Исследование периодических движений и структуры фазового пространства фрикционных автоколебаний методом точечных отображений

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Матем атика
Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского, 2011, № 4 (1), с. 156−159
УДК 531. 391
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ И СТРУКТУРЫ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА ФРИКЦИОННЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
© 2011 г. О.Л. Любимцева
Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет
та^Ы2010@yandex. ru
Поступила в редакцию 04. 03. 2011
Исследуются области существования и устойчивости периодических решений и структура фазового пространства системы, совершающей одномерные колебания с ударами о неподвижный ограничитель под действием силы сухого трения, которая меняется с изменением относительной скорости по кусочно-линейному закону. В работе показано, что возможно установление незатухающих периодических колебаний, амплитуда и период которых не зависят от начальных условий и определяются лишь значениями параметров системы, т. е. данная система является автоколебательной. Задача представляет практический интерес, поскольку рассмотренная схема идеализирует работу вибротрамбовок и бес-пружинных вибромоторов.
Ключевые слова: точечное отображение, неподвижные точки, устойчивость.
В различных областях современной техники широко используются устройства с соударяющимися элементами. По сравнению с анализом конкретных динамических систем с непрерывным изменением переменных, где удается для простых систем достичь полной ясности при изучении качественной структуры и ее зависимости от параметров, в динамических системах с ударными взаимодействиями ситуация иная даже для простых модельных систем. Изучению таких систем посвящено большое число работ, в которых были найдены, в основном, области существования (в пространстве параметров) разнообразных типов движения. Однако в целом пространства параметров исследованы не были, тогда как изменившиеся представления о возможностях динамики систем с ударными взаимодействиями позволяют с иной точки зрения взглянуть на конкретные динамические системы и получить ряд новых интересных закономерностей и выводов, имеющих важное значение для практики (см., например, [1−3]).
Примером динамической системы с ударными взаимодействиями может служить осциллятор, совершающий фрикционные автоколебания в зазоре под действием силы сухого трения, которая меняется с изменением относительной скорости. В работе [3] в предположении о малой крутизне характеристики силы сухого трения с помощью приближенных методов (разложением соответствующих функций в степенные ряды) определены значения коэффициента восстановления скорости тела при ударе о стенки зазора, при которых в системе возможен устой-
чивый периодический режим. В данной статье изучается структура пространства параметров осциллятора с одним неподвижным ограничителем (рис. 1). При этом использование метода точечных отображений оказалось естественным и достаточно эффективным.
1. Уравнение движения. Рассмотрим следующую механическую систему с одной степенью свободы: имеется масса т, которая двигается горизонтально с помощью ленточного механизма. Если обозначить смешение тела через х, а его скорость через X, то сила трения, действующая на массу т, как функция относительной скорости (V — X) может быть записана: F (V) = = F (V — X), ?0 — постоянная скорость ленты [4]. Движение массы т перемежается ударами о неподвижную твердую стенку. Удары предполагаются мгновенными и характеризуются коэффициентом восстановления R, который может находиться в промежутке 0 & lt- Я & lt- 1. Математическая модель этой системы описывается дифференциальным уравнением второго порядка с соответствующими граничными условиями: тх = F (vо — х|)зign (уо — X) при х & lt- 0, X Ф У0,
X = 0 при х & lt- 0, X = У0, х- = -Ях+ при х = 0. где х-, х+ - скорости тела до и после удара соответственно.
Будем считать [3], что F (V) определяется выражением (см. также рис. 2)
ГF0 -5У, 0 & lt- V & lt- У,
F (V) =
Fо-5^, V & gt- V.
5 = сопб! & gt- 0
Рис. 1
н
Рис. 2
Рис. 3
После удара сила трения F (V) растет до полной остановки тела (F (V) = F (V,)). Далее, при движении тела вправо F (V) & gt- F (?0). Введем безразмерные переменные у, т и параметры ц, п0:
Fn, а 0 Fnа 0 1 -а
•У = *-ттЬ т = ^-ІГ71, Ц = -
V — V
0 По = К° Кі
F (Уо).
'- '- а0 '- '-° ^0
а ° характеризует крутизну
зависимости F (У) при V = Vо. Тогда уравнения движения массы т преобразуются к виду 1
У =
Fо, а о
F Ы1 — у|) sign (1 — У)
(1)
(2)
при у & lt- 0, у Ф1, у = 0 при у & lt- 0, у = 1,
У- = -Ку+ при у = 0. (3)
В дальнейшем будем предполагать, что0 =-1. Тогда V1 = 2У0, и рабочим является только падающий участок характеристики силы трения. С другой стороны, должно выполняться условие F0 — 5 V & gt- 0. Поскольку 5 =
(1 — а 0) F0
— 00 и V = 2У0, это условие эквива-
мы двумерно: (у, у). Область движения изображающей точки ограничена в фазовом пространстве линией ударного взаимодействия у = 0. Целесообразно поэтому для изучения решений системы (1)-(3) исследовать точечные отображения этой поверхности (см., например, [4]).
2. Точечное отображение. Обозначим через, А (0, у0) начальную, а через В (0, у) — конечную точку точечного преобразования Т (рис. 3). Ударными взаимодействиями (3) точка, А переводится в точку С (0, — Яу0), затем точка С переводится фазовыми траекториями уравнения (4) в точку В. Таким образом, у = Т (у0). Найдем общее решение уравнения (4), удовлетворяющее в начальный момент времени условиям у (0) = 0, у (0) = -Яу0. Путем замены у = г уравнение приводится к виду у = г г = 1 + ц г.
Г-Р dz 1 + Ц 2
Т огда — =-----------------------
откуда с учетом на-
лентно неравенству а0 & gt- -. Так как ц=ц (а0) —
убывающая функция а0, то неравенство а0 & gt- 1
(а значит, и неравенство F0 -5^ & gt- 0) выполняется тогда и только тогда, когда ц & lt- 1. Далее, так как V & lt- У1 (по предположению) и у & lt- 1, то уравнение (1) приводится к виду
у = 1 + цу. (4)
Если при достижении поверхности у = 0 значение у & gt- 0, то в системе происходит ударное взаимодействие, при котором у_ = -Яу+. Фазовое пространство рассматриваемой систе-
му г чальных условий находим
1 Г • п • 11 1 — я цу 0
у = -I у + Яу0 +_^-• ц I ц 1 + цу
Положив в (5) у = 0, получим уравнение отображения у = Т (у0) для случая у0 & lt- 1:
(5)
у + Ку 0 ±----------1п
1 1 — К Цу 0
= 0.
(6)
ц 1 + цу Неподвижные точки этого преобразования (рис. 4) получаются как решения у 0 уравнения
(1 + К) у 0 +
1п 1 — К Цу 0 = 0.
(7)
ц 1 + цу 0 Вычислив значение производной функции у
в соответствии с (6) в неподвижной точке у0
Лу (у ,) = Я 2(1 + цу 0*)

1 — К Цу 0*
где а0 =
0
158
О.Л. Любимцева
ил О2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 № 0,9
Рис. 6
у 1,6
1А 1,2 1
ш
0,6
0,4
0,2
О
Рис. 7
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5 0,7 0,3 0,9 1 Уъ
Рис. 8
заметим, что точка у0 является устойчивой, если
К (1 + Ц у 0*)
& lt- 1.
(8)
1 — я ц у 0
Так как точечное преобразование является монотонно возрастающей функцией (при ц & lt-1), то могут существовать лишь простые неподвижные точки чередующейся устойчивости [6].
3. Периодические движения системы. Рассмотрим случай, когда скорость тела т достигает скорости ленты до поверхности удара, т. е. у0 = 1 (рис. 5). Из уравнения движения (5) следует, что если существуют устойчивые периодические движения у = у0 = 1, то должно выполняться неравенство
Последнее неравенство выполняется для всех 0 & lt- у & lt- 1. Это означает, что, начиная с некоторого момента времени (другими словами, начиная с некоторого значения у & lt- 0), движение тела т подчиняется уравнению (2). Таким образом, имеем у = 1. Следовательно, в системе имеются устойчивые периодические движения у = у0 = 1 в том и только том случае, если выполняется неравенство (9). Решения неравенства (9) образуют область ^), указанную на рис. 6. Для любой пары (Я, ц) из этой области существует вышеуказанный тип периодических движений. Точки (Я, ц0), принадлежащие разделительной кривой, есть решения уравнения
1 + К + ііпі-ЦК & lt- 0.
1 V 1 1 1 — ЦК п 1 + К + - 1п-------------- = 0.
(9)
ц 1 + ц
Обратно, пусть выполнено неравенство (9). Заметим, что функция / (у) = у + Я + - ?п1--
ц 1 + цу
является возрастающей, поскольку /'-(у) = 1 ------1- & gt- 0. Тогда, полагая в (5) у0 = 1, будем
1 + цу
иметь
1 Г • «1,1 — цЯ
у = -! у + я + - 1п--- ц I ц 1 + цу
& lt- 1
1,1 — ЦК
1 + К ±1п-- Ц 1 + Ц
Л
& lt- 0.
, (10) ц 1 + Ц
Они разбивают пространство параметров (К, ц) на две области и являются бифуркациями этого пространства. Для каждой точки (К, ц) имеется полуустойчивый цикл у* = 1. Заметим, что для значений К & lt- Кёд «0. 59 (рис. 6) не найдется значения ц & lt- 1, при котором в системе имеется предельный цикл, отличный от тривиального устойчивого цикла у* = 0. Далее предполагаем, что К & gt- Ккр.
1) Пара (К, ц) не является решением неравенства (9) (область (Н) на рис. 6- точки (К, Ц) для определенности будем выбирать на верти-
кальной прямой, содержащей точку ц0). В этом случае ц & lt- ц0 и точечное преобразование у = Т (у0) имеет только одну неподвижную точку — устойчивую точку у0 = 0. Действительно, так как (9) не выполнено, то в системе могут быть лишь неподвижные точки, для которых у0 & lt- 1. Если у* ф 0, то из равенства ц° = цу° получим у* & gt- 1, что невозможно. Характерный вид диаграммы Кенигса-Ламерея для этого случая представлен на рис. 7 при Я = 0. 8- ц = 0.2. Заметим, что изображающие точки фазовых траекторий стремятся к у* = 0, т. е. имеем затухающие движения.
2) Пусть точка (Я, ц) является решением неравенства (9) (область ^) на рис. 6). При этих значениях параметров Я и ц точечное преобразование имеет три неподвижные точки, две из которых являются устойчивыми: у0* = 0 и
у0*2 = 1, а третья — неустойчивой 0 Ф у*1 & lt- 1. Последнюю точку можно найти из равенства ц* = цу0 (в этом случае ц* & lt- ц). Покажем, что она является неустойчивой. Действительно, если у0* устойчива, то, согласно (7), имеем Я 2(1 + цу 0*) Я 2(1 + ц*)
1 — R Цу 0 1 — R Ц
& lt- 1.
точке ц:
Если R
1
1 + Ц
-, то R (1 + ц*) — 1 & lt-
Легко показать, что последнее неравенство
эквивалентно условию Я & lt- -. Используя
1 + ц
равенство (10), вычислим производную Я'- в
R-(ц*) = - R) *, (R (1+ ц*) -1). ц R (1 + ц)
& lt------ (1 + ц *) -1 = 0. Но тогда функция Я (ц)
1 + ц
возрастает в точке ц, что противоречит убыванию Я (ц) для всех 0 & lt- Я & lt- 1 (рис. 6). Следовательно, точка 0 Ф у0* & lt- 1 является неустойчивой. Соответствующая диаграмма Кенигса-Ламерея приведена на рис. 8 при Я = 0. 8- ц = 0.6. Заметим, что в этом случае изображающая точка фазовой траектории при 0 & lt- у0 & lt- у01 приближается к точке у0* = 0. Если у0 1 & lt- у0 & lt- 1, то изображающая точка приближается к точке у 02 = 1.
Автор выражает благодарность Баландину Д. В. и Горбикову С. П. за постановку задачи и внимание к работе.
Список литературы
1. Горбиков С. П. Особенности строения фазового пространства динамических систем с ударными взаимодействиями // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 3. С. 23−26.
2. Горбиков С. П. Установившиеся движения осциллятора без вязкого трения с зазором и неподвижным ограничителем // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 2. С. 44−50.
3. Баландин Д. В. Фрикционные автоколебания в зазоре // Изв. РАН. Сер. «Механика твердого тела». 1993. № 1. С. 54−60.
4. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.
5. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний // Изв. вузов. Радиофизика. 1958. Т. 1. № 1, 2.
6. Гаушус Э. В. Исследования динамических систем методом точечных преобразований. М.: Наука,
1976.
1
& lt-
INVESTIGATION OF PERIODIC MOTIONS AND PHASE-SPACE STRUCTURE OF FRICTIONAL SELF-OSCILLATIONS BY POINT MAPPING METHOD
O. L. Lyubimtseva
We study the existence and stability of periodic solutions and the phase space structure of a system performing one-dimensional forced oscillations with impacts on the fixed stopper under the influence of dry friction force which varies with the relative velocity by piecewise-linear law. The problem is of practical interest since the scheme considered idealizes the performance of vibrorammers and springless vibration motors.
Keywords: point mapping, fixed points, stability.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой