Численное решение эллиптического уравнения с пограничными слоями в полубесконечной полосе

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Вычислительные технологии
Том 4, № 1, 1999
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ПОГРАНИЧНЫМИ СЛОЯМИ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПОЛОСЕ
А. И. Задорин Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Россия e-mail: zadorin@iitam. omsk. net. ru
An elliptic equation with a small parameter at the highest derivatives for a half-strip is considered. Method of the transition of the boundary conditions to the rectangular region is proposed. The estimates of the replacement error are obtained. For the problem in a rectangular region, the difference scheme on the special nonuniform grid is investigated.
При математическом моделировании различных физических явлений, например распространения примесей в направлении ветра, появляются краевые задачи для эллиптических уравнений в полуполосе. Для численного решения такой задачи необходимо предельное краевое условие из бесконечно удаленной точки перенести на границу ограниченной области. В данной работе этот вопрос рассматривается для случая двумерного эллиптического уравнения.
В случае обыкновенного дифференциального уравнения для переноса краевого условия из бесконечно удаленной точки в [1] предлагается выделить устойчивое многообразие решений исходного уравнения, удовлетворяющих предельному условию на бесконечности. Это дает граничное условие в конечной точке. В работе [2] в качестве граничного условия при x = L задается само дифференциальное уравнение, которое затем аппроксимируется вовнутрь области. При этом может не выполниться предельное условие на бесконечности.
В данной работе в качестве граничного условия рассмотрим вырожденное по координате x уравнение. При таком подходе сохранится предельное условие на бесконечности. Затем для задачи в прямоугольной области построим разностную схему и докажем ее равномерную сходимость.
Всюду под C и Ci будем понимать положительные постоянные, не зависящие от е и шагов сетки. Для непрерывной и ограниченной функции p (x) определим
||p|| = max |p (x) |, ||p||s = max |p (x) |,
x x& gt-s
аналогично для функции двух аргументов p (x, y)
||p|| = max |p (x, y)|, ||p||s = max |p (x, y)|.
x, y x& gt-s, y
Определим норму сеточной функции ph: ||ph || = max |рП m I •
n, m '
© А. И. Задорин, 1999.
1. Сведение задачи к прямоугольной области
Рассмотрим краевую задачу
d2u d2u du
T-u = edx2 + edy2 — a (x, y) dx — b (x, y) u = f (x, У), (1)
u (x, y) = 0i, (x, y) G /i, i = 1,2,3, lim u (x, y) = 0 (2)
x-
для полубесконечной полосы
D = {0 & lt- x & lt- to, 0 & lt- y & lt- 1},
где 1ь l2, l3 — прямолинейные участки границы:
li = {y = 0, 0 & lt- x & lt- to}, l2 = {x = 0, 0 & lt- y & lt- 1}, l3 = {y =1, 0 & lt- x & lt- to},
= li U I2 U I3, D0 = D.
Предполагаем достаточную гладкость функций a, b, f, фi, i =1, 2, 3:
е G (0,1], A & gt- a (x, y) & gt- a & gt- 0, B & gt- b (x, y) & gt- в & gt- 0, (3)
lim ф^) = 0, i = 1, 3, lim f (x, y) = 0. (3)
x-^ x-^
Предполагаем также, что выполнены условия согласования краевых условий [3, 4], когда функция u (x, y) является достаточно гладкой в области D.
Для задачи (1), (2) справедлив принцип максимума, в соответствии с которым для произвольной дважды непрерывно дифференцируемой функции Ф^, у), ограниченной при x ^ то, из условий
Ф^, у) & gt- 0, (x, y) G, lim Ф^, у) & gt- 0, T^(x, y) & lt- 0, (x, y) G D0 (4)
x-^
следует Ф (x, y) & gt- 0, (x, y) G D.
Лемма 1. При всех (x, y) G D
|u (x, y)| & lt- $(x, y^
$(x, y) = ||f ||e-i + 11 ф2 11 exp{rox} + ||ф1|1 exp{-(e/e)0'-5y} + ||фз|1 exp{(e/e)0'-5(y — 1)} (5)
где _______
Г0 = -2в/{А + V2 + 4ве}.
Доказательство. Для функции Ф, определенной равенством
Ф^, у) = Ф (x, y) ± u (x, у),
справедливы соотношения (4). В силу принципа максимума Ф^, у) & gt- 0, (x, y) G D. Это доказывает лемму.
Определим прямоугольную область:
Dl = {0 & lt- x & lt- L, 0 & lt- y & lt- 1}.
Пусть u (x, y) — решение задачи в области Dl:
T? u = f (x, y), (x, y) G DL, u (x, y) = фi, (x, y) G l0, i = 1, 2, 3, (6)
du д 2u
R? u (x, y) = a (x, y) dx + b (x, y) u — e- = -f (x, y), (x, y) G l0, (7)
где D°l, l0 соответствуют D0, li при переходе к прямоугольной области, l° = {x = L, 0 & lt- y & lt- 1}, l = l0 u l0 и l0.
Лемма 2. Пусть Ф (x, y) — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция в Dl. Тогда из условий
Ф^, у) & gt- 0, (x, y) G l, T^(x, y) & lt- 0, (x, y) G DL, R^(x, y) & gt- 0 (8)
следует Ф (x, y) & gt- 0, (x, y) G DL.
Доказательство. Предположим, что при каких-то (x, y) оказалось Ф^, у) & lt- 0. Пусть (x0,y0) — точка глобального отрицательного минимума функции Ф^, у) в области Dl. Если (x0,y0) G D°l, то данная точка является точкой локального отрицательного минимума, что противоречит условию T^(x0,y0) & lt- 0. Остается рассмотреть случай x0 = L: из условия Д? Ф & gt- 0 следует ФX (x0,y0) & gt- 0, а это противоречит тому, что (x0,y0) — точка глобального минимума. Лемма доказана.
Лемма 3. При всех у
lim u (L, y) = 0.
L-& lt-^
Доказательство. Зададим M G (0,L). Докажем, что при всех x G [M, L]
|u (x, y)| & lt- S (x, У), S (x, y) = ||u (M, y)|1 exp{ro (x — M)} + ||f ||mв-1 + ||ф1 ||m + ||фз||м. (9) Доказать (9) можно на основе принципа максимума, определив область {M & lt- x & lt- то, 0 & lt- У & lt- 1} и задав для этой области
Ф^, y) = S (x, y) ± u (x, y).
В силу условий (3б) для заданного, А & gt- 0 можно подобрать M таким образом, что
||f||мв-1 + ||ф1||м + ||ф3||м & lt- А/2.
Учитывая (9), можно получить ||u (M, y)|| & lt- C. Следовательно,
|U (L, y)| & lt- Cexp{r0(L — M)} + А/2.
Таким образом, для некоторого L выполнится ||u (L, у) || & lt- А. Это доказывает лемму.
Теперь оценим близость решения задачи (6), (7) к решению исходной задачи (1), (2) при x & lt- L.
Лемма 4. При всех (x, y) G DL
д 2
е2
|u (x, y) — u (x, y)| & lt- -
a2
ru (L, y)
exp{ae (x — L)}.
dx2
Доказательство. Определим z = u — u. Очевидно
0 д2
T? z (x, y) = 0, (x, y) G DL, z (x, y) = 0, (x, y) G l, = e-u (L, y).
Определим
е2 д2 Ф (-г-У) = 05 д?
u (L, y)
exp{ae (x — L)} ± z (x, y).
Для функции Ф (ж, у) выполнены условия (8). В силу принципа максимума Ф (ж, у) & gt- 0, (ж, у) € Это доказывает лемму.
2 Оценка производных
Лемма 5. Пусть при всех (ж, у) € Д
Ь (ж, у) & gt- в, Ь (ж, у) + 2аХ (ж, у) & gt- в & gt- 0. Тогда при всех (ж, у) € Д для некоторой постоянной С
& lt- С.
ди д 2и
дж, дж2
(10)
(11)
Доказательство. Для оценки производных используем подход, применяемый в [4, 5]. Оцениваем Р (ж, у) = иХ (ж, у). Сначала проведем оценку на границах области Д. Остановимся на случае границы /2. Определим область Д2 = {0 & lt- ж & lt- 1, 0 & lt- у & lt- 1}. Для этой области определим
и±(ж, у) = и (0,у) ± Сж.
Для некоторой достаточно большой постоянной С
и+(ж, у) & gt- и (ж, у), (ж, у) € (А-), Т? м+ (ж, у) & lt- Т? м (ж, у), (ж, у) € Д0,
где (Д) — граница области Д. В силу принципа максимума
и+(ж, у) & gt- и (ж, у), (ж, у) € Д-.
Учитывая, что и+(0,у) = и (0,у), получим
д д
джи (0,у) & lt- дж0^ 0 & lt- у & lt- 1
Аналогично можно доказать, что
дд аж"& lt-0'у) & gt- аж"-& lt-0'у)'-
Из этих двух оценок следует
д_
дж
и (ж, у)
& lt-, (ж, у) € /-•
На границах /1 и /3 аналогичная оценка справедлива в силу ограниченности производных ф'-(ж), г = 1, 3.
Перейдем к оценке производной внутри области. Нетрудно показать, что
д 2Р д 2Р дР
^Г*Р =е а? ± - (ь + аХ) Р = /х + b'-'-«•
Определим
Ф (ж, у) = С ± Р (ж, у). Тогда для достаточно большой постоянной С
Ф (ж, у) & gt- 0, (ж, у) €, Иш Ф (ж, у) & gt- 0, Т? Ф (ж, у) & lt- 0, (ж, у) € Д0
В силу принципа максимума Ф (ж, у) & gt- 0, (ж, у) € Д. Это доказывает первую оценку в (11). Вторая оценка доказывается аналогично. Лемма доказана.
Итак, если выполнены условия (3), (10), то в соответствии с леммами 4, 5 для некоторой постоянной С при всех (ж, у) € Дс
|м (ж, у) — М (ж, у)| & lt- Се2ехр{ае-1(ж — ?)}.
Оценим частные производные решения задачи (6), (7), сформулированной для прямоугольной области.
Лемма 6. Пусть в дополнение к (3а)
а = «(ж), Ь (ж, у) + 4"'-(ж) & gt- в & gt- 0. Тогда для некоторой постоянной С при всех (ж, у) € Дс
(12)
7
ду7
и (ж, у)
& lt- С [1 + е 7/2 (ехр{ -(т/е)½у} + ехр{(т/е)½(у — 1)})]
дж7
-и (ж, у)
в/2 & lt- т & lt- в, ^ = 1, 2, 3, 4,
& lt- С [1 + е1−7 ехр{е-1а (ж — ?)}], ^ = 1, 2, 3, 4.
(13)
(14)
Доказательство. Оцениваем производные по аналогии с леммой 5. Начнем с обоснования оценки (13) при ] = 1. Оценим на границе с.
Начнем с /0. Как ив [4], определим
м±(ж, у) = м (ж, 0) ± С (1 — ехр{-у^л/ё}).
Определим г (ж, у) = м+(ж, у) — м (ж, у). Тогда для достаточно большой постоянной С выполнятся условия
г (ж, у) & gt- 0, (ж, у) € с, Д?^(ж, у) & gt- 0, (ж, у) & lt- 0, (ж, у) € Д10.
В силу леммы 2 г (ж, у) & gt- 0, (ж, у) € Дс. Следовательно, для достаточно большой постоянной С выполнятся условия
м+(ж, у) & gt- м (ж, у), (ж, у) € Дс, м+(ж, 0) = м (ж, 0).
Следовательно,
Аналогично можно доказать, что
дд -м (ж, 0) & lt- - м+(ж, 0). ду ду
дд -м (ж, 0) & gt- - м-(ж, 0). ду ду
Из этих двух оценок следует
А
ду
м (ж, 0)
& lt- С/^е.
Аналогичная оценка производной справедлива на границе /0.
Определим
д Р (х'у) = ду^^'
Ф (ж, у) = С 1 + е ½ ^ехр{ -Vте-1у} + ехр{л/те-1 (у — 1)}^ ± Р (ж, у).
Нетрудно убедиться, что Т? Р = / + 6^м. С учетом полученных оценок на границе области Дс, можно показать, что для достаточно большой постоянной С для функции Ф (ж, у) выполнятся условия (8). В силу леммы 2 Ф (ж, у) & gt- 0, (ж, у) € Д^. Это доказывает оценку (13) при ] = 1.
В случае ] = 2 определим
С
и±(х, у) = Р (х, 0) ± (1 — ехр{-у/^}).

Если ввести
^(х'У)
І!.
дУ2
и (х'У)'
то
Т?^ = Д (х, у), |Д (х, у)| & lt- С [1 + е ½ (ехр{-(те :)½у} + ехр{(те :)½(у — 1)})].
И в этом случае при задании
Ф (х, у) = С 1 + е-1 ^ехр{ -Vте-1 у} + ехр{л/те-1 (у — 1)}^ ± ф (х, у)
выполнятся условия (8). В силу леммы 2 Ф (х, у) & gt- 0, (х, у) Є Д^. Это доказывает оценку (13) при і = 2. Доказательство (13) при других і можно провести аналогичным образом.
Перейдем к обоснованию оценки (14) при і = 1. Запишем уравнение (6) в виде уравнения по переменной х:
д 2 и ди
е^ - а (х) ди = Д (х, у) ' (16)
дх2
дх
где с учетом оценки (13) |Д (ж, у)| & lt-. Уравнению (16) соответствуют краевые условия
м (0, у) = ф2 (у), #?мОж у) = -/(ж у). (17)
Учитывая, что в соответствии с условиями (17) производная мж (Ь, у) ограничена, на основании известного приема для обыкновенного дифференциального уравнения [6] можно убедиться в справедливости оценки (14) при ] = 1.
Докажем (14) при ] = 2. Из уравнения (6) следует, что
д 2й
дх2
Задавая
& lt- у ' (х, у) Є 10.
д
и±(х, у) = -«(0,у) ± ох,
по аналогии с обоснованием (13) можно показать
д 2
дх2
й (0,у)
& lt- Со.
Определяя
д 2 и
Ф (ж, у) = С [1 + е-1 ехр{ае-1(ж — ?)}] ± ,
дж2
на основании принципа максимума убедимся в справедливости оценки (14) при 3 = 2. Доказательство для 3 & gt- 2 аналогично. Лемма доказана.
3 Обоснование разностной схемы
Согласно лемме 6 решение м (ж, у) может иметь пограничные слои около границ /0 и Построить равномерно сходящуюся схему, как известно [4, 7, 8], можно за счет мельчения сетки около этих границ. Пусть
П = {{ж*, у,}, г = 0,1,…, N1, 3 = 0,1,…, N2} -
сетка области Д, с постоянным шагом1 по координате ж и с неравномерными шагами по у. Предполагаем, что N2 — четно. Сетку по координате у определим в соответствии с [7]. Пусть
у, = АС), = 3^ 3 = 0 1 •••, А2.
Определим А (Ь) при Ь & lt- 0.5 Зададим постоянные а0 и д, исходя из ограничений а0 & gt- 4/в,
0 & lt- д & lt- 0.5.
В случае -^/е & lt- 2д/а0 определим
А (.) = Г если 0 & lt- Ь (18)
() | Ф (а0) + Ф'-(а0)(Ь — а0), если а0 & lt- Ь & lt- 0. 5, ()
где
Ф (Ь) = а0-е 1п д
д — Ь
а0 = (5 — 1)5−1д, 5 является корнем нелинейного уравнения
1п (5) =- - 1 + 5 (1 — -
1 '- 2а^у/е V 2д
В работе [7] предлагается находить а0 на основе метода секущих в соответствии с итерационной формулой
а
(п) — 0. 5
а'-& quot-'-^'- = д- в (п) — 0 5а0^ в (п) = Ф (а (п)) а (0) = д- (1 — ^Н^.
В случае -^/е & gt- 2д/а0 зададим А (Ь) = Ь, что соответствует равномерной сетке. Для Ь € [0. 5,1] зададим А (Ь) = 1 — А (1 — Ь). Предполагаем, что всюду ниже, а = а (ж). На построенной сетке П определим разностную схему
М = еАХХм^ + еЛ, уи'- - а (жг)АХ'-и'- - 6, и'-, = /(ж*, у,), (ж*, у,) € П0,
и0 = Ф1(ж*), и2 = Фз (ж*), г = 0,1,…, N1, М, = Ф2(у,), 3 = 0,1, •••, N2,
, и1-, — еЛ^
Д, и'- = а^Л1−7 и'- + 6^1и1), — - еЛ1−7 и'- = -/(?, у,), 6*, = 6(ж*, у,), (19)
где П0 — множество внутренних узлов,
«& quot-+1,7 — 2м^'- + «& quot--1,7
Л?
л!7
— «& quot--1,7
Л-1
луу и'-
Л (2) + Л (2)
'- 7 + '-7+1
Л
(2)
7+1
Л
(2)
(20)
Докажем, что для схемы (19) справедлив принцип максимума.
Лемма 7. Пусть для сеточной функции Ф& quot- выполнены условия
& lt- 0, (хг, у) € П°, ДФ & gt- 0, 3 = 1, 2,…, N2 — 1, Ф^- & gt- 0, (хг, у) € ь (21)
Тогда при всех г, 3 выполнится Ф^- & gt- 0.
Доказательство. Предположим, что при некоторых (г°, 3°) оказалось Ф& quot-070 & lt- 0. Без ограничения общности можно считать, что
Ф& quot- • = штФ& quot- •.
*0, 70, !, 7
Если (г°, 3°) — координаты внутреннего узла, то получим противоречие с условием Т070Ф& quot- & lt- 0. В случае (х!0, у70) € /° получаем противоречие с условием Ф& quot- & gt- 0. Это доказывает лемму.
Теорема 1. Пусть функция й (х, у) в области имеет непрерывные частные производные четвертого порядка по х и у и пусть выполнены условия (3а), (12), а — решение схемы (19) на сетке П, построенной согласно (18). Тогда найдется постоянная С, такая, что при всех (х^у,) € П
|И (х!, У7) — 1 & lt- С
(22)
Доказательство. Определим г& quot- = - [й]п. Очевидно
& amp-г"- I & lt-
? (^"(х!, У7) — - а (х!^дXм (x!, у7) — лХ7 ["]п
+
+?
52
«(х!, У7) — луу [и]п
(23)
Для производных по у справедливы соотношения (13), поэтому в соответствии с [7] при всех г, 3
дУ2
¦Й (хг, У7) — луу [Й]п
& lt-
_С N •
(24)
Учитывая (14), (23), (24), по аналогии с [6] можно показать:
1 +
1
Л-1 + ?
ехр{а? (х!+1 — ?)}
+ N2, (х!, у7) € П°,
|^*Л| & lt- Сз
Л
1 ¦
Л1 +? + N1
0 & lt- 3 & lt- N2, гЛ (х*, у7) = 0, (х*, у7) € ь.
(25)
2
?
Определим сеточную функцию
ф& amp- = Со & lt-- ^ф^. + + hi + ^ ± zj,
где
и h I ahi
Ф • • = 1±----1
ФМ I 1 + 2е
i-Ni
Нетрудно убедиться, что при всех i, j
Фhl7. & gt- exp[a (2e)-1(x — L)], Tf7Фh & lt- -
a2 a2
----- -------Ф^, R^h & gt- a-----------------. (26)
4e + 2ahi ij, Rj & gt- 2e + ahi (6)
Из соотношений (25), (26) следует, что при достаточно большой постоянной С0 для функции Ф^ выполнятся условия (21). В соответствии с леммой 7 Ф^- & gt- 0, (Жг, у-) € П. Это доказывает требуемую оценку (22) при всех ] и при всех г & lt- N1.
Получим требуемую оценку при г = N1. Определим, А =1 + ^"2. Учитывая, что кдть-1 & lt- С, из (25) получим
ам
zh zh
ZNi, j ZNi-1j _ едЛ? и'-zh
h1
yy
& lt- C.
(27)
Пусть zh 1 s = maxj z^ j. Без ограничения общности можно считать, что z^ s & gt- zJh1−1 s, так как иначе zJh1 s & lt- С А, что соответствует требуемой оценке. Следовательно, аналоги производных под модулем в (27) при j = s разных знаков, откуда следует, что |zN 1, s — zh 1−1, s| & lt- Ca-1h1, поэтому z^, s & lt- С1А.
Пусть теперь z^ s = minj z^ j. Аналогичным образом можно показать, что z^ s & gt- -С1А. Следовательно, j | & lt- С, А при всех j. Требуемая оценка при i = N1 получена. Теорема доказана.
В работе [4, с. 219] предложен способ построения неравномерной сетки, не требующий, в отличие от [7], итераций для определения ао, начиная с которого функция A (t) принимается линейной. Функция A (t) из [4] имеет вид
A (t) =
— 2е1 ln (1 — pt)
если 0 & lt- t & lt- 0. 25,
-?1 lnе + 2e1e-0−5p (t — 0. 25) + d (t — 0. 25)2, если 0. 25 & lt- t & lt- 0. 5-
(28)
Р
4(1 -ч/е), d = 8(1 + 2е1 lnе — е1ре 0'-5), е1 = 4e (m + Юу^ё) 1, 0 & lt- m & lt- /в.
Для? € [0. 5,1] А (?) = 1 — А (1 — ?). Согласно [4], при построении узлов по координате у на основании такой функции А (?) выполнится оценка (24), поэтому и в случае такой сетки будет справедлива теорема 1.
Разностная схема (19) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, матрица этой системы обладает свойством диагонального преобладания. Согласно [10, с. 259], итерационный метод Гаусса — Зейделя в этом случае является сходящимся. Итерационный метод для задачи (19) можно записать в виде
А «,(га) I п «Л,& lt-+1-'- I п «Л,& lt-+1-'- I т? «Л& quot-) д
Aij Ui+1, j + Cj Ui-1, j + Dij ui, j-1 + Eij ui, j+1
(n+1)
(n+1)
,(n)
ij Ui, j
(n+1)
1, 2,…, N1 — 1, j = 1, 2,…, N2 — 1,
& lt-(Г)Л^и<-«+1>- + Ы, иЙ, — еЛ& quot-,"<-«+1>- = -/(Г, у,),
(29)
где п — номер итерации. Разностное соотношение для правого краевого условия может быть разрешено методом прогонки по координате у.
Остановимся на случае, когда для прямоугольной области правое краевое условие вместо (7) задано в виде
дм
ДМ (х, у) = а (х, у) — + Ь (х, у) М = -/(х, у), (х, у) € I0.
Можно показать, что и в случае задачи (6), (7'-) справедлив принцип максимума:
Иш М (Г, у) = 0,
(7'-)
м (х, у) — М (х, у)
& lt- -
а2
д2
дх2
и (Ду)
+
д 2
ду
-и (^, у)
ехр{ае (х — Ь)}, (х, у) € ДЬ.
По аналогии со случаем задачи (6), (7), для задачи (6), (7'-) может быть построена разностная схема, которая отличается от (19) правым краевым условием, и в данном случае будет справедлива оценка точности (22).
2
4 Применение схемы Самарского
Оценка (22) дает лишь первый порядок точности по координате х. В случае равномерной сетки по х повысить точность при е & gt- Л можно с помощью монотонной схемы Самарского [11, с. 169], как в случае обыкновенного дифференциального уравнения это делалось в [12]. Итак, в области Д^, определенной ранее, рассмотрим краевую задачу
д2м д 2 м дм
т-м = едХ2 + еду2 — а (х)дх — Ь (х, у) м =/(х, у^ (30)
м (х, у)_ фг, (х, у) € /г г = 1, 2, 3, Дм = П4(у)м (Ь, у) + мХ (Г, у)_ 04(у). (31)
Предполагаем, что функция м (х, у) имеет непрерывные частные производные четвертого порядка по х и у во всей исходной области, относительно, а и Ь предполагаются выполненными ограничения (3а), п4(у) ^ 0, у € [0,1]. В частности, при переходе от полубесконечной полосы в качестве (30), (31) может быть задача (6), (7'-). К задаче (30), (31) по координате х применим монотонную схему А. А. Самарского. Аппроксимацию производной в краевом условии выполним так, чтобы не понизить точность разностной схемы. При этом матрица разностной схемы потеряет свойство диагонального преобладания. Покажем, что и в данном случае к оператору разностной схемы можно применять принцип максимума. Предварительно рассмотрим пятиточечную разностную схему
гЬ. А I с I д, е ^ в ^ /Ь,
гга, т, и Ага, тига+1,т + сгс, тип-1,т + Дгс, тип, т-1 + Еп, т ига, т+1 вгс, тип, т Уп, т,
п =1, 2,…, Ж1 — 1, т _ 1, 2,… ЛГ2 — 1 (32)
с краевыми условиями
мга, 0 _ ФП, Мп,& quot-2 _ ФП, 0 & lt- п & lt- N1, м0, т _ Фт, 0 & lt- т & lt- N2,
о «. V_____».V I & quot-1,т 4м& quot-1 — 1, т + м& quot-1−2,т ___4 г ^ АТ (оо
Дтм м& quot-1 т + 07 0 & lt- т & lt- N2. (33)
' 2Л1
Предполагаем, что при всех п, т
Ап, т & gt- 0, Сп, т & gt- 0, Дп, т & gt- 0, Еп, т & gt- ° С& quot-1 -1,т & gt- 0,т & gt- 0.
Сформулируем условие, когда для оператора, соответствующего схеме (32), (33), справедлив принцип максимума.
Лемма 8. Пусть существует сеточная функция фн, такая, что
фл& gt- 0, ГП, тФ/1& lt- 0, п _ 1, 2,…, N — 1, т _ 1, 2,…, N2 — 1,
ф& quot-, т — 4ф& quot-,-1,т + ф'-& quot-1−2,т & lt- 0.
с& quot-1−1,т
3ф& quot-1,т — 4ф& quot-1−1,т + ф& quot-1−2,т & gt- 0. (34)
Тогда из условий
Гп, тФ^& quot- & lt- 0, 0 & lt- п & lt- N1, 0 & lt- т & lt- N2, Фо, т & gt- 0, 0 & lt- т & lt- N2,
Ф^о & gt- 0, Ф^,& quot-2 & gt- 0, 0 & lt- п & lt- N1, Дтф^ & gt- 0, 0 & lt- т & lt- N2 (35)
следует
Ф^, т & gt- 0, 0 & lt- n& lt-N1, 0 & lt- т & lt- N2. (36)
Доказательство. Предположим, что при каких-либо п& lt-^ и т оказалось Ф^т& lt-0- по аналогии со случаем трехточечной разностной схемы [12] получим противоречие. Определим Vн:
Пусть
V71 _ шт, V71 & lt- 0.
по, тоат п, т5 по, то
п& lt- N1, тт
Предположим, что п0 _ N1 — 1. Нетрудно показать, что для произвольных п и т
Гп, тФга. тЬп, тф + Ап, тфп+1,т (^га+1.т —га. т) + Сп, тфп-1,т (^п,-1.т —га. т) +
+Дп, тфп, т-1(^т-1 — + Еп, тфп, т+1(^т+1 — ^т^ (37)
Учитывая (35), получим
А& quot-1−1,то ф& quot-1, то & lt-У"-ьто — ^-Ьто) + С& quot-1−1,то ф& quot-1−2,то & lt-УД-2. то — ^1−1. то) & lt- 0. (38)
Если ^1−1то & lt-1то, то в узле с координатами (N1 — 1, т0) — локальный отрицательный минимум для сеточной функции V В соответствии с (37) выполнено неравенство Г& quot-1−1,тоФ^- & gt- 0, что противоречит условиям (35).
Остается рассмотреть случай1- то & gt- V^ то.
Из (34), (35) следует
3ф& quot-1,то^ьто — 4ф& quot-1−1,то^ьто + ф& quot-1−2,то^ьто & lt- 0,
3ф& quot-1,то^"-ъто 4ф& quot-1−1,то1−1,то + ф& quot-1−2,то^"-1−2,то & gt- 0,
следовательно,
4ф& quot-1−1,то & lt-Умьто — ^ТУ1−1,то) + ф& quot-1−2,то & lt-УД-2,то — ^Мьто) & gt- °.
Это неравенство можно записать в виде
(4ф^-1,то — ф& quot-1−2,то)(^ьто — ^1−1,то) + ф& quot-1−2,то & lt-УД-2,то — ^1−1,то) & gt- 0. (39)
Из (38), (39) вытекает, что
(^Мьто — ^1−1,то)[4ф& quot-1−1,то — ф& quot-1−2,то — А& quot-1−1,тоСМ^-1,тоф"-ьто] & gt- 0.
Учитывая, что в данном случае ^1−1то & gt- V* то, получим противоречие с условиями
(34).
Остается рассмотреть случай п0 & lt- N1 -1. Из того, что узел (п0, т0) — точка локального отрицательного минимума сеточной функции V* и из (37), следует Гпо, тоФ* & gt- 0, а это противоречит условиям (35). Лемма доказана.
Выпишем разностную схему для задачи (30), (31):
Г*, и* _ еДХУ + еЛ, м* - а (х*)Л?м* - Ь, м*, _ /(х*, у,), (х*, у,) € П°,
_ Ф1 (х*), м* & quot-2 _ фз (х*), г _ 0,1,…, N1, м*, _ Ф2 (у,), з _ 0,1,… ,^,
N2 г-& gt- 6 -w,., иь u'-0,j m7
?h h, n h, 3uNbj — 4uN1-i, j + & lt-1−2,7 ^ ^ Г1, , ^ //0 ^-1
= n4(y)uNi, j + - --------------2/Г 1 Ф (y) е =r1 '- 1
я?"л _ П4(у, Х, + ^^^ _ ф4(у,), е* _ г{1 + а (хг)Л1/(2е)Г^ (40)
Покажем, что к оператору схемы (40) можно применять принцип максимума. Определим
ф*, _ (1 + е-1^)*-& quot-1.
Нетрудно убедиться, что для такой функции ф* выполняются соотношения (34). Следовательно, если для какой-либо функции Ф* выполнятся условия (35), то будут выполнены неравенства (36).
Лемма 9. Пусть г* - произвольная сеточная функция. Тогда при всех г & lt- N и при всех ]
|Z 7 |& lt- в || L z | + max |zj 71 + а (е + ah1) max |R7z | exp[a (e + ah1) (x* - L)], (41)
' 7 (xi, yj)€l ' 7 7 7
4 1 2
|zN 1,71 & lt- 3|zNi-1, 71 + 3 |zNi-271 + 3h1|R?zh|. (42)
Доказательство. Определим сеточную функцию Ф^-:
Фh = в-1||Lhzh|| + max |zh71 + а-1(е + ± zh.
(xi, yj)€l
Тогда для функции Ф^- выполнятся условия (34) и в силу принципа максимума Ф7 & gt- 0 при г & lt- N1. Можно показать, что
ФП & lt- exp[a (e + а1)-1(х» — L)].
Это доказывает (41). Неравенство (42) следует из краевого условия. Лемма доказана.
Из леммы 9 следуют единственность и ограниченность решения схемы (40). Получим оценку точности схемы (40).
Теорема 2. Предположим, что выполнены условия (3а), (12). Пусть сетка О равномерна по х и неравномерна по у, построена согласно (18) или (28). Тогда для некоторой постоянной С
||м* - [м]п|| & lt- С
Л2 1
1 +
Л1 + е N
(43)
Доказательство. Учитывая, что выбор сетки по координате у обеспечивает второй порядок аппроксимации второй производной по этому направлению, по аналогии с [12] можно показать:
|г**,[м]п — м*1 & lt- С1 | л1 + е I1 + (Л1 + е) 1 ехр{ае 1(х*+1 — г)}] +. (44)
Определим -* _ м* - [м]п. Как это следует из [12], при всех ]
'-Д, -'-'I ^ С2 (ТО • (45)
Определим сеточную функцию:
Ф**, _ С {лт+7 (ф**, + р**, +1) + N1} ±^,
где
ф?, _ [1 + а^/^е)]*-& quot-1, р*, _ [1 + аЛ1/(2е)]г+1-М1.
Учитывая (44), (45), можно показать, что в случае достаточно большой постоянной С выполнятся условия (35), поэтому в силу леммы 8 при всех г & lt- N1 Ф*, & gt- 0. Учитывая соотношения (42) и (45), получим утверждение теоремы.
5 Результаты численных экспериментов
В полуполосе Д рассматривалась краевая задача для уравнения
д 2 м д 2 м дм
е& amp-2 + - 55 — 2 м _ /
имеющая решение
м (х, у) _ ехр (г0х){ехр (-у/^/е) + ехр ((у — 1)/^) + вт (пу)}, Г0 _ -2/(1 +1 + 4е).
Пусть м* - решение схемы (19), применяемой после перехода от полуполосы к прямоугольной области. Сетка по координате х равномерна и неравномерна по у, определена согласно (18). В соответствии с леммой 4 и теоремой 1 при всех (х*, у,) € О
К, — м (х, К& gt-)| & lt- 2е2 ехр ('-Г0-Ц + С{^ + N} г0 & lt- 0
(46)
Согласно (46), погрешность решения задачи в полубесконечной полосе складывается из погрешности разностной схемы и из погрешности, возникающей при переносе краевого условия из бесконечности.
Для задания краевого условия на правой границе /0 рассмотрим четыре способа:
1) и (Ду) = о,
2) иХ (^, У) = 0
3) мХ (Ь& gt-У) + 2 м (ЬУ) = -/(Ь& gt-У),
4) «Х^у) + 2и (ь, у) — емУу (^, у) = -/(?, у) —
Решение схемы (19) находилось согласно (29), для погрешности между двумя соседними итерациями достигалась точность, А = 10−6. В случаях 1−3 реализация правого краевого условия для разностной схемы упрощалась.
Итак, рассмотрим результаты вычислений. Определим — [и]п.
В табл. 1 приведена норма погрешности ||г^|| в зависимости от способа задания краевого условия при различных значениях е для Ь = 1, N1 = 100, N = 10, а0 = 2, q = 0. 25. Из результатов вычислений следует, что задание правого краевого условия согласно способу 4 дает меньшую погрешность при всех значениях параметра е. Значительна погрешность при задании на правой границе условия Дирихле, соответствующего переносу нулевого краевого условия из бесконечности.
В табл. 2 приведена норма погрешности ||г^|| при различных значениях е и при различных способах задания краевого условия для Ь = 10, N = 1000, N = 10, а0 = 2, д = 0. 25. Видно, что с увеличением длины интервала для всех рассматриваемых способов норма погрешности || выравнивается, переходя в норму погрешности разностной схемы.
Таблица 1
е Способ задания краевого условия
1 2 3 4
1.0 0. 87 0. 14 7. 8Е-1 2. 0Е-2
1. 0Е-1 0. 49 4. 2Е-2 2. 1Е-2 0. 22Е-2
1. 0Е-2 0. 37 0. 88Е-2 0. 47Е-2 0. 47Е-2
1. 0Е-3 0. 37 1. 2Е-2 1. 2Е-2 1. 1Е-2
1. 0Е-4 0. 37 1. 2Е-2 1. 2Е-2 1. 2Е-2
1. 0Е-5 0. 37 1. 2Е-2 1. 2Е-2 1. 2Е-2
Т, а б л и ц, а 2
е Способ задания краевого условия
1 2 3 4
1.0 1. 0Е-1 1. 0Е-2 1. 0Е-3 1. 0Е-4 7. 1Е-2 2. 6Е-2 0. 47Е-2 1. 2Е-2 1. 2Е-2 5. 1Е-2 2. 6Е-2 0. 47Е-2 1. 2Е-2 1. 2Е-2 7. 1Е-2 2. 6Е-2 0. 47Е-2 1. 2Е-2 1. 2Е-2 7. 1Е-2 2. 6Е-2 0. 47Е-2 1. 2Е-2 1. 2Е-2
Список литературы
[1] АБРАМОВ А. А., Балла К., Конюховл Н. Б. Перенос граничных условий из особых точек для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Сообщ. по вычисл. матем., ВЦ АН СССР, М., 1981.
[2] ЗАХАРОВ Ю. Н. Об одном методе решения уравнения с краевыми условиями на бесконечности. В «Вычисл. технологии», ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2, № 7, 1993, 55−68.
[3] Волков Е. А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на прямоугольнике. Тр. Матем. ин-та АН СССР, 77, 1965, 89−112.
[4] ЛИСЕЙКИН В. Д., ПЕТРЕНКО В. Е. Адаптивно-инвариантный метод численного решения задач с пограничными и внутренними слоями. ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1989.
[5] БОГЛАЕВ И. П. Численный метод решения квазилинейного эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных. Журн. вычисл. матем. и матем. физ, 28, № 4, 1988, 492−502.
[6] ЗАДОРИН А. И. Численное решение обыкновенного уравнения второго порядка со слабо выраженным пограничным слоем. Моделирование в механике, 5, № 1, 1991, 141 152.
[7] БАХВАЛОВ Н. С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 9, № 4, 1969, 841−890.
[8] Шишкин Г. И. Решение краевой задачи для эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных. Там же, 26, № 7, 1986, 1019−1031.
[9] KELLOG R. B., TSAN A. Analysis of some difference approximations for a singular perturbation problems without turning points. Math. Comput., 32, No. 144, 1978, 10 251 039.
[10] ВОЕВОДИН В. В., КУЗНЕЦОВ Ю. А. Матрицы и вычисления. Наука, М., 1984.
[11] САмАРский А. А. Теория разностных схем. Наука, М., 1989.
[12] ЗАДОРИН А. И. Монотонная схема Самарского для обыкновенного уравнения второго порядка с малым параметром в случае третьей краевой задачи. Вычисл. технологии,
2, № 5, 1997, 35−45.
Поступила в редакцию 21 апреля 1998 г., в переработанном виде 20 июля 1998 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой