Численное решение задачи о концентрации напряжений для случая трехслойной упругой плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными круговыми отверстиями при продольном растяжении

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

РАЗДЕЛ 3. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
Численное решение задачи о концентрации напряжений для случая трехслойной упругой плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными круговыми отверстиями при продольном растяжении
к.т.н., доцент Михайлова В. Л., д.т.н., проф. Сухомлинов Л. Г., Мазин В. А.
Московский государственный технический университет & quot-МАМИ"-
Кубанский государственный университет (495) 223−05−23, доб. 1318 Аннотация. Излагаются результаты по распределению напряжений в продольно растягиваемой трехслойной упругой плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными круговыми отверстиями, полученные с применением вариационно-разностной процедуры численного решения задач плоской теории упругости для прямоугольных областей с отверстиями. Дается оценка влияния упругих постоянных слоев на уровень напряжений вокруг отверстий.
Ключевые слова: растяжение трехслойной упругой плоскости с двумя отверстиями, напряжения вокруг кругового отверстия.
Вопросы концентрации напряжений около всевозможного рода вырезов, отверстий и включений в однородных упругих телах достаточно подробно (в рамках плоской постановки задачи статики теории упругости) исследованы в литературе [1]. Гораздо менее исследованными в этом плане остаются случаи, касающиеся тел неоднородной, в частности, слоистой структуры. Из имеющихся публикаций этого направления можно отметить работы [2, 3], где получены решения задач о концентрации напряжений в двухслойных упругих средах с дефектами типа щелей и включений на межслойной границе. Между тем практический интерес представляют также случаи слоистых сред, ослабленных отверстиями такой широко распространенной формы, как круговая. В настоящей статье вопрос о концентрации напряжений в подобных случаях рассматривается на примере задачи о продольном растяжении трехслойной упругой плоскости, ослабленной двумя одинаковыми вертикально расположенными круговыми отверстиями (рисунок 1).
Исследование выполняется с использованием вариационно-разностной процедуры численного решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной области с отверстиями, представленной в статье [4]. При численном моделировании вместо бесконечно протяженного объекта, каким является плоскость, рассматривается конечная прямоугольная область с размерами, многократно превышающими радиус отверстия. Основные соотношения используемой вычислительной модели формулируются следующим образом.
Рассматриваем прямоугольную область ?, составленную из изотропных слоев. Считаем, что каждое из имеющихся в области? отверстий заполнено материалом включения с пренебрежимо малым значением модуля Юнга (другими словами, при численном моделировании случай свободного отверстия сводим к случаю включения пренебрежимо малой жесткости- в данном исследовании модуль Юнга такого & quot-фиктивного"- включения принят в виде Е /Ш000, где Е — значение модуля Юнга материала слоя).
На рисунке 2 представлена схема разбиения рассматриваемой области? на М х N
прямоугольных элементов? ^1) (/ = 1,2,…, М- 1 = 1,2,…, На рисунке 3 представлена схема, изображающая элементарный прямоугольник? (г, 1) с системой его срединных материальных волокон и узловых точек. Для определенности считаем, что на участке Ги границы Г рассматриваемой области? , который включает левую и нижнюю стороны прямоугольника? ,
заданы перемещения (u x = u *x, u y = u *), а на остальном участке Гq границы Г заданы по-
x x & gt- y y
верхностные нагрузки qx, qy.




4(2),
44
P (2)
4(3) = 4(1)
i У
Рисунок 1 — Схема продольно растягиваемой трехслойной плоскости, ослабленной двумя одинаковыми круговыми отверстиями

J'-v+i. Kv «1 У, Уг Л
гр Tq
№ Tq / I
(№ 1)
(J) я» Iv®
Р) Ги
& lt-1) Ги /
(1) (2) (M-l) т
О X, X, ¦¦ ¦ X? Xiti ¦¦¦ X? t JC. W+1 X
Рисунок 2 — Прямоугольная область с сеткой прямоугольных элементов
i, j+l (?), j+l i+l, j+l
Mj)

ti, j J
i+МЛ
i. I (i), j i+1& gt-j
Рисунок 3 — Элементарный прямоугольник S j) с системой срединных материальных
волокон и узловых точек
190 Известия МГТУ «МАМИ» № 2(12), 2011
С учетом малости величин? X} = х+ - xi и? у-1 = у1+1 — у}. (г = 1,2,…, М- у = 1,2,…, Ы) соответствующее данной задаче вариационное уравнение принципа возможных перемещений может быть приближенно представлено в виде
М N
II (-)^Хх-(, ЛX11 =
г=1 у=1
= И и Х, у1) +/ V'-^?у) +
г= 1=1 (1)
М
+ I Ч ЭД'-) + Чу (г '-^^УХ) +
г =1
N
+ I [Чх (1 ^1) + ЧУ (у (1 у)5~у1)]1У1).
1=1
Здесь & quot-волной"- отмечены величины, определяемые в серединах соответствующих участков. При этом ~(г) = хг + ?(хг) / 2, ~(1) = у ^ + ?у) / 2. Величины /х, /у представляют собой интенсивности объемных сил (которые применительно к заявленной задаче равны нулю).
Вводим далее обозначения и1×1, и'-у1 для значений перемещений в узловых точках рассматриваемой сетки прямоугольных элементов с координатами хг, уу (г = 1,2,…, М +1- 1 = 1,2,…, N +1). Обозначаем так же, как и'-ха), и'-уи), и х0,1, и (у0,1 ((г) = 1,2,…, М- (1) = 1,2,…, Ы), перемещения узловых точек срединных материальных волокон элементарных прямоугольников. Входящие в вариационное уравнение (1) деформации, относящиеся к середине элемента? 1), определяем по следующей приближенной схеме: е", 1) = (иг+ц 1 -игХ 1))/?(°, ё°, 1) = (и (г), 1+1 — и (г), 1)/?(1)
хх V х х / х '- уу V у у у э
уу у у у (2) еху-1 = 0,5(ихг), 1+1 -ихг 11)/?^ + 0,5(иу+ц 1) -))/?(^.
Значения перемещений в средних точках упомянутых участков интегрирования, а также в узловых точках, введенных в рассмотрение срединных материальных волокон, получаем путем осреднения перемещений соответствующих смежных узлов сетки прямоугольных элементов. В результате для узловых точек срединных материальных волокон имеем:
и'-х (1) = 0,5(и'-х 1+1 + и1) (х о у), (3)
11 = 0,5(их+1,1 + их1) (х о у), ()
для середин граничных отрезков —
~) = и"*& quot-+1 (х о у), 1) = иМ1) (х о у) ()
и для середин прямоугольных элементов —
~х (г, 1) = 0,25"1 + их+и + и^+1 + & lt-+и+1) (х о у). (5)
Для напряжений в серединах элементов в соответствии с соотношениями упругости записываем
= Л ехх, 1)+?2 е5, Л,
= Л ехх, 1)+Л1еуу, 1), (6)
& lt-~ху, 1)=2 сех™.
При этом имеем в виду, что значения параметров упругости в выражениях (6) однозначно определяются принадлежностью данного элемента либо включению, либо подобласти, заполненной материалом слоя. Учитываем также, что коэффициенты G, Л1, Л 2 линей-
ных зависимостей (6) выражаются через модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона V согласно следующей схеме:
Е
1) О = ¦ ,
2(1 + V)
2) в случае плоского напряженного состояния
Е
?1 =---, Л2 =vЛl- 1 — V
3) в случае плоского деформированного состояния
vE
Л, = 2О + Л, Л, = Л, Л = ¦
(1 + v)(1 — 2^
Заметим, что определяемые схемой (2) параметры а1), а^у1) и 2 ау1) представляют
собой относительные удлинения срединных материальных волокон элементарного прямоугольника и угол сдвига между этими первоначально перпендикулярными волокнами (что соответствует известной трактовке компонент тензора деформаций применительно к достаточно малому элементу деформируемой среды, где картина деформации близка к однородной). Это дает основание сформировать представление о дискретной модели, строящейся с применением схемы (2), как об ансамбле элементарных пар срединных материальных волокон, работающих с учетом схемы (6) на растяжение-сжатие и сдвиг. Схема (3) обеспечивает совместность работы таких пар, принадлежащих смежным элементарным прямоугольникам. А вариационное уравнение в форме (1) обеспечивает приведение внутренних силовых факторов (напряжений) в каждом из элементарных прямоугольников области? к соответствующим срединным волокнам. Такое приведение осуществляется на основе критерия равенства работ.
С использованием связей (2)-(6) окончательно приходим к формулировке вариационного уравнения (1) в терминах перемещений узлов сетки прямоугольных элементов (узловых перемещений). С учетом того, что часть узловых перемещений задается граничными условиями, приравнивая коэффициенты при вариациях неизвестных узловых перемещений в левой и правой части указанного вариационного уравнения, получаем разрешающую систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых перемещений. Ее решение осуществляем по методу Гаусса.
К важному свойству данной дискретной модели следует отнести то, что в случае однородного напряженно-деформированного состояния исследуемой области результаты численного моделирования совпадают с точным решением соответствующей задачи теории упругости. В этом можно убедиться, рассматривая случай прямоугольной области ?, находящейся под действием равномерно распределенных по ее сторонам поверхностных нагрузок, обеспечивающих однородный характер ее напряженного состояния. В таком случае значения напряжений в точках области и значения интенсивностей соответствующих поверхностных нагрузок совпадают между собой. Если теперь область? представить в виде одного прямоугольного элемента (М = 1, N = 1), то из вариационного уравнения (1), сформулированного применительно к рассматриваемому случаю нагружения, с учетом связей (2) следует, что значения напряжений в середине элемента (в данном случае области ?) совпадают со значениями интенсивностей соответствующих поверхностных нагрузок. Другими словами, в рассматриваемом случае получаемые численным моделированием результаты по напряжениям в середине области? совпадают с точным решением. Аналогичное совпадение имеет место для деформаций и перемещений, вычисляемых в середине области? .
Отметим, что для настройки программы расчета на конкретный случай слоистой среды необходимо внести соответствующие изменения в подпрограмму, определяющую модуль Юнга и коэффициент Пуассона элемента модели, имеющего в сформированной сетке номер
Раздел 3. Естественные науки.
(г, 1). Значения упомянутых упругих постоянных задаются при этом в зависимости от принадлежности данного элемента с номером (г, 1) определенному слою или включению (с пренебрежимо малой жесткостью в случае свободного отверстия). Принадлежность элемента слою при этом устанавливается путем проверки условия попадания середины элемента в подобласть, занимаемую слоем, а принадлежность данному включению — условию попадания всех четырех вершин элемента в подобласть, занимаемую включением (при этом имеется в виду подобласть вместе с ее границей).
Численное моделирование заявленного случая растяжения трехслойной упругой плоскости (см. рисунок 1) осуществляем в рамках следующих предположений. Считаем, что материалы первого и третьего слоев одинаковы и что отверстия расположены симметрично по отношению к срединной линии второго слоя. Считаем также, что при растяжении рассматриваемой трехслойной плоскости в каждом из ее слоев на бесконечности реализуется состояние однородной деформации при нулевых поперечных напряжениях (стуу = 0).
В результате приходим к расчетной схеме рассматриваемой трехслойной плоскости в виде ослабленной двумя одинаковыми круговыми отверстиями трехслойной прямоугольной области с размерами, а & gt->- Я, ё & gt->- Я (при расчетах принято, а = ё = 10Я), растягиваемой в направлении оси Ох нагрузками q{l), д^, д^, равномерно распределенными по торцам соответствующих слоев. При этом имеют место связи вида
дР) = чт [л (2) — (л 22))2/л (2) v [л ((1)-(л 2!))2/л «, д0) = чт. (7)
Используемые в записи (7) верхние индексы 1 и 2 у параметров упругости Л ^ Л2 указывают на то, что отмеченные таким образом величины относятся соответственно к первому и второму слою.
С учетом симметрии принятой расчетной схемы относительно двух срединных осей (вертикальной и горизонтальной) в качестве моделируемой области? рассматриваем правую верхнюю четверть прямоугольника, изображенного на рисунке 1, формулируя условия симметрии вдоль левой и нижней сторон прямоугольника? в виде и х = 0, ду = 0 и
и у = 0, дх = 0 соответственно.
Поскольку напряжения в обсуждаемой дискретной модели определяются исключительно в серединах элементов, разбиение исследуемой области? на элементы проводим так, чтобы середины элементов, граничащих с отверстием, оказывались на кромке отверстия. В этих целях равномерно разбиваем контур отверстия на некоторое количество п элементарных дуг (в данном исследовании принято п = 200). Проводя через концы указанных дуг прямые, параллельные осям Ох и Оу, приходим к сетке элементов с требуемым свойством. В процессе дальнейшего разбиения моделируемой области на элементы отрезок Я & lt- х & lt- 10Я на оси Ох и отрезок 0 & lt- у & lt- 9Я на оси Оу разбиваем (двигаясь в направлении от центра О1 к
периферии) на участки с размерами 0,2Я- 0,2Я- 0,6Я- 2Я- 2Я- 4Я, а отрезок 11Я & lt- у & lt- 11Я + Ь1 (где Ь 1= Ь — Я) — на участки с размерами 0,05 Ь 1- 0,05 Ь 1- 0,1 Ь 1- 0,2 Ь 1- 0,3 Ь 1- 0,3 Ь 1. Указанные наборы участков в свою очередь разбиваем соответственно на 30, 20, 30, 20, 15, 20 и 30, 20, 30, 20, 20, 15 одинаковых отрезков. Через концы образованных элементарных отрезков проводим прямые, параллельные осям Ох и Оу, завершая формирование сетки расчетной модели.
Тестирование окончательно сформированной вычислительной модели осуществляем следующим образом. Полагаем (на программном уровне), что параметры упругости слоев рассматриваемой области? имеют одинаковые значения, приходя тем самым к случаю растягиваемой в горизонтальном направлении однородной упругой плоскости с двумя одинако-
выми вертикально расположенными отверстиями. При этом в соответствии с записью (7) имеет место равномерное распределение растягивающей нагрузки вдоль правой стороны моделируемой области ?, так что = ^ = = д. Результаты численного моделирования
для данного (тестового) случая (при Ь = 1,25 Я) в виде зависимости окружного напряжения на кромке отверстия от угла 0 представлены сплошной линией на рисунке 4. Здесь же для сравнения представлены точками результаты приближенного аналитического решения А. С. Космодамианского [1].
оч/д
а
•Л / /
/




О 20 40 60 80 100 120 140 160 в град
Рисунок 4 — Результаты численного моделирования в сравнении с аналитическим
решением А. С. Космодамианского
Убедившись на основе выполненного сравнения в способности сформированной модели давать надежные результаты применительно к рассматриваемого типа задачам о концентрации напряжений, приступаем к исследованию (с использованием этой модели) заявленного случая трехслойной плоскости с двумя отверстиями.
ое/д.
(2)
л


, 4 V & quot-"-б 5& quot- / / /
7 \ 11
1

20
40
60
80
100
120
140
160 в град
Рисунок 5 — Распределение напряжений по контуру отверстия в зависимости от
значений упругих постоянных слоев
На рисунке 5 представлены полученные численным моделированием результаты в виде кривых распределения напряжений по контуру отверстия в зависимости от значений упругих постоянных слоев. Моделирование осуществлялось в предположении, что Ь = 1,25 Я, е = 1,2Я и что исследуемая трехслойная среда находится в состоянии плоской деформации.
Раздел 3. Естественные науки.
Пунктиром на рисунке 5 выделена зависимость, относящаяся к рассмотренному выше случаю однородной плоскости. Кривые 1, 2, 3, 5, 6, 7 на рис. 5 получены при задании значений параметров E (2)/E ((), v (1), v (2) в виде (10- 0,1- 0,45), (2- 0,1- 0,45), (10- 0,45- 0,1), (2, 0,45- 0,1), (0,1- 0,1- 0,45), (0,1- 0,45- 0,1), соответственно. Как видно, в случае E (2)/E (1) = 0,1- V = 0,45- V = 0,1 наблюдается снижение уровня напряжений на кромке отверстия в 1,6 раза по сравнению со случаем однородной плоскости. При E (2)/E (1) = 0,1 наблюдается, кроме того, ситуация, когда изменения параметров v (1) и v (2) в широком диапазоне значений (см. кривые 6 и 7) не приводят к выходу уровня напряжений на кромке отверстия за пределы того, что имеет место в случае однородной плоскости (кривая 4). Наконец, даже в ситуации, когда E (2)/E (1) = 2, выбрав V () = 0,45 и Vе) = 0,1 (кривая 5), можно также снизить уровень напряжений на кромке отверстия по сравнению со случаем однородной плоскости.
В качестве общего вывода по выполненному исследованию отметим, что проведенный анализ позволил дать оценку влияния слоистой структуры продольно растягиваемой плоскости на характер распределения напряжений вокруг имеющихся в ней двух одинаковых круговых отверстий. Более того, установлена возможность существенного снижения уровня указанных напряжений при надлежащем выборе характеристик слоев.
Литература
1. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. 888с.
2. Ефимов В. В., Кривой А. Ф., Попов Г. Я. Задачи о концентрации напряжений возле кругового дефекта в составной упругой среде // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 2. с. 42−58.
3. Члингарян Г. С. Напряженное состояние составной упругой плоскости с включениями на границе раздела материалов // Изв. НАН Армении. Механика. 2009. Т. 62. № 3. с. 52−58.
4. Мазин В. А., Михайлова В. Л., Сухомлинов Л. Г. Вариационно-разностная процедура численного решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной области с включениями и отверстиями// Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества (ЧЭС). 2010. № 2. с. 53 — 62.
Математическое моделирование циклического деформирования
д.т.н., проф. Темис Ю. М., к.т.н. Азметов Х. Х.
«ЦИАМ им. П.И. Баранова» tejoum@ciam. ru
Аннотация. На основе модели поведения конструкционного материала при циклическом упругопластическом деформировании и оценки ресурса малоцикловой усталости создана система математического моделирования циклического на-гружения конструкций методом конечных элементов. Приведены примеры решения тестовых задач и реальных конструкций.
Ключевые слова: циклическое нагружение, малоцикловая усталость, метод конечных элементов
Математическое моделирование циклического деформирования и оценка ресурса малоцикловой усталости актуально для высоконагруженных машин и установок энергетического машиностроения, авиационных двигателей и других конструкций, работающих при циклическом нагружении. Явление малоцикловой усталости непосредственно связано с процессами пластического деформирования в зонах концентрации напряжений в деталях конструкции: отверстиях, галтелях, выточках, сварных швах, шпоночных и шлицевых соединени-

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой