Потенциальная эффективность обнаружения импульсных сигналов при неравномерной дискретизации во времени

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 519. 2
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОБНАРУЖЕНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ ПРИ НЕРАВНОМЕРНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ВО ВРЕМЕНИ
С. Н. Воробьев,
канд. техн. наук, доцент
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Рассматривается неравномерная дискретизация сигнала оптимальной формы смещением одного из отсчетов в окрестность точки, в которой минимальное собственное значение корреляционной матрицы шума равно нулю. Показано, что при проверке простых гипотез на выходе дискретного согласованного фильтра этим смещением достигается сколь угодно большое отношение сигнал/шум при конечных энергии сигнала и мощности шума. Обсуждаются некоторые аспекты плохой обусловленности задачи и априорной неопределенности.
Ключевые слова — обнаружение, собственное значение, отношение сигнал/шум.
Введение
Задача повышения эффективности обнаружения импульсных сигналов актуальна для множества приложений статистической радиотехники. Обнаружение детерминированного сигнала Я с известным временем прихода в аддитивном стационарном гауссовом шуме X с корреляционной матрицей В описывается уравнением дискретной согласованной фильтрации
ВС = Я.
Статистика ^ = X + АЯ — сигнал на входе при гипотезе Ы-у, А — амплитуда)
а = ътг
обеспечивает отношение сигнал/шум (ОСШ) на выходе дискретного согласованного фильтра [1]
?2 = СтВС = ЯтВ-18. (1)
Его зависимость от формы сигнала позволяет оптимизировать эффективность обнаружения назначением оптимального сигнала
Яор1 = АUmin,
где и^п — собственный вектор матрицы В, соответствующий минимальному собственному значению Хт^ & gt- 0. При этом достигается ОСШ (1)
а2 = А2итщВ-1ит1п =
= А2итщил-1игит1п = Е / X тп
(2)
где и, Л — матрицы собственных векторов и собственных значений- Е = А2 — энергия сигнала [1, 2].
Обратная пропорциональность ОСШ (2) минимальному собственному значению показывает, что при Хт^ ^ 0 эффективность обнаружения может быть сколь угодно велика. Формально это достигается уже в случае двух отсчетов сигнала, взятых с интервалом Д: собственные векторы и собственные значения корреляционной матри-
2 [1 Р
цы стационарного шума В = о равны
Р 1
и=
-1 1 2 о II & lt-! 1-р 0
1 1 0 1 + р
уменьшение Д ^ 0 влечет р ^ 1 и Хт^ ^ 0.
Необходимость расширения полосы частот Д^ ^ ж, следующая из Д ^ 0, делает этот пример малоинтересным. Иная ситуация складывается при большем числе отсчетов. Можно показать, что при сдвиге одного отсчета, реализующем неравномерную дискретизацию сигнала во времени, достижимо существенное уменьшение значения Хт^ по сравнению со случаем равномерной дискретизации в конечной полосе частот.
Простые гипотезы
Пусть вектор Xт = [х1, …, xn] - отсчеты стационарного гауссова процесса х^). Сингулярное разложение [3] корреляционной матрицы
BX = илит
геометрически задает собственными векторами и направления осей эллипсоида рассеивания, собственными значениями Л — длины его полуосей. Алгебраически собственные значения — корни Хк & gt- 0 характеристического уравнения
ае1-(Вх — Х1) = Хп — а1Хп-1 +
+ а^Х 2 -… + (-1) ап = 0,
в котором свободный член
П
ап = йе* В X = П Х.
?=1
Пусть существует некоторое преобразование вектора X, в результате которого одно из собственных значений Хк ^ 0. Тогда ап ^ 0, эллипсоид рассеивания вырождается за счет приближения одного из диаметров к нулю. В то же время формально условию Хк ^ 0 при задании сигнала Я0р^ = ий в соответствии с (2) равносильно ОСШ й2 = 1/Хк ^ ж.
Такое преобразование может реализоваться неравномерной дискретизацией во времени. Например, пусть взяты шесть отсчетов Xт = [х0, …, х5] процесса с функцией корреляции
'- а
R (t)= exp (-а|т|) cosвт + sinр|т|
а = -, В = п, 2
(3)
интервал дискретизации Д = 1, характеристическое уравнение
Xе -6X5 + 12,4266X4 — 11,6602X3 +
+ 5,3878X2 -1,1930X + 0,1009 = 0
имеет минимальный корень ^ = 0,2600, при соответствующем сигнале
Sept = Uf = [0,1747- 0,4120- 0,5475- 0,5475- 0,4120- 0,1747]
обеспечивающий ОСШ d2 = 3,85. Это значение определяет потенциальную эффективность обнаружения с равномерной дискретизацией. Если же время t3 = 3 отсчета х3 сместить в точку t3 = 3,745, характеристическое уравнение за счет уменьшения минимального собственного значе-
ния до X1 = 0,0013 запишется с меньшим значени-
ем aR:
X6 — 6X5 +12,5520X4 -11,0818X3 +
+ 3,8685X2 — 0,3407X + 4,3634×10−4 = 0-
2
ОСШ увеличивается до d = 777,4 для сигнала
Sfpt = [0,3132- 0,5646- 0,2884- -0,2884- - 0,5646- - 0,3132].
U =
(4)
Действительно, неравномерной дискретизации в узлах {г0, …, t5} = {0- 1- 2- 3,745- 5} соответствует матрица собственных векторов
0,3132 0,3670 -0,3969 -0,5617 0,4558 -0,2939
0,5646 0,0300 -0,5206 0,0980 -0,4775 0,4143
0,2884 -0,6036 -0,2672 0,4182 0,2534 -0,4919
-0,2884 -0,6036 -0,2672 -0,4182 0,2534 0,4919,
-0,5646 0,0300 -0,5206 -0,0980 -0,4775 -0,4143
-0,3132 0,3670 -0,3969 0,5617 0,4558 0,2939
так что для сигнала (4) ОСШ (1) равно й2.
К подобным результатам приводит смещение и других отсчетов. Ма^аЬ-моделированием была исследована зависимость минимального собственного значения Х1 от положения отдельных узлов дискретизации для некоторых типовых функций корреляции стационарного гауссова шума [4]. На рис. 1 показана зависимость Х1 = ф (^), полученная на интервале 0 & lt- t1 & lt- 2 для функции корреляции (3). Собственное значение в точке t0 меняет знак, следовательно, Х^ц) = 0, а функция й2 = 1/Х^) в точке t0 претерпевает разрыв второго рода.
Точность определения значения t0 зависит от интервала дискретизации: при Дt = 0,001 минимальное значение, соответствующее Х1 & gt- 0, равно t11 = 0,3640, при этом ОСШ й2 = 385,4. Если же задать tll = 0,3 631 155, то достигается й2 = 8,5×106. На рис. 1 показан интервал т1 неотрицательных значений Х1, а также узлы неравномерной диск-
Рис. 1. Минимальное собственное значение, узлы дискретизации
ретизации при сдвиге первого узла t1 в окрестность значения t0.
Отношение сигнал/шум й2 в окрестности точки t0 изменяется скачкообразно (рис. 2), значение функции й20) не определено. Резкое нарастание ОСШ при t0 ^ t1 определяет потенциальную эффективность обнаружения сигнала оптимальной формы при неравномерной дискретизации: она может быть сколь угодно высокой при единичных значениях энергии сигнала и дисперсии шума.
Потенциальное свойство й2 ^ ж при конечной энергии сигнала позволяет назвать метод неравномерной дискретизации «сверхобнаружением».
Большая крутизна функции й2(Ь) задает требование высокой точности назначения узла дискретизации t1 & lt- т1 & gt- t0, так как при t1 & lt- t0 «корреляционная матрица» отсчетов становится отрицательно определенной. Существование интервалов, запрещенных для размещения в них узлов дискретизации (например, t1 & lt- t0, см. рис. 1), приводит к невозможности генерирования соответствующих последовательностей. Так, методом преобразования векторов с корреляционной матрицей Вх линейной системой с оператором, А = В½ВХ½ [1] вследствие отрицательной определенности заданной матрицы В генерируются последовательности комплексных чисел. При генерировании «полубесконечной» последовательности с заданным корреляционным вектором И окрашиванием дискретного белого шума линейной системой с весовым вектором Н, являющимся дискретным аналогом решения интегрального уравнения [1, 5]
^ Н (#)Н (# + т^# = Я (т),
(5)
в случае отрицательной определенности функции корреляции формируется последовательность с другими корреляционными свойствами.
& amp-
400
300
200
100
0
-100
-200
-300
-400
600
400
200
0
-200
-400
-600
1 ,
Л
0 0'5 1 !'5 2 ^ ^ ^ О' О' О' О' О' Рис. 2. Отношение сигнал/шум
Рис. 3. Функции корреляции: а — отсчеты функции (3) — б — отсчеты сдвинутой функции (3)
На рис. 3, а показаны отсчеты 1 заданной положительно определенной функции (3) и ее воспроизведение 2 подстановкой приближенных значений й (#) в уравнение (5) при равномерной дискретизации с интервалом Д = 1. На рис. 3, б — отсчеты 1 функции (3) при сдвиге первого узла дискретизации в точку t1 = 0,3. Заданная функция становится отрицательно определенной, и генерируется последовательность 2 с корреляционными свойствами, резко отличающимися от заданных.
Разрыв функции й2^) означает плохую обусловленность метода неравномерной дискретизации. Например, сигналам
ЯТ = [0,3234- - 0,5596-
0,2867- 0,2867- -0,5596- 0,3234],
ЯТ = [0,3224- - 0,5600-
0,2873- 0,2873- - 0,5600- 0,3224]
соответствует ОСШ 6^ =-265,4 и = 265,4.
«Сверхобнаружение» может быть достигнуто в окрестностях точек t21, t22- t31, t32- ti1 при t2l ^ t2 или t2 ^ t22- tз1 ^ tз или tз ^ tз2 и т. д.
На рис. 4, а-в показаны минимальные собственные значения и примеры оптимальной неравномерной дискретизации для отсчетов, полученные с интервалом дискретизации Дt = 0,001. Узлы t2eT2, t3eT3, t46T4.
Подобное моделирование Д = 0,001, п = 6) проведено также для шума с функциями корреляции
Я (т)= ехр (-а т
СОВвт -^ВШР|т|
(6)
Я (т) = ехр (-а|т|)совРт, а = 0,5, р = п. (7)
Получены аналогичные результаты (таблица).
Рис. 4. Минимальное собственное значение, второй (а), третий (б) и четвертый (в) узел
№ функции ?11 ?21 ?22 ?31 ?32 ?41
(3) 0,364 1,681 2,360 2,452 3,748 3,049
(6) 0,272 1,574 2,269 2,356 3,635 3,011
(7) 0,316 1,629 2,313 2,403 3,695 3,020
Моделирование шума с функцией корреляции Я (т) = ехр (-а|т|), а = 0,5 (8)
приводит к иным результатам. Минимальное собственное значение изменяет знак только при сме-
Рис. 5. Минимальное собственное значение, узлы дискретизации при экспоненциальной функции корреляции
щении первого узла дискретизации в окрестности точки t11 = 0,5720 (рис. 5).
Смещение других узлов оставляет Х1 & gt- 0, при этом й2 & lt- 21. Увеличение коэффициента, а приближает значение t11 к нулю, а модель (8) — к модели белого шума с единичной дисперсией, в которой все собственные значения равны единице, собственные векторы — нули с единственным единичным значением, ОСШ й2 = 1.
Следует отметить, что метод неравномерной дискретизации требует расширенной, но конечной полосы частот обнаружителя. Так, в последнем примере t11 = 0,5720 (см. рис. 5), что возможно при увеличении полосы частот в 2 раза, в примере с узлом ti (см. рис. 4, в) требуется увеличение полосы более чем на порядок.
Сложные гипотезы
Практическая реализация «сверхобнаружения» требует специальной проработки, связанной с плохой обусловленностью задачи. В радиотехнике, как правило, шум стационарен на ограниченных интервалах времени, поэтому применяются адаптивные системы с каналом измерения характеристик шума. Погрешности измерения функции корреляции или корреляционной матрицы приведут к погрешностям задания формы сигнала (собственного вектора корреляционной матрицы). Необходимо исследовать эффективность обнаружения сигнала с искажениями формы в целях определения требований к измерительному каналу. Известные результаты статистического анализа собственных векторов и собственных значений связаны с методом главных компонент [6], в котором выделяются максимальные значения. Статистические исследования минимального собственного значения и соответствующего собственного вектора в задаче об-
наружения представляют самостоятельный интерес. Следующий пример отчасти характеризует круг вопросов, которые при подобных исследованиях следует разрешить.
Пусть функция корреляции имеет вид (3), оценки коэффициентов
а е N (0,5- 0,01), р е N (п- 0,06)
(9)
время прихода сигнала и положение узлов дискретизации известны. Пусть интервал дискретизации Д = 1, второй отсчет смещается в окрестность точки t21 (см. рис. 4, а) и назначается равным t2 = 1,71. Если бы коэффициенты были известны, было бы получено ОСШ й2 = 22,3. Результаты моделирования сигналов Я и значения Х1 при случайных параметрах (9) показаны на рис. 6. Сигналы мало различаются по форме, часть из них соответствует значениям Х1 & lt- 0. Полярность сигналов не имеет значения, например, сигнал Ят = [-0,2412- -0,4316- -0,5056- -0,5056- -0,4316- -0,2412] обеспечивает ОСШ й2 = 19,5, сигналу Ят = [0,2482- 0,4301- 0,5034- 0,5034- 0,5034- 0,4301- -0,2482] соответствует значение й2 = -366,1. Гистограмма минимальных собственных значений показывает, что при параметрах (9) невозможно обнаружить «14% сигналов (с Х1 & lt- 0). Среднее значение положительных значений ОСШ, равное й2 «50, здесь не является признаком повышения эффективности обнаружения, так как среди полученных 860 значений й2 & gt- 4,5 встречаются отдельные, доходящие до й2 & gt- 5000.
Таким образом, этот упрощенный пример показывает, что попытка приблизиться к «сверхобнаружению», например в синхронной системе связи, может сопровождаться комплексом теоретических и инженерных задач от оценивания корреляционных свойств шума до организации системы.
В асинхронных системах может существовать другое ограничение, накладываемое разрывом функции й2 = 1/Х^), — необходимость синхрони-
0,05 О 0,05 0,10,15 0,2
Рис. 6. Сигналы, гистограмма минимального собственного значения
зации обнаружителя для максимизации ОСШ приближением узла дискретизации к точке разрыва. Погрешности синхрогенераторов приводят к необходимости некоторого сдвига узла. За счет большой крутизны й2 в окрестности t0 реальное ОСШ окажется значительно меньше потенциального.
Например, пусть оптимизируется третий узел дискретизации функции корреляции (3) смещением в окрестность точки t0 «^2 = 3,748 (см. рис. 4, б). Пусть назначается t3 = 3,7 (рис. 7, 1 — функция й2). Сигнал
ЯТр* = А[0,3137- 0,5645- 0,2880-
-0,2880--0,5645- - 0,3137],
соответствующий заданному значению t3, обеспечивает ОСШ й2 = 54,04. Если синхронизатор имеет погрешность 5е^(0, ст), ст = 0,012 (нормальная плотность 2 на рис. 7 увеличена в 50 раз), будет достигнуто среднее значение ОСШ й 2 = 58,8. При равномерной дискретизации = 3,85, так
что в этом случае неравномерная дискретизация оказывается на 11,8 дБ эффективнее. Моделирование обнаружителя в этом примере проведено для N = 3000 случайных значений t3: вычислялись значения статистики при гипотезах Н0 и Н1- ОСШ и рабочие характеристики Б = ф (Р) усреднены (рис. 8, 1). Значение й2 = 6 соответствует ам-
В • 102,/
3,66 3,67 3,68 3,69 3,7 3,71 3,72 3,73 3,74 * Рис. 7. Усреднение ОСШ
0,90
0,81
0 0,01 0,1 Рис. 8. Рабочие характеристики
плитуде сигнала, А = 1/3 (ОСШ на входе й = 1/3) и близко к расчетным значениям. Рабочие характеристики построены в нелинейном масштабе:
= 2^, Ю1 = 2−1о8°, 9 В. На рис. 8 линия 2 — рабочая характеристика, полученная для сигнала с ?3 = 3,7: приемлемая нестабильность синхрогенератора не оказывает существенного влияния на эффективность обнаружения.
Таким образом, при априорной неопределенности эффективность метода неравномерной дискретизации может значительно уменьшиться по сравнению с потенциально достижимой, тем не менее, следует ожидать ее превосходства по сравнению с эффективностью метода равномерной дискретизации.
Заключение
В условиях аддитивного стационарного гауссова шума оптимальный сигнал имеет форму соб-
1. Воробьев С. Н. Эффективное обнаружение детерминированных сигналов / ГУАП. — СПб., 2002. — 139 с.
2. Нестерук В. Ф. О влиянии формы сигнала на его обнаружение при нормальных коррелированных помехах // Радиотехника и электроника. 1963. № 8. С. 1319 — 1325.
3. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М. :
Мир, 1989. — 656 с.
ственного вектора, соответствующего минимальному собственному значению. При проверке простых гипотез и исходной равномерной дискретизации сигнала один из отсчетов может быть смещен к точке t0, в которой минимальное собственное значение корреляционной матрицы шума равно нулю. При этом достигается потенциальная эффективность обнаружения — на выходе дискретного согласованного фильтра может быть получено сколь угодно высокое ОСШ для сигнала с единичной энергией и шума с единичной дисперсией.
В точке t0 ОСШ претерпевает разрыв второго рода, что определяет плохую обусловленность задачи обнаружения с неравномерной дискретизацией. Плохая обусловленность усложняет проверку сложных гипотез.
Автор выражает глубокую признательность профессору Г. И. Худякову за конструктивное обсуждение работы.
4. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. — М.: Сов. радио, 1966. — 678 с.
5. Воробьев С. Н. Интегральное уравнение генератора стационарного нормального процесса с заданной функцией корреляции EQGEN. — М.: ФАП ВШ. Рег. № 50 200 000 065, 2000.
6. Кендалл М., Стюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. — М.: Наука, 1976. — 736 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой