Об антитонных возмущениях накрывающих отображений упорядоченных пространств

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

2016. Т. 21, вып. 2. Математика
УДК 517. 988. 6, 517. 922
DOI: 10. 20 310/1810−0198−2016−21−2-369−372
ОБ АНТИТОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ НАКРЫВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
УПОРЯДОЧЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ
© Т. В. Жуковская, Е. С. Жуковский
Рассматриваются вопросы существования решения х уравнения ф (х, х) = y, где y известно, отображение •) действует в упорядоченных пространствах и является по первому аргументу упорядоченно накрывающим, а по второму — антитонным. Используемое в статье понятие упорядоченного накрывания предложено в совместных работах А. В. Арутюнова, Е. С. Жуковского, С. Е. Жуковского в связи с исследованием точек совпадения отображений.
Ключевые слова: упорядоченно накрывающие отображения- антитонное отображение- операторные уравнения и неравенства.
Введение
В работах [1]-[3] предложено понятие упорядоченно накрывающего отображения и получены теоремы о точках совпадения упорядоченно накрывающего и монотонного отображений в упорядоченных пространствах. Если в качестве упорядоченно накрывающего отображения выбрать тождественное отображение, то результаты [1]-[3] совпадают с классическими принципами неподвижной точки (включая теоремы Кнастера-Тарского ([4], с. 25), Биркгофа-Тарского ([5], с. 266), Тарского-Канторовича ([4], с. 26)).
Здесь предлагается распространение понятия упорядоченного накрывания, доказываются утверждения об отображении, упорядоченно накрывающем по первому аргументу и антитонном по второму. Полученные результаты могут использоваться для исследования разрешимости уравнений и получения оценок их решений.
1. Упорядоченные пространства
Пусть заданы упорядоченные пространства X = (X, ¦& lt-), Y = (Y, ¦& lt-). Для u, v € X, V С X будем обозначать
OX (u) = {х € X: х & lt- и}, [u, v]X = {х € X: v ^ х и}, Lowx (V) = {х € X: х ^ v Vv € V}.
Определение 1 [1]. Отображение f: X ^ Y называем упорядоченно накрывающим множество W С Y, если для любого и € X выполнено включение
Oy (f (и)) П W С f (Ox (и)).
Отображение, упорядоченно накрывающее все пространство Y, называем упорядоченно накрывающим.
Заметим, что f: X ^ Y тогда и только тогда является упорядоченно накрывающим множество W, когда
V и € X V y € W y & lt- f (и) ^ Эх € X f (х) = y & amp- х ^ и.
Для целей данной работы оказывается удобной следующая модификация свойства упорядоченного накрывания.
Определение 2. Множеством упорядоченного накрывания отображения: X ^ У называем совокупность всех пар (и, у) € X х У, удовлетворяющих условию: либо у ^ f (и) — либо у ^ f (и) и тогда существует такой х € X, что выполнены соотношения f (х) = у, х ^ и. Будем обозначать это множество В (/).
Множество В (/) упорядоченного накрывания любого отображения f: X ^ У не пусто (например, ему принадлежит пара (и, (и)) для всех и € X). Отметим также, что упорядоченное накрывание множества Ш отображением f равносильно вложению) Э X х Ш, а свойство упорядоченного накрывания — равенству) = X х У.
Рассмотрим простейшие примеры нахождения множеств упорядоченного накрывания для вещественных функций.
Напомним, что отображение f: X ^ У называют антитонным на Ш С X, если для любых х, и € Ш из х У и следует f (х) ^ f (и). Антитонное на всем X отображение называют антитонным.
2. Теорема о возмущениях упорядоченно накрывающих отображений
Пусть определено отображение ф: X2 ^ У, которое по первому аргументу обладает некоторыми накрывающими свойствами. Следующее утверждение гарантирует сохранение этих свойств отображением f: X ^ У, f (х) = ф (х, х), если ф по второму аргументу является антитонным на некотором множестве.
Теорема 1. Пусть у € У, существует такой элемент и0 € X, что (и0) У у, и выполнены условия:
(a) при любом х € Ох (и0) справедливо включение (х, у) € В (ф (-, х)), где В (ф (-, х)) есть множество упорядоченного накрывания отображения ф (-, х): X ^ У-
(b) при любом х € Ох (и0) отображение ф (х, ¦): X ^ У является антитонным на множестве [х, иох-
© любая цепь й С Ох (и0) такая, что
ограничена снизу, т. е. Ьс^й*) = 0, и существует нижняя граница ш € Low (S), удовлетворяющая неравенству (ш) У у.
Тогда для любого х € Ох (и0) выполнено (х, у) €). Доказательство. Покажем, что уравнение
Это множество не пусто, ио € По. Определим на По бинарное отношение & lt-, полагая для у, и € По выполненным V & lt- и, если V = и, или если V -& lt- и и ф (ь, и) ^ у. Покажем, что это отношение определяет порядок на По. Достаточно проверить транзитивность. Пусть V & lt- и, и & lt- х, Если V = и, или и = х, то соотношение V & lt- х очевидно. Пусть V = и и и = х, тогда
V x € S ф (х, х) У у, Vх1, х2 € S xi — х2 ^ ф (х1,х2) ^ у,
(1)
ф (х, х) = у
(2)
разрешимо, причем существует решение х € Ох (u0). Определим множество
Uo = {х € Ох (uo): f (х) У у}.
2016. Т. 21, вып. 2. Математика
v — u — x и имеют место неравенства ф (v, u) ^ y, ф (u, x) ^ y. Согласно условию (b) выполнено ф (v, x) ^ ф (v, u) y. Таким образом, v & lt- x.
Согласно теореме Хаусдорфа (см., например, [6], гл. 1) в (UQ, & lt-) существует максимальная цепь S, которая содержит точку xq. В силу предположения © эта цепь имеет нижнюю границу w (относительно исходного порядка ^), и справедливо неравенство ф (w, w) У y.
Покажем, что построенная точка w является решением уравнения (2). Очевидно, w e Ox (uq). Из условия (a) следует существование элемента v e X, для которого выполнено
ф (v, w) = y, v ^ w. (3)
Из условия (b) получаем ф (и, и) У y. Для любого элемента x e S имеем x У v, следовательно, в силу предположения (b), ф (v, x) = y. Итак, v e UQ и множество S U {v} С UQ относительно отношения & gt- является цепью, а в силу максимальности цепи S имеем v e S. Поэтому v У w. Это неравенство и соотношения (3) означают, что w = v, y.
Для произвольного x e Ox (uq) справедливо включение (x, y) e B (^(-, x)) и возможны две ситуации.
1. Если ф (x, x) ^ y, то (x, y) e B (f).
2. В случае ф (x, x) У y, согласно доказанному выше (если принять uQ = x), существует такой элемент u e X, что f (u) = y и x У u. Полученные соотношения означают принадлежность пары (x, y) множеству упорядоченного накрывания отображения f. ?
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2015. V. 179. № 1. P. 13−33.
2. Арутюнов A.B., Жуковский E.G., Жуковский C.E. О точках совпадения отображений в частично упорядоченных пространствах // Доклады Академии наук. 2013. Т. 453. № 5. С. 475−47S.
3. Арутюнов A.B., Жуковский E.G., Жуковский С. Е. Точки совпадения многозначных отображений в частично упорядоченных пространствах // Доклады Академии наук. 2013. Т. 453. № 6. С. 595−59S.
4. Granas A., Dugundji D. Fixed Point Theory // Springer-Verlag, New York. 2003.
5. Люстерник Л. А., Соболев B.И. Краткий курс функциональ ного анализа. М.: Высшая школа, 19S2.
6. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 19S1.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14−01−97 504), государственной программы Министерства образования и науки РФ № 2014/285 (проект № 2476).
Поступила в редакцию 21 марта 2016 г.
Жуковская Татьяна Владимировна, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, е-mail: t_ zhukovskaia@mail. ru
Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, директор научно-исследовательского института математики, физики и информатики, е-mail: zukovskys@mail. ru
UDC 517. 988. 6, 517. 922
DOI: 10. 20 310/1810−0198−2016−21−2-369−372
ABOUT ANTITONE PERTURBATIONS OF COVERING MAPPINGS OF ORDERED SPACES
© T.V. Zhukovskaia, E. S. Zhukovskiy
We consider the problem of existence of a solution x to the equation = y, where
y is given, the mapping ¦) acts in ordered spaces, is order-covering with respect to the first argument, and antitone with respect to the second one. The concept of order-covering used in the article was proposed in the joint works of A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy regarding the studies of the mappings'- coincidence points. Key words: order-covering mappings- antitone mapping- operator equations and inequalities.
ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 14−01−97 504) and by the state program of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation № 2014/285 (project № 2476).
REFERENCES
1. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2015. V. 179. № 1. P. 13−33.
2. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. O tochkah sovpadeniya otobrazhenij v chastichno uporyadochennyh prostranstvah // Doklady Akademii nauk. 2013. T. 453. № 5. S. 475−478.
3. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Tochki sovpadeniya mnogoznachnyh otobrazhenij v chastichno uporyadochennyh prostranstvah // Doklady Akademii nauk. 2013. T. 453. № 6. S. 595−598.
4. Granas A., Dugundji D. Fixed Point Theory // Springer-Verlag, New York. 2003.
5. Lyusternik L.A., Sobolev V.I. Kratkij kurs funkcional'- nogo analiza. M.: Vysshaya shkola, 1982.
6. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. EHlementy teorii funkcij i funkcional'-nogo analiza. M.: Nauka, 1981.
Received 21 March 2016.
Zhukovskaia Tatyana Vladimirovna, Tambov State Technical University, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associated Professor of High Mathematics Department, e-mail: t_ zhukovskaia@mail. ru
Zhukovskiy Evgeny Semenovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Director of the Research Institute of Mathematics, Physics and Informatics, е-mail: zukovskys@mail. ru

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой