Исследование одной системы массового обслуживания с ненадежными обслуживаниями приборами в переходном режиме

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 681. 324:519. 872
Н. I. ПОСЛАЙКО (ДПТ)
ДОСЛ1ДЖЕННЯ ОДН1С1 СИСТЕМИ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ З НЕНАД1ЙНИМИ ОБСЛУГОВУЮЧИМИ ПРИЛАДАМИ В ПЕРЕХОДНОМУ РЕЖИМ1
Розглядаеться система масового обслуговування з необмеженою чергою i ненадiйними обслуговуючими приладами. Запропонована методика розрахунку ймовiрностей станiв тако! системи.
Рассматривается система массового обслуживания с неограниченной очередью и ненадежными обслуживающими приборами. Предложена методика расчета вероятностей состояний такой системы.
A queuing system with unlimited line and unreliable of probabilities of stats of the system has been proposed.
Математичш моделi масового обслуговування широко використовуються при досл& gt- дженш багатьох техшчних систем, зокрема, транспортних систем, для тдвищення 1х ефек-тивносп.
С величезна кшьюсть публiкацiй на цю тему. Найбшьш вивченими е математичш моделi систем масового обслуговування, яю опису-ються в рамках одновимiрних марковських процесiв. Це так зваш класичнi системи масового обслуговування (з вщмовами, з обмеже-ною та необмеженою чергою, замкненi, з прю-ритетами та iншi).
Так, добре вивчена в перехщному та стащо-нарному режимах система масового обслугову-вання з необмеженою чергою, в яку надходить найпростiший потiк заявок, а час обслуговування одше! заявки розподшений за показнико-вим законом. 1нтенсившсть вхiдного потоку та штенсивнють обслуговування в такiй системi не залежать вщ часу, заявки в систему надхо-дять по однш (найпростiший потiк заявок е ор-динарним) [1].
Математична модель ще! системи потiм уза-гальнювалась в рiзних напрямках. Була запропонована i дослiджена модель з неординарним пуассошвським потоком, модель, що неоднор& gt- дна за часом, тобто штенсивнють вхщного потоку та обслуговування е функщями часу та iншi узагальнення. Причому, як правило, в ма-тематичних моделях цiеi системи можливий вихiд з ладу обслуговуючих приладiв протягом роботи системи не враховувався. Врахування надiйностi обслуговуючих приладiв та 1х вщно-влення у разi виходу з ладу суттево ускладнюе математичнi моделi. Для системи масового об-слуговування з необмеженою чергою i дисцип-лшою черги «першим прийшов — перший об-
service devices is considered. A computational technique
служений» врахування перелiчених факторiв вперше було здiйснено в робот [2]. Процес обслуговування був представлений як двохвимiр-ний марковський процес, одна компонента яко-го в кожен момент часу ствпадае з числом ви-мог в OT^^i (в черзi та на обслуговування), а друга — з числом приладiв, що вийшли з ладу. На основi результатiв цiеi роботи в данш статтi пропонуеться методика чисельного розрахунку ймовiрностей сташв системи масового обслуговування в перехщному режимi. Розроблена методика дозволяе наближено розраховувати час, через який в OT^^i установлюеться стащ-онарний режим роботи, якщо такий режим для дослiджуваноi системи з заданими певними значеннями параметрiв iснуе.
Розглянемо процес {nt, ?, t}, t & gt- 0, де nt — число несправних приладiв в момент часу t, E, t -число заявок, яю знаходяться в OT^^i в момент часу t,
nt е {0,1,…, n}, ^ е {0,1,2,… },
де n — загальна кiлькiсть обслуговуючих прила-дiв в системi обслуговування.
Припускаеться, що в систему масового обслуговування надходить неординарний пуассо-нiвський потiк заявок з штенсивнютю X,
ад k=1
де Xk — iнтенсивнiсть надходження групи з k заявок.
Ймовiрностi переходу процесу {nt,} за час Д (Д -^ 0) задаються наступним чином:
(т, г) :1 — (Х + т1п (г, п — т) х х (ц + V) + тв) А + о (А), (т, г + к): XкА + о (А),
к & gt- 1,
(т, г) --(т, г — 1): т1п (г, п — т) х х цА+о (А), (т +1, г): т1п (г, п — т) х хvА + о (А), (т -1, г): твА + о (А),
де т = 0,1,…, п-г = 0,1,2,… , — ймовiрностi шших переходiв порядку о (А)
о (А)
11т-= о
А^о А
Тут V — штенсившсть виходу з ладу одного приладу, ц — iнтенсивнiсть обслуговування одше! заявки одним приладом, в- штенсившсть вщновлення одного приладу у разi його виходу з ладу.
Процес {п, ^} - двовимiрний марковський процес.
Якщо ймовiрностi станiв такого процесу по-значити
Ртг С) = Р И = т, ^ = г},
то можна показати, що система диференщаль-них рiвнянь Колмогорова для тако! системи мае вигляд:
ЖРт, г (г)
Ж
= -[X + тв + т1п (г, п — т) ц +
+т1п (г, п — m) v]Ртг (г) + т1п (г, п — т) х XVPm-1,г С) + (т + 1) вРРт+1,г С) +
г
+ т. п (г + 1 п — т) рт, г+1 (0 + XРт, г-г С) Хг ,
г=1
(т = 0,1,…, п -1- г = 0,1,2,…), '-ЖРп, о (г)
ЖРпг (0
= -(Х + пв) Рпо (г),
= -(X + пв) Рп, г (г) +? Рпг-г (г)Х ,
них диференщальних рiвнянь, цю нескiнченну систему диференщальних рiвнянь можна за до-помогою твiрних функцiй звести до скшчено! системи диференцiальних рiвнянь:
дф0(г, 9)
Фт (г, 9) = ?Ртг (г)9г, |9|& lt- 1,
г=0
= qо (9)ф0 (г, 9) + вфДг, 9) + /0 (г, 9), = nvфо (г, 9) + ^(9)^(9) +
дг
дф1(г, 9)
д9
+2вф2(г, д) + /1(г, 9).
дфп (г, 9)
дг
= Vфn1 (г, 9) + qn (9)фп (г, 9) + /п (г, 9) (1)
де
qm (9) = Х (9) + ц (п — т) — (Х + тв) — (п — т)^ + ц), 9
Гц ^п-т-1
/т (г, 9) = [е ц^ (г-п + т) х
хРт, г (г)9г + V? (г — п + т -1) х Рт-1 (г)9'-
г=0 ад
т = 0,1,…, п, Х (9) = ХХг9г.
г=1
-1
Покладаемо X гРтг (г)9г = 0.
г=0
У векторно-матричному виглядi остання система запишеться наступним чином:
дф (г, 9) дг
= б (9)ф (г, 9) + / (г, 9) (1'-)
де ф (г, 9) =
Жг
г = 1,2,3…
Ця система диференщальних рiвнянь не-скiнченна. Щоб скористатись теорiею звичай-
Ч ('-, 9) ^ Г /0(г, 9) ^
ф: (г, 9), / (г, 9) = /1(г, 9)
чфп (г, 9) у, /п (г, 9),
в 0 … 0
^(9) 2 В … 0
0 0 … qr -1(9)
0 0
0 ^ 0
qn (9).
г=1
В систем1 (1) кр1м тв1рних функцш фт (г, 9) ф1гурують вирази /т (г, 9), яю мютять частину шуканих ймов1рностей, а саме ймов1ршсть Ртг (0, о & lt- Г & lt- п -1.
Для розв'-язування системи (1) використаний допом1жний двохвишрний марковський процес,
^ (* у * }
однор1дний за другою компонентою {пг, Ы
Таю процеси були запропоноваш { дослщжеш Сжовим I. I. та Скороходом А. В. [3, 4] 1 широко використовуються при дослщженш р1зномашт-них систем масового обслуговування.
Допом1жний процес тюно пов'-язаний з про-цесом {пг, Ы} 1 задаеться так:
е{0,1,…, п}, Се {0, ±1, ±2,… },
^ • • (* с-. * }
ймов1рност1 переход1 В {пг, Ы } хз стану в стан за час Д (Д ^ 0) мають вигляд:
(т, г) :1 — (Х + тв + (п — т) х x (| + v) Д + о (Д)-),
(т, г + к): XкД + о (Д), (т, г -1): (п — т)|Д + о (Д),
(т -1, г): твД + о (Д), (т +1, г): (п — т^Д + о (Д),
т = 0,1,…, п- г = 0, ±1, ±2,… ,
яю породжують неоднорщнють системи (1):
(т, г) —
ймов1рносп шших переход1 В порядку о (Д). Нехай
Рт С, г) = Р
[ * V * / * 7 1
|П (= m, Ы = г / П0 = 1 ,|
к0=0, I
дфШ (Г, 9)
дг
= [Х (9) — X — (п — т х
1
х[ 9 -1,1 — т? — (п — т^Ьш (г, 9) +
+(1 -Зтп)(т +1) 6ф-, т+1 (г, 9) +
+(1 -5т0)(п + т -1)Vф-, mг, 9) ,
де 5тп — символ Кронекера, I, т = 0,1,…, п. Якщо ввести функщю
фШ (г, 9) = е[х-х (9)]г ф-т (г, 9) та позначення
ф — (г, 9) = (ф -0(г, 9), ф 9),…, Ф -п (г, 9)),
(2)
Г (9) =
у 0(9) 6 0 … 0 0 nv у1(9) 2б … 0 0
0 0 0 … V Уп (9)
Ут (9) = (п — т)|1 9−11- тб — (п — т^ ,
т = 0,1,…, п, то систему (2) можна записати у вигщщ дф — (г, 9)
дг
= Г (9)ф — (г, 9),
(2'-)
(I, т = 0,1,…, п- г = 0, ±1, ±2,…)
ймов1рносп сташв допом1жного процесу (п-, Ы -) в припущенш, що в початковий момент
часу г = 0, п0 = I, Ы0 = 0.
1з задання процесу {п -,}. видно, що вш е
марковським процесом, однорщним за другою компонентою.
В термшах тв1рних функцш
ад
фт (г, 9) =1 РШ (г, г)9г, |9|& lt- 1,
г
система прямих диференщальних р1внянь Колмогорова для процесу {п -, }. набувае вигляду аналопчного (1), але без доданюв типу /т (г, 9),
звадки ф — (г, 9) = ехр {Г (9)г}.
Розв'-язок ф — (г, 9) е матричною експонен-тою, 1 його можна використати для наближено-го обчислення ймов1рностей сташв допом1жно-го процесу. Про це буде йти мова даль
Враховуючи зв'-язок м1ж (1'-) та (2'-), тсля ряду перетворень можна отримати залежшсть м1ж ймов1рностями сташв процешв {пг, Ы} та
{п-, ы-}:
Р, 1 (г) = %, — (г) + Е ?} [v (г — п +7 -1) р- X
7=0 г =0 0
х (г — т, ] - г) Рг-! г (т) + (г — п + 7) Р- X х (г -т, ] -г) Рг (т)]^ т, (3)
(к = 0,1,…, п- ] = 0,1,2,…),
де P* (t -т, j -r) = цр* (t — т, j -r + 1) --(ц+v) p* (t-т, j — r)
(t) = m, j (t)+(t)'-
Fo-(t, r), k = 0,1, r = 0,±1,±2,…з (2'-)
m
k, j
(t) = Ё dk, y (i, t),
i=0
ЬК] (г) = Х а]+т, т (к, ^),
т=1
Жк, — (г, г) = Х Ргт (0)Р* (г, У — т),
т=0
к = 0,1,…, п,
а у+т, т (к, г) = Х Р, у+т (0) Р* С,-т).
г=0
З системи рiвнянь (3) Р (г) при у & gt- п можна рекурентно виразити через Рк0 (г), Рк1(г),…, Рк п-1(г). Останнi ймовiрностi е розв'-язком системи iнтегральних рiвнянь Вольтерра другого роду, яку отримаемо з (3) при у = 0,1,…, п -1.
Тепер розглянемо, як можна, використову-ючи чисельш методи наближено обчислити ймовiрностi станiв допомiжного процесу
Р *т (г, г), через як виражаються ймовiрностi
станiв основного процесу Рку- (г), оскшьки явнi
аналiтичнi вирази через локальш характеристики процесу обслуговування одержати для них неможливо.
Покажемо це на приклад^ коли
п = 1,1 = 0, X = Х1, X г = 0, г = 2,3,…, к = 0. У цьому випадку система (3) набувае вигляду
F0
o j
(t) = c0j. (t) + J [(ц + v) X F00 (t — T, j) —
маемо
dt
д _dt
або
Ф 00(t, 6) Ф 0i (t, 6)
Y0(6) e v Yi (6)
(r)00(t, 6) Ф 0i (t, 6)
'- д
— Ф 00 (t, 6) = Y 0(6)Ф 00(t, 6) + еФ 0i (t, 6), dt
д
-Ф 0i (t, 6) = vФ 00 (t, 6) + Yi (6)Ф 0i (t, 6),
dt
з початковими умовами
Ф 00(0,9) = 1, Ф 01(0,9) = 0.
Розв'-яжемо останню систему операцшним методом. Нехай
У
(6, S) = J е-st Ф 0k (t, 6) dt, k = 0,1,
— перетворення Лапласа шуканих функцiй. Тодi отримаемо з урахуванням початкових умов систему лшшних алгебра! чних рiвнянь вiдносно
Ук (9,5):
Г 5У 0 (9, -1 = У 0 (9)У 0 (9, + вУ 1 (9,5), [ 5УД9,5) ^У0(9,5) + У1(9)УД9,5).
Розв'-язок ще! системи мае вигляд:
У 0(9,5) = +
У1(6, s) = +
-vp)* (t — T, j) — цр*0 (t -T, j + 1)]р|0 (T)dт.
Bci ймовiрностi сташв F0 j (t) при j & gt- 1 рекурентно виражаються через P00 (t) та F0*m (t, j), m = 0,1. P00(t) е розв'-язком штегрального рiв-няння Вольтерра другого роду t
F00 (t) = C0fi (t) + J [(ц + v) • P) o (t — т, 0) —
де s1 =
Y 0 (6) + Y1 (6) + V (Y 0(6) — Y1 (6))2 + 4ev
Y 0(6) + Y1 (6) -4 (Y 0(6) — Y1 (6))2
4ev
2
= Y1 (6) — S1 = S2 — Y1 (6)
Л1 —, 2:
-v v
B1 =-, B2 =-
-vp* (t — т, 0) -ц p) • (t -т, 1)]F00 (т)dт (4) Для знаходження
Корiнь квадратний iз комплексного числа (У0(9) -у1(9))2 + 4пу, як вiдомо, мае два зна-чення, якi вiдрiзняються знаком. В даному ви-
2
S2 =
падку можна взяти бyдь-яке значення. Звщси мaeмо
Ф 0o (t, e) = A-1 + a-2 Ф01(t, e) = B1esit + B2es2t.
Отже ф0k (t, e) = Ф0k (t, e) e-[A-A (e)]t, k = 0,1. При зроблениx припyщенияx A (e) = Ae.
m
Врaxовyючи, що ф0к (t, e) =? P^ (t, r) er,
r=-m
k = 0,1, де r = 0,±1,±2,…, на основi теореми Лорана мaeмо:
Pok (t, r) = -1- ^^^ de, k = 0,1. (4)
Зробимо в (4) зaмiнy змшнж e = e1(f (фе[0−2л]). Oтримaeмо пiсля ряду пере-творень (з огляду на ix громiздкiсть вони тут не наводяться) вирази для P0o (t, r) та P0*(t, r) y виглядi визначенж iнтегрaлiв. Так
1 2п
P00(t, r) = - e~At J eAtcosфE (ф) cos rydф +
4n o
1 2п
±e~At J eAtcosVF (ф) cos rqdф,
I1 — с (ф) ^
л/1(ф)
sin I 2 Fз (ф)t
E2 (ф) =
I1, с (ф) ^

cos I — F-(ф)t
m-(2 ** i
E3(ф) = ^cosф-1) -v-s-yfjcosI ю (ф) — ф
F3(ф) = sin -ф l + цsin ф,
E-(ф) = ц (cos ф-1)-v-s + /7 cos
F-(ф) =? sin i Ю (ф) -ф l-ц sin ф
ю (ф)
¦ф|,
C (ф) = (ц cos ф — ц-v + s) cos
ю (ф)
ф
(r)(ф) ^ -ц sin ф|--ф
rw ч • I ®(ф)
D (q) =in фcos I--ф
де
E (ф) =
I
i i
-E4(V)t
E2^)e2 + Ei (ф) — 2
1 E3(T)t ^
-E"(T)t
F2^)e2 + F^)e2
1 E (9)t ^
cos (At sin ф) -sin (At sin ф),
, ч. I й (ф) ^
+(ЦCOS ф-ц-v + s) sin I--ф
1
F (ф) =
I
— Et (T)t
2
F2 (ф) — 2 + F1^)e
1 E3(T)t ^
cos (At sin ф)
-2e (ф& gt- 1E3 (ф)г ^
E2 (ф) — 2 + Ei (Ф)-2
sin (At sin ф),
Е1(ф) =
I1 — с (ф) ^

cosI -Fз (ф)t 1 +
Dh I 2 Fз (ф)t
ю (ф) = arg (A + iB), l (ф) = 7A2 + B2, де A = ц2 — 2ц^ - v) + ц2 — 2ц^ - v) + 4sv, B = [(s -ц- v)2 + 4sv]sin 2ф +
+2ц (s — ц — v) sin ф.
P01 (t, r) мae вигляд:
Y^) = Y1 (ф) cos (At sin ф) — 51(ф) sin (At sin ф), 5(ф) = Y1 (ф) sin (At sin ф) + o1 (ф) cos (At sin ф),
v--At 2n -Atcosф
P0i (t, r)=-^J —
-J^- у (ф) cos rфd ф+
™=ifcos 12
2n 0 4I
-At 2n At cos ф
ve re
±-I -j=-o (ф)sinrфdф.
2n 0 Vl
Тут уДф) = a (9)cos j °)(ф) -ф
+Р (ф) sin I -Ф
51 (ф) = а (ф) sin j & quot-(ф) — ф
+P (ф)cos| & quot-М-ф
-Е4(ф) — (1
а (ф) = -e2 cos I — F4(q)t
-Е,(ф)t (1 +e2 cos I —з (ф)t
-Е4(ф) — (1
Р (ф) = e- sin I — F4 (ф) —
1 Ез (ф)-. (1 «.. ,
+e2 sin I — ^3(ф) — j.
Коли компонента допомiжного процесу Е* приймае великi за абсолютною величиною зна-чення r, пiд знаком звичайних iнтегралiв в ви-разах P0*0(t, r) стоять швидкоосцилюючi функ-ци. Наближене обчислення штегратв вiд шви-дкоосцилюючих функцш за допомогою звичайних квадратурних формул (прямокутникiв, трапецiй, Симсона) недоцшьне. В цьому випад-ку можна скористатись методом Фшона, який призначений для обчислення iнтегралiв виду
b b I = j f (p)cos xpdpI- = j f (p)sin xpdp,
a a
коли x не е малою величиною [5].
1нтервал iнтегрування дшиться на 2n час-тин з кроком h. Позначимо 0 = xh. Тодi основ-нi розрахунковi формули мають вигляд:
b
j f (p) cos xpdp «h{a[ f (b) sin xb —
a
— f (a)sin xa] + pC2n +уС2п-1},
b
j f (p) sin xpdp «h{-a[ f (b) cos xb —
a
— f (a) cos xa] + PS-n + YS2n-1 } ,
де a, в, у, якi е функцiями 0, визначаються з наступних сшввщношень:
93a = e2 +0 sin 0 cos 0−2sin2 0, 03 В = 2[ 0(1 + cos2 0) — 2 sin 0 cos 0], 03 y = 4[sin 0−0 cos 0]-
C2n — сума всiх парних ординат криво! y = f (p) cos xp, яю знаходяться мiж a та b, за винятком половини першо! та останньо! орди-нати-
C2n-1 — сума всiх непарних ординат- S2n — сума всiх парних ординат криво! y = f (p) sin xp, яю знаходяться мiж a та b, за винятком половини першо! та останньо! орди-нати-
S2n-1 — сума вах непарних ординат. В методi Фiлона передбачаеться, що функцiя f (p) з достатньою точнiстю апроксимуеться параболiчною дугою на кожному з штервашв (a, a + 2h),(a + 2h, a + 4h),… ,
(a + 2(n — 1) h, a + 2nh),
де a + 2nh = b.
Для наближеного розв'-язування штеграль-ного рiвняння (4) можна скористатися, наприк-лад, методом скшченних сум [6].
Розглянемо штервал [0- t ] i обчислимо P00 (t). Вiзьмемо на iнтервалi систему рiвновiд-
далених точок ti = ih, i = 0, n, де h = -, tn = t.
n
Покладемо в (4) t = ti та використаемо для наближеного обчислення штегрального члену формулу лiвостороннiх прямокутниюв з вузла-ми в точках t0, t1,…, ti-1. Одержимо рекурентну процедуру:
P00 (0) = 1,
i-1
P00 (ti) =0,0 (ti) + X[(^ + V) P0*0 (ti — tk, 0) —
k=0
-vP0*1(ti -tk, 0)-^(t -tk, 1)]P00(tk),
i = Ш, (5)
звiдки
P00 (t) = P00 (tn) =00 (-п) +X [(^+ v) P*0 (tn — tk, 0) —
k=0
-vP0*1 (tn — tk, 0) -1& lt- (tn — tk, 1)]P00 (tk).
Таким чином, запропонована методика дае алгоритм розрахунку ймовiрностей сташв до-
слщжу вально! системи з використанням чисе-льних методiв. Ймовiрностi станiв системи е найбшьш iнформативними !! характеристиками. Використовуючи! х, можна розрахувати iншi важливi характеристики роботи системи — се-редню довжину черги, середнш час дожидання однiею заявкою початку обслуговування, сере-дне число приладiв, зайнятих обслуговуванням заявок та ш.
Крiм того, збiльшуючи значення 1 можна наближено розрахувати час, через який в сис-темi встановлюеться стацiонарний режим роботи. Умови юнування стацiонарного режиму в одно канальнш системi масового обслуговування розглядуваного типу дослщжувались в робот [7].
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Гнеденко Б. В. Введение в теорию массового обслуживания / Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко. — М.: Наука, 1987.
2. Алиев Т. М. Управляемые пуассоновские процессы с границами и их применение. / Т. М. Алиев, И. И. Ежов — К.: Рукопись деп. в ВИНИТИ 15 марта 1976 г., № 796 — 76 Деп.
3. Ежов И. И. Теория вероятностей и ее применения: Сб. статей. / И. И. Ежов, А. В. Скороход // Марковские процессы, однородные по второй компоненте I. — Т. 14, № 1. — М., 1969. — С. 4−14.
4. Ежов И. И. Теория вероятностей и ее применения: Сборник статей. / И. И. Ежов, А. В. Скороход // Марковские процессы, однородные по второй компоненте II. — Т. 14, № 4. — М., 1969. -С. 679 -692.
5. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике. — М.: Гостехиздат, 1956.
6. Крылов В. И. Вычислительные методы. / В. И. Крылов, П. И. Монастырский, В. В. Бобков, Т. 2. — М.: Наука, 1977.
7. Алиев Т. М. Условие эргодичности однолинейной системы массового обслуживания с ненадежным прибором. Меж. вед. научн. сб. «Теория вероятности и математическая статистика». Вып. 14, 1976.
Надшшла до редакцп 27. 09. 2007.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой