Численный метод решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 519. 642. 8
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ, ПОРОЖДЕННЫХ ВОЗМУЩЕННЫМИ САМОСОПРЯЖЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
С. И. Кадченко
На основе методов регуляризованных следов и Бубнова-Галеркина разработан новый метод решения обратных задач по спектральным характеристикам возмущенных самосопряженных операторов. Найдены простые формулы для вычисления собственных значений дискретных операторов, без нахождения корней соответствующего векового уравнения. Вычисление собственных значений возмущенного самосопряженного оператора можно начинать с любого их номера независимо от того, известны ли собственные значения с предыдущими номерами или нет. Численные расчеты нахождения собственных значений для оператора Штурма-Лиувилля показывают, что предлагаемые формулы при больших номерах собственных значений дают результат точнее, чем метод Бубнова-Галеркина. Кроме того, по найденным формулам можно вычислять собственные значения возмущенного самосопряженного оператора с очень большим номером, когда применение метода Бубнова-Галеркина становится затруднительным. Этот факт можно, например, использовать в задачах гидродинамической теории устойчивости, если необходимо находить знаки действительной или мнимой частей собственных значений этих задач с большими номерами.
Получено интегральное уравнение Фредгольма первого рода, позволяющее восстанавливать значения возмущающего оператора в узловых точках дискретизации.
Метод был проверен на обратных задачах для оператора Штурма-Лиувилля. Результаты многочисленных расчетов показали его вычислительную эффективность.
Ключевые слова: обратная спектральная задача- теория возмущений- дискретные и самосопряженные операторы- собственные числа- собственные функции- некорректно поставленные задачи.
Введение
Интерес к обратным задачам все время возрастает в связи с широкой областью их приложения, например, к задачам сейсморазведки, идентификация композитных материалов, проблемам неразрушающего контроля, нелинейных эволюционных уравнений математической физики и др. Используя методы регуляризованных следов (РС) и Бубнова-Галеркина, получены интегральные уравнения Фредгольма первого рода, позволяющие восстановить значения возмущающего оператора в узловых точках дискретизации. На основе метода Бубнова-Галеркина найдены простые формулы для вычисления собственных значений дискретных операторов, не находя корни соответствующего векового уравнения.
1. Метод регуляризованных следов
В работах [1−6] был разработан численный метод вычисления собственных значений по-луограниченных снизу дискретных операторов, который был назван методом регуляризованных следов (РС). Используя теорию РС, построим численный метод для решения обратных спектральных задач, порожденных дискретными полуограниченными снизу операторами в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Рассмотрим задачу нахождения собственных значений оператора Т + Р
(Т + Р^ф = вф, (1)
ТР
ные в сепарабельном гильбертовом пространстве И. Допустим, что известны собственные значения {^п}П= и ортонормпрованные собственные функции {^п}'-^& gt-=1 оператора Т, которые занумерованы в порядке возрастания собственных значений цп по величине с учетом кратности. Обозначим через ип кратность собственного значения цп. Количество всех неравных друг другу собственных значений цп, которые лежат внутри окружностп Тп0 радиуса
|цпо+1 + цпо | «,
рпо = -----------------------------------------------------^- с центром в начале координат комплексной плоскости, обозначим че-
рез по- Пусть {вп}^=1-собственные значения оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности. Если для всех
2||Р || по
п Є N выполняются неравенства дп = -г & lt- 1, то первые то = ^ ип собственные
|Цn+Vn _ п=1
значения {вп}т=і оператора Т + Р являются решениями системы то нелинейных уравнений вида [7]
то то те
2вп =2цп + ^2а& lt-ш)(то), р = 1, то. (2)
п=1 п=1 п=1
() (_1) п p ~ ~ п
Здесь (то) = -& amp-Р [ Цр-1 РВ& lt-ц (Т) (1ц-п-е поправки теории возмущений опера-
2ппі Т I. ^ ]
1по
тора Т + Р целого порядка р, К^(Т) — резольвента оператора Т.
Тпо
значений операторов Т и Т + Р [7].
Система уравнений (2) лежит в основе метода РС, позволяющего находить собственные значения возмущенных самосопряженных операторов в случае, когда самосопряженные операторы имеют собственные значения с произвольной кратностью.
В статье [5] была доказана следующая теорема.
ТР
И
п Є N выполняются неравенства дп & lt- 1, и система собственных функций {шп}сте=1 оператора Т является базисом в И, то собственные значения {вп}'-т=^1 оператора, Т + Р вычисляются по формулам:
вп = 1^и + (Ршп, Шп)+ ^(п), п = 1, Ш0, (3)
п
где 5(п) = 5(п) — 5(п — 1), 5(п) = - Ры (п), {Ры (п)}П=1 _ приближенные значения
к=1
по Бубнову-Галеркину соответствующих собственных значений {вы}ПП=1 оператора, Т + Р. ~ ~ ц2
Для 51(п) справедливы оценки |^1(п)| & lt- (2п — 1) рп---.
1 — ц
В случае, если оператор Т+Р задан в сепарабельном гильбертовом пространстве Ь2[а, Ь, а Р-огранпченный оператор умножения на функцию р (в), то, используя формулы (3) можно восстановить приближенные значения возмущающего оператора р (в) в узловых точках отрезка [а, Ь при дискретизации задачи.
2. Метод Бубнова-Галеркина
Для нахождения собственных значений оператора Т + Р воспользуемся методом Бубнова-Галеркина.
Теорема 2. Пусть Т — дискретный полуограниченный снизу оператор, а, Р -ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Если оператор Т + Р положительно определенный в Н, и система координатных функций {фп}П^=і яв~ Н
собственных чисел, спектральной задачи (1), построенный на, этой системе функций, сходится.
Доказательство. Запишем уравнение (1) в виде
(Т + Р — ХЕ) ф = (в — Х) ф. (4)
Для дискретного оператора Т + Р существует резольвентный оператор К (Т + Р) = (Т +
Р — ХЕ) — который вполне непрерывный в Н [7]. Действуя слева на обе части уравнения
(4) оператором К (Т + Р), получим
Ф = (в — Х) Кх (Т + Р) ф.
[]
пых чисел уравнения (4), а следовательно, и уравнения (1), сходится. ?
Предположим, что выполнены требования теоремы 2, и система {^п}П^=і функций яв-
Н
Следуя методу Бубнова-Галеркина, будем искать решение спектральной задачи (1) в
ВИД6
п
фп =2 ак (п)Шк¦ (5)
к=1
Подставляя (5) в уравнение (1), получим
пп
2 ак (п)(Т + Р) шк = Жп)^2 ак (п)шк¦ к=1 к=1
Здесь /3(п) — п-е приближения по Бубнову-Галеркину к соответствующим собственным числам {вк}& amp-=і оператора Т + Р. Так как Тшк = Цкшк, т°
пп2 ак (п)(^к + Р)^к = Жп)^2 ак (п)^к¦
к=і к=і
Коэффициенты {ак (п)}П=і определяются из требования, чтобы левая часть последнего уравнения была ортогональна к функциям {ш}'-П=і- В результате получаем систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов {ак (п)}П=і
п2 ак (п){[Р (п) — Цк]5кг — (Р^к, шг)} =0, I = 1, п¦ к=і
Приравняв определитель этой системы к нулю, приходим к уравнению
||Д (п)Е — А|| =0,
определяющему приближенные значения п первых собственных чисел {/Зк (п)}п=1 оператора Т + Р. Здесь Е — единичная матрица размера п х п, А = ||акг|Щг=1 _ матрица, где акг = Ик5кг + (Р^к5ы ~ символ Кронекера.
Известно [9], что для собственных чисел {Рк (п)}'-П=1 матрицы, А справедливы равенства
^ ЗРк (п) = БрАк, р = 1, п, (6)
ЗР
к=1
где БрАк — след р-й степени матрицы А. рА
п к
к=
БрА.к = ^ Ца^ ¦ (7)
Л, 32,…, 3р = 1 3=1
Здесь г = & lt- 8 + 1 8 = Р' Формулы (7) были найдены при численных расчетах величин [ 1 8 = р-
БрАк и многократно проверялись при различных р. При р = 1 из (7) получим известное равенство
п
Рк (п) = БрА. к=1
р = 1
пп
2Рк (п) =2 акк ¦
к=1 к=1
ВвОДЯ обоЗНс1Ч6НИЯ В к (п) = вк — Рк (п) ИМввМ
пп
2 Рк =2акк + Вк (п)]. (8)
к=1 к=1
п — 1
п- 1 п- 1
2 Рк =2акк + Вк (п — 1)]. (9)
к=1 к=1
Вычитая (9) из (8), найдем
вк = Цк + (Р^к ,^к)+ Пк (п), (10)
где
п- 1
Пк (п) = Вк (п) —2 [Рк (п) — /Зк (п — 1)]. к=1
Не трудно показать, что числа З1(п) и Пк (п) при к = п совпадают. Это означает, что при
2||Р ||
выполнении условий qn = ---------------г & lt- 1 для Уп € N формулы (3) и (10) эквивалентны. В
Ц-п+ип — №п
случае, когдап & gt- 1, для нахождения собственных значений спектральной задачи (1) надо использовать формулы (10).
Если в (10) подставить Вк (п) = Рк — Рк (п), то получим формулы, удобные для численных расчетов
п- 1
Рк (п) = Цк + (Р^к, Шк) —2 [рк (п) — Рк (п — 1)], к = 1, п. (11)
к=1
В дальнейшем, алгоритм численного решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами, будет строиться на формулах (11).
Допустим, что оператор Т+Р задан в сепарабельном гильбертовом пространстве Ь2[а, Ь], а Р-ограннченный оператор умножения на функцию р (в), тогда
Формулы (11) получены, используя диагональные элементы ак = Цк + (Ршк, Шк) (к =
1, п) матрицы, А = \aki |Щ1=1 размерности п х п. В случае, если п не велико, ошибка нахождения собственных значений {(Зк }'-к=1, найденных методом Бубнова-Галеркина, может быть большой, следовательно, использовать формулы (11) в этом случае надо с осторожностью.
При выполнении требований теоремы 1 метод Бубнова-Галеркина сходится, поэтому при увеличении значений п точность вычислений собственных значений {Рк }'-к=1 по формулам (11) возрастает. В этом случае, использование формул (11) для нахождения собственных значений оператора Т + Р становится вычислительно эффективным в силу достаточно простых вычислений.
3. Решение обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами
Рассмотрим задачу восстановления потенциала Р по собственным значениям {(Зк}^к=1 оператора Т + Р в гильбертовом пространстве р2 [а, Ь], используя формулы (10), где [а, Ь] отрезок изменения переменной в. Пусть Т — дискретный полуограниченный снизу оператор, Р- ограниченный оператор умножения на функцию р (в). Допустим, что известны собственные значения {^к}-к=1 и ортонормированные собственные функции {шк}к= 1 оператора Т, образующие базис пространства Ь2[а, Ь].
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма первого рода
Пусть ядро интегрального уравнения (13) К (х, в) непрерывно и замкнуто в квадрате П = [а, Ь] х [с, й], а функции р (в) € Ш2: [а, Ь] ш f (х) € Ь2[с, й].
Задача решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода (13) является некорректно поставленной. Ее приближенные решения могут быть найдены с помощью метода регуляризации Н. А. Тихонова. Численное решение уравнения (13) будет определять приближенные значения функции р (в) в узловых точках в^ г = 1,1, а = в1 & lt- в2 & lt- … & lt- в1 = Ь. Число узловых точек I можно выбрать достаточно большим, чтобы получить хорошую
р (в)
Отрезок [с, нахождения собственных чисел рп опера-
тора Т + Р, принадлежащих этому отрезку и найденных по формулам (11), удовлетворяла требованиям исследователя.
¦ь
П- 1
(12)
к=1
ь
(13)
где функции /(х) и К (х, в) такие, что
I (хк) = Рк — Цк + ^2[3к (п) — Рк (п — 1)], К (хк, в) = ш1(в), с & lt- Хк & lt- й, к = 1, п.
к=1
4. Численный эксперимент
Проиллюстрируем разработанный метод на спектральной задаче Штурма-Лиувилля
{-u& quot- + p (s) u = в u, a & lt- s & lt- b-
cosa и'-(a) + sina u (a) = 0- (14)
cosy u'-(b) + siny u (b) = 0, a, у € [0, 2п].
Рассмотрим оператор Tw = -ш& quot-. Причем функция ш удовлетворяет граничным условиям (14). Нетрудно показать, что оператор T самосопряженный, и его собственные числа {цk}fc=i являются корнями трансцендентного уравнения
[sin a sin^y/^a) + уЦ cos a cos (y/fi. a)] x [sin у cos (^/fi. b) — cos у sin^y^b)] +
+ [л/Ц cos a sin^^/^a) — sin a cos (^/fi, a)] x [sin 7 sin^^/^b) + уЦcos 7 cos (^/fi, b)] = 0. Собственные функции имеют вид:
Wk (s) = Ck{[sin a sin (y/yka) + у/Щcos a cos (^rvka)]cos (yrvks)+
+[лЩк cos a sin^y/^ka) — sin acos (yfyka)] sin^y/^ks)}, к = 1, ж.
Ck
Для проверки полученных результатов, сравним собственные значения 3(n) спектральной задачи Штурма-Лиувилля (14), найденные по формулам (11), и методом Бубнова-Галеркина 3(n). В табл. 1 приведен пример численных расчетов собственных значений задачи (14) при a = 1, b =2, a = п/3, у = п/5, p (s) = s2 + 15s + (s2 — 10s) i. Расчеты проводились при условии, что f3k (n) — f3k (n — 1) = 0 для к = 1, 41 и n = 41.
Из табл. 1 видно, что при увеличении размерности матрицы A соответствующие величины |3(n) — f3k (n) | уменьшаются. Исключение составляет поеледняя строка (к = 41). Для сравнения точности вычисления собственных значений спектральной задачи (14) по формулам (11) и методом Бубнова-Галеркина приведем табл. 2, значения которой получены при
n = 81. _ _
Величины собственных pk (41) ж pk (81) значений задачи (14) при к = 1, 41 не меняются, а величины 3k (41) ж 3k (81) как это видно из табл. 2, различны при к = 35, 41. Это говорит о том, что формулы (11) точнее, чем метод Бубнова-Галеркина. Данный факт надо иметь ввиду при выборе отрезка [c, d].
Проведенные многочисленные расчеты при различных значениях параметров
a, b, c, d, a, в, p (s) спектральной задачи (14) показали высокую точность и вычислительную эффективность полученных формул (11).
Результаты численных расчетов нахождения приближенных значений p (s) функции p (s) в узловых точках {sk}k=i при следующих значениях параметров a = 1, d = 2, a = Pi/3, Y = Pi/5, f (xk) = ek — Ц-k — 2 — 3i, к = 1, 41 и возмущаемым оператором p (s) = s2 + s + (s2 — s) i приведены в табл. 3.
Многочисленные вычисления показывают, что приближенные значения p (s) потенциала p (s) в узловых точках {sk}П=1 плодятся с заданной точностью невязок ||Ap3- /|| в большом диапазоне изменения параметров и функциональных зависимостей потенциала p (s) спектральной задачи (14).
Величины Zk = f (xk) — fa K (xk, s) p (s)ds| определяют поточечную абсолютную погрешность решения. Невязка, найденная в узловых точках sk приближенного решения p (sk), равна HAp — /|| = 0, 332. Параметр регуляризации a при численном решении интегрального уравнения Фредгольма первого рода (13) методом регуляризации Тихонова вычислялся с помощью метода невязки. В нашем случае a = 0, 167.
Таблица 1
Рк (41)
Рк (41)
I @к (41) — рк (41)|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
13
14
15
16
17
18
19
20 21 22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
35, 544 313 -62, 950 802 -111,931 462 -180, 893 757 -269, 663 026 -378,197 795 -506,484 092 -654,516 136 -822,291 180 -1009, 807 782 -, 65 125 -, 62 720 800 258 277 537, 494 419 -, 450 809 146 638, 581 857 -756 429 670 326 323 525 716 010 847 769 718 790 329 066 678 589 767 353 595 355 162 589, 469 054 514 746 10 129,299664 10 770,823804 11 432,087166 12 113,089748 12 813,831549 13 534, 312 567 14 274, 532 802 15 034,492254 15 814,190920 16 613,628801
1217,
1444,
1690,
1957,
2243,
2549,
2875,
3220,
3585,
3970,
4375,
4799,
5243,
5707,
6191,
6694,
7217,
7760,
8323,
8905,
9507,
13, 63 4443i 12, 885 344* 12, 761 626* 12, 719 634* 12, 700 433* 12, 690 065* 12,683 835* 12, 679 800* 12, 677 037*
— 12, 675 064*
, 673 604*
, 672 495*
, 671 632*
, 670 947*
, 670 395*
, 669 943*
, 669 569*
, 669 255*
, 668 990*
, 668 763*
, 668 568*
, 668 399*
, 668 252*
, 668 122*
, 668 008*
, 667 907*
, 667 817*
667 736* 667 664* 667 598* 667 539*
— 12, 667 485*
— 12, 667 436*
— 12, 667 392*
— 12, 667 351*
— 12, 667 314*
— 12, 667 279*
— 12, 667 247*
— 12, 667 218*
— 12, 667 191*
— 12, 667 165*
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
35, 95 744 -63,153 968 -112,5 121 -180, 933 740 -269, 687 656 -378, 214 659 -506,496 324 -654, 525 442 -822, 298 490 -1009, 813 683 -, 69 987 -*, 66 798 -803 726 280 524, 497 018 -, 453 091 -148 658 583 658 758 045 671 783 -324 846 717 214 848 870 -719 801 329 997 679 449 768 151 596 097 163 281 ., 469 700 -515 352 10 129, 300 232 10 770,824338 11 432,087669 12 113,090224 12 813,831998 13 534,312997 14 274, 533 210 15 034,492699 15 814,191344 16 613,642998
1217,
1444,
1690,
1957,
2243,
2549,
2875,
3220,
3585,
3970,
4375,
4799,
5243,
5707,
6191,
6694,
7217,
7760,
8323,
8905,
9507,
13, 222 069* 13,74 541* 12, 828 291* 12, 755 878* 12, 722 813* 12, 705 422* 12, 694 988* 12, 688 294* 12, 683 714*
— 12, 680 457* 678 049* 676 224* 674 804* 673 680* 672 773* 672 032* 671 418* 670 903* 670 468* 670 097* 669 778* 669 501* 669 259* 669 048* 668 861* 668 695* 668 548*
, 668 415* 668 297*
, 668 190* 668 093*
— 12, 668 005*
— 12, 667 926*
— 12, 667 853*
— 12, 667 787*
— 12, 667 725*
— 12, 667 673*
— 12, 667 621*
— 12, 667 626*
— 12, 667 577*
— 12, 680 169*
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
0, 609 316
0, 277 618
0, 99 348
0, 53 965
0, 33 279
0, 22 809
0, 16 553
0, 12 599
0, 9 900
0, 7 995
0, 6 588
0, 5 526
0, 4 700
0, 4 048
0, 3 523
0, 3 094
0, 2 738
0, 2 441
0, 2 190
0, 1 976
0, 1 791
0, 1 632
0, 1 492
0, 1 370
0, 1 263
0, 1 167
0, 1 082
0, 1 006
0, 938
0, 876
0, 821
0, 770
0, 724
0, 682
0, 645
0, 610
0, 584
0, 553
0, 605
0, 574
0, 19 252
к
Значения поточечной абсолютной погрешности (к и невязки ||Ар-/|| позволяют сделать вывод о хорошей точности нахождения приближенных значений функции р (в) в узловых точках {вк}к=1 дискретизации.
Заключение
На основе методов регуляризованных следов и Бубнова-Галеркина в работе разработан вычислительно эффективный численный метод решения обратных спектральных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами. В среде Мар1е написан пакет
Таблица 2
к & amp-(81) дк (81) 1) 8 У ^ & lt-д -1) (8 1) (4 / ^ & lt-д -1) (4
1 35, 544 313 — 13, 6)344431 35,95 744 — 13, 22 206)91 0, 609 316 0, 609 316
2 62, 950 802 — 12, 885 344* 63,153 968 — 13, 74 541* 0, 277 618 0, 277 618
3 111, 931 462 — 12, 761 626* 112,5 121 — 12, 828 291* 0,99 347 0,99 348
4 180, 893 757 — 12, 719 634* 180, 933 740 — 12, 755 878* 0,53 965 0,53 965
5 269, 663 026 — 12, 700 433* 269, 687 656 — 12, 722 813* 0,33 279 0,33 279
35 12 113, 89 748 — 12, 667 351* 12 113, 90 222 — 12, 667 786* 0,643 0,645
36 12 813, 831 549 — 12, 667 314* 12 813, 831 997 — 12, 667 724* 0,608 0,610
37 13 534, 312 567 — 12, 667 279* 13 534, 312 992 — 12, 667 668* 0,576 0,584
38 14 274, 532 802 — 12, 667 247* 14 274, 533 205 — 12, 667 616* 0,546 0,553
39 15 034, 492 254 — 12, 667 218* 15 034, 492 636 — 12, 667 568* 0,518 0,605
40 15 814,190920 — 12, 667 191* 15 814,191283 — 12, 667 523* 0,492 0,574
41 16 613, 628 801 — 12, 667 165* 16 613, 629 147 — 12,667 482* 0. 469 0,19 252
программ, позволяющий восстанавливать потенциал р (х) по спектральным характеристикам операторов Т и Т + Р. Метод достаточно прост в применении.
Литература
1. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе / В. В. Дубровский, С. И. Кадченко, В. Ф. Кравченко, В. А. Садовничий // ДАН России. — 2001. -Т. 380, № 2. — С. 160−163.
2. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра-Зомерфельда /В.В. Дубровский, С. И. Кадченко, В. Ф. Кравченко, В. А. Садовничий // ДАН России. — 2001. — Т. 378, № 4. — С. 443−446.
3. Вычисление первых собственных значений задачи гидродинамической устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами / В. А. Садовничий, В. В. Дубровский, С. И. Кадченко, В. Ф. Кравченко // Дифференциальные уравнения. -2000. — Т. 36, № 6. — С. 742−746.
4. Кадченко, С. И. Вычисление сумм рядов Релея-Шредингера возмущенных самосопряженных операторов / С. И. Кадченко // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2007. — Т. 47, № 9. — С. 1494−1505.
5. Кадченко, С. И. Метод регуляризованных следов / С. И. Кадченко // Вестник ЮУр-ГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. — 2009. — № 37 (170), вып. 4. С. 4 23.
6. Кадченко, С. И. Численный метод нахождения собственных значений дискретных по-луограниченных снизу операторов / С. И. Кадченко, Л. С. Рязанова // Вестник ЮУр-ГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. — 2011. — № 17 (234), вып. 8. — С. 46−51.
7. Садовничий, В. А. Теория операторов: учеб. для вузов / В. А. Садовничий. — 3-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 1999. — 368 с.
8. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. — М.: Наука, 1970. — 510 с.
Таблица 3
k Sk P (sk) z (sk)
1 1,00 -0,171 367 — 3, 26 4364i 0,263
2 1,02 -0,160 810 — 3, 25 7749i 0,414
3 1,05 -0,159 809 — 3, 25 9522i 0,416
4 1,08 -0,127 397 — 3, 23 9065i 0,383
5 1,10 -0,73 524 — 3, 20 9196i 0,340
6 1,12 -0,780 — 3,16 8803i 0,291
7 1,15 0, 88 559 — 3,11 8688i 0,239
8 1,18 0,192 973 — 3,5 9556i 0,187
9 1, 20 0, 310 316 — 2, 99 2326i 0,139
10 1, 22 0, 439 103 — 2, 91 7834i 0,97
11 1, 25 0, 577 139 — 2, 83 7348i 0,63
12 1, 28 0, 722 921 — 2, 75 1879i 0,39
13 1, 30 0, 874 160 — 2, 66 3079i 0,26
14 1, 32 1, 29 362 — 2, 57 2065i 0,20
15 1, 35 1,186 250 — 2,48 0701i 0,13
16 1, 38 1, 343 431 — 2, 39 0057i 0,11
17 1,40 1, 498 856 — 2, 30 1886i 0,32
18 1,42 1, 651 343 — 2, 21 7039i 0,56
19 1,45 1, 799 317 — 2,13 6803i 0,112
20 1,48 1, 941 899 — 2,6 1682i 0,129
21 1, 50 2, 78 157 — 1, 99 2246i 0,147
22 1, 52 2, 207 546 — 1, 92 8612i 0,213
23 1, 55 2, 329 831 — 1, 87 0574i 0,244
24 1, 58 2, 444 754 — 1, 81 7935i 0,280
25 1, 60 2, 552 672 — 1, 76 9869i 0,309
26 1, 62 2, 653 515 — 1, 72 6022i 0,333
27 1, 65 2, 748 016 — 1, 68 5267i 0,349
28 1, 68 2, 836 163 — 1, 64 7283i 0,360
29 1, 70 2, 918 806 — 1, 61 1015i 0,365
30 1, 72 2, 995 881 — 1, 57 6331i 0,365
31 1., 75 3, 68 142 — 1, 54 2541i 0,361
32 1., 78 3,135 405 — 1, 50 9778i 0,355
33 1, 80 3,198 232 — 1,47 7837i 0,347
34 1, 82 3, 256 321 — 1,44 7088i 0,339
35 1, 85 3, 310 072 — 1,41 7720i 0,332
36 1, 88 3, 359 118 — 1, 39 0223i 0,327
37 1, 90 3, 403 846 — 1, 36 4925i 0,324
38 1, 92 3, 443 919 — 1, 34 2275i 0,323
39 1, 95 3, 479 684 — 1, 32 2542i 0,327
40 1, 98 3, 511 869 — 1, 30 5460i 0,329
41 2,00 3, 529 356 — 1, 29 7436i 0,332
9. Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики / Б. П. Демидович, И. А. Марон. М.: Наука, 1966. — 659 с.
10. Васильева, А. Б. Интегральные уравнения / А. Б. Васильева, Н. А. Тихонов. — М.: МГУ, 1989. — 156 с.
11. Верлань, А. Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / А.Ф. Вер-ЛеЖЬ, B.C. Сизиков. — Киев: Наукова думка, 1986. — 542 с.
Сергей Иванович Кадченко, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра «Прикладная математика и вычислительная техника: «, Магнитогорский государственный университет (г. Магнитогорск, Российская Федерация), kadchenko@masu. ru.
Bulletin of the South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & amp- Computer Software: «,
2013, vol. 6, no. 4, pp. 15−25.
MSC 47A75
A Numerical Method for Solving Inverse Problems Generated by the Perturbed Self-Adjoint Operators
S.I. Kadchenko, Magnitogorsk State University, Magnitogorsk, Russian Federation, kadchenko@masu. ru
Based on the methods of regularized traces and Bubnov-Galerkin's method a new method for the solution of inverse problems is developed in spectral characteristics perturbed self-adjoint operators. Simple formulas for calculating the eigenvalues of discrete operators without the roots of the corresponding secular equation are found. Computation of eigenvalues of a perturbed self-adjoint operator can be started with any of their numbers, regardless of whether the previous numbers of eigenvalues are known or not. Numerical calculations for eigenvalues of the Sturm-Liouville's operator show that the proposed formulas for large numbers of eigenvalues give more accurate results than the Bubnov-Galerkin's method. In addition, the obtained formulas allow us to calculate the eigenvalues of perturbed self-adjoint operator with very large numbers, where the use of the Bubnov-Galerkin's method becomes difficult. It can be used in problems of hydrodynamic stability theory, if you want to find signs of the real or imaginary parts of the eigenvalues with large numbers.
An integral Fredholm equation of the first kind, restoring the value of the perturbing operator in the nodal points of the sample, is obtained.
The method is tested on inverse problems for the Sturm-Liouville's problem. The results of numerous calculations have shown its computational efficiency.
Keywords: the inverse spectral problem- perturbation theory- discrete and self-adjoint operators- eigenvalues- eigenfunctions- incorrectly formulated problems.
References
1. Dubrovskiy V.V., Kadchenko S.I., Kravchenko V.F., Sadovnichiy V.A. A New Method for the Approximate Calculation of the First Eigenvalues of the Spectral Problem of Hydrodynamic Stability of Poiseuille Flow in a Circular Pipe [Novyy metod priblizhennogo vychisleniya pervyh sobstvennyh chisel spektral’noy zadachi gidrodinamicheskoy ustoychivosti techeniya Puazeylya v krugloy trubej. DAN Russia, 2001, vol. 380, no. 2, pp. 160−163.
2. Dubrovskiy V.V., Kadchenko S.I., Kravchenko V.F., Sadovnichiy V.A. A New Method for the Approximate Calculation of the First Eigenvalues of the Orr-Zomerfeld Spectral Problem [Novyy metod pribizhennogo vychisleniya pervyh sobstvennyh chisel spektraPnoy zadachi Orra-Zommerfel'daJ. DAN Russia, 2001, vol. 378, no. 4, pp. 443−446.
3. Sadovnichiy V.A., Dubrovskiy V.V., Kadchenko S.I., Kravchenko V.F. Calculation of the First Eigenvalues of the Hydrodynamic Stability of Viscous Flow Between Two Rotating Cylinders [Vychislenie pervyh sobstvennyh znacheniy zadachi gidrodinamicheskoy ustoychivosti tacheniya vyazkoy zhidkosti mezhdu dvumya vrashchayushchimisya
tsilindramij. Differentsial’nye uravneniya [Differential Equations], 2000, vol. 36, no. 6, pp. 742−746.
4. Kadchenko S.I. Computing the Sums of Rayleigh-Schrijdinger Series of Perturbed Self-Adjoint Operators. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2007, vol. 47, no. 9, pp. 1435−1445.
5. Kadchenko S.I. The method of Regularized Traces [Metod regulyarizovannykh sledovj. Bulletin of the South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & amp- Computer Softwares, 2009, no. 37 (170), issue 4, pp. 4−23.
6. Kadchenko S.I., Ryazanova L.S. A Numerical Method for Finding the Eigenvalues of the Discrete Semi-bounded From Below Operators [Chislennyy metod nakhozhdeniya sobstvennykh znacheniy diskretnykh poluogranichennykh snizu operatorovj. Bulletin of the
«
Software», 2011, no. 17 (234), issue 8, pp. 46−51.
7. Sadovnichiy V.A. Teoriya operatorov [Operator Theory]. Moscow, 1999. 368 p.
8. Mihlin S.G. Variatsionnye metody v matematicheskoy fizike [Variational Methods in Mathematical Physics]. Moscow, 1970. 510 p.
9. Demidovich B.P. Osnovy vychislitel’noy matematiki [Foundations of Computational Mathematics]. Moscow, 1966. 659 p.
10. VasiPeva A.B. Integral’nye uravneniya [Integral Equations]. Moscow, 1989. 156 p.
11. Verlan' A.F., Sizikov V.S. Integral’nye uravneniya: metody, algoritmy, programmу [Integral Equation Methods, Algorithms, Programs]. Kiev, 1986. 542 p.
Поступила в редакцию И мая 2013 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой