Исследование матричных алгебраических уравнений, определяющих тензор инерции через осевые моменты инерции

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТРИЧНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ЧЕРЕЗ ОСЕВЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ С.Н. Шаховал
Научный руководитель — д.ф. -м.н., профессор Г. И. Мельников
Рассматриваются вопросы экспериментального определения тензора инерции тела произвольной формы через систему шести осевых моментов инерции на исполнительных управляемых устройствах. Исследуется проблема влияния расположения пучка осей на точность определения тензора инерции. Определяются оптимальные направления осей с позиции хорошей обусловленности системы линейных алгебраических уравнений и простоты конструкции исполнительного устройства.
Введение
Проблема определения тензора инерции твердого тела в его точке была изучена в работе [1] и в настоящее время развивается в направлении оптимального выбора осей, удовлетворяющих условию хорошей обусловленности системы получаемых алгебраических уравнений и дающих возможность упрощения конструкции исполнительного устройства. Плохая обусловленность определяющих уравнений приводит к большим погрешностям при расчете элементов матрицы инерции — осевых и центробежных моментов инерции. Разрабатываются устройства, удовлетворяющие этим требованиям [2, 3]. В работе рассматриваются способы расположения осей с точки зрения упрощения перевода вращения тела от одной оси к другой, представлены варианты, которые целесообразно применить при проектировании исполнительных робототехнических устройств. Исследована зависимость величины определителя матрицы линейной алгебраической системы от двух либо одного углового параметра, определено оптимальное расположение осей посредством нахождения максимального значения определителя системы уравнений. Исследованы варианты расположения пяти осей на одном конусе с шестой осью, либо направленной вдоль его оси симметрии, либо перпендикулярной к ней. Кроме того, исследован случай, когда оси равномерно распределены по поверхностям двух несовпадающих конусов. Как частный случай (при совпадении конусов) показана плохая обусловленность системы. В результате в каждом из случаев найдено оптимальное расположение пучка осей.
Постановка задачи
Рассматриваются вопросы обусловленности расчетной линейной алгебраической системы уравнений, возникающие в проблеме параметрической идентификации тензора инерции на робототехнических устройствах. Требуется найти оптимальное расположение шести осей, проходящих через заданный центр тестируемого тела, при котором система алгебраических уравнений, связывающих между собой осевые и центробежные моменты инерции относительно декартовых осей с моментами инерции относительно выбранных шести осей, хорошо обусловлена. Для этого определитель матрицы этой системы как функция одного или двух угловых параметров должен быть исследован на экстремум.
Общие формулы, необходимые для решения поставленной задачи
Введем декартову систему координат Оху с началом О в точке твердого тела. Пусть шесть осей, относительно которых экспериментально определяются моменты инерции, заданы ортами: вц,…, ё6, е = (е?х, е^у, е) (/ = 1,…, 6). Выразим моменты
инерции 3е ,…, 3еб относительно этих осей через осевые 3ХХ, 3уу, 322 и центробежные 3Ху, 3у2, 3Х2 по формуле [4]:
3 = 3 е2 + 3 е2 + 3 е2 + 23 + 23 е е- + 23 е е- (1)
° ХХ^ 1Х ^ ° уу^ 1у ^ ° 22^ 12 ^ ху^ 1у ^ у!^гу^ 12 ^ 12 ¦ V1/
В (1) центробежные моменты инерции 3Ху, 3^, 3Х2 введены по следующим формулам:
3Ху = -^рХуёУ, 3у2 = -^ру2ёУ, 3Х2 = -^рХ2ёУ, где р = р (Х, у, 2) — плотность тела в
V V V
точке с координатами (Х, у, 2).
Перепишем (1) в матричном виде:
I=А3, (2)
где 1 = ((1, …, 36), 3 г = 3е^ (г = 1, 2, …, 6), 3 = (3ХХ, 3уу, 322, 3Ху, 3у2, 3Х2.
Для дальнейших исследований нам требуется знать определитель матрицы, А системы (2) как функцию одной или нескольких переменных. Обозначим:
П (-) = ёе1(А). (3)
Для функции (3) выпишем необходимые и достаточные условия экстремума в случаях одной и двух переменных, предполагая ее дифференцируемой достаточное число раз. Пусть П = П (а) является функцией одной переменной. Тогда, если ао — точка экстремума, то
П'-(а о) = 0. (4)
Если выполнено условие
П'-'-(ао) & lt- 0, (5)
то эта точка является точкой максимума функции. Если же выполнено условие П& quot-(а о) & gt- 0, (6)
тогда, а о является точкой минимума функции. Пусть П = П (а, в) — функция двух переменных. Тогда, если (ао, во) — точка локального экстремума функции П, то
да (а о, во) = о, дв (а о, во) = о. (7)
Прежде чем выписать достаточные условия локального экстремума функции двух переменных, введем обозначения:
Е=0(^воК Р=1^воХ ^=|§(^во^ Н = ЕР-а2.
Если Н & gt- о, Е & gt- о, то (ао, во) — точка минимума. (8)
Если Н & gt- о, Е & lt- о, то (ао, во) — точка максимума. (9)
Если Н & lt- о, то экстремума в этой точке нет. Если Н = о, необходимы дополнительные исследования.
Исследование частных случаев расположения осей
Изучим теперь четыре случая расположения пучка шести осей, используя формулы (3)-(9). Будем рассматривать только значения углов между образующими конусов и
плоскостью Оху, а и в из интервала: а, в е (о- -2).
Случай 1. Одна ось направлена вдоль Ох, а пять осей лежат на круговом конусе. Матрица, А системы (2) в этом случае имеет вид
A =
f 2 cos a
cos2 acos2
2 2 n cos acos 5
2 2 n cos acos 5
0 0

, 2 2л cos IX sin -52 -2 n cos asin -5
2 -2 n cos asin -5
2
2n

, 2 2n
sin2 a 0 0 sin2a
0 0 0 0
sin2 a 2 • п cos asin- sm2asiny sin2acosy
sin2 a 2 • 2П — cos asiny sin2asin — sin2acos-y
sin2 a 2 • 2П cos asiny — sin2asin & quot-1 — sin2acos-|
sin2 a — cos2 asin2 n — sin2asin5_ sm2acos^ 5 У
Здесь a — угол между образующими конуса и плоскостью Oxy, подлежащий определению. С учетом обозначения (3) выпишем определитель этой матрицы: 25
D (a) =yV5cos6 asin4a.
Необходимое условие экстремума (4) в данном случае выражается уравнением 25
D'-(a) =-V5cos asin a (5cos2a-1) = 0,
откуда находим подозрительную на экстремум точку a 0 = -^arccosi. Это значение является точкой максимума функции D (a), так как удовлетворяет условию (5). Таким образом, максимальное значение определителя матрицы, А достигается при a0 = -^arccos-i: Dmax = D (a0) = D^arccosi) «0, 965 981. Численное значение матрицы
A при данном значении параметра
С 0,6 0 0,4
A (ao) =
0 0
0 0
0, 931 841 0,57 591 — 0,57 591
0, 979 796 ^ 0
0, 302 774
— 0, 792 672
— 0, 792 672 0, 302 774
1 0 0
0,572 949 0,542 705 0,4 0,352 671
0,392 705 0,207 295 0,4 -0,570 634
0, 392 705 0, 207 295 0, 4 0, 570 634
ч0,572 949 0,542 705 0,4 -0,352 671 -0,931 841
Достаточно хорошо обусловленной системой будем считать ту, для которой выполнено условие:
|det (A) & gt- 0,5. (10) D (a)
0, 8
0, 6
0, 4 0, 2
O
0, 25 0, 5 0, 75 1
1, 25
a
Рис. 1. Зависимость определителя от угла наклона осей
1
5
5
По этому условию определим интервал приемлемых значений угла а. На графике (рис. 1) видно, что допустимы значения, а е (0, 44- 0, 94). В этом случае систему можно считать хорошо обусловленной.
Случай 2. Одна ось направлена вдоль оси симметрии кругового конуса, совпадающей с Ог, а пять осей лежат на нем. В этом случае, очевидно, определитель не равен нулю. Выпишем матрицу, А системы уравнений (2) для данного случая и вычислим определитель, а также, учтя (4) и (5), найдем значение угла, а между осями и плоскостью Оху, при котором величина определителя будет максимальной:
(0 cosaco-
A =
0
S 5
й2
cos asin
2 2n
cos2 cos2
cos2 aco cos2 a
acos2& quot-! acos2& quot-!
& gt-s?
2 ¦
cos asin
& gt-s?
2 ¦
cos asin
2 2n s 5
s2
cos asin
0
2 2n
1 0
sln2 a cos2 asln^
sln2 a — cos^sm-y
sln2 a cos2asln-2n
sln2 a — cos2 a slnn
sln2 a 0
0
0
Л
sln2asin-2n sin2acos2n
sln2asln-| - sln2acosn
— sln2asln^ - sln2acosn
— sln2asln-y sln2acos2n
0
sln2a
n, ч, ,. 25л/5 8 • 2 D (a) = det (A) = -- cos a sln a,
25& quot-f5
D'-(a) = -4-cos a (5sln3a- 11slna) = 0,
a 0 = arctg -2,
128
Dmax = D (a 0) = D (arctg ^ =
¦2, 2897.
Принимая во внимание (10), найдем допустимый интервал значений параметра a. На графике функции D (a) = ^5^5cos8 a sln2 a, приведенном на рис. 2, видно, что a е (0,14- 0, 87). При таких значениях угла система является хорошо обусловленной.
5
Рис. 2. Зависимость величины определителя от углового параметра
Таким образом, имеем достаточно большой диапазон допустимых значений параметра а, что позволяет выбрать нужное значение с точки зрения простоты конструкции.
Случай 3. Все оси распределены равномерно по поверхностям двух конусов.
Пусть оси, лежащие на первом конусе, образуют с плоскостью Оху угол а, а на втором — угол в. Будем предполагать, что, а ^ в. Уравнения по-прежнему выражаются в общем виде формулой (2). Матрица, А в этом случае выписана ниже:
(2 cos а
cos2 в
A =
cos2 а
cos2 в
cos2 а
cos2 в 4
0
3cos2 в
3cos2 а 4 0
2
3cos а
3cos2 в 4
sin2 а sin2 в
sin2 а
sin2 в
sin2 а
sin2 в
0
V3cos2 в
V3
2
0
Уэ^в 2
sin2а sin2p 2
2
cos а


V3
cos2 а
2
Vscos2 в

2
л/3^т2а sin2а 2 0
л/3^т2а 2
V3sin2p
2
2
sin2 В sin2а




2
sin2p ~2 ,
Определитель данной матрицы является функцией двух переменных:
27 оо Да, в) = det (A) = -cos2 а cos2 в sin (а-в)sin3(а + в).
Находим оптимальные значения углов и определителя (как функции двух переменных, а и в), используя (7) и (9) и учтя, что конусы не совпадают (а ^ в):
а о = arccos
15(5-V5)
во = arccos J-(5 + л/5)
15
Dm
= D^ о, во) =
128 25& gt-/5
^ 2, 2897.
На рис. 3 показан трехмерный график функции двух переменных П (а, в):
Рис. 3. Определитель в случае двух угловых параметров
Зафиксируем один из углов в оптимальном значении и рассмотрим определитель как функцию одной переменной. Пусть первый параметр:
4
4
2
0
4
4
f
a = a о = arccos
15(5 -V5)
Тогда
получим
функцию
угла
?:
~ 27 оо '-х
D (?) = D (aо, ?) = det (^) = -cos aо cos? sin (aо -?)sin (aо +?). Ниже представлен
ее график (рис. 4), по которому виден интервал допустимых значений параметра? при фиксированном a = a о:? е (о- о, 73).
2
1, 5
о, 5
O
0, 25 0, 5 0, 75 1 1, 25 р Рис. 4. Определитель в случае, когда один угол фиксирован в точке экстремума
1
Случай 4. Все оси лежат на поверхности кругового конуса. Теперь рассмотрим случай, когда оси лежат на поверхности конуса, имеющего вершину в начале координат и ось симметрии, совпадающую с осью 02. Его можно считать частным случаем предыдущего, когда, а = в. Система уравнений имеет общий вид (2). После несложных вычислений получим значение определителя, равное нулю, а значит, случай расположения всех шести осей на одном конусе недопустим.
Заключение
В работе рассмотрены четыре варианта расположения пучков осей, определяемых несколькими варьируемыми в определенных интервалах угловыми параметрами. Изучены вопросы достаточно хорошей определенности расчетных формул для конструкций, рекомендованных к применению. Показано, что случай пучка шести осей, расположенных на одном конусе, не приемлем для применения, поскольку алгебраическая система имеет равный нулю определитель (система плохо обусловлена). В связи с этим и рассматривается расположение осей на двух конусах с различными углами раствора и другие случаи, удобные для технической реализации.
Литература
1. Гернет М. М., Ратобыльский В. Ф. Определение моментов инерции. — М.: Машиностроение, 1969.
2. Пат. 2 115 904 РФ. Способ определения осевого момента инерции тела и устройство для его осуществления / В. Г. Мельников, Г. И. Мельников // Б. И. 1998. № 20.
3. Пат. 2 200 940 РФ. Способ определения тензора инерции тела и устройство для его осуществления / В. Г. Мельников // Б. И. 2003. № 8.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой