Численные эксперименты по методу идентификации линейных динамических систем при гармоническом сигнале

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 98
doi: 10. 18 097/1994−0866−2015−0-9−76−82
ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО МЕТОДУ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ СИГНАЛЕ1
© Мижидон Арсалан Дугарович
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления
Россия, 670 013, ул. Ключевская, 40 В, e-mail: miarsdu@esstu. ru
© Мадаева Елена Андреевна
аспирант Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления
Россия, 670 013, ул. Ключевская, 40 В, e-mail: elenamadaeva@gmail. com
В работе представлена численная реализация метода идентификации линейных стационарных динамических систем по входному синусоидальному сигналу. Идентификация матрицы системы сводится к построению и решению матричного линейного алгебраического уравнения, построение которого основано на сопоставлении представления решений задачи Коши в виде экспоненциального матричного ряда и результатов измерений фазовых координат системы при входном синусоидальном сигнале. Для реализации численных экспериментов было составлено программное обеспечение на языке Фортран.
Ключевые слова: идентификация, активная идентификация, линейная система, задача Коши, фундаментальная матрица, матричная экспонента, интерполирование.
NUMERICAL EXPERIMENTS BY THE METHOD OF IDENTIFICATION OF LINEAR DYNAMICAL SYSTEMS UNDER HARMONIC SIGNAL
Arsalan D. Mizhidon
DSc, Professor, Applied mathematics Department, East Siberian State University of Technology and Management
40v Kluchevskaya st., Ulan-Ude 670 013, Russia
Elena A. Madaeva
Research Assistant, Applied mathematics Department, East Siberian State University of Technology and Management
40v Kluchevskaya st., Ulan-Ude 670 013, Russia
The paper presents the numerical implementation of the method of identification of linear stationary dynamic systems on the input sinusoidal signal. Identification of the system matrix is reduced to constructing and solving a matrix linear algebraic equation. The construction of the equation is based on comparison of the representation of Cauchy problem solutions in the form of exponential matrix series and results of the system phase coordinates measurement under the input sinusoidal signal. For the implementation of numerical experiments it was compiled a software in Fortran.
Keywords: identification, active identification, linear system, Cauchy problem, fundamental matrix, matrix exponential, interpolation.
Введение
Одним из основных этапов, реализующих технологии математического моделирования, является создание и идентификация математической модели, исследуемого объекта. При этом различают идентификацию в широком смысле — структурная идентификация, и в узком смысле — параметрическая идентификация.
Так, в работе [1] был предложен подход к идентификации линейных стационарных динами-
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и республики Бурятия в рамках научного проекта№ 15−41−4 020 рсибирьа.
ческих систем по результатам проведенных измерений фазовых координат системы на некотором промежутке времени. В статье [2], согласно данному подходу, был рассмотрен метод идентификации линейных динамических систем при синусоидальном воздействии.
В работе производится развитие метода, предложенного в [2] и проводится численный эксперимент идентификации некоторой линейной стационарной динамической системы по результатам измерений фазовых координат системы на некотором промежутке времени, при наложении на вход системы синусоидального сигнала.
1. Постановка задачи
Будем предполагать подачу на вход исследуемой системы некоторого тестового сигнала. В качестве тестового воздействия рассматривается некоторый синусоидальный сигнал ББт), где В = diag|61,Ъг,., Ьп} - матрица амплитудных значений, со = (ю1,…, юи) Т — вектор частотных значений, накладываемый на вход х0 = (х10,х°,…, х°)Тисследуемого объекта (процесса). Производя замеры реакции объекта на возмущение в моменты времени t, были получены значения состояния системы в моменты t, х^) = (х^), х2^),…, хп^))Т, являющиеся функциями времени. Предполагается, что выходные переменные х^) = (х^), х2^),…, хп^))Т являются решением стационарной динамической линейной неоднородной задачи:
х = Ах + В8т (Ш), х (0) = х0. (1)
где х0 = (х10, х0,…, х0) Т — начальное состояние объекта, А — п -мерная квадратная матрица.
Задача параметрической идентификации сводится к отысканию матрицы А, которая обеспечивает в некотором смысле близость решений задачи (1) и экспериментальных данных.
2. Идентификация системы по синусоидальному сигналу
Решение задачи (1), согласно формуле Коши [3], можно записать в виде:
t
х^) = Е^, х0 +1Е (t, т) В5т (ат^т, (2)
& lt-0
где Е (t, т) — фундаментальная матрица.
Проинтегрировав правую часть уравнения (1), и используя разложения фундаментальной матрицы Е (^т) ввиде матричного ряда, функций Cos (at) и Бт (Ш) вряд Тейлора, было получено следующее итоговое выражение для решения неоднородной системы вида (1) [2]:
/ч 0, 0 (А2×0 + а2СЖ-1Ъ+сту2., 30
x (t) = х0 + Ах0t + --- + (А3×0 + А3СЖ Ъ +
2!
,™, t3 (А2тх° + А2тСЦ?-1Ъ + (-1)т+1 CW2т-1Ъ) 2т
+АСШ) — +… + ^-^-г1т +
3! (2т)!
(А2т+1×0 + A2а+1CW-1Ъ + (-1)т+1 ACW2 а-1Ъ)
(2т +1)!
t2 т+1 +… (3)
Здесь Ь = (Ь1,…, Ьп) Т, W = diag{ю1,ю2,…, юп}, аматрица С удовлетворяет уравнению:
A2CW-2 + С = Е.
С другой стороны, разложение решений системы (1) х (/) в ряд Тейлора в некоторой окрестности точки t0 имеет вид:
х (0=х°. (4)
Сравним полученное выражение (3) с разложением решения неоднородной системы (1) х (/) в ряд Тейлора в некоторой окрестности точки t0 = 0 (4). Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в (3) и (4) [2]:
х (1)(0) = Ах0,
'- х (2т) (0) = А2тх0 + А2тСЖ~1Ь + (-1)т+1СЖ2т~1Ь,
х (2т +1) (0) = А2т+1×0 + А2т+1СЖ ~1Ь + (-1)т+1 ACW 2т~1Ь = Ах (2т)(0). Отсюда получим следующую систему уравнений для нахождения матрицы, А:
'- Ах0 = х (1)(0), Ах (1)(0) = х (2)(0) — ЖЬ,
(5)
Ах (2т ^(0) = х (2т)(0) + (-1)тЖ 2т-1Ь, ^ Ах (2т)(0) = х (2т+1)(0).
Таким образом, для нахождения матрицы системы (1) получили матричное алгебраическое уравнение относительно матрицы А
АХ0 = X1 + Ж*, (6)
где матрицы X0 и X1 определяются следующим образом:
X0 =(х (0), х (1)(0)…, х (-1)(0)), X1 =(х (1)(0), х (2)(0),…, х (п)(0)),
Г (о, -ЖЬ,… ,(-1)тЖ2т-'-Ь), при п = 2 т, т еИ-
Ж'- =, — -ч
(0,-ЖЬ,… ,(-1)тЖ2тЧЬ, 0), при п = 2 т + 1, т еМ
Решив матричное алгебраическое уравнение (6), найдем
А = (X1 + Ж *)(X0
Заметим, для построения матриц X0 и X1 будем использовать значения производных интерполяционных полиномов [1], вычисленные в точке t = 0.
В целом идентификация системы сводится к следующему:
1. проводится интерполирование входных данных [1]-
2. строятся матрицы X0, X1, используя производные интерполяционных представлений, найденных на шаге 1, и по синусоидальному сигналу ББт (at) — матрица Ж *-
3. решается уравнение (6).
Т.к. матрицы X0 и X1 будут найдены с некоторой погрешностью, то вместе с матричным уравнением (6), восстанавливающим матрицу А, рассматривается система:
(А +д А) (X0 +д X0) = (X1 + Ж * +д X1 +дЖ *),
где дА, дX0, дX1 и дЖ* приращения соответствующих матриц. Тогда согласно [4] верно следующее утверждение об оценке относительной погрешности метода.
Утверждение. Пусть матрицы X0, X1, Ж * имеют приращения д X0, д X1, дЖ * соответственно и выполнено условие:
^ дX0 X0 & lt- 1, где ц = X0
(X 0) —
Тогда оценка относительной погрешности идентифицируемой матрицы, А удовлетворяет неравенству:
(|д X1 +дЖ II II д X011 ^
д А
& lt-
И
1 — ^ д X1 X0
X1 + Ж *
X0
Замечание. Для идентификации матрицы, А системы (1) по уравнению (6) используются амплитудные и частотные характеристики входного сигнала. Из системы (5) можем получить матричное уравнение для нахождения матрицы системы (1), не включающее характеристики
входного сигнала [2], вида: АХ2 т = X2
где
X2т = (х (0), х (2) (0)…, х (2и& quot-2) (0)),
X2
= (х (1)(0), х (3)(0),…, х (2−1)(0)).
3. Численный эксперимент
Рассмотрим идентификацию линейной системы по заданному точному значению решений. Для этого в качестве идентифицируемой системы вида (1), рассмотрим систему, которая в реальном представлении описывается следующей системой дифференциальных уравнений с заданным начальным условием:
(7)
'- х,('-) & gt- (3 -4 0 2 1 '- *!('-) ^ '- Sin (t) & gt- '- 4. 97"-
х2('-) 4 -5 -2 4×2('-) & amp-п (2'-), х (0)= 4. 32
+
хз ('-) 0 0 3 -2 хз ('-) 2Sin ('-) 1. 86
V х4('-) у V 0 0 2 -1, V х4('-) V ч 2 Sin (2'-) J V156.
Для задачи Коши (7) решение имеет вид: ((1,5 + '-) в'- +(1,25 + '-) е^
(1+'-) в'- +(1+'-) в-'-
(1,5 +'-) в'-
(1 +'-) в'-
'- х,('-) & gt-
х2('-)
хз ('-)
V х4('-) V
Г-1.5 3.5 0 -1. 28V 5 т ('-) '-
0 4 -0.6 -1. 68)
-1 1 0. 48 -0. 64 Sin (2'-)
0 2 0. 08 -1. 44 й ^(2'-)
(8)
Используя точное аналитическое представление решения (8) вычислим производные до 4-го порядка включительно. Значение функции и производные при '- = 0 представлены в таблице 1.
Таблица 1
) хз (0) х" х (2) (0) х (3) (0) х (4)(0)
1 4. 97 0. 75 4. 37 7. 75 -14. 23
2 4. 32 0.8 4. 72 10.8 -20. 88
3 1. 86 2. 46 5. 06 1. 66 -3. 74
4 1. 56 2. 16 6. 76 3. 36 -16. 04
Из таблицы 1 и неоднородной части системы (7) можем записать значения матриц X0 и
X1 + Ж *:
'- 4. 97 0. 75 4. 37 7. 75 & gt- '- 0. 75 3. 37 7. 75 -13. 23"-
X0 = 4. 32 0.8 4. 72 10.8 0.8 2. 72 10.8 -12. 88
, X1 + Ж =
1. 86 2. 46 5. 06 1. 66 2. 46 3. 06 1. 66 -1. 74
ч 1. 56 2. 16 6. 76 3. 36 у ч 2. 16 2. 76 3. 36 -0. 04 ,
Используя (6) матрицу, А получим вида:
(3 -3. 999 999 0 1. 999 999 & gt-
4 -5 -2 4
А =
0 0 3 -2
V 0 0 2 -1 V
Данная матрица совпадает с исходной матрицей системы (7), так как для идентификации использовались производные до 4го порядка точных аналитических решений (8) (таблица 1).
Таблица 2
t Х^) х2^) х3^) Х4^)
0.0 4. 97 4. 32 1. 86 1. 56
0.2 5. 216 815 4. 587 393 2. 455 224 2. 130 642
0.4 5. 688 296 5. 110 366 3. 264 548 2. 984 807
0.6 6. 419 644 5. 926 847 4. 302 613 4. 118 829
0.8 7. 439 683 7. 50 904 5. 596 578 5. 5214
1 8. 784 953 8. 48 708 7. 197 332 7. 189 164
1.2 10. 5163 10. 24 986 9. 190 789 9. 144 857
1.4 12. 73 632 12. 38 612 11. 70 842 11. 45 601
1.6 15. 60 607 14. 99 818 14. 93 652 14. 25 236
1.8 19. 35 987 18. 26 511 19. 12 431 17. 74 054
Рассмотрим задачу идентификации матрицы согласно изложенному методу. Для этого, используя дискретные данные решения системы (7) (таблица 2), найдем интерполяционные полиномы Лагранжа [1] и их производные (таблица 3).
Ниже, в таблице 3 приведены производные до 4-го порядка интерполяционных полиномов при t = 0:
Таблица 3
] Р (°) р (1)(0) р (2)(0) р (3)(0) Р (4)(0)
1 4. 97 0. 750 057 4. 368 569 7. 77 105 -14. 45 088
2 4. 32 0. 79 996 4. 720 996 10. 78 604 -20. 75 801
3 1. 86 2. 460 005 5. 59 994 1. 658 043 -3. 692 948
4 1. 56 2. 159 965 6. 760 901 3. 347 021 -15. 91 548
X0 =
Здесь р ((0) обозначает производную 7 -го порядка полинома Лагранжа, составленного по табличным значениям Ху ^) (таблица 2) при t = 0 для всех 7, у = 1,4 [1].
В соответствии таблице 3 значения матриц X0 и X1 представляются следующим образом:
(4. 97 0. 750 057 4. 368 569 7. 771 051^ 4. 32 0. 799 960 4. 720 996 10. 78 604 1. 86 2. 460 005 5. 59 994 1. 658 043 1. 56 2. 159 965 6. 760 901 3. 347 021у (0. 750 057 4. 368 569 7. 771 051 -14. 45 088 ^ 0. 79 996 4. 720 996 10. 78 604 -20. 75 801 2. 460 005 5. 59 994 1. 658 043 -3. 692 948 2. 159 965 6. 760 901 3. 347 021 -15. 91 548
ч
Матрицу, А согласно формуле (6) получим в виде:
(3. 08 -4. 96 548 -0. 30 396 2. 40 963^ 3. 994 221 -4. 993 414 -1. 995 434 3. 994 701 -0. 6 458 -0. 7 625 3. 1 408 -2. 2 228 -0. 3 089 -0. 36 105 2. 12 262 -1. 16 214
X1 =
Ар =
Таблица 4
)) хъ (^) Х4С)
0.0 4. 970 001 4. 320 001 1. 860 001 1. 560 001
0.2 5. 216 816 4. 587 394 2. 455 225 2. 130 643
0.4 5. 688 297 5. 110 367 3. 264 549 2. 984 808
0.6 6. 419 645 5. 926 848 4. 302 614 4. 118 830
0.8 7. 439 682 7. 50 903 5. 596 577 5. 521 399
1 8. 784 952 8. 487 079 7. 197 331 7. 189 163
1.2 10. 5163 10. 24 986 9. 190 788 9. 144 856
1.4 12. 73 632 12. 38 612 11. 70 841 11. 45 601
1.6 15. 60 607 14. 99 818 14. 93 652 14. 25 236
1.8 19. 35 987 18. 26 511 19. 12 431 17. 74 054
Если же сделать допущение, что экспериментальные данные получены с некоторой погрешностью г (таблица 4), тогда согласно предлагаемому подходу матрица Ае найдется в виде:
'- 3. 25 413 -4. 297 418 -0. 95 888 2. 128 447 Л 4. 165 789 -5. 194 152 -2. 60 879 4. 82 123
Ав =
Е 0. 16 514 -0. 193 144 2. 935 939 -1. 914 778 ч 0. 140 825 -0. 164 804 1. 946 753 -0. 928 708у Решения системы с матрицей Ае представлены в таблице 5.
_ Таблица 5
? х^) х2(*) Хэ (^) х"('-)
0.0 4. 970 001 4. 320 001 1. 860 001 1. 560 001
0.2 5. 216 794 4. 587 374 2. 455 211 2. 130 626
0.4 5. 687 912 5. 110 089 3. 264 316 2. 9846
0.6 6. 417 365 5. 925 244 4. 301 182 4. 117 638
0.8 7. 432 735 7. 46 525 5. 59 192 5. 518 198
1 8. 76 395 8. 470 778 7. 183 947 7. 177 012
1.2 10. 47 498 10. 21 771 9. 163 688 9. 120 893
1.4 12. 6654 12. 33 016 11. 66 056 11. 41 404
1.6 15. 49 595 14. 90 804 14. 86 079 14. 18 464
1.8 19. 20 583 18. 13 332 19. 1 645 17. 64 201
Таким образом, отклонение точных решений (таблицы 2) от решений (таблицы 5) имеют незначительную погрешность, вызванную способом нахождения производных и точностью табличных данных.
Заключение
Рассмотрена численная реализация метода идентификации линейных стационарных динамических систем по результатам проведенных измерений фазовых координат системы на некотором промежутке времени при входном синусоидальном сигнале. Идентификация согласно изложенному подходу позволяет восстановить исходную систему по заданным решениям некоторой задачи Коши. В общем случае, производя идентификацию по табличным данным некоторой Задачи Коши, получили отклонения, связанные с точностью табличных данных и выбранного метода интерполяции полиномами Лагранжа.
Литература
1. Мижидон А. Д., Мадаева Е. А. Об одном подходе к идентификации линейных динамических систем // Вестник ВСГУТУ. — 2014. — № 3. — С. 5−12.
2. Мижидон А. Д., Мадаева Е. А. Метод идентификации линейных динамических систем по входному синусоидальному воздействию // Научный вестник НГТУ. — 2015. — № 1. — С. 62−75.
3. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974. — 331 с.
4. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. — Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. — 457 с.
References
1. Mizhidon A. D., Madaeva E. A. Ob odnom podkhode k identifikatsii lineinykh dinamicheskikh system [One approach to the identification of linear dynamic systems]. Vestnik Vostochno-Sibirskogo gosudarstvennogo universiteta tekhnologii i upravleniya — Bulletin of East Siberian State University of Technology and Management. 2014. No. 3. Pp. 5−12.
2. Mizhidon A. D., Madaeva E. A. Metod identifikatsii lineinykh dinamicheskikh sistem po vkhodnomu sinusoidal'-nomu vozdeistviyu [The method of linear dynamic system identification by input sinusoidal action]. Nauchnyi vestnik Novosibirskogo gosudarstvennogo universiteta — Science Bulletin of Novosibirsk State Technological University. 2015. No. 1. Pp. 62−75.
3. Pontryagin L. S. Obyknovennye differentsial'-nye uravneniya [Ordinary differential equations]. Moscow: Nauka, 1974. 331 p.
4. Kabanikhin S.I. Obratnye i nekorrektnye zadachi [Inverse and Ill-Posed Problems]. Novosibirsk: Siberian Scientific publ., 2009, 457 p.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой