Об аппроксимации конфликтно-управляемых функционально-дифференциальных систем

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

The main result of this paper is the following statement.
Theorem. Let conditions (f 1) — (f3) and (M) hold. In addition, assume that there exist R0 & gt-r0 & gt- 0 such that
(w, f (t, w))H & lt- 0. for all w € H: r0 & lt- \w\H & lt- R0 and a.e. t € I.
Then problem (1)-(2) admits a solution satisfying ||x (t)||H ^ R0, Vt € [0,T].
Sketch of the proof. Let r* € (ro, Ro) be an arbitrary number and denote Q = {x € C ([0, T ]- H): \x (t)\H & lt- r*, t € [0,T]}.
For each n € N set Q (n) = Q П C ([0,T]- Hn) and consider the problem
x'-(t)= Pnf (t, x (t)), for a.e. t € [0, T],
x (0) = PnMx, (3)
whose solution is considered in the space C ([0, T]- Hn).
It is shown that problem (3) has a solution xn € Q (n. The existence of a solution of problem (1)-(2) is obtained from the weak convergence of the set {xn}.
REFERENCES
1. J. Andres, L. Malaguti, V. Taddei, On boundary values problems in Banach spaces, Dyn. Sys. Appl., 18 (2009): 275−302.
2. Nguyen Van Loi, Method of guiding functions for differential inclusions in a Hilbert space, Differ. Uravn. 46 (2010), no. 10, 1433−1443 (in Russian) — English tranl.: Differ. Equat. 46 (2010), no. 10, 1438−1447.
3. N.V. Loi, V. Obukhovskii, P. Zecca, Non-smooth guiding functions and periodic solutions of functional differential inclusions with infinite delay in Hilbert spaces, Fixed Point Theory, 13(2), 565−582, 2012.
Лой Н. В. О НЕЛОКАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
С помощью метода непрерывности, метода ограничивающей функции и метода приближений, доказывается теорема существования для класса нелокальных дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах. Ключевые слова: нелокальное дифференциальное уравнение- ограничивающая функция.
УДК 517. 977
ОБ АППРОКСИМАЦИИ КОНФЛИКТНО-УПРАВЛЯЕМЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
© Н. Ю. Лукоянов, А.Р. Плаксин
Ключевые слова: теория управления- уравнения с запаздыванием- уравнения нейтрального типа.
Для конфликтно-управляемых систем функционально-дифференциальных уравнений рассматриваются процедуры управления с поводырем, движение которого описывается аппроксимирующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
2579
Эта работа, восходящая к [1−3] и посвященная процедурам управления c поводырем [4], инициирована работой [5], в которой предложено использовать в качестве поводырей систем дифференциальных уравнений с запаздыванием аппроксимирующие системы обыкновенных дифференциальных уравнений из [1−3]. Цель работы — развитие подобной процедуры управления для достаточно общего класса функционально-дифференциальных систем.
Пусть движение динамической системы, описываемая уравнением запаздывающего типа
x[t] = f (t, xt[-], u, v), t € [t0, T], x[t] € Rn, u € U, v € V, xt0[$] = z[$], $ € [-h, 0]. (1)
Здесь t — время- x[t] - вектор состояния в момент t- h = const & gt- 0- xt[-] - история движения на [t — h, t]: xt[$] = x[t + $], $ € [-h, 0]. Функция z[-] лежит в компакте Z С C ([-h, 0], Rn), u — управление, v — помеха, U и V компактны. Допустимы измеримые реализации u[t0[-]T) = {u = u[t] € U, t0 ^ t& lt-T} и v[t0[-]T) = {v = v[t] € V, t0 ^ t& lt-T}. Отображение f: [t0,T] x C ([-h, 0], Rn) x U x V^ Rn непрерывно, справедлива оценка
Ilf (t, xM, u, v)|| ^ c (1+ max ||x[$]||), c = const & gt- 0,
4
для любого компакта D С C ([-h, 0], Rn) существует такое A (D) & gt- 0, что
max tfe[-M]
f {t, x/[-], u,^ - f (t, x//[], u, v) W ^ Л (D) max Wx/[$] - x//[^]W, x^, x//[• ] Є D,
и для всякого s Є Rn имеет место равенство
minmax (f (t, x[^, u, v), s) = maxmin (f (t, x[^, u, v), s).
ueU veVXJy' h '- veV u? V U' ' h '-
yi0][t]= f{t, S (Y[t])[^], u, v), yii][t] = (yii 1][t] - yii][t])/Ah, і = 1, m, t Є [to, Т ], yii][t] Є Rn, u Є U, v Є V, yii][to]= yii], ||yii] - z[-і Ah] У & lt- n, і = 0, m.
Возьмем т Є М, АН = Н/т и определим аппроксимирующую систему:
^ (2)
Здесь У [і] = {у°Щ, у1 Щ,…, утЩ), Б (У [?])[•] - линейный сплайн с узлами -іАН на [-Н, 0] и со значениями в узлах Б {У [і])[-іАН] = у[і][і].
Базируясь на разбиении А^ = {і^: 0 & lt- і^+1 — і^ & lt-5, і = 0, к — 1,ік = Т}, будем формировать кусочно-постоянные реализации и[і°[^]Т) и У[і°[^]Т) согласно правилу
иЩ = и° Є arg тп тах & lt-, Хіі [•}, u, у), хЪ) — у0[^]),
уЩ= у° Є а^тахтт & lt-/(, Б (у [Щз ])1], и, у), хЩ ] - у% ]& gt-, і Є [^ ^+і)'- (3)
ує? иёи
Т еоремаї. Для любого є& gt- 0 найдутся такие 5& gt- 0, п& gt- 0 и М Є М, что для всех я[-] Є Z, т& gt-М и любых допустимых реализаций и[Щ°[-]Т), у[і°[^]Т), при реализациях и[і°[^]Т), У[і° [-]Т), формируемых согласно (3), для решений х[Щ] и У [і] задач (1) и (2) будет справедлива оценка ||х[і] - у[°][і]|| ^ є, і Є [і°, Т ].
Отметим, что данный результат устойчив к неточностям измерений и вычислительным погрешностям.
Пусть теперь движение исходной системы описывается уравнением нейтрального типа
Х[і] - С[і]Х[і - Н] = А[і]х[і] + В[і]х[і - Н] + БЩи + Е[і] у + /[і], і Є [і°, Т], и Є и, V Є V, х[і] Є Rn, х[і° + & amp-] = ш[& amp-], ||Ц& amp-]|| ^ Я°,& amp- Є [-Н, 0], ||Ц& amp-]|| ^ Я° п.в. & amp- Є [-Н, 0], (4)
где функции А[і], В [і], С [і],/ [і] ограничены и измеримы, 0[і] и Е [і] непрерывны.
2580
Рассмотрим аппроксимирующую систему
y[0] [t] = A[t]y[0] [t] + B[t]y[m [t] + C [t](y[m-1] [t] - y[m] [t])/Ah + D[t]U + E [t]v,
y[q[t] = (y[i-1][t] - y[i][t])/Ah, i = 1m, t € [t0,T], u € U, v € V, (5)
y[i][t] €Rn, y[i][t0]= y[i], ||y[i] - w[-iAh]| ^ nAh, i = 0, m.
Пусть K [t] - n x n -матрица-функция такая, что dK [t]/dt = -A[t]K [t], K [t0] -единичная матрица, и y[0][? — h] = w[? -10], y[0][? — h] = w[? -10] при? € [t0,t0 + h). Положим
u[t] = u° € argmiii & lt-K[tjD[tj]u, g[tj]& gt-,
v[t]= v° € argmax & lt-K[tj]E[tj]v, g[tj]& gt-, t € [tj, tj+l) (6)
где ^eV
t t
g[t] = K [t](x[t] -y[0][t])-У K [?]B [?](x[?-h]-y[0][?-h]) d?-J K [?]C [?}(x[?-h] -y [0][?-h]) d?.
to to
Теорема 2. Для любого e& gt- 0 найдутся такие 5 & gt- 0, n& gt- 0 и M € N, что для всех m& gt-M и любых допустимых реализаций u[t0[-]T), v[t0[-]T), при реализациях u[t0[-]T), v[t0[-]T), формируемых согласно (6), для решений x[t] и Y[t] задач (4) и (5) будет справедлива оценка || x [t] - y[0][t]|| ^ е, t € [t0,T].
ЛИТЕРАТУРА
1. Красовский Н. Н. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием // Прикл. матем. и мех. 1964. Т. 28. Вып. 4. С. 716−724.
2. Репин Ю. М. О приближенной замене систем с запаздыванием обыкновенными динамическими системами // Прикл. матем. и мех. 1965. Т. 29. Вып.2. С. 226−235.
3. Куржанский А. Б. К аппроксимации линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1967. Т. 3. С. 2094−2107.
4. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 458 c.
5. Красовский Н. Н., Котельникова А. Н. Стохастический поводырь для объекта с последействием в позиционной дифференциальной игре // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17. №
2. С. 97−104.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках программы Президиума РАН «Динамические системы и теория управления», при финансовой поддержке УрО РАН (12-П-1−1002), а также при поддержке РФФИ (12−01−290-а).
Lukoyanov N. Yu., Plaksin A.R. ON APPROXIMATION OF CONFLICT-CONTROLED FUNCTIONAL DIFFERENTIAL SYSTEMS
For conflict-controlled functional differential systems, control procedures with a leader described by an approximating system of ordinary differential equations are considered.
Key words: control theory- delay equations- neutral equations.
2581

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой