Исследование напряженно-деформированного прямоугольного кессона переменной толщины при сосредоточенных нагрузках и нагреве

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

і- У Ч Е Н Ы Е З, А П И С К И Ц, А Г И
.п.,…-…і -і, …і. ¦ д …і і -і= ¦¦ і ¦ … … и …
Т о м XII 19 8 1
№ I
УДК 624. 074. 4−415. 014. 043
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО КЕССОНА ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ НАГРУЗКАХ И НАГРЕВЕ
С. Н. Булатов, П. И. Курочка
На основе принципа виртуальных перемещений Лагранжа получена система разрешающих дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Из решения указанной системы определяются перемещения произвольного контура поперечного сечения кессона, находящегося под действием сосредоточенных обобщенных сил и неоднородного температурного поля. Смещения точек контура, обусловленные депланациями, определяются из неоднородных уравнений Бесселя. Приводятся результаты расчетов, выполненных на ЭВМ.
Ранние работы по теории расчета крыла базируются в основном на классических концепциях балки и конструктивно орто-тропной пластины. Однако такая схематизация пространственной конструкции является весьма приближенной и не всегда отражает действительный характер ее работы. Достаточно сказать, что, например, восприятие внешней нагрузки пластиной и крылом принципиально различно.. -д.
Учитывая то обстоятельство, что по весовым и аэродинамическим соображениям толщина работающей обшивки сильно из* меняется по размаху, а иногда и по хорде, можно в качестве расчетной схемы крыла принять ортотропную оболочку переменной толщины. Однако задачу расчета таких оболочек нельзя считать решенной.
Цель данной работы — дать замкнутое аналитическое решение для прямого кессона переменной толщины, как наиболее часто встречающегося силового элемента крыла. В рамках теории |1] исследуется напряженное и деформированное состояние (НДС) кессона, находящегося под действием сосредоточенных обобщенных сил (}у, Мх, Мг и неоднородного температурного поля. Толщина стенки по размаху изменяется по степенному закону (рис. 1)
Н = /г (г) =: (<-7- Щк, ¦ (1)
где д = угй^, г = {угГх — ку?^1.
12 Г
В общем случае НДС конструкции описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
6+л
2 ац К + (а'-ц + Ьа — ьа) К + (Ь'-п — сп) и, — - Я,
1=1
и естественными граничными условиями
(Р, — Pj) bUj = 0, j — 1, 2,.. ., 6 + n,
где.
(f (?-* V/, + V]x 9u) ds, § Vjxo'-izds,
(2)
(3)
2(1 +v)
w-. --- перемещения произвольного контура как твердого тела (f = l, 2,.. , 6) и перемещения (t'- = 7, 8,.. , 6-{-и), связанные с депла-нацией и искажением контура 2 = const- штрих означает производную по г- & lt-?и, «уг, & lt-рА, ч& gt-1г, -л'-. х, & lt-р'-г, & lt-р'-1г — координатные функции
и их производные по S1, принятые по [1]- 5 — контурная координа-
1 '-*3
, -у*
— - Г4
Ь 1
NL *г 1 Рис. 1

та- Е, V — коэффициенты упругости и Пуассона соответственно- = ^ - ~ члены. характеризующие влияние температурного
поля- $)& lt-&-, = ~-ф?-г^(2, 5)^, «-ко-
эффициент линейного расширения материала- Ь = / (2, $) — температура нагрева кессона- п — число функций, аппроксимирующих перемещения, при которых имеют место депланация и искажение контура.
Система (2) допускает упрощение путем однократного интегрирования первых шести уравнений
6+л
2 (а и и, + Ьп и,) = Р'-ц + Р-, у=1, 2, …, 6 + п-
i=1
6+Л
2 к
«-и
а и, + (a, i + Ьп — 6|-) т + (Ьц — с») и,] - - Rjh j — 7, 8,.. ., 6 + п,
(4)
где Р1==я8 = 0, Р2=^С}у, Р4 = Мх + 0У (г ~1), Р5 = О, Рб = Л1г.
Перемещения «), отсутствуют, если температура изменяется лишь вдоль образующей по линейному закону
где С — длина контура поперечного сечения.
Для дальнейшего решения необходимо найти коэффициенты разрешающих уравнений (4) — принимая, что контур в своей плоскости недеформируем, депланацию сечений аппроксимируем двумя функциями:
где первая соответствует депланации кручения, вторая — изгибу- х~х (з), у = у (в) — уравнения контура поперечного сечения- К- коэффициент ортогональности:
Для прямоугольного сечения отличными от нуля будут коэффициенты
Здесь сомножители с чертой независимы от г.
С учетом (1), (5), (6) и равенства а22 = Ь24, Ь^ = с8А система (4) принимает вид
і = М1 — рг).
где р = (1 — **/*»)//. Поэтому
Рц — Р% І = Рі і = Ръ І = Рб І = #7 (= /?8 і - О,
& lt-р, г — X (в) у (5), у, г = X2 (5) у (5) + АГу («),
/С —
?
. Ї2 у2
(r)221 а33& gt- Я44& gt- °66і °77і й83& gt- ^28) ^67і ^24& gt- ^77& gt- С88& gt- ^84' (^)
Представим коэффициенты (5) в виде
а ц = кап, Ьл = & lt-?у, = Нсп.
(6)
Ла25 «2 + Л624 «4 = Су — М28 и8, Ла38 иг — ------------------------------
Наи щ = Ліх + & lt-Зу (г — І), //а66 «6 = - кЬ61 и7,
(0 аЕ (1 — рг) ЛС
1 — V
(7)
Интегрируя первые четыре уравнения системы (7), получим
(1%2 ьУ Н • … *л. «У ¦¦
Мх + Оу (г-1)
а-ц Л
йг -Ь С3 с?2
^28
в-)--
«о
'- аЕС
-1 и8 4* Си
(0 аЕрс
г —
«зз (1 — & quot-О 2д33 (1 — V-)
Г Мх + 0 (г-I)
«4 = ----
г2 4& quot- С2,
а44 Л
йг + Сз.
мв — I с1г----------------------Ь1- и7 иг + СА.
¦ йбв* /7~
*2!_
^66
Последние два уравнения подстановкой с — /гг — г, где т -цг, приводятся к неоднородным уравнениям Бесселя.. л..
* ^ «- + 4"-+Ъ «у=Н1 — /=7−8- у до
-. -3 (9)
где
*67
Ят — - 42-, Я8 =
Я*
^28
Я 22 ^88
ду& amp-24 /'-^22 & amp-88
с83
Д38.
Понятно, что решение уравнений (9) будет зависеть от знака Если Я,-& gt-0, то
с^а + с-?а + уау.
¦Л
V Я, (Л. Кд — 4 Г») *а+* / = 7, 8,
(10)
Ка-Уа Кв)^+*
где Л =. /а (КЯ/?), Ка = Уа (]//?,-) — цилиндрические функции
первого и второго рода, а = (1- & amp-)/2.
Используя выражение для детерминанта Вронского, получим
У, а — Ja? а=2': гУй}. -
. -. «¦ ат • … … С ¦ '- ¦ г % •:
Такая 'замена существенно упрощает вычисление интегралов, входящих в решение (10). В случае, когда Я- & lt- 0, решения уравнений выражаются через модифицированные функции Бесселя первого и второго Ка = Ка (У Я-?) рода. Под корне
следует брать Яу по абсолютному значению-- & quot- и--& quot-
м
Г Г н& gt-1аа%
и, = с, 1а + с- ка+ ка ---^ч-
7 [ '- У 1& lt-1 {1а К'-а --1а кс.
:)^+а
_/ Г Н}Кд& amp-
а) УЩ (1ак'-а-гй. к11)? + а
7 = 7, 8.
(П)
Как и в предыдущем случае, с помощью детерминанта Вронского
1аКа-1аКа=- iVRjI можно существенно упростить интегралы, входящие в (11). Тогда
М] - (С- 4 + С* Ка — Н} Ка | сЧа я + Н, 1а [ Р Кат / = 7,8. (12)
Постоянные интегрирования в (9), (10), (12) определяются из граничных условий (3)
5иу |г=о = 0, (Ру-Ру) |», = 0.
Для жестко закрепленной консольной оболочки при г = 0 ^'перемещения контура отсутствуют, что выражается равенствами
I г-о ~ м3 I г-0 ~ I г-о ~ I г=0 = 1,2=0 = I 2=0 ==®'-
где
6+И
р. = 0, Р, — X (ал и + ьп щ).
Тогда
X Ь» «(-)1г=г = 0.
•. Л≅а~.
С учетом (5) граничные условия принимают вид
аП И7 | г=г =='-®'- '-?В"в^|*в-, = 0-'- «7 |г = г = 0, к'- I г=г = 0.
Для определения восьми постоянных интегрирования имеем восемь граничных условий
и2 I г=& gt-.о =7/гЗ I о — к4 | г=0 -& quot-. %'-|12.= 0 «I г=-[) — Ць I г = 0
и*1 _п = 0,
и7 I г = 1 Н8 г=1
(13)
Если к равно целому че'-тному числу, то индекс цилиндрических функций равняется целому числу плюс одна вторая, а как известно, такие функции допускают точное выражение через элементарные. Давая к различные значения и вычисляя, интегралы, входящие в (9), будем получать решения для различных законов изменения толщины- смещения, обусловленные депланациями, находятся из выражений (10) или (12) в зависимости от знака /?у-.
Рассмотрим практически важный случай, когда толщина стенки изменяется по линейному закону. Тогда, положив & amp-=1, из (9) получим
и = м* ^ ^-!1 (т — х) [ 1 — 1п (т — г)}---1п (т — г) +
гаи гак
+ - Ь- Ги%йг — С3г + С»
2га^ а& lt-2ч Л
«' = -^Л'--^) + с& quot- !& lt-н,
мх + & lt-?у (т — I).,, & lt-?у. г ¦
м4 =-------------------- 1п (та — г) — --Г Ь3,
гаи ган
Чс =-----1п (те — г)------С «7 4- С4.
ат ^
Смещения иу, обусловленные депланациями, определяются из (10) при /?- & gt- 0:
«У = Су У0 4- с- Уо — Н, Л | Ко й + Н} У0 $ У0 Я, (у = 7, 8) (15)
и из (12), когда /?у& lt- 0:
му = Су /0 4- С* К0 — Я-. Л'-о | /0 & lt-? 4- «у 4 | К0 Л. (16)
Удовлетворяя граничным условиям (13), найдем постоянные интегрирования
С1 = - -_у---/га (1п/м- 1) 4- -Ы-1 иаёг 0,
ган а™
С, = 0, С, =-----------=-------1п т,
гаи
С4 = 4^- 1п т 4- -Iе- ] м7 & lt-^21 0,
& gt-•"66 «ев ^
где
. ^4--^ (я-лЬи С7 — ХХ0У0
Л& gt- л -/о /
-с.т + -г (г-х^)'-
X ^______» А0=-^ Л 4-У,(0-?)-К1 В,
2(К] У0- ^оЛ) Уо
) — =-----------, Х0 = 1®А Л + 7, (Л — ?) — Г, 5,
2(Г,^0-КоЛ) Л
Л = Я7 р0Л|,=0, Я~Я7р0& lt-«1,=1. Я-Я7|коС?51г=0,
о = я, |к0ся|г=г,
Л = //8|у0Л|,=0, 1,=1. «= к0(й|в=0,
5 = я,^к0Л|жв/& gt- 70 = Л (1/Ж^ А = Л^ЛО/Ж^),
л = ло/Жо, у0=у0(УШ^), 7 г = улУЪ),
Го=Гс (]/^), к, = кх (]/?* *)¦
Здесь и ниже цилиндрические функции с нулевым индексом берутся при 2=0, с индексом 1-при г=/, например, (]/& quot-/?, та),
?! = У] ((Лр, (та -/)) и т. д. Постоянные интегрирования С7, С*, С8, Се получены при /?у& gt-0. Если же то
с7=^-(с- + А) + А, с*=& gt-мх2/-,
и
С8 = (с- + Л) + ?» с8*=х, х2 4
где
г 1
10к1 + /1 Л& quot-о /о
у, Х2 = -4^Л + /1(?1-Д)-^51,
/о Л1 4- /1 Ло *о
гЫ,1 = Я7/^о^|г=0,
= Нч § К, Л| г=/ & gt-
л = я8|/0^|/=0, г1 = //в//0(й|, в1& gt- д = я8/^^|г=о.
А — Я81 /С0 & lt-^512=г,
/- = /о (1/^). Л = Л (1/Ж*). /о = 4(1/& quot-^). Л = /. (/^5), й=/с0о/Ж*), к. -^о/Ж^), к0 = к0(УЖ^ к, = КА]/'-Жг).
Для оболочки постоянной толщины в двух последних уравнениях (7) и в решениях (8) следует положить г = 0. Определив щ (г=1, 2,.. , 8) по формулам
8 8)
«ТГ7,2 К ъ» х» = 2 (4 ** +и* ъ*& gt-*
8 8
Иг & quot-?гг>- Т*г ~ (^/ 9/дг «Г ?[г)& gt-
г=1 --1
(17)
находим значения напряжений и деформаций в произвольной точке кессона.
На рис. 2 в безразмерных параметрах представлены графики изменений нормальных напряжений аг = а2га66а77//Иг& amp-67 по длине кессона при кручении сосредоточенным моментом М2. Геометрический параметры конструкции приведены ниже.
~ Кривая Параметры 1 2 3 4 5
(1 —1 ^2 0,2 0,25 0,2 0,25 0,25
д = с/., I 0,4 0,4 0,5 0,5 0,5
V, А /г, Л-, 5 5 ¦¦ 5 5 2
Максимальные зг возникают в заделке, их увеличение на интервале г — 0,4 -4- 0,85 связано с более интенсивным уменьшением площади нормального сечения в сравнении с депланационными
усилиями при большом коэффициенте • изменяемости толщины (А = 5). Действительно, при 1 г = 2 всплеск напряжений отсутствует (кривая 5), а при к = 1 получим график |1] для оболочки постоянной толщины. С целью выявления депланаций на величину нормальных напряжений при изгибе силой (Зу проведены расчеты кессона при данных, приведенных выше.
Результаты вычислений представлены на рис. 3. Пунктирные кривые соответствуют решениям с учетом депланаций, сплошные — без учета. Как видим, стесненный изгиб оказывает определенное влияние на величину аг по размаху, максимальная разница в заделкё'- порядка 7%. Очевидно, в проектных расчетах этой величиной можно пренебречь. Уравнения (8) решались также численно путем двукратного интегрирования задачи Коши. Для скошенного конического кессона решения представляются в гипергео-метрических рядах. :
ЛИТЕРАТУРА
1. Образцов И. Ф., Онанов Г. Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. М.,. Машиностроение"-, 1973.
2. О б р, а з ц о в И. Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных конструкций. М.,. Машиностроение», 1966.
Рукопись поступила 22/V 1979 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой