Об алгебрах Ли аффинных векторных полей вещественных реализаций голоморфных линейных связностей

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Известия вузов. Математика 2008, 4 (551), с. 59−65
http: //www. ksu. ru/journals/izv_vuz/ етаіі: izvuz. matem@ksu. ru
М. В. Моргун, А.Я. Султанов
ОБ АЛГЕБРАХ ЛИ АФФИННЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ ВЕЩЕСТВЕННЫХ РЕАЛИЗАЦИЙ ГОЛОМОРФНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СВЯЗНОСТЕЙ
Аннотация. В работе исследуются свойства вещественных реализаций голоморфных линейных связностей над ассоциативными коммутативными алгебрами Ат с единицей. Доказаны следующие утверждения.
Если голоморфная линейная связность V на Мп над Ат (т & gt- 2) не имеет кручения и К = 0, то размерность над К алгебры Ли всех аффинных векторных полей пространства (Мтп, V*) не больше, чем (ти)"2 — 2тп+5, где т = dimR А, п = dimA Мп, V* - вещественная реализация связности V.
Пусть V* =1 V х2 V — вещественная реализация голоморфной линейной связности V над алгеброй двойных чисел. Если W = 0 и 1К = 0, 2 К = 0, то алгебра Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространства МЩ со связностью V* изоморфна прямой сумме алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространств (аМп, аV) (а = 1, 2).
Ключевые слова: голоморфная линейная связность, вещественная реализация, алгебра Ли инфинитезимальных аффинных преобразований.
В работе исследуются свойства вещественных реализаций голоморфных линейных связностей над алгебрами, свойства алгебр Ли аффинных векторных полей вещественных реализаций. § 1 данной работы написан А. Я. Султановым, § 2 написан М. В. Моргун.
Пусть, А — коммутативная ассоциативная алгебра с единицей ранга т над полем М действительных чисел. Обозначим через А* векторное пространство над М линейных форм, заданных на, А и принимающих значения в М. На А* определим внешнюю операцию ц: А* х, А ^ А* умножения элементов А* на элементы алгебры, А следующим образом: ц,(а*, Ь)© = а*(Ьс) для любых Ь, с Є А. В дальнейшем будем использовать такое обозначение: ц,(а*, Ь) = а* ¦ Ь.
Пусть Мп — гладкое многообразие над, А размерности п класса дифференцируемости Сш. Будем предполагать, что Мп эквивалентно открытому координатному параллелепипеду в Ап по отношению к некоторому базису алгебры А. Обозначим через В (МП) алгебру голоморфных по Шефферсу функций над алгеброй, А ([1], ^85).
Векторным полем на Мп называется всякое дифференцирование алгебры В (МП).
УДК: 514. 76
1. Голоморфные линейные связности над алгебрами и их вещественные реализации
Поступила 28. 12. 2006
Векторное поле X называется голоморфным, если для любой функции Т Є В (МП) функция XТ является голоморфной. Множество З^(Мп) всевозможных голоморфных векторных полей, заданных на Мп, допускает структуру В (Мп)-модуля.
Линейной связностью на Мп называется отображение V: Зд (Мп) х Эд (Мп) -> Эд (Мп), удовлетворяющее условиям
1) VFX+gYZ = ТЧхZ + GVYZ,
2) Vх (У + Z) = VхУ + VхZ,
3) VхТУ = ГУху + (ХТ)У,
для любых Т, Я Є В (Мп), Х, У^ Є Эд (Мп).
Связность V называется голоморфной, если векторное поле VхУ голоморфно для любых голоморфных векторных полей X и У.
Наряду с гладкой структурой над алгеброй, А на Мп можно построить гладкую структуру класса Снад алгеброй М, порожденную А-гладкой структурой. Вещественная размерность полученного многообразия будет равна тп. Это многообразие обозначим М*п [1]. Голоморфная функция Т Є В (Мп) и линейная форма а* Є А* позволяют построить функцию Т (а*) = а* оТ, которая принадлежит алгебре Сгх (М^1п) гладких функций на М*п. Пусть 5 — главная единица алгебры А, X Є Эд (Мп) — произвольное голоморфное векторное поле на Мп. На М^п существует единственное векторное поле X (*), удовлетворяющее условию X (6'-)Т{а*) = (XТ)(а*). Векторное поле X (г) называется (5)-вещественной реализацией векторного поля X.
Если, а Є А, то (aX)(г) обозначим через X (а). Векторное поле X (а) называется (а)-реализацией векторного поля X. Заметим, что X (а) — единственное векторное поле, удовлетворяющее условию X (а)Т (ь.) = (X Г)(Ь*а), для любых Т Є В (Мп), Ь* Є А.
Тензорное поле К (а) (а Є А) называется (а)-реализацией тензорного поля К типа (1,8), если К (a)(xfl),…, x. ^)) = (К (Xl,…, Xs))(abl•••bs) для любых векторных полей XI,…, X. на Мп и любых элементов Ьд,…, Ь. из А. Если, а = 5, то К (& lt-5) называется также естественной вещественной реализацией тензорного поля К.
Каждая линейная связность V, заданная на Мп, допускает единственную вещественную реализацию V* на М*п такую, что VX (a)У (Ь = ^хУ)(аЬ).
Линейная связность V* называется вещественной реализацией связности V.
Тензорные поля Т*, К* кручения и кривизны связности V* являются (5)-реализациями тензорных полей Т и К соответственно.
Пример 1.1. Пусть, А — алгебра двойных чисел над М. Тогда имеет место изоморфизм, А = КфК, поэтому в, А можно выбрать базис (ед, е2) так, что
/ 12 1 / 22 2 1 2 П
(е1)2 = е, (е2)2 = е, е е = 0.
Обозначим через ед, е2 ковекторы дуального базиса.
Для произвольной функции Т, заданной в некоторой открытой области пространства Ап, условие голоморфности по Шефферсу дают, что Т (х, х2) = Ті(х1)ед + Т^(х2)е2. Здесь Хд, х2 — вещественные координатные функции, определенные условием Xі = хед + Х^е2, где Xі - естественные координатные функции пространства Ап. Отсюда следует, что атлас А-гладкой структуры на многообразии Мп порождает атлас прямого произведения 1Мп х 2Мп, следующим образом: если (и, Xі) — карта А-гладкого атласа на Мп, то (ди х 2и, (х, Х?& gt-)) — карта вещественной структуры на Мп, причем и = ди х 2и [2].
Пусть (ді) — поле натурального репера на и. Тогда д (е)Т (еь) = (діТ)(еь-еа). Поскольку діТ = (д1Ті)е1 + (д2Т2)е2 и еь ¦ еа = 5Ьаеь, то д (е)Т (еь) = 5а ((д}Ті)е1 + (д2Т2)е2)(еь). Отсюда следует
д (е)Т (е1) = д1Т1, д (е)Т (е2) = 0. Значит, д (е) = д1. Аналогично находим д (е) = д2.
Для голоморфной линейной связности V положим Vдiдj = Г-дk. В силу голоморфности связности V следует Г^дk = Г^-е1 + Г^ijе2, где Гaij — коэффициенты линейной связности ^ на аМп (а = 1, 2). Для вещественной реализации V* связности V положим
Г7* ЯЬ т^аЬ^ос
V да дj Гс дk.
Из определения вещественной реализации связности V, учитывая структуру алгебры А, получим
Jл11k __ т^k Jл22k _ т^k /і і
Г Ц1 = Г1Ц, Гг?2 — Г 2ij, (1. 1)
другие составляющие связности V* равны нулю. Отсюда следует V* = 1V х2 V [2].
Предположим, что тензорное поле кручения Т (^) линейной связности V* над произвольной алгеброй, А удовлетворяет условию
Т (6) = I (6) ® Ф — Ф ® I (6), (1. 2)
для некоторой линейной формы Ф, заданной на М^п. Пусть р — произвольная точка многообразия Мп, (Xl,…, Xn) — подвижной репер в координатной окрестности и С Мп, содержащий точку р, и (є1,… ,єт) — базис алгебры А. Тогда из условия (1. 2) получим
т (г))) = Фв x (єa) — Фfx{jєlэ),
где Фа = Ф^^)). Положим Т)) = ТаТxk), тогда
Т°в = 5^ Фв — 5 В 5k Ф". (1. 3)
Т! «-& gt- лтч rтlа0k rтl0Qk
Из определения вещественной реализации тензорного поля Т следует Т = Т.
Учитывая последнее равенство, из (1. 3) находим 5а5kФв — 5а5kФ» = 5а5^^Фа — 5а5j Фв. Свернем полученные равенства по, а и а, затем — по k и і. Тогда (т — 1)(п + 1) Фв (р) = 0. Если т & gt- 2, то Фр = 0, значит, Тр = 0 в каждой точке р Є Мп. Обратно, если Т = 0, то равенство (1. 2) выполняется для Ф = 0. Таким образом, доказана
Теорема 1.1. Пусть V* - вещественная реализация голоморфной связности V над алгеброй Ат (т & gt- 2). Следующие условия эквивалентны:
1) Т = 0-
2) Т (6) = I (6) ® Ф — Ф ® I (6)
для некоторой линейной формы Ф7 заданной на Мт, п, и единичного аффинора I на Мп.
Имеет место также
Теорема 1.2. Пусть V* - вещественная реализация голоморфной линейной связности V без кручения над алгеброй Ат (т & gt- 2). Следующие условия эквивалентны:
1) тензорное поле WR Вейля связности V* равно нулю,
2) тензорное поле кривизны К связности V равно нулю.
Доказательство. Условие того, что связность V® без кручения является проективно евклидовой, выражается равенством нулю тензора Вейля: Ш® = 0. Локально это равенство равносильно выполнимости следующих соотношений:
1
j = mn+ % ^ R j — j)+
1
(mn)2 — 1
Составляющие Rafkl^ тензора R (^ представляют собой коэффициенты разложения
+ 2 _, «& quot->-'>-<- + - (mnR? + (1−4)
Rm (9f, дв)» = pakhdi
dj & gt-uk — ijka h'-
Эти равенства иначе можно представить следующим образом:
(R (di, dj) дк)(?а?в eY) = Rjf dfh. (1. 5)
Поэтому левые части соотношений (1. 4) инвариантны относительно любой перестановки индексов а, в, 7.
В соотношениях (1. 4) являются компонентами тензора Риччи. Заметим, что выполняются условия
Rtf = R^f- (1. 6)
Действительно, из равенств (1. 5) следуют равенства (R^jk^9ь)(?а?в^^ = Rjkodh. Значит,
RifkJ1 = ЪвIt1 iVRhijk- Из этих равенств получим (1. 6).
В равенствах (1. 4) поменяем местами индексы, а и в и полученные соотношения вычтем из (1. 4). В результате придем к следующим равенствам:
s?№Pe — PjD — - pan)) —
rJ-s& gt-m (seps — %p%)+%pja — %p?) = о. (1. 7)
Свернем (1. 7) по, а и а. Тогда
#((™ -1 ^ -(т -1 ^) — т-т (тп (1 — т) кв + (1 — т) К1в) =0
Отсюда после сокращения на (т — 1) получим
$(Екв — ^к) + тп- 1 ^ (тпЕв& gt-к + Щы) = °-Свернем эти равенства по h и i
n ±-----P'-lj + (тП ^ Pjk = О (1. 8)
mn — 11 kj mn — 1 jk
После замены к на j, j на к получим
тП — nW + n + = 0
_ тп — 1) к тп — 1 / зк
Последнее соотношение можно представить за счет симметрии по 7 и в следующим образом:
тп ^ -Лв + («+_____1___^ =
-------1 — n RYe + n ±1 RjY = 0. (1. 9)
mn — 1 / V mn — 1) jk
Из соотношений (1. 8) и (1. 9) получаем R^kY = 0. Отсюда следует Raffa1 = 0. П
Векторное поле X называется аффинным относительно V, если
Сх V = 0. (1. 10)
Можно убедиться, что множество всех аффинных векторных полей на Мп является алгеброй Ли над, А и над М.
Учитывая результаты И. П. Егорова и доказанные теоремы, приходим к следующим предложениям.
Теорема 1.3. Если голоморфная линейная связность V на Мп над Ат (т & gt- 2) не имеет кручения и К = 0, то размерность над М алгебры Ли всех аффинных векторных полей пространства (Мтп, V*) не больше, чем (тп)2 — 2тп + 5, где т = ётк А, п = Мп.
Теорема 1.4. Если голоморфная линейная связность V на Мп над Ат (т & gt- 2) имеет ненулевое тензорное поле кручения, то размерность алгебры Ли всех аффинных векторных полей пространства (М*п, V*) не больше, чем (тп)2 — 2тп + 6.
2. Алгебра Ли инфинитезимальных аффинных преобразований вещественной реализации голоморфной линейной связности над алгеброй двойных чисел
Рассмотрим алгебру Ли инфинитезимальных аффинных векторных полей вещественной реализации голоморфной линейной связности над алгеброй двойных чисел А.
В примере 1.1 показано, что V* = ^ х 2V, где ^ (а = 1, 2) — линейные связности на аМп. Пусть Vfлдв = ГАвдс (А, В, С = 1, 2п). Из равенств (1. 1) следует, что отличными от нуля коэффициентами связности V* будут коэффициенты вида ГЦ^ и Г?^ (іДД = 1, п). Введем обозначения: Г1^ = Г И, Г22% = Г'-п+ п^ =в, где, а = п + і, в = п + j, 7 = п + k.
Пусть д (Мп) — алгебра Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (МІ, V*). Тогда по определению, если векторное поле X Є д (М2п), то выполняется условие (1. 10). В локальных координатах это уравнение равносильно системе дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Первая серия условий интегрируемости этой системы равносильна системе уравнений
Lх КАВС = 0 (2. 1)
где КАвс — составляющие тензора кривизны связности V* на М2*п. Поскольку V* является прямым произведением двух линейных связностей ^ (а = 1, 2), получаем, что отличными от нуля составляющими тензора кривизны К* будут К= К^и и К22^ =. Положим Кl1ijk =
Ки, К2^ = К+ ^ n+k = Кав1, где, а = п+i, в = п+^ 7 = n+k, А = п+1 В этих обозначениях
система (2. 1) примет вид
Lх Щи = ° Lх К& lt-«1 = °
К^а = 0, к= 0,
— (2. 2)
= 0, Кві^І = 0,
= 0, Кв^і = 0.
Как следствия этой системы получим соотношения
К. иXа = 0 и КjsXв = 0,
і і (2. 3)
КііX =0 и к.ь = 0,
где Щив = Кjk, К& lt-а1а = Кв1.
В данной работе рассматривается связность V такая, что ее А-тензор Вейля Ш равен нулю. Это возможно тогда и только тогда, когда 1Ш = 0 и 2Ш = 0. Будем предполагать также, что 1К = 0 и 2Е = 0.
Так как пространства (аМп, аV) (а = 1, 2) являются проективно-евклидовыми, то составляющие тензоров кривизны 1К, 2Е в локальных координатах удовлетворяют соотношениям
--б!1(1Щк —) + 2- 1 '-
п +1 г п2 — 1
1к^и = - п + 5і(1 Щи — 1к^) + п2. [(п 1ку + 1Щі) 5к — (п ^кіи + lкki)5j}, (2. 4)
2^к = - п + 1^(2Щк — 2 Ккj) + п2 _ 1 [(п + 2Щ^$к — (п 2щгк + 2Rki)^j], (2. 5)
где а (а = 1, 2) — составляющие тензоров Риччи связностей, причем ^'-К^ = К^, 2^ = Ка?, а = i + п, в = j + п.
Из системы (2. 2), учитывая строение тензора К® и соотношения (2. 3)-(2. 5), получим
LX Щк = 0, LX Кав = 0
к8^ = 0, щ1Хха = 0,
(Кк1 — Щк) ха = 0, (К7л — Кл7) Ха = 0,
(пЩ1 + К^)хв = 0, (пКвл + Клв) Ха =
Выделим подсистему
(кк1- К1к) ха = ° (пкк1 + К1к) ха = °-
Отсюда находим КкХа = 0. Аналогично находим К? лХа = 0.
Поскольку ^ = 0 и 2К = 0, то К^ = 0, Ка7 = 0 для некоторых индексов i, j и а, 7. Следовательно, X^ = 0, и Х^ = 0. Так как Хга = даХг, Х^ = ?кXл, то Xг зависят только от х1,…, хп, Xл — только от хп+1,…, х2п, т. е. X = (1Х, 2Х), где 1Х, 2Х — векторные поля на 1Мп и 2Мп соответственно.
Полученные результаты приводят к выводу, что уравнение (1. 4) пространства (М2®п, V®) представляют собой систему уравнений
L 1X lv = 0
L 2х 2V = 0.
Таким образом, доказана
Теорема 2.1. Пусть V® = 2V — вещественная реализация голоморфной линейной связ-
ности V над алгеброй двойных чисел. Если Ш = 0 и 1К = 0 и 2К = 0, то алгебра Ли инфини-тезимальных аффинных преобразований пространства М2®п со связностью V® изоморфна прямой сумме алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространств (аМп, ^) (а = 1, 2).
Следовательно, группа движений вещественной реализации голоморфной линейной связности над алгеброй двойных чисел, представляющей собой прямое произведение двух проективноевклидовых пространств аффинной связности с ненулевыми кривизнами, изоморфна прямому произведению групп движений этих пространств.
Из этой теоремы и результатов И. П. Егорова [3] получаем следствия.
Следствие 1. Если (аМп, ^) (а = 1, 2) проективно-евклидовы и с симметричными отличными от нуля тензорами Риччи, то максимальная размерность алгебры Ли д (М^) равна точно 2п2.
Следствие 2. Если у пространства (lMn, 1V) тензор Риччи симметричный и отличен от нуля, а у второго пространства (2Mn, 2V) тензор Риччи не является симметричным, то максимальная размерность алгебры Ли g (MRn) равна точно 2n2 — n + 1.
Следствие 3. Если пространства (aMn, aV) (a = 1, 2) с несимметричными тензорами Риччи, то максимальная размерность алгебры Ли g (MR) равна точно 2n2 — 2n + 2.
Известно, что не существует проективно-евклидового пространства аффинной связности с антисимметричным тензором Риччи [3]. Поэтому при нахождении максимальной размерности вещественной реализации голоморфной линейной связности над алгеброй двойных чисел, представляющей собой прямое произведение двух неплоских проективно-евклидовых пространств аффинной связности, другие случаи, кроме выше перечисленных, не возникают.
Литература
[1] Вишневский В. В., Широков А. П., Шурыгин В. В. Пространства над алгебрами. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1984. — 264 с.
[2] Вишневский В. В. Об одном свойстве аналитических функций над алгебрами и его приложение к изучению комплексных структур в римановых пространствах // Учен. зап. Казанск. ун-та. — 1966. — № 126. — С. 5−12.
[3] Егоров И. П. Движения в пространствах аффинной связности // Движения в пространствах аффин. связности. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1965. — С. 5−179.
М.В. Моргун
ассистент, кафедра алгебры, факультет физико-математический,
Пензенский государственный педагогический университет,
440 026, г. Пенза, ул. Лермонтова, 37 E-mail: mvmorgun@mail. ru
А.Я. Султанов
доцент, кафедра алгебры, факультет физико-математический,
Пензенский государственный педагогический университет,
440 026, г. Пенза, ул. Лермонтова, 37

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой