. П.
ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева», Нижний Новгород, e-mail: dmsmir@yandex. ru
Разработана математическая модель динамики движения незамкнутой кинематической цепи двух шар-нирно-соединенных стержней, обладающая двумя степенями свободы. В качестве основы для разработки математической модели служат уравнения Лагранжа второго рода. Полученная математическая модель использована для решения частной задачи при заданных начальных условиях. Решение системы дифференциальных уравнений осуществлено численным методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Определен закон движения системы в обобщенных координатах, представлены графики зависимостей углов поворота и угловых скоростей от времени. На основе анализа результатов расчета сделан вывод о наличии двух этапов в движении системы. На этапе установившегося движения стержни образуют практически прямую линию. При этом относительное движение второго стержня носит характер затухающих колебаний. Результаты работы могут быть использованы для разработки математических моделей динамики движения незамкнутых кинематических цепей с конечным числом степеней свободы.
Ключевые слова: динамика механических систем, относительное движение, уравнения Лагранжа второго рода
STUDY ON KINETICS OF TWO-DEGREE-OF-FREEDOM HINGED ARMS MATERIAL SYSTEM
Smirnov D.A., Tezhikova N.P.
Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R. E. Alekseev, Nizhny Novgorod, e-mail: dmsmir@yandex. ru
A mathematical model for kinetics of two-degree-of-freedom hinged arms material system is set up. Lagrange'-s equations of the second kind are taken as the basis for the mathematical model. The resulted mathematical model is used to solve a specific problem under given initial conditions. The simultaneous equations are solved by using Runge-Kutta method of the forth kind. The motion law for the system in generalized coordinates is defined. Diagrams for the arms rotary angle and rate versus time relationships are presented. The analysis of the calculation data shows the presence of two stages of the system motion. The arms form a practically direct line at the stable motion stage. Here the relative motion of the second arm is characterized by convergent oscillations. The results of the present research can be used to develop mathematical models for kinetics of open kinematic chains with finite number of degrees of freedom.
Keywords: kinetics of material systems, relative motion, Lagrange'-s equations of the second kind
Изучение динамики незамкнутых кинематических цепей с конечным числом степеней свободы является актуальной задачей для различных областей науки и техники, например, исследования динамики механических манипуляторов [5].
Целью данной работы является развитие методов исследования динамики незамкнутых кинематических цепей, а также разработка математической модели динамики механической системы шарнирно-со-единенных стержней (рис. 1) с двумя степенями свободы. В работе решается частная задача по определению закона движения системы в обобщенных координатах.
Материалы и методы исследования
Рассматривается механическая система, состоящая из двух абсолютно твердых стержней, длины которых обозначим / ?г. Стрежни соединены между собой шарниром О1. Стержень 1 закреплен при помощи неподвижного цилиндрического шарнира О. На стержень 1 действует момент активных сил М.
Задача решается при следующих предположениях: — все шарниры являются идеальными (силы трения и их моменты отсутствуют) —
— движение происходит в горизонтальной плоскости (силы тяжести не совершают работы) —
— момент активных сил является постоянным M = const.
Рис. 1. Кинематическая схема: 1, 2 — абсолютно твердые стержни- О, О2, — идеальные шарниры- ф, ф2 — углы поворота стержней- М- момент активных сил
3390
¦ TECHNICAL SCIENCES ¦
где

Для решения задачи об определении закона движения механической системы используется метод уравнений Лагранжа II рода [2, 4]. Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выбраны тельно т°чки О углы поворота стержней ф ф Таким образом, уравнения Лагранжа II рода можно записать в виде
момент инерции стержня 1 относи-
Кинетическую энергию стержня 2 определим по формуле [6]
dt
ГдТЛ
Зф|
Зф,
(1)

-2 mtVk
(4)
где ф. — обобщенные координаты системы- ф. — обобщенные скорости- 0.1 — обобщенные силы- Т — кинети-
ческая энергия системы.
Кинетическая энергия системы определяется как скоростей сумма кинетических энергий двух стержней по формуле
Т = Т1 + Т2, (2)
где Т1 — кинетическая энергия стержня 1, Т2 — кинетическая энергия стержня 2.
где шк — масса к-й точки стержня 2- Vк — вектор скорости к-й точки стержня 2.
Скорость У^к определяется теоремой сложения
Vk=V (+ Vkc,
(5)
где V- вектор скорости к-й точки стержня 2 от пе-Кинетическая энергия стержня 1 определяется реносного движения (вектор скорости полюса — точки
О1) — Ущ — вектор относительной скорости к-й точки стержня 2 от его вращения вокруг полюса О1. Подставляя (5) в выражение (4), получим
по формуле [6]

(3)
Pvi

где (ф2 — ф1) — угол между вектором скорости переносного движения Уц и вектором относительной скорости V ю.
Запишем выражения для переносной скорости Уц и относительной скорости Ущ
Уа = Ф А Ко, = ФгЪ
где гк — радиус вектор к-й точки стержня 2 в относительном вращении вокруг полюса О1.
Подставляя эти выражения в формулу (6) для кинетической энергии стержня 2, получим
Т2=ЪтА& lt-Й2 + С08(ф2 & quot-ФО + Фк2) —
Раскрывая скобки, получим
т1=(ф?/2Zw* + Шк COS (ф2 -ф,-«Л + Ф2Z& quot-V*)
(7)
У_, что =& quot-Ч — масса стержня 2, носительно точки ^ =т2Ц- момент инер-
1. ции стержня 2 относительно точки О1, окончательно
тЛ -Тт212 — статический момент стержня 2 от- для кинетической энергии стержня 2 получим
Т2 + тп2Ц2 сов (ф2 — Фт) Ф, Ф2 +т/22.
L 1 О
Запишем выражение для кинетической энергии системы
T = Tl+T1 = l- mfift +1 mjs^ll +1 m2lj2 cos (ф2 -ф1)ф1ф2+^ т2/2ф2-
T=2\m^ +™2Ц2 COS (ф2-ф,)^^.
6
Определим производные от кинетической энергии системы, необходимые для составления левых частей уравнений Лагранжа.
- = & quot-|""2А2428т (ф2 Ф,)Ф,
J^- = |""2А2428т (Ф2 -ф,)Ф, Ф2-
d_ dt
(10)
(8)
(9) (11)
l^& quot- = (IW1 + m2 j '-i2& lt-i>-i +1 ЩЦг COS (ф2 — Фх) Ф2 i

. вф,
= | ^Щ+Щ 1^! +
+ mihh (cos (ф2 — ф,)ф2 — sin (ф2 — Ф,)ф2 + sin (ф2 -Ф,)Ф, Ф2) —
(12)
= ^ m2hh cos (ф2 — ф,)ф, + m2l?^2-
5Ф:
±(этЛ= f
, 2. 2ф2н
(13)
где ^?5Aj — сумма работ активных сил, действующих
на систему на ее возможном перемещении.
Учитывая, что на систему действует только момент активных сил М, получим
+mihh (eos (ф2 — ф!)ф, + sin (ф2 — ф!)ф, 2 — sin (ф2 — ф,)ф1ф2).
Правые части уравнений Лагранжа представляют собой обобщенные силы, определяемые выражением
Qi = M- Q2 = 0.
(14)
Подставляя выражения (10), (11), (12), (13) и (14) в уравнения Лагранжа (1), получим систему двух дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат ф1 и ф2
щ+тЛ А2Ф i + ^ Щкк cos (ф2 -ф,)ф2-
-| mihh sin (ф2 — Ф1)& lt-?>-2 + т2 llllsin (Ф2 — Ф1) Ф) Ф2 = М-
| m2l? ф2 +1 т2Ц2 cos (ф2 — ф! + +1 тгЦ2 sin (ф2 -ф^ф'-- т2Ц2 sin (ф2 -ф^ф^ =0.
(15)
(16)
Введем обозначения:

В = -т2Ц2.
Уравнения (15) и (16) принимают вид + В cos (ф2 — ф,)ф2 — В sin (ф2 — ф1) ф2 + 2 В sin (ф2 — ф1) ф1ф2 = М- 4гф2 + В cos (ф2 — ф,)ф, + В sin (ф2 -ф,)& lt-?>-f -2 В sin (ф2 — ф,)ф, ф2 = 0.
Введя обозначения
В В
а1=- соз (ф2-ф!) — аг=~гcos (Ф2_ Ф1)& gt-
А & quot-^2
м
A? получим
& lt-I>-1 + «12 — «1Ф2 + 2аА2 = т'-
6,=-зт (ф2-ф1) — ?2=у8т (ф2-ф1)
А
в
ф2 + а2ф, + а2ф (- 2а2ф1ф2 = 0.
(17)
(18)
(19)
(20)
А
Выразим вторые производные по времени ф[ и ф2
ф1 = т — Oj
та2+а2щ + a? a2& lt-i>-2 -2а2 (a? +

Ф:
(«i"2-!) та 2+а2ф]2 + а^Фг ~ 2а2 (oj + l)^. (о, а2−1)
Решение этой системы уравнений может быть осуществлено различными численными методами [1, 3].
Результаты исследований и их обсуждение
ф,| =0, ф2| =0,
Tlli=0 '- T2lr=0 '-
= 0
Ф1 =0, Ф2
1 t=о
t=о
Анализ результатов решения показыва-Рассмотрим результаты решения, полу- ет, что движение системы можно разделить ченные при реализации метода Рунге-Кутта на два этапа. Первый этап неустановивше-четвертого порядка. На рис. 2 представлены гося движения, когда стержни 1 и 2 вра-зависимости углов поворота стержней ф1 щаются в противоположных направлениях и ф2 от времени г, а на рис. 3 показаны за- (рис. 2а и За). Через небольшой промежу-висимости угловых скоростей С01 = ф1 и ток времени после начала движения начнем = Фг от времени. Представленные зави- нается второй этап, на котором стержни 1 симости получены при следующих исход- и 2 начинают вращаться в одном направ-ных данных и начальных условиях: лении (рис. Зб), причем стержень 2 как бы
_ _ догоняет стержень 1. Можно говорить о на-
т = т2 = 1 (кг), ?1 = ?2 = 1 (м), чале установившегося движения. Стержни
при этом располагаются практически в прям = 5 (Н-мХ г = ° мую линию.
и
3392
¦ TECHNICAL SCIENCES ¦
-& lt-и -Ф2
Время i, с
а
-Kl
-щ2
Время г. с б
Рис. 2. Зависимость углов поворота стержней от времени: а — зависимость углов поворота стержней от времени на этапе неустановившегося движения- б — зависимость углов поворота стержней от времени на этапе установившегося движения
Б
8. ю
I





/













__
rru

0 ф 2,



Врем* /, с
а
Время I, с
б
Рис. 3. Зависимость угловых скоростей от времени: а — зависимость угловых скоростей от времени на этапе неустановившегося движения- б — зависимость угловых скоростей от времени на этапе установившегося движения
Заключение дает признаками периодичности. Угловая
Анализ графиков угловых скоростей скорость стержня 2 периодически меняется показывает, что движение стержня 2 обла- относительно угловой скорости стержня 1
(рис. 3). Рассматривая движение стержня 2 как сложное, состоящее из переносного движения стержня 1 и относительного движения стержня 2 по отношению к вращающейся точке О сделаем вывод, что относительное движение стержня 2 можно рассматривать как затухающее колебание.
Результаты решения, полученные при других исходных данных и начальных условиях, позволяют сделать следующие выводы:
— длительность неустановившегося движения зависит от момента активных сил М, при увеличении момента активных сил время неустановившегося движения уменьшается-
— минимальное значение угла поворота второго стержня ф2 не зависит от величины момента активных сил, а зависит только от начальных условий.
Результаты работы могут быть использованы для разработки математических моделей динамики незамкнутых кинематических цепей.
Список литературы
1. Бахвалов С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. -636 с.
2. Лурье А. И. Аналитическая механика. — М.: ГИФМЛ, 1961. — 824 с.
3. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1989. — 608 с.
4. Панов Ю. Л., Панов А. Ю. Относительное движение в механике. Инженерные задачи. НГТУ им. Р. Е. Алексеева. — Нижний Новгород, 2008. — 144 с.
5. Попов Е. П., Верещагин А. Ф., Зенкевич С. Л. Мани-пуляционные роботы: Динамика и алгоритмы. — М.: Наука, 1978. — 400 с.
6. Яблонский А. А., Никифорова В. М. Курс теоретической механики. — М.: КноРус, 2011. — 608 с.
References
1. Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov GM. Numerical Methods. Moscow, BINOM. Laboratoriya Znaniy, 2006. 636 p.
2. Lure A.I. Analytical Mechanics. Moscow, GIFML, 1961. 824 p.
3. Marchuk G.I. Methods of Computing Mathematics. Moscow, Nauka, 1989. 608 p.
4. Panov Yu.L., Panov A. Yu. Relative Motion in Mechanics. Engineering Tasks. NGTU n. a. R.E. Alekseev, Nizhny Novgorod, 2008. 144 p.
5. Popov E.P., Vereschagin A.F., Zenkevich S.L. Manipulator Robots: Dynamics and Algorithms. Moscow, Nauka, 1978. 400 p.
6. Yablonskiy A.A., Nikiforova V.M. A Course in the Theory of Mechanics. Moscow, KnoRus, 2011. 608 p.
Рецензенты:
Панов А. Ю., д.т.н., заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика», ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет», г. Нижний Новгород-
Иванов А. А., д.т.н., профессор кафедры «Автоматизации машиностроения», ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет», г. Нижний Новгород.
Работа поступила в редакцию 05. 12. 2013.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой