Исследование оптимальных перелетов к Марсу с возвращением в атмосферу Земли с заданной скоростью

Тип работы:
Реферат
Предмет:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Том II
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц, А Г И
__
М 1
УДК 629. 78. 015:531. 55. 523. 43
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ К МАРСУ С ВОЗВРАЩЕНИЕМ В АТМОСФЕРУ ЗЕМЛИ С ЗАДАННОЙ СКОРОСТЬЮ
В. В. Балашов
Рассмотрена задача оптимизации траекторий перелета к Марсу с возвращением в атмосферу Земли. Излагается методика расчета, основанная на введении пространственного годографа гелиоцентрических скоростей подлета к сфере влияния Земли, обеспечивающих вход в атмосферу Земли с заданной скоростью. Приведены результаты расчета оптимальных перелетов длительностью один-полтора года на период 1971 -1988 гг.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ
Принята следующая схема перелета Земля-Марс-Земля. Космический аппарат, находящийся на орбите ИСЗ, получает приращение скорости, выходит на геоцентрическую гиперболу и далее продолжает движение по баллистической траектории к сфере влияния Марса. В окрестности перицентра планетоцентрической гиперболы в сфере влияния Марса вновь включается двигательная установка и скорость аппарата уменьшается до местной круговой. По истечении запланированного срока пребывания на орбите ИСМ (времени ожидания) аппарат выводится на планетоцентрическую гиперболу ухода из сферы влияния Марса и совершает пассивный перелет к Земле с последующим торможением в атмосфере и выходом на орбиту ИСЗ.
Рассматривается следующая модель движения планет. Орбиты Марса и Земли полагаются некомпланарными. Орбита Марса-эллиптическая, а орбита Земли при расчете траекторий перелета Земля-Марс считается эллиптической, при расчете же траекторий Марс-Земля -круговой. Последнее предположение ввиду малости эксцентриситета орбиты Земли (с® ^0,0167) приводит к незначительным ошибкам вычисления элементов траектории и энергетиче-
ских затрат, позволяя в то же время существенно упростить алгоритм расчета межпланетных перелетов.
Траектория каждого из участков Земля-Марс и Марс -Земля считается состоящей из двух планетоцентрических гипербол движения^ в сферах влияния планет и соединяющей их гелиоцентрической кеплеровой траектории. Гелиоцентрические участки ограничены точками (г = 0, 1, 2, 3), которые можно считать совпадающими с центрами планет (фиг. 1). В соответствии с этими точками производится индексация параметров перелета в моменты старта с орбит планет и окончания перелета на рассматриваемом участке.
Орбиты ИСЗ и ИСМ, с которых космический аппарат стартует и на которые выходит после торможения, полагаются круговыми, имеют заданную высоту Н над поверхностью планеты и расположены в плоскостях соответствующих планетоцентрических гипербол. Активные участки работы двигателя аппроксимируются импульсами скорости, приложенными в какой-либо точке орбиты ИС планеты.
В качестве скорости входа космического аппарата в атмосферу принимается его скорость в условном перицентре геоцентрической гиперболы подлета. Применительно к поставленной задаче в статье развивается изложенный в работе [1] подход к решению некоторых задач оптимизации траекторий космических аппаратов.
ГОДОГРАФ ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИХ СКОРОСТЕЙ КОСМИЧЕСКОГО
АППАРАТА НА СФЕРЕ ВЛИЯНИЯ ЗЕМЛИ ПРИ ЗАДАННОЙ СКОРОСТИ ВХОДА В АТМОСФЕРУ
Исследование перелетов с использованием атмосферы планет для торможения космического аппарата показывает, что оптимальные траектории Земля-Марс-Земля, соответствующие минимальным энергетическим затратам, как правило, определяют довольно большие значения скорости входа в атмосферу, что может оказаться неприемлемым. В связи с этим представляет интерес исследование межпланетных траекторий, для которых возвращение в атмосферу Земли происходит с заданной скоростью.
Будем считать, что влияние планеты на траекторию полета космического аппарата ограничено ее сферой влияния. В этом случае фиксирование условий входа в атмосферу Земли, а именно высоты Нвх условного перицентра геоцентрической гиперболы и величины скорости входа в атмосферу Земли ]/вх, позволяет найти геоцентрическую скорость аппарата Кзсф в сфере влияния
И, ф-у?1−2"в (7г-Л7г-_7г±_). (1)
Здесь /С® гравитационная постоянная Земли, /?$-радиус Земли, Ясф® — радиус сферы влияния Земли. Гелиоцентрическая скорость
космического аппарата на сфере влияния V3 определяется из векторного равенства
Va = йсФ + V®, (2& gt-
в котором Уф = const, так как в данном случае орбита Земли считается круговой. При определении параметров перелета Марс-
Земля вектор V3 параллельно переносится в центр сферы влияния (т. е. в точку 3, расположенную на орбите Земли).
В случае произвольного направления Узсф пространственный годограф V3, определяемый уравнением (2), представляет собой
сферу радиусом 1^8Сф- Вектор V3. определяется величиной и направлением луча, проведенного из точки, отстоящей на величину К© от центра указанной сферы, да пересечения с ней (фиг. 2). В качестве скалярных параметров Vs, выбраны: ^ - величина гелио-
центрической скорости подлета к сфере влияния Земли, i3- наклонение плоскости перелета
^ «Марс-Земля к плоскости эклип-
Фиг. 2 —
тики, — угол между Vs и транс-версалью, расположенной в плоскости перелета. Очевидны следующие ограничения:
3 сф3 ^ & quot-Ь V, сф! (3)
— arcsin ¦ -. -/ф & lt- /3, & lt- arcsin ^3/ф. (4)

Задание пары значений i3, р3, удовлетворяющих условию (4),. позволяет найти два значения V3, определяемые условием 1/вх = const (или, что-то же самое, условием V3 сф = const):
V3 = V® cos i3 cos ft, ± V V Сф -f (l/e cos i3 cos ft)2 — V%. (5& gt-
->
Для заданного вектора скорости V3, с которой космический
аппарат пересекает орбиту Земли, определяется положение пло-
скости перелета Марс-Земля и элементы соответствующего конического сечения. Воспользовавшись известными формулами, приведенными, например, в работе [2], получаем для произвольных кеплеровых орбит соотношения для вычисления фокального параметра р23 (в астрономических единицах) и эксцентриситета е23 траектории Марс-Земля:
Vs COS ft Y
Далее, используя уравнение (5), получим соотношение, связывающее элементы траектории перелета Марс-Земля с параметрами входа в атмосферу Земли
= 1 —23 (3 — + 2 cos i3 р%*, (8)
(r) /
которое назовем «уравнением /вх = const*. Отметим, что при t3=0 найденное соотношение переходит в приведенное в работе [1]для случая перелетов между компланарными орбитами планет..
При заданных VBX и t3 на плоскости р23, е23 уравнению (8) соответствуют «линии l/BX = const» (фиг. 3). Каждая из линий l/BX=const
•соответствует положительному и отрицательному наклонению одинаковой величины. Поскольку расстояние до перицентра траектории Марс-Земля не может быть больше радиуса рассматриваемой круговой (г@ = const) орбиты Земли, получаем следующее ограничение на элементы конического сечения: '
& gt-Р2 з — 1 • (а)
При этом возможные значения i3 выбираются из условия
со5г3& gt-1-^. (10)
Элементы траектории Марс -Земля, достигающей некоторой точки на орбите Марса, отстоящей от Солнца на расстоянии п2 (в астрономических единицах), удовлетворяют неравенству
& lt-?2з>-1 3 ¦ (11)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ МАРС-ЗЕМЛЯ ПРИ ЗАДАНИИ ТОЧКИ СТАРТА С ОРБИТЫ МАРСА
При расчете межпланетных траекторий необходимо учитывать положение планет на орбитах, однозначно определяемое календарными датами 7^(г = 0, 1, 2, 3) выполнения основных маневров. В рассматриваемой задаче целесообразно взять в качестве параметра, характеризующего временную привязку исследуемых траекторий, дату Т2 отлета космического аппарата с орбиты ИСМ. Для
используем угол у2 (фиг. 4) между проекцией радиус-вектора п2. на плоскость эклиптики и радиус-вектором Земли в момент Т2:
Здесь выбирается наименьшее из т = 0, 1, 2, удовлетворяющее условию Хг^-О- X® — средняя долгота Земли в момент Г2- 2^ - долгота восходящего узла [3], — проекция на плоскость,
эклиптики, определяемая соотношением
где — наклонение орбиты Марса к плоскости эклиптики, а четверть угла и%$ совпадает с четвертью угла и2^. Гелиоцентрическую угловую-дальность т]23 траектории Марс-Земля определим как разность истинных аномалий ч2 и точек пересечения траектории перелета с орбитами Марса и Земли соответственно:
Далее будем использовать уравнение, связывающее элементы Рчз& gt- егъ конических сечений, для которых перелет между орбитами
фиксированной даты Т2 задача нахождения траектории Марс-Земля сводится к отысканию параметров перелета из заданной точки орбиты Марса на орбиту Земли, удовлетворяющих условию VBX — const.
Фиг. 4
Воспользовавшись соотношениями для средних элементов планет, приведенными, в частности, в работе [3], определим гелиоцентрическое расстояние п2 Марса от Солнца и аргумент широты и в момент Т2.
В качестве характеристики, взаимного расположения планет
Хз- 2тгот -f-[X0(7'2) — іі2& amp-(Т2) — йо- (Г)].
(12).
«ад = arctg (cos id tg «зет),
(13)
28 ----- ^І2 '- Ъ& gt-
(14)»
где
arccos -L (p2s — 1).
планет происходит при фиксированной угловой дальности («уравнение линий т)23 = const11) [1]:
4"=& amp-0 + ^128-Ь^* Рг& gt- (15)
где коэффициенты Ь0, Ьи Ь2 ЯВЛЯЮТСЯ функциями ТГ)28 и п2.
Связь между наклонением плоскости перелета Марс-Земля к плоскости эклиптики, угловой дальностью рассматриваемого участка и положением точки старта с орбиты Марса может быть определена с помощью соотношения
sin yi23 sin г3 = - sin M2cf sin i& amp-. (16)
Зафиксировав значение угловой дальности Tfj23 и определив тем самым из (16) ориентацию плоскости перелета Марс-Земля для заданной даты Т2, получим возможность перейти от решения пространственной задачи к плоской задаче определения параметров конического сечения (в найденной плоскости перелета).
Величина р23 в этом случае может быть найдена из системы уравнений (8) и (15), эквивалентной следующему алгебраическому уравнению 4-й степени относительно ]/р2з:
Ь2 рг — 2 cos г3 р%* + (3 + Ьх —) р2Ъ + (b0 — 1) = 0. (17)

К.
Вычислив далее, например из (15), значение е23, определим характеристики перелета Марс-Земля и, в частности, его продолжительность t23.
Среди траекторий Марс -Земля, удовлетворяющих условию VBX = const, необходимо для каждой фиксированной даты Т2 найти такие, при движении по которым осуществляется встреча аппарата с Землей. Для этого необходимо, чтобы время движения Земли из положения, определяемого датой Т2, до положения, определяемого точкой достижения орбиты Земли аппаратом, совершающим перелет Марс-Земля с угловой дальностью tj2S, было равно продолжительности t23 этого перелета.
В зависимости от взаимного расположения планет в момент Т2, характеризующегося углом х?, и от величины rf23 проекции угловой дальности перелета на плоскость эклиптики время t@ находится из соотношений:
при х20, т)"з& lt-х2 или х2& gt-«, г1е23& gt-Ъ
= (18)
И) е
при Х2О, Чаз & lt-Хз или Х"& gt-ге.23 & lt- Ъ
09)
ше
Здесь ше = const — угловая скорость движения Земли по принятой круговой орбите.
Условие встречи космического аппарата с Землей записывается следующим образом:
«=*2& gt--*е = 0, (20)
где Ы — невязка условия встречи. При проведении расчетов на
ЭЦВМ практически используется условие |8^К8?*, где 8?*& gt-0- предварительно заданная точность временной стыковки.
Подобрав угловую дальность траектории, время перелета по которой удовлетворяет условию (20), определим все параметры участка Марс-Земля и, в частности, дату возвращения к Земле:
Т3 = Т2 4- *23. (21)
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПЕРЕЛЕТА ЗЕМЛЯ-МАРС
Если рассматривать задачу об отыскании параметров перелета Земля-Марс-Земля заданной продолжительности Га при фиксированной величине времени ожидания на орбите ИСМ ta, то для каждой даты Тг старта с орбиты Марса можно найти дату Тх прилета к Марсу
Т^Т, —. (22)
Так как предварительно была определена продолжительность перелета на участке Марс-Земля, находим время дви-
жения ?01 на участке Земля -Марс
t01 = Tz (f23 -j- tm) (23)
и дату старта Т0 с орбиты ИСЗ
Т0 = T1 t01 = TB — 7. (24)
г Угловая дальность т)01 участка Земля-Марс может быть определена как функция ее проекции Tjgj на плоскость эклиптики и угла at между радиус-вектором Марса в момент Tt и его проекцией на плоскость эклиптики:
т)01 = arccos (cos rjg, cos aj).
Здесь угол at = arcsin (sin Uig sin ig) определяется в зависимости от аргумента широты Марса ui& amp- в момент Ти, а величина находится из соотношений
7loi = иЬ + 2cf — ^°© ПРИ иj + & gt- W
Kg, = - [Х0ф — (Qd + иrf)] при и^ & lt-)& gt-о®.
В приведенных выше формулах — проекция аргумента широты Марса в момент 7 на плоскость эклиптики, Хо® — средняя долгота Земли в момент Т0 старта с орбиты Земли.
Задача определения параметров траектории Земля -Марс формулируется, таким образом, как задача о перелете между двумя точками с заданными радиус-векторами в моменты Г0 и Тг при известных значениях угловой дальности т|01 и времени перелета t0,. Указанная задача может быть решена с помощью уравнения Эйлера-Ламберта [4]. Достаточной точностью и быстротой сходимости итерационного процесса обладает использованный здесь метод [5] приближенного решения уравнения Эйлера-Ламберта, основанный на аппроксимации оптимально выбранными параболами истинной зависимости величины большой полуоси от времени перелета.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ ПЕРЕЛЕТА. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ
В качестве меры энергетических затрат рассматривается характеристическая скорость перелета Д1/з, представляющая собой сумму трех импульсов скорости, аппроксимирующих активные участки работы двигателя:.
Д1/Е = Д1/0 + ДК!+ ДК2. (25)
Здесь Д1/0 — ускоряющий импульс на орбите ИСЗ, Д1^ - тормозной импульс выхода на орбиту ИСМ, ДУг — ускоряющий импульс ухода с орбиты ИСМ при возвращении к Земле.
Полагая, что импульсы скорости прикладываются в перицентрах соответствующих планетоцентрических гипербол и их направление совпадает (для ускоряющих импульсов) с направлением скорости движения по орбите ИС планеты или противоположно ему (для тормозного импульса), определим их величину в г-й точке (г = 0, 1, 2) из соотношения
Здесь Н1 — высота круговой орбиты ИС над поверхностью планеты,пл. ^пл. /?сф. пл — соответственно гравитационная постоянная, радиус и радиус сферы влияния планеты, на орбите ИС которой прилагается импульс скорости, 1/гсф — планетоцентрическая скорость на сфере влияния:
Сформулируем следующую задачу. Для перелетов заданной продолжительности Тъ = Тг — Го = const с фиксированным временем ожидания на орбите ИСМ tm = T2-Тг = const и заданной скоростью возвращения в атмосферу Земли VBX = const определить в течение синодического периода такие даты выполнения основных маневров (разгона и торможения космического аппарата на орбитах ИС и входа в атмосферу Земли) Т0, Ти Т2, Т3, для которых характеристическая скорость перелета была бы минимальной.
Применительно к излагаемой методике задача оптимизации сводится к нахождению даты Т2 старта с орбиты ИСМ, соответствующей минимальному значению Д1/Е. Отметим, что условие постоянства скорости входа в атмосферу Земли учитывается при выводе соотношений, определяющих параметры перелета Марс-Земля, и поэтому точно выполняется для всех исследуемых траекторий.
В процессе отыскания параметров оптимального перелета производится последовательный перебор всех возможных взаимных угловых положений Земли и Марса, характеризующихся углом что соответствует варьированию Т2 на протяжении полного синодического периода Тсии между двумя последовательными TN и TN+1 моментами противостояния планет.
После проведения расчетов оптимальных (для каждой даты Т2) траекторий в указанном диапазоне Т2 получаем зависимость ДУъ (Т2). Для отыскания даты старта с орбиты Марса, соответ-
(26)
УісфЧ^- Vlaa.
(27)
ствующей перелету с минимальным значением необходима
уточнить каждый из локальных минимумов АУ^(Т2), абсолютный же минимум Д 1/е и соответствующая ему дата Т2 находятся сравнением всех локальных минимумов.
РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
Энергетические затраты, необходимые для осуществления перелета Земля-Марс -Земля, изменяются с периодичностью, определяемой основным синодическим циклом движения пары Земля-Марс (7 — 8 синодических периодов). Поэтому целесообразно рассмотреть возможные даты старта в диапазоне 1971−1988 гг., составляющем девять синодических периодов. Наибольший интерес представляют «быстрые& quot- перелеты продолжительностью 360−640 суток. Время ожидания на орбите ИСМ принято равным 30 суткам. Ограничимся исследованием траекторий, для которых возвращение в атмосферу Земли происходит со скоростями 16 и 20 км/сек. Для определенности будем считать, что орбиты ИС планет, с которых стартует космический аппарат и на которые выходит после торможения, имеют нулевую высоту над поверхностью планеты. Получаемые значения импульсов скорости с достаточной точностью справедливы для низковысотных (до нескольких сот километров) круговых (или близких к круговым) орбит ИС планет.
Как показывают результаты расчета оптимальных перелетов: со скоростью входа в атмосферу Земли 16 км/сек, минимальные значения характеристической скорости соответствуют старту с орбиты И С Марса спустя 40−120 суток после противостояния Земли и Марса, а в случае, когда скорость входа в атмосферу Земли равна 20 км/сек, — спустя 140−200 суток.
Оптимальная продолжительность перелета Земля-Марс-Земля составляет 440−520 суток для «благоприятных& quot- периодов старта, соответствующих минимальным значениям потребной характеристической скорости, и 480−560 суток для «неблагоприятных11 периодов с повышенными требованиями к энергетике перелета.
Влияние даты старта Г0 с орбиты Земли на характеристическую скорость перелета Д1/ц проиллюстрировано на фиг. 5 для ^вх=16 и 20 км/сек. Здесь Аг= 1, 2,…, 9-моменты противостояний Земли и Марса, а значение Т0 отсчитывается в сутках от основной эпохи (0-го января 1900 г.). Следует отметить, что для перелетов с ^=16 км/сек характеристическая скорость сильно зависит от периода старта. Минимальные значения Д½ == 11,2 12,4 км/сек достигаются для перелетов в 1971—1973 гг. и 1985−1989 гг. Период 1977—1984 гг. следует считать неблагоприятным для осуществления полета к Марсу с возвращением к Земле, так как в этом случае требуемые значения характеристической скорости составляют 16 — 18 км/сек. Для траекторий с Увх-20 км/сек энергетические затраты гораздо меньше зависят от периода старта, при этом минимальные значения Д = 11,4 12 км/сек соответ-
ствуют 1971−1975 гг. и 1988−1990 гг.
Для выявления зависимости характеристической скорости перелета от величины скорости входа в атмосферу Земли для перелетов в 1973—1975 гг. рассмотрим траектории с 1/вх= 14-г-24 км/сек (фиг. 6). Минимальные энергетические затраты достигаются в этом случае для 1/вх = 20 км/сек, а изменение последней в пределах:
+ 2 км/сек вызывает сравнительно небольшое увеличение АУЪ, в то время как достижение 1/вх= 14 км/сек увеличивает потребную энергетику на 3 кл1/сек.
Для того же периода дат старта увеличение времени ожида-
ния на орбите ИСМ ta от 30 до
-----
[км/сек]
1б--
12
10
16км/сек
32 000 Т0
8
8 9 А
*Vj
[км/сек]
Я --
Vg= 20 км/сен
100 суток приводит к возрастанию Д1Л: на 2−3 км/сек, при этом продолжительность оптимального перелета увеличивается на 100−140 суток.
В заключение следует отметить, что решение задачи оптимизации перелетов Земля-Марс- Земля с фиксированной скоростью
01. 01. 13 13 75 77 79 81 83 85 87 89 31г
/*
12
10
сек] 1973−1975г г 30 суток




Фиг. 5
/4 16 18 20 22 Vilt[KM/ceKj
Фиг. 6
входа в атмосферу Земли позволило найти семейства траекторий с характеристическими скоростями, близкими к характеристическим скоростям траекторий без ограничения скорости входа [6], для которых величины 1/вх получаются существенно больше рассмотренных в статье.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ильин В. А. К расчету траекторий перелета космических аппаратов между компланарными круговыми орбитами в ньютоновском гравитационном поле. «Космические исследования& quot-, т. II, вып. 5,
1964.
2. Эрике К. Космический полет. М.,. Наука"-, 1963.
3. Чеботарев Г. А. Аналитические и численные методы небесной механики М., «Наука& quot-, 1965.
4. Бэттин Р. Наведение в космосе. М., «Машиностроение& quot-, 1966.
5. Петухов С. В. Об одном способе приближенного решения уравнения Эйлера-Ламберта. «Космические исследования& quot-, т. IV, вып. 5, 1966.
6. Б, а л, а ш о в В. В. Некоторые вопросы использования атмосфер планет для снижения энергетических затрат при осуществлении межпланетных перелетов. Труды IV Циолковских чтений, М., 1970.
Рукопись поступила 7/II 1970 г-

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой