Численное и аналитическое исследование некоторых процессов, описываемых нелинейным уравнением теплопроводности

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 157, кн. 4 Физико-математические науки
2015
УДК 563. 2:517. 927. 4
ЧИСЛЕННОЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРОЦЕССОВ, ОПИСЫВАЕМЫХ НЕЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЕМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
А. Л. Казаков, Л.Ф. Спевак
Аннотация
В статье проведено аналитическое и численное исследование одномерной краевой задачи с вырождением для нелинейного уравнения теплопроводности в случае степенной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры, решение которой имеет вид тепловой волны, распространяющейся по холодному фону с конечной скоростью. Разработан численный алгоритм построения решения, основанный на методе граничных элементов, выполнена его программная реализация. Проведены численные расчеты, результаты которых сравнивались как с известными точными решениями рассматриваемого уравнения, так и с отрезками кратных степенных рядов, в виде которых могут быть представлены решения исследуемой задачи в случае аналитичности входных данных. Полученные результаты развивают выполненные ранее исследования авторов.
Ключевые слова: уравнения с частными производными, нелинейное уравнение теп-лопроводости, метод граничных элементов, степенной ряд, тепловая волна.
Введение
Уравнение теплопроводности по праву считается одним из классических объектов математической физики [1]. Интересно данное уравнение прежде всего благодаря тому, что имеет многочисленные приложения. При этом описывает оно не только распространение тепла в пространстве, но и процессы диффузии и фильтрации различной природы [2], включая фильтрацию жидкости и газа в пористой среде, а также используется при построении математических моделей роста и миграции популяций, в химической кинетике и т. д. — перечень можно было бы продолжить. Обычно уравнение теплопроводности рассматривается в виде
Tt = di v (k VT). (1)
Здесь T — искомая функция (температура), t — время, div, и V — дивергенция и градиент по пространственным координатам соответственно.
Наиболее распространенным и хорошо изученным является линейный вариант уравнения (1), когда k = const & gt- 0 (и тогда div (kVT) = kAT). Однако линейная модель в ряде случаев является недостаточно точной для адекватного описания реальных процессов. В этой связи актуальным является исследование нелинейного уравнения теплопроводности, в котором коэффициент теплопроводности k зависит от искомой функции T. Одним из наиболее распространенных вариантов такой зависимости является степенная k (T) = aTа. В этом случае уравнение (1) путем замены искомой функции u = Tа и растяжения по пространственным координатам может быть записано в виде
ut = uAu 4-(Vu)2. (2)
а
42
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 43
Уравнение (2), в частности, описывает фильтрацию идеального политропного газа в пористой среде, и тогда u — плотность, а, а & gt- 0 — показатель политропы (адиабаты) газа [3]. В англоязычной литературе уравнение (2) обычно называют «the porous medium equation» [4].
В настоящей работе представлены одномерные краевые задачи для нелинейного уравнения теплопроводности в случае степенной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры. Проведено обобщение результатов авторов, полученных ранее [5−8]. Представлены и верифицированы новые точные решения в виде кратных степенных рядов, а также численные решения с помощью метода граничных элементов (МГЭ).
1. Основной результат
Уравнение (2) в случае одной пространственной координаты имеет вид
1 2, v
ut = uurr ±u ± ur
a r
Здесь u (t, r) — искомая функция- t, r — независимые переменные, r & gt- 0- a & gt- 0, v? No — константы.
Физический смысл переменной r следующий: расстояние до начала координат в пространстве переменных xi, Х2,…, xv+i в евклидовой метрике, то есть r = (х2 + + Х2 + • • • + xv+i)½. При этом наиболее содержательными являются случаи v = 0 (плоскосимметричный), v =1 (цилиндрически симметричный) и v = 2 (сферически симметричный). Поскольку случай плоской симметрии ранее был подробно изучен [5, 6], далее считаем, что v & gt- 0.
Для уравнения (3) рассматриваются следующие краевые условия:
u |r=a (t) u0 (t, r) |r=a (t) g (t) ,
предполагается, что
a (0) = R& gt- 0, g (0) = 0, g'-(0) & gt- 0, [g'-(0)j2 + K (0)]2 & gt- 0. (5)
При выполнении краевых условиях (4), (5) в момент времени t = 0 при r = R в уравнении (2) коэффициент перед старшей производной обращается в нуль. Данная особенность

Статистика по статье
  • 18
    читатели
  • 4
    скачивания
  • 0
    в избранном
  • 0
    соц. сети

Ключевые слова
  • УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ,
  • НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДОСТИ,
  • МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ,
  • СТЕПЕННОЙ РЯД,
  • ТЕПЛОВАЯ ВОЛНА,
  • PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS,
  • NONLINEAR HEAT CONDUCTION EQUATION,
  • BOUNDARY ELEMENT METHOD,
  • POWER SERIES,
  • HEAT WAVE

Аннотация
научной статьи
по математике, автор научной работы & mdash- КАЗАКОВ АЛЕКСАНДР ЛЕОНИДОВИЧ, СПЕВАК ЛЕВ ФРИДРИХОВИЧ

В статье проведено аналитическое и численное исследование одномерной краевой задачи с вырождением для нелинейного уравнения теплопроводности в случае степенной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры, решение которой имеет вид тепловой волны, распространяющейся по холодному фону с конечной скоростью. Разработан численный алгоритм построения решения, основанный на методе граничных элементов, выполнена его программная реализация. Проведены численные расчеты, результаты которых сравнивались как с известными точными решениями рассматриваемого уравнения, так и с отрезками кратных степенных рядов, в виде которых могут быть представлены решения исследуемой задачи в случае аналитичности входных данных. Полученные результаты развивают выполненные ранее исследования авторов.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой