Об экспоненциальной дихотомии решений задачи Коши для системы дифференциально-разностных уравнений с постоянными коэффициентами

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

МАТЕМАТИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2011. № 4. С. 45−49.
УДК 517. 9
Е. М. Назарук, А.М. Романовская
ОБ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ДИХОТОМИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Исследуется дихотомия решений задачи Коши для указанного в названии статьи класса систем с любым набором запаздываний сведением к такой же задаче для разностного уравнения в банаховом пространстве. Установлен критерий дихотомии в терминах расположения на плоскости нулей детерминанта некоторой матрицы. Приведен иллюстрирующий пример.
Ключевые слова: любой набор запаздываний, разностная задача Коши, компактный оператор, описание спектра, дихотомия спектра, спектральные проекторы.
1. В последние десятилетия в теории устойчивости интенсивно изучается тип поведения динамических систем, получивший название «экспоненциальная дихотомия». Фундаментальные результаты по этой проблематике для систем X = А ()X и их бесконечномерных аналогов получены в 60-е, 70-е гг. прошлого века [1−4], получены приложения к теории динамического хаоса, теории автоматического управления, теории усреднения дифференциальных операторов с быстро осциллирующими коэффициентами [5−8]. В последние 20 лет существенно продвинута эта теория для уравнений в банаховом пространстве с неограниченным оператором А (/) на базе методов теории полугрупп ([9−12], см. также ссылки в [11]). В [13] развит метод расчета на устойчивость и дихотомию систем с постоянной матрицей, А большой размерности, возникающих при конечномерной аппроксимации систем с распределенными параметрами, основанный на отщеплении инвариантных подпространств малой размерности, отвечающих наиболее близким к мнимой оси точкам спектра. Получено приложение к анализу асимптотического поведения решений краевых задач для гиперболических систем с постоянными коэффициентами. В [14] исследован аналог свойства экспоненциальной дихотомии для гиперболических систем с двумя независимыми переменными, получивший название «экспоненциальная расщепляемость», в качестве определения принят тип поведения фундаментальной матрицы, наблюдаемый «в эксперименте» в случае постоянных коэффициентов при выполнении некоторого спектрального условия. Получено приложение к проблеме глобального усреднения для гиперболических уравнений [15]. Эти исследования продолжены в [16]. Вышедшие в последние 3 года работы [17−20] посвящены разработке, в рамках прямого метода Ляпунова, эффективно проверяемых признаков дихотомии для подклассов линейных дифференциальных и разностных систем с почти периодическими по времени коэффициентами. Эти результаты являются новыми и в периодическом случае.
В данной работе исследуется экспоненциальная дихотомия решений задачи Коши для подкласса дифференциально-разностных сис-
© Е. М. Назарук, А. М. Романовская, 2011
систем. Подход состоит в сведении этой задачи к задаче Коши для разностного уравнения вида xn+1 = Гxn в банаховом пространстве, где оператор Г (в случае системы с одним запаздыванием) либо некоторая его степень — компактный оператор. Это позволяет свести вычисление спектра Г к вычислению нулей детерминанта некоторой матрицы. Дихотомия решений задачи Коши является следствием дихотомии спектра Г — распада на две компоненты, лежащие внутри и вне окружности Л = 1.
Далее | • | - эрмитова норма в С*.
2. Рассмотрим задачу Коши
Лемма. Пусть целое г & gt- 0 таково,
m
Х (і) = Ax (t) + ^В*х (1 — ak), х: |^а, да) ^ Сл
*=1
Х1 М=^ єЕ
(1)
постоян-
Здесь 0 & lt- а1 & lt-… & lt- ат = а, А, Вк ные матрицы порядка N Е — банахово
пространство С ([0, а]) ^ СN с нормой
|р|| = тах р^)|. Задача (1) имеет единственное решение х (1), получаемое последовательным решением задачи Коши для систем вида Х = Ах + /п на отрезках
[а + па1, а + (п + 1) а1 ], п є Ъ+, гладкое на (а, да). Обозначим
хп (і) = х (1 + па1), t є [0,а], п є Ж+. Равенства (1) равносильны набору
соотношений
Хп+1(0 — Ап+1(0=Евкхп (t+а — акX t є[а — аl, a],
к=1
*"+1(0 = хп (+а1), tє[0,а-а1], Хo (t) = р0єЕ.
Применение на [а — а1, а] формулы для решений системы вида Х — Ах = / [3,
с. 105] с учетом хп+1 (а — а1) = хп (а) дает: задача (1) равносильна задаче Коши
(2)
[ Х0 = р є Е, где оператор Г: Е ^ Е дается формулой
ГрО + аД 1: є[0, а — а1 ],
Г Р = і г і (3)
ІГ0р, і є [а — а1, а]
1 т
Г0р = | вА ('-Т)^Вкр (т + а1 -ак)ёт +)р (а).
а-а к=1
А (г+а-а)
что
(г — 1) а1 & lt- а & lt- га1.
Тогда оператор Гг компактен.
(4)
Доказательство. Из (3), (4) нетрудно получить: при любой р є Е
Г0РЦ-1Н, 1 є[0а — (Г — 1) аі],
Г^=!____,. і є[а — ка1, а — (к — 1) а^
1+(кк = 1, г -1
Г0П-к Р
Отсюда следует требуемое.
Построим матрицу-функцию
А (& lt-?) = ?-А-^е^Б^е С. (5)
Теорема 1. I. Спектр оператора Г состоит из точки Х = 0 и не более чем счетного множества собственных значений, при этом внешность любого круга
|Л| & lt- 5 содержит конечное множество
собственных значений.
II. Собственные значения оператора Г даются формулой
Х = е^, ёа А (?) = 0,
(6)
где А (?) -матрица (5). Соответствующие собственные функции имеют вид
р ()) = е"* /, (7)
где А (?)а = 0, / є С *, / * 0.
Доказательство. Утверждение I следует в случае г = 1 в (4) из свойств спектра компактного оператора в банаховом пространстве ([21], с. 275, 285), в случае г & lt- 1 — из компактности оператора Гг и теоремы Данфорда об отображении спектра.
Пусть р (1) — собственная функция оператора Г: Гр = Хр, р * 0. Подставляя в (3), получим:
Хр (ї) = р (1 + аД і є[0, а — а ],
1 1 (8)
Хр (1) = Г0р, і є [а — а1, а].
В случае г = 1 а — а1 = 0 равенство (8) принимает вид Хр (0) = р (а),
Хр{і) = ел
I е Ат В1р (г)ёг + р (а)
, і є [0,а]. (9)
Дифференцируя (9) по і, последовательно найдём

Хр) (і) = (ХА + В1) р, р (1) = е (А+Х-В1) р (0),
р (') = Х~У А+К 1ю 'р (а).
Отсюда, в частности, следует р (а) Ф 0. Подстановка 2 = еа (учтено X Ф 0), ' = а даёт:
(1-е-аЛ («)р (а) = 0, где Д (^) — матрица (5) при г = 1. Отсюда, с учетом теоремы об отображении спектра и формулы (10), следуют равенства
(6Ь (7) при / = р (а).
В случае г & gt- 1 а — а1 & gt- 0, поэтому первое равенство (8) возможно, если
р (') = ер /, X = е& quot-11 (' е [0, а] при некоторых
^ е С, / е С^, / Ф 0. Подставляя во второе равенство (8), выполняя дифференцирование по ' и умножая обе части равенства на е~|('-+& lt-11), получим: Д (^) / = 0, тем самым det Д (?) = 0.
Теорема доказана.
Из (7) попутно следует: каждому собственному значению (6) отвечает не более N линейно независимых собственных функций.
Будем называть уравнение (6) характеристическим уравнением для системы (1).
3. Решение задачи Коши (2) дается формулой
х = Гпр, п е Ъ+.
П Т ' +
Будем говорить, что имеет место экспоненциальная дихотомия решений задачи Коши (1), если фазовое пространство Е распадается в прямую сумму подпространств
Е = Е1 + Е2, Ек ф{0} (11)
так, что для решений эквивалентной задачи Коши (2) с оператором (3) имеют место при некоторых /и, V & gt- 0 оценки
(10)
р єЕ1 ^ ||Гпр| & lt- це
Еч ІІТ^п II ^ V
'- 2 ^ Г рр & lt- це
(12)
ТЕОРЕМА 2. Для того, чтобы имела место экспоненциальная дихотомия решений задачи Коши (1), необходимо и доста,-точно, чтобы1 множество корней характеристического ура. внения (6) не пересекалось с мнимой осью и при этом хотя бы один корень лежал в полуплоскости ЯеХ & gt- 0.
Доказательство. Обозначим & lt-т (Г), ^(Г) соответственно спектр и множество
собственных значений оператора Г. В силу первой части теоремы 1
о (Г) = *(Г) и{0}. (13)
Требование теоремы 2 означает, с учетом второй части теоремы 1 и формулы (13), распад спектра Г
о (Г) = 0−1 и 0−2, (14)
где ак — непустые множества, лежащие соответственно внутри и вне окружности |Х = 1 на положительном расстоянии от нее, при этом в силу теоремы 1 множество 02 конечно: при некотором р& lt- 1
О ={Хео (Г), Х& lt-р}, 1
! -& gt- |Хк| & gt-. (15) 02 = {, ---К }е ^ ГХ Р
Распад (14) влечет (см. [3], с. 71) распад (11) фазового пространства в прямую сумму инвариантных подпространств Ек = РкЕ, где проекторы Рк вычисляются по формуле Рисса:
Р1 =П I (Хі - г)-1 йх,
2 т Х=Р
р =1-р 1 2 1 1 15
I — единичный оператор в Е, при этом спектр сужения оператора Г на подпространство Ек — множество ак. С учетом этого формула Рисса
Гпр = - I Хп (ХІ-Г)-1рйХ, р єЕ1, 2пі 1
Х=р
дает, после перехода к оценке нормы интеграла, первую оценку (12) при
1
ц = р тах, Х=р
(ХІ - Г)-1
V = 1п-
р
Да-
лее, оператор Г, рассматриваемый на инвариантном подпространстве Е2, имеет ограниченный обратный Г-1 со спектром {х -1,-х-1}, |Х'| & lt-р. При р єЕ2 имеем
р = (Г-1)п Гпр = - I Хп (XI-Г-1)-рйХ. 2пі ХХ
х=р
Выполняя оценку сверху нормы инте-
грала и выражая отсюда
Г пр
, получим
вторую оценку (12) при том же V и и2 = (ршаХ|2=р (XI-Г-1))-1. Обозначая
и = шах (и, и2), получим оценки (12) в окончательном виде.
Достаточность доказана. Невыполнение требований теоремы 2 означает: либо ^(Г) лежит целиком внут-
+
ри окружности X = 1, либо существует Хе 5(Г) с модулем 1. В первом случае в
(11) Е, = Е, Е2 ={0} и не выполняется требование Ек Ф {0}. Пусть имеет место второй случай и р (') — соответствующая собственная функция: Гр = Хр, рФ 0.
Имеем:
Г пр=Хпр
= сот' Ф 0. С
другой стороны, предполагая выполненным разложение (11), (12), получим:
р = р1 + р2, рк е Ек, откуда следует: либо
1|г& gt-Н 0 при п ^ да (случай р2 = 0), либо 11Гпр ^ да при п ^ да (случай р2 Ф 0). Теорема доказана.
Пример. Рассмотрим задачу Коши X (') = х | ' - - | + х (' -1), х: [1, да) ^ С
V 2У (16)
х1 [0Д] = р (') е Е.
Е = С ([0,1] ^ С), А = 0,
Здесь 1
В1 = В2 = 1, а1 = а2 = а = 1,
Гр =
/2
р (т)+р| Т-
1
ёт+р1),
(17)
характеристическое уравнение (6) имеет вид
/ (г, ег) = 0,
г = Л
2
(18)
/ (г,®) = 2 г + ®2 + ®.
В силу теоремы о нулях целой функции вида /(г, ег), где /(г,®) — полином без главного члена (см. [22]), уравнение
(18) имеет счётное множество корней. Вычисления дают: полоса
Яе^е
^ 5 1 — 2/п-, — 4 2
не содержит корней
уравнения (18), в полуплоскости Яе& gt- 0 имеется единственный корень & lt-^0 е ^'2', 1^У. Тем самым выполнены требования теоре-
мы 2, и для решений задачи Коши (16) имеет место свойство экспоненциальной дихотомии: прямое разложение (11) с
оценками (12). При этом в разложении
(14) спектра оператора (17) множество
О — лежащее в круге |Х& lt- 5 счётное множество пар X, X с предельной точкой 0, множество о2 состоит из одной точки
X = е0 = е2, подпространство Е2 в (11) -собственное пространство оператора (17), отвечающее собственному значению
Х0: Е2 = {ф = се^°', С е с}, проекторы Рк,
реализующие разложение (11), даются формулами
Рр = р (') — е*°('-1)р (1), Р2р = е^°('-1)р (1).
г 1
С учетом & lt-д0 & gt-- нетрудно получить:
2
4
оценки (15) верны при р = -5, тем самым
, 5
оценки (12) верны при V = 1п 4.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Массера Х. Л., Шеффер Х. Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. 458 с.
[2] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970. — 720 с.
[3] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 534 с.
[4] Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970. 371 с.
[5] Аносов Д. В., Синай Я. Г. Некоторые гладкие динамические системы // Успехи математических наук. 1967. Т. 22. № 5 (137). С. 167−172.
[6] Розенвассер Е. Н. Показатели Ляпунова в теории линейных систем управления. М.: Наука, 1977. 344 с.
[7] Жиков В. В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения // Изв. АН СССР. Серия матем. 1976. Т. 40. № 6. С. 1380−1408.
[8] Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978. 205 с.
[9] Баскаков А. Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов // Функциональный анализ и его приложения. 1996. Т. 30. № 3. С. 1−11.
[10] Баскаков А. Г., Пастухов А. Н. Спектральный анализ операторов взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициен-
тами // Сиб. матем. журнал. 2001. Т. 42. № 6. С. 1231−1243.
[11] Баскаков А. Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченным операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений // Изв. РАН. Серия матем. 2009. Т. 73. № 2. С. 3−68.
[12] Chicone C., Latushkin Y. Evolutional semigroups in dinamical systems and differential eguations. Providence, R. I.: AMC, 1999. 361 c.
[13] Годунов С. К., Жуков В. Г., Феодоритова О. В. Метод расчета инвариантных подпространств для симметрических гиперболических уравнений // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 2006. Т. 41. № 6. С. 1019−1031.
[14] Романовский Р. К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными // Мат. сб. 1987. Т. 133. № 3. С. 341−355.
[15] Романовский Р. К. Усреднение гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. 1989. Т. 306. № 2. С. 286−289.
[16] Романовский Р. К., Бельгарт Л. В. Об экспоненциальной дихотомии решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости //
Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 8. С. 1125−1134.
[17] Романовский Р. К., Бельгарт Л. В. Дихотомия решений задачи Коши для почти периодической гиперболической системы на плоскости // Докл. АН ВШ РФ. 2010. № 2 (15). С. 14−24.
[18] Романовский Р. К., Бельгарт Л. В. Об экспоненциальной дихотомии линейных систем с почти периодической матрицей // Сиб. мат. журнал. 2009. Т. 50. № 1. С. 190−198.
[19] Романовский Р. К., Бельгарт Л. В. Об экспоненциальной дихотомии линейных разностных систем с почти периодической матрицей // Ма-тем. заметки. 2008. Т. 84. № 4. С. 638−640.
[20] Романовский Р. К., Бельгарт Л. В. Об экспоненциальной дихотомии решений систем линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами // Изв. ВУЗов. Математика. 2010. № 10. С. 51−59.
[21] Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.
[22] Понтрягин Л. С. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1942. Т. 6. С. 115−134.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой