Повышение точности при аппроксимации табличных зависимостей по равновесию бинарных смесей

Тип работы:
Реферат
Предмет:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 532. 135
А. Б. Голованчиков, Е. В. Васильева, А. С. Остроухова, А. А. Решетников
ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ ПРИ АППРОКСИМАЦИИ ТАБЛИЧНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПО РАВНОВЕСИЮ БИНАРНЫХ СМЕСЕЙ
Волгоградский государственный технический университет
lenavasileva@evlg. ru
Проведено сравнение аппроксимации табличных зависимостей по равновесию бинарных смесей методами наименьших квадратов и наименьших относительных квадратов. Показаны возможные преимущества второго метода по сравнению с первым. Ключевые слова: метод наименьших относительных квадратов, аппроксимация, точность.
A. B. Golovanchikov, E. V. Vasileva, A. S. Ostrouhova, A. A. Reshetnikov
ACCURACY INCREASE AT APPROXIMATION OF TABULAR DEPENDENCES ON BALANCE OF BINARY MIXTURE
Volgograd State Technical University
There were made a comparison approximation of tabular dependences on balance of binary mixture by technique of least squares and by technique of least relative squares. There are possible advantages of the second method in comparison with the first one.
Кєу words: technique of least relative squares, approximation, exactness.
В работе [1] показана возможность увеличения точности аппроксимации экспериментальных данных при использовании метода наименьших относительных квадратов (МНОК), в котором минимизируется сумма квадратов относительных отклонений теоретических значений функции от экспериментальных
и = -
Ут (i) — У (О У (і).
& gt-min
(1)
по сравнению с традиционно применяемым методом наименьших квадратов (МНК), в котором минимизируется сумма квадратов отклонений вышеописанных параметров [2,3]
и = 1 п=1[уг (О — у (0]2} тп (2)
В работе [3] представлены результаты аппроксимации табличных зависимости по равновесию ряда бинарных смесей модифицированным уравнением
1
У* = -
1 + k | - 1 x
(3)
которое линеаризуется в координатах
1п ^ - 1^ = 1пк + п1д ^ - 1^, (4)
Расчетные формулы МНОК для определения параметров к и п несколько сложнее тех же формул МНК и имеют вид [1,4]
k = exp
(5)
где z = - i
і 1)2 Уі
і)2 x& lt-
Уі
У2
Результаты сравнительных расчетов параметров к и п МНОК по формулам системы (5) и известным формулам МНК приведены в табл. 1 для бинарной смеси «ацетон-вода» [5].
Как видно из табл. 1 МНОК позволяет снизить наибольшую относительную ошибку по сравнению с МНК с 6,75% до 4,91%, то есть в 1,37 раза.
Для азеотропных смесей уравнение (3) модифицируется [3]
У =-
1
-k| -1
(4)
которая в линеаризованном виде описывается формулой [1]
ln =
і x)-1 *
У
V
= ln k
n ln I -1
x
В табл. 2 приведены результаты расчетов наибольших относительных отклонений теоретических значений равновесных концентраций легколетучего в паре у от их табличных значений ут при применении расчетных формул МНК и МНОК для ряда бинарных смесей [6].
Как видно из результатов расчетов часть табличных зависимостей по равновесию бинарных смесей лучше описывается уравнениями (3) или (4) при использовании традиционного МНК, а другие МНОК (см. бинарные смеси 1,5,7,12 и 13).
x
ж
o
n
Z
Таблица 1
Результаты расчетов для бинарной смеси «ацетон-вода» по табличной зависимости равновесия
x 0 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
У 0 0,603 0,72 0,803 0,827 0,842 0,855 0,869 0,882 0,904 0,943 1
УТ, МНК 0 0,644 0,71 0,773 0,81 0,836 0,857 0,876 0,894 0,914 0,936 1
S %, МНК 0 6,755 -1,36 -3,69 -2,1 -0,73 -0,27 0,835 1,383 1,107 -0,69 0
УТ, МНОК 0 0,626 0,69 0,763 0,805 0,835 0,859 0,88 0,9 0,92 0,94 1
S %, МНОК 0 1,6 -4,15 -4,91 -2,63 -0,83 0,473 1,27 2,02 1,77 0,045 0
Таблица 2
Значение параметров k и и для бинарных смесей в системе «жидкость-пар» в уравнении (3) и наибольших относительных отклонений теоретических концентраций в паре от экспериментальных (х0- точка азеотропы)
Бинарная смесь Параметры для МНК Параметры для МНОК Наибольшее отклонения Ут от У, %
k n k n для МНК для МНОК
1) ацетон — вода 0,166 0,408 0,164 0,458 6,75 4,91
2) ацетон — этанол 0,477 0,81 0,466 0,792 4,26 11,32
3) бензол — толуол 0,407 0,997 0,409 1 0,65 1,54
4) метанол — этанол 0,628 0,02 0,615 1,05 3,34 7
5) муравьиная кислота — уксусная кислота 0,724 0,957 0,73 0,953 1,17 0,776
6) сероуглерод — уксусная кислота 0,393 0,934 0,381 0,929 5,73 10,1
7) этилацетат — уксусная кислота 0,113 1,512 0,164 1,29 35,3 15,75
8) ацетон — бензол 0,494 0,841 0,481 0,809 3,68 15,15
9) бензол — дихлорэтан 0,9007 1,0004 0,9 1 0,258 0,529
10) метиловый спирт — вода 0,268 азеотропн 0,775 ые смеси 0,262 0,757 3,27 8,36
11) четыреххлористый углерод-этилацетат х0 = 0,582 0,733 0,975 0,79 0,964 0,705 0,887
12) метанол — бензол х0 = 0,605 0,0655 0,814 0,0611 0,929 8,45 4
13) бензол — уксусная кислота х0 = 0,975 0,182 1,023 0,211 0,848 18,6 6,76
В табл. 3 и 4 представлены для примера результаты расчетов по МНОК и МНК для не-азеотропной бинарной смеси «этилацетат-уксусная кислота» и азеотропной бинарной смеси «бензол-уксусная кислота», которые наиболее выпукло демонстрируют преимущества МНОК по сравнению с МНК.
Средняя относительная ошибка для МНК 5С = 7,865%, для МНОК 5С = 3,29%, наибольшее отклонение расчетных значений от табличных для МНК 5 т = 35,27% для МНОК 5 т = 15,75%.
Средняя относительная ошибка для МНК 5С = 5,61%, для МНОК 5С = 1,81%- наибольшее отклонение расчетных значений от табличных для МНК 5 т = 18,6%, для МНОК 5 т = 6,76%.
Почему же в ряде случаев МНК аппроксимирует экспериментальные или табличные зависимости лучше чем МНОК?
Дело в том, что при переходе к линеаризованным уравнениям методом наименьших от-
носительных квадратов линеаризируются не сами функции
(
U ф = - '-=1
Ут
*
V У
2
-1
& gt-min:
(5)
а логарифмы ее линеаризированных значений
ln k + n ln (- 1)
________x
!л (Л-1)
-1]2
min (6)
Вот и получается, что в ряде случаев сумма квадратов относительных отклонений самих теоретических значений ут от табличных у, рассчитанных по формуле (5) оказывается больше, чем в расчетах по традиционным формулам МНК (2).
Поэтому в сложных случаях линеаризации исходных теоретических уравнений целесообразно коэффициенты к и п определять двумя способами: традиционным МНК и предлагаемым МНОК, а затем в каждом конкретном случае выбирать лучший.
Таблица 3
Сравнение расчетов по равновесию бинарной смеси «этилацетат — уксусная кислота» методами МНК и МНОК
x 0 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
у 0 0,144 0,287 0,506 0,654 0,77 0,856 0,9 0,961 0,989 0,998 1
ут, МНК 0 0,0932 0,241 0,52 0,71 0,827 0,898 0,942 0,969 0,986 0,996 1
5%, МНК 0 -35,27 -15,9 2,8 8,57 7,39 4,92 2,41 8,81 -2,78 -2,07 0
ут, МНОК 0 0,121 0,265 0,506 0,672 0,783 0,859 0,911 0,947 0,973 0,99 1
5%, МНОК 0 -15,75 -7,58 0,002 2,75 1,74 0,35 -0,96 -1,38 -1,6 -0,765 0
Таблица 4
Сравнение расчетов по равновесию азеотропной бинарной смеси «бензол — уксусная кислота» (х0=0,975)
x 0 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,975
у 0 0,26 0,42 0,59 0,686 0,75 0,79 0,83 0,88 0,925 0,97 0,975
ут, МНК 0 0,216 0,364 0,564 0,687 0,771 0,831 0,876 0,911 0,938 0,961 0,975
5%, МНК 0 -18,6 -13,3 -4,4 0,23 2,82 5,21 5,57 3,53 1,49 -0,907 0
ут, МНОК 0 0,277 0,418 0,585 0,686 0,757 0,811 0,854 0,89 0,921 0,95 0,975
5%, МНОК 0 6,76 -0,42 -0,87 0,05 0,96 2,64 2,875 1,12 -0,39 -2 0
Таким образом, как видно из табл. 3 и 4 и для неазеотропных и для азеотропных смесей МНОК позволяет по сравнению с МНК уменьшить средние относительные отклонения аппроксимирующих значений функций от табличных в 2,4−3,1 раза, а наибольшие в 2,242,75 раза, что уменьшает доверительный интервал и может привести к адекватности самих уравнений экспериментальным данным и изменить выводы о значимости коэффициентов в уравнениях регрессии.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Голованчиков, А. Б. Метод интерполирования экспериментальных данных при определении реологических свойств жидкостей / А. Б. Голованчиков, Н. В. Тябин // ИФЖ, 1981. — Т. 12. — № 2. — С. 70−73.
2. Щербаков, М. В. Аппроксимация табличных зависимостей по равновесию бинарных смесей степенным
уравнением / М. В. Щербаков, Н. Л. Щербакова // Известие Волгоградского государственного технического университета, серия «Актуальные проблемы управления, вычислительной техники и информатики в технических системах», 2007. — № 2. — вып. 4. — С. 37−40.
3. Голованчиков, А. Б. Аппроксимация табличных зависимостей по равновесию бинарных смесей степенным уравнением / А. Б. Голованчиков, А. А. Решетников, А. С. Остро-ухова, Е. Г. Фетисова // Известие Волгоградского государственного технического университета, серия «Реология, процессы и аппараты химической технологии», 2011. -№ 1. — вып. 2. — С. 25−27.
4. Голованчиков, А. Б. Применение ЭВМ в химической технологии и экологии: Учеб. пособие / А. Б. Голованчиков, Б. В. Симонов- ВолгГТУ. — Волгоград, 1994 -1999. — Ч. 1−6.
5. Дытнерский, Ю. И. Процессы и аппараты химической технологии / Ю. И. Дытнерский. — М.: Химия, 1995. -362 с.
6. Справочник инженера-химика / Дж. Перри — пер. под общ. ред. Н. М. Жаворонкова, П. Г. Романкова. Т. 1. -Л.: Химия, 1969. — 640 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой