Об интерполирующей функции А. Ф. Леонтьева

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ISSN 2074−1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 3 (2014). С. 17−27.
УДК 517. 9
ОБ ИНТЕРПОЛИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ А.Ф. ЛЕОНТЬЕВА
О.А. ИВАНОВА, С.Н. МЕЛИХОВ
Аннотация. В работе определяется и исследуется абстрактный вариант интерполирующего функционала. Он вводится с помощью оператора Поммье, действующего в счетном индуктивном пределе весовых пространств Фреше целых функций и некоторой целой функции двух комплексных переменных. Изучены свойства соответствующего оператора Поммье. Частными случаями введенного интерполирующего функционала являются интерполирующая функция А. Ф. Леонтьева, широко применяющаяся в теории рядов экспонент и операторов свертки, а также интерполирующий функционал, использованный ранее при решении проблемы о существовании линейного непрерывного правого обратного к оператору представления рядами из квазиполиномов функций, аналитических в ограниченной выпуклой области в C.
Ключевые слова: интерполирующая функция А. Ф. Леонтьева, интерполирующий функционал, оператор Поммье.
Mathematics Subject Classification: 30B50, 46A13, 47B38
Введение
Пусть G — ограниченная выпуклая область в C- A (G) — пространство ростков всех функций, аналитических на замыкании G области G с естественной топологией индуктивного предела последовательности банаховых пространств. А. Ф. Леонтьев (см. [1, гл. IV, § 2, c. 237]) ввел интерполирующую функцию шь (р, f), задаваемую некоторой специальной целой функцией L экспоненциального типа, и применил ее к вычислению коэффициентов разложений функций из A (G) в ряды экспонент с показателями — нулями L. Интерполирующая функция вводилась и в отличных от упомянутой выше ситуациях и была использована для вычисления коэффициентов рядов экспонент или обобщенных экспонент для функций из различных пространств- она применялась также и в других вопросах теории рядов экспонент, в теории полиномов из экспонент, операторов свертки, в интерполяционных задачах.
Для решения проблемы существования линейного непрерывного правого обратного (коротко: ЛНПО) к оператору представления рядами из квазиполиномов функций, аналитических в G, в [2, § 3] введен интерполирующий функционал Qq (p, z, J) — аналог интерполирующей функции шь (р, f), задаваемый некоторой целой функцией Q (p, z) двух комплексных переменных p, z. Функционал Qq и его аналоги были использованы затем при решении проблемы наличия ЛНПО к оператору представления рядами из квазимономов функций, аналитических в ограниченной выпуклой области в C [3]- к оператору представления рядами экспонент функций, аналитических на ограниченном выпуклом локально замкнутом множестве в C [4]- к оператору представления рядами из функций Миттаг-Леффлера функций, аналитических в р-выпуклой области (р & gt- 0) [5]. Кроме того, вариант функционала Qq был применен при решении задачи о наличии ЛНПО к оператору представления рядами из обобщенных экспонент ультрараспределений типа Бьерлинга на многомерном вещественном кубе [6].
О.А. Ivanova, S.N. Melikhov, On A.F. Leont'-ev'-s interpolating function.
© Иванова О. А., Мелихов С. Н. 2014.
Поступила 22 апреля 2014 г.
В настоящей работе вводится абстрактная версия интерполирующего функционала, в частности, интерполирующей функции А. Ф. Леонтьева. Она определяется с помощью оператора Поммье, действующего в весовом (LF)-пространстве целых в C функций. В связи с этим в § 1 изучаются свойства оператора Поммье. Интерполирующий функционал вводится и изучается в § 2. В § 3 приводятся реализации интерполирующего функционала для конкретных пространств. В данной работе мы ограничились примерами, явившимися побудительным мотивом настоящего исследования. Интерполирующий функционал может быть полезен и во многих других ситуациях, в которых сопряженное к основному пространству реализуется как весовое пространство целых функций. Анализу таких ситуаций, применениям интерполирующего функционала к теории рядов экспонент, операторов свертки предполагается посвятить отдельную статью.
1. ОПЕРАТОРЫ ПОММЬЕ, ИХ СВОЙСТВА
В этом параграфе мы изучим оператор Поммье, действующий в некотором весовом (LF)-пространстве (т.е. в счетном индуктивном пределе пространств Фреше) Е целых функций. Для непрерывной функции v: C ^ R, для функции f: C ^ C положим
m I/(*)!
Pv (f) := sup--.
z& amp-c exp v (z)
Пусть непрерывные функции vn, k: C ^ R таковы, что
Vn, k+1 & lt- vn, k & lt- vn+!, k, п, к е N.
Как обычно, A© обозначает пространство всех целых (в C) функций. Определим банаховы пространства
Епк := [f е A (c): pVnik (f) & lt- п, к е N,
весовые пространства Фреше
Еп := [f е A (c): pVnik (f) & lt- +жУк е N}, п е N.
Отметим, что Еп непрерывно вложено в Еп+1 для любого п е N. Весовое (LF)-пространство Е определим следующим образом:
Е := ind Еп.
Введем следующие условия для функций vn, k:
Уп Зт Ук 3s ЗС & gt- 0: sup vn, s (t) & lt- inf vm, k (t) + С, z е C, (1)
t-zl& lt-1 t-^& lt-1
и
Уп Зт Ук 3s: lim (vm, k (z) — vn& gt-s (z)) = (2)
Для f: C ^ C, h е c положим rh (f)(z) := f (z + h), z е C.
Замечание 1. 1) Пусть выполняется условие (1). Тогда
(a) Пространство Е инвариантно относительно дифференцирования, т. е. для любой функции f е Е также f'- е Е.
(b) Пространство Е инвариантно относительно сдвига, т. е. Th (f) е Е для любых f е Е и h е C.
2) Пусть выполняется условие (2). Тогда для любого п е N существует m е N такое, что всякое ограниченное в Еп множество относительно компактно в Ет.
? Утверждения 1) очевидны.
2) Пусть множество В ограничено в Еп. Выберем т е N по п по условию (2). Возьмем последовательность fj е В, j е N. Так как она ограничена на каждом компакте в C, то по теореме Монтеля существует подпоследовательность (fjr)r?N, равномерно сходящаяся
на любом компакте в C к некоторой функции f Е A©. Очевидно, что f Е Еп С Ет. Для к Е N определим s Е N по (2). Так как suppVn s (fjr) & lt- то
-& gt-Vn
r€N
Рут, к (/& gt- - I) ^ 0 при г ^ ж.
Следовательно, множество В относительно компактно в Ет. В
Лемма 2. Пусть выполняются условия (1) и (2). Для любых / Е Е, г Е С существует т Е N такое, что в Ет
Иш Т& quot-(1) — (Л = г,(. Г).
р^т р — г
? Очевидно, что
lim m) — *(т = f (t + ,) = г.(f-т
V^z U — Z
для любого Ь Е С. Из принципа максимума модуля и условия (1) вытекает, что множество {^^-Т (/) ¦ 0 & lt- - г1 & lt- 1} ограничено в некотором пространстве Еп, а значит, относительно компактно в некотором пространстве Ет. Следовательно, в Ет существует Иш Т'-ЛЛ-_Тг (/), равный тТ (f'-). В
р^т р Т
Будем предполагать, что пространство Е содержит функцию, отличную от тождественного нуля. Тогда существует функция д0 Е Е такая, что до (0) = 1.
Зафиксируем г Е С. Оператор В Т ¦ Е ^ ^© вводится следующим образом: для / Е Е
(/(1)-д0(1-т)/(т) ь = г,
Вт (/)('-):= Г (г) — гд'-0 (0) }(г), I = г.
Замечание 3. Ранее оператор ВТ исследовался и применялся в случае д0 = 1 в пространствах аналитических функций без ограничений на их рост (см., например, работы [7]-[12] и библиографию в них). В этом случае он называется оператором Поммье. Мы будем использовать это название и для оператора ВТ, введенного выше.
Докажем далее некоторые свойства оператора ВТ.
Лемма 4. Для любых Е С справедливо равенство
В,(Л — ОТ (Л = (р — г) Вй (Вг (?)) + ?(г)Вр (т.т Ы), ?ЕЕ. (3)
? Возьмем р, г Е С,. Если, ?=и, то
?(1) — до (г — М (р) ?(1) — до (г — г)!(г)
D,(f)(t) — Bz (f)(t)

и
Поэтому
t — и t — Z
= f (t)(U — z)+ 90(t — z) f (z)(t — и) — go (t — U) f (U)(t — z)
(t — p)(t — Z)
f (t)-go (t~z)f (z) Q (t — и) f (p)-9°(p~z)f (z) B,(Bz (f))(t) =-^--^-=
t — и
: (f (t)(U — z) — 90(t — z) f (z)(u — z) — 90(t — U) f (U)(t — z) + +9o (t — U)9o (U — z) f (z)(t — z)) /((U — z)(t — z)(t —.
(U — z) Bv (Bz (f))(t) =
-- (f (t)(u — z)+ 90(t — z) f (z)(t — и) — 90(t — U) f (U)(t — z) —
-9o (t — z) f т — у) — go{t — z) f (z)(у — z)-+9o{t — до- z) f (z)(t — z^j/((t — z)(t — =
= D,(f)(t) -Dz (f)(t) +
-9o (t — z) f (z)(t — z)+ go (t — у) до (у — z) f (z)(t — z) = (t — z)(t -у)
9o (t — у) go (y — z) — go (t — z)
= В,(т -вя№) + № г-
= В"(№) — В*(№) — /(г)В^(ыт.
Ясно, что равенство
(II — Х) о^(ог (лт = Б^т) — вг (т — я^ Т-я ыт
выполняется при Ь = | и Ь = z (ведь функции, стоящие в обеих частях этого равенства, целые по ?). Поскольку В^(т-Х (да))^) = 0,? € С, при | = г, то последнее равенство справедливо и при | = г. ¦
Замечание 5. Если да = 1, то равенство (3) имеет вид:
В" -В2 = (I — о Вх.
Лемма 6. Предположим, что выполняется условие (1). Тогда справедливы следующие утверждения:
(1) Для любых п € N ограниченного в С множества М, существует т € N такое, что
для любого г € М оператор Вх линейно и непрерывно отображает Еп в Ет. (И) Для любых п € N ограниченного в Еп множества В, ограниченного в С множества М, существует т € N такое, что множество
[Вг (/): г€М,/ €В}
ограничено в Ет.? (1): Вследствие (1) найдется п € N для которого множество
{т-г (да): z€М}
ограничено в ЕП1. Выберем т € N по п2 := тах{п, щ} по (1) и для к € N определим ^ € N (тоже по (1)).
Возьмем / € Еп. Зафиксируем г € М. Пусть Ъ — & gt- 1. Тогда
1 В,(/т & lt- |?(1) — да (1 — г)/(г) & lt- Ц (1) + да (1 — г) (4)
exp vm, k (t) exp vm, k (t) exp vm, k (t) exp vm, k (t)
Если It — zl & lt- 1, то
sup 1 f (w) — 9o (w — z) f (z)l
lDz (f)(t)l & lt- ]w-z]=1_ & lt-
exp vm, k (t) exp vm, k (t)
sup I f (w)l sup Igo (w — z) I
& lt- ]w-z] = 1__+ ^ ]w-z]=1_ & lt-
& lt- exp vm, k (t) exp vm, k (t) & lt-
& lt- [Pv"2,s (Л + 1 1 Pvn2, s (r-z (90)))exp (sup vn2, s (w) — inf vm, k (w)j. Таким образом, для любого к Е N
Pvm, k (Dz (f)) & lt- +Ж,

т. е. Bz (f) Е Ет. Значит, для каждого z Е М оператор Bz (линейно) отображает Еп в Ет.
Поскольку график оператора Bz: Еп ^ Ет замкнут, то по теореме о замкнутом графике
[13, с. 615, теорема 6.7. 1] операторы Bz: Еп ^ Ет, z Е М, непрерывны.
(ii): Пусть множество В ограничено в Еп, т. е. suppV г (f) & lt- для любого I Е N.
feB
Из условия (1) следует, что множество {т-z (д0): z Е М} ограничено в некотором пространстве Еп1. Положим П2 := max{n- П]. Выберем m по n согласно (1) и, зафиксировав
к, определим s по (1). Так как В ограничено в Еп, то sup |f (z)l & lt- Вследствие
zeM, f e в
неравенств (4)-(5), учитывая, что множества В и {r-z (д0): z Е М} ограничены в Ет, получим:
sup Рт, к (Bz (f)) & lt-
e M, e B
Значит, множество {Bz (f): z Е М, f Е В} ограничено в Ет. ¦
Лемма 7. Пусть выполняются условия (1) и (2). Тогда справедливы следующие утверждения:
(iii) Для любого n Е N, любого ограниченного в Еп множества В существует m Е N такое, что lim B"(f) = Bz (f) в Ет равномерно (по f) на В.
(iv) Для любых f Е Е, z Е C найдется г Е N такое, что в Ег существует lim Dмz (f),
V^z V z
равный Bz (r-z (/'-)).
(v) Для любых f Е Е, z Е C найдется г Е N
такое, что в Ег
B,(f) — B z (f)
V^z и — Z
? (iii): Пусть n Е N и множество В ограничено в Еп. По замечанию 1, 2) существует m Е N такое, что В относительно компактно в Ет1.
Ясно, что B^(f) ^ Bz (f) при и ^ z поточечно для любой функции f Е Е. По свойству (ii) леммы 6 существует m, для которого множество
{B,(f): 1и — zl& lt- 1, f ЕВ}
ограничено в Ет2, а значит, по замечанию 1, 2) и относительно компактно в некотором пространстве Етз, где m3 & gt- m. Отсюда следует, что для любого f Е В в Етз существует lim B"(f), равный Bz (f). По свойству (i) леммы 6 найдется m & gt- m3 такое, что
операторы BV, 1и — zl & lt- 1, линейно и непрерывно отображают Ет1 в Ет. По теореме Банаха-Штейнгауза [13, следствие 7.1. 4] limBV (f) = Bz (f) в Ет равномерно (по f) на В, т. е.
lim D? U) DzШ = {f) + f{z)Dz{r_z
lim sup pVm^k (D?(f) -Dz (f)) = 0
feB '-
для любого к E N.
1у): Зафиксируем / Е Е и г Е С. При р = г, вследствие Вр (т-р (/)) = 0,
Вр (Т-Т (I)) _ В (Т-Т (Л — Т-р и). (6)
р-т
а множество В = |(/р-Г~м (/) ¦ 0 & lt- - г1 & lt- 11 относительно компактно в Ет (см.
доказательство леммы 2). По (111) и свойству (1) леммы 6 найдется г Е N для которого ИшВм (д) = ВТ (д) в Ег равномерно (по д) на В, и оператор ВТ линейно и непрерывно
р^т
отображает Ет в Ег. Используя это и равенство (6),
легко показать, что в Ег существует
Иш (г-(/)), равный Вт (Т-Т (Л).
& quot- I
р — z р — Z
По лемме 2 найдется m Е N такое, что в Ет существует lim (f& quot-_?(f), равный т-Л f),
?^z & quot- Т
_ fr-z (f)_Т -?(f) '-

(v): Вследствие равенства (3) при у = г
Ш-Ш. = D (D,. u)) + rn.
у z у Z
Поэтому утверждение (v) следует из (iii) и (iv). I
Докажем еще один результат об оценке роста D^(f)(t) по t и у для f Е Е.
Лемма 8. Пусть выполняется условие (1) и д0 = 1. Тогда У f Е Е Зт Ук, I ЗА & gt- 0:
ID^(f)(t)l & lt- Аexp (vm, k (у) + vm, i (t)), t,^ Е C.
? Заметим, что функция д0 = 1 принадлежит Е тогда и только тогда, когда существует п0 Е N такое, что для любых п & gt- п0 из Е N
inf vn, s (z) & gt- -ж. (7)
(Без ограничения общности можно считать, что п0 = 1.) Пусть f Е Ег. По условию (1) существует т & gt- г такое, что для любого I Е N найдутся s Е N и С & gt- 0, для которых
sup vr, s (w) & lt- vm, i (t) + С, t Е C.
]w-t]& lt-2
Для к, l Е N (используя принцип максимума, если t- & lt- 1) получим: для любых t, у Е C
ID,(f)(t)& lt- sup If (w) + If (v)l& lt-
]w-t]& lt-2
& lt- Pvr, s (f)exp (Vm, l (t) + C) + Pvrn, k (f)expVm, k (/l) =
= (Pvr, s (f)exp (С — vm, k (у)) + '-pVm k (f)exp (-vm, i (t))j exp (vm, k (у) + vm, i (t)).
Остается отметить, что, вследствие (7),
sup (Pvr, s (f)exp (С — vm, k (у)) + Pvmk (f)exp (-vm, i (t))) & lt- +& lt-x>-. t, nec
2.-интерполирующий функционал, его свойства
Далее Е — пространство целых функций такое, как в § 1, причем задающее его семейство функций (уп, к) п, кеп удовлетворяет условиям (1) и (2). Предположим, что Р — некоторое комплексное локально выпуклое пространство (коротко: ЛВП), обладающее следующими свойствами:
(И) (Р, Е) — дуальная пара относительно билинейной формы (х, /), х € Р, f € Е. (Е2) Топологии Р и Е мажорируют слабые топологии а (Р, Е) и а (Е, Р) соответственно. (Е3) Существуют элементы е € Р, А € С, такие, что
(ех, д) = д (А), д € Е, А € с.
Замечание 9. Естественным примером пространства Р, удовлетворяющего условиям (И)-(Е3), является топологическое сопряженное Е'- к Е с топологией, мажорирующей слабую топологию а (Е'-, Е). В этом случае е — дельта-функции:
(ех, Л = ех (Л = !(А), А € с, / € Е.
(По поводу используемых здесь понятий из теории двойственности см., например, [14, гл. 2].)
Определение 10. Пусть Q — целая в С2 функция такая, что Q (•, г) € Е для любого г € С. Q-интерполирующим функционалом назовем отображение: С2 х Р ^ С, задаваемое равенством
& amp-((ц, г, х) := (х, В^(^, г))), € с, х € Р.
Докажем некоторые свойства функционала Qq. Положим No := N U {0}. Для ЛВП Н символ Н'- обозначает топологическое сопряженное к Н. Теорема 11. (i) Для любых ?, z, X E C
(А — ?)UQ (?, z, ех) = Q (X, z) — go (X — ?)Q (?, z).
(ii) Q q (h, z, ¦) E F'- для любых ?, z E C.
(iii) Предположим, что отображение z М- Q (-, z) обладает следующим свойством: для любого компакта М в C существует п E N такое, что для любого s E N
suP Pvn, s (Q (z)) & lt- +& lt-x>-.
zeM
Тогда Qq (-, -, x) E A (C2) для любого х E F.
(iv) Если g0 = 1, то Qq (-, z, x) E E для любых z E C их E F.
? (i): Для ?, z, X E C,? = X, учитывая свойство (F3), получим:
(X — ?)QQ (?, z, ex) = (X — ?){ex, D?(Q (-, z))) = (X — ?)D?(Q (-, z))(X) =
/л z) — 90(X — ?)Q (?, z) ,. ,., .
= (X — ?)-г-= Q (X, z) — go (X — ?)Q (?, z).
X — ?
Если? = X, равенство (i) очевидно. Утверждение (ii) следует из свойства (F2).
(iii): Зафиксируем х E F иг E C. Возьмем? E C. По свойству (v) леммы 7 найдется r E N такое, что в Er существуетlim (Q (¦, z)),
равный D?(Q (¦, z)) + Q (?, z) D?(r-?(gf0)) =: h. Поэтому, вследствие (F2), существует lim? , равный (x, h). Таким образом, функция QQ (?, z, x) является це-
лой по ?.
Зафиксируем х E F и? E C. Раскладывая (при фиксированном t E C) целую (по z) функцию Q (,) в степенной ряд, получим:
& lt-х
Q (t, z) = ^ aj (t)zj, t, z E c, (8)
j=o
где uj E A©. Возьмем z E C. В силу неравенств Коши
sup IQ (t, Ol
|g|& lt-|z| + 1
(lA + i) j
Пусть п E N таково, что для любого E N
k-(t)i & lt- «., j e no, te c.
Cs := sup Pvn& gt-s (Q (¦, i)) & lt- +Ж. | |& lt-| |+1
Зафиксируем E C. Тогда для любого E No
Cs exp vn, s (t)
laj (t)l & lt-
(N + 1У '-
Следовательно, ряд (8) сходится абсолютно в некотором пространстве Еп (п зависит от г) по переменной Ь к Q (t, г). По лемме 6 (1) существует т Е N такое, что Вр линейно и непрерывно отображает Еп в Ет. По свойству (Р2) линейный функционал
д^(х, д), дЕЕ, (9)
непрерывен на Е, а значит, непрерывно его сужение на любое пространство Е1, I Е N в частности, на Ет [14, гл. 5, предложение 5]. Поэтому
те
Пд (ц, г, х) = (х,, г))) = (х, (В^
3=0
оо
х,^2В^(аз У / = X] (х, В^(аз
3=0 3=0
причем последний числовой ряд абсолютно сходится. Таким образом, функция П ((?, х, х) является целой по г. По теореме Хартогса [15, гл 1, § 2, п. 6] П ((г, 1, х) — целая в С2 функция (по (?, г)) для любого х Е Р.
(1у): Зафиксируем г € С их Е Р. По (ш) П ((ц, г, х) — целая (по ?) функция. Так как линейный функционал (9) непрерывен на Е = тёрго] Епз, то Уп Е N Зз Е N ЗВ & gt- 0:
1П ((1,г, х)1& lt-Вр^ (. Вг))). (10)
По лемме 8 Зт Ук, I ЗА & gt- 0:
г))(1)1& lt-Аехр (ут, к (?) + Ут, 1 & amp-)), ?, 1 Е с. (11)
Из неравенств (10) и (11) (в них п = т, I = в) следует: для любого к Е N
|П ((?, г, х)1 & lt- АВехр Ьт, к (?1), 1 Е с.
Значит, Пд (^, г, х) Е Е. ¦
3. ПРИМЕРЫ
1) Интерполирующая функция шь (ц, х), введенная А. Ф. Леонтьевым (см. [1, гл. IV, § 2, с. 237]) — частный случай функционала П (.
Пусть С — ограниченная выпуклая область в С- С — замыкание С в С- 0 Е С- А (С) — пространство всех функций, аналитических на С, с естественной топологией индуктивного предела последовательности банаховых пространств. Пусть На — опорная функция С, т. е.
На (г) := вирЯе^), гЕ С. геб
Положим Р := А©. В качестве Е рассмотрим весовое пространство Фреше:
Е := {/ ЕА© Уп Е N \Дп: =ыр Н 11({*)11/) & lt-
I? ее ехр (Нс (х) + Щ/п) J
т. е. в данном случае
V п, к
(г) = На (г) + И/к, п, к Е N г Е С,
и все ЛВП Еп совпадают между собой. Семейство функций (уп, к) п, кеп удовлетворяет условиям (1) и (2).
Через Т обозначим преобразование Лапласа:
Т ((р)(г) := ^(ехр (гг)), г Е с, & lt-р Е А (С)'-.
Как известно [16, теорема 4.5. 3], Т является топологическим изоморфизмом сильного сопряженного А (С)'-Ь к А© на Е. Билинейная форма
(х, /) := Т-1(/)(х), х ЕР, / ЕЕ, (12)
задает двойственность между Р и Е, т. е. условие (Р1) выполняется. Вследствие (12) условие (Е2) тоже имеет место. Если ех (г) := ехр (Аг), А, г Е С, то
(е х, /) = /(А), А Е с, / ЕЕ,
а значит, выполнено условие (F3). Пусть L — целая функция экспоненциального типа с сопряженной диаграммой G. Согласно [1, гл. IV, § 2, c. 237]
t
шь («, х) = 2- J l (t)(j x (t — 0 e^d^dt,
С 0
где 7 — функция, ассоциированная по Борелю с L, С — контур, охватывающий G и лежащий в области аналитичности х и 7.
Положим Q (p, z) := L (p), p, z E C. Поскольку 0? G, то в качестве g0 можно взять д0 = 1. Покажем, что
Qq (/i, z, x) = шь (^, х), p, z E C, х E F. Поскольку для p, z E C линейные функционалы Qq (^, z, •) и uL (p, •) непрерывны на F (теорема 11 (ii) и [1, свойство 5, c. 243] соответственно), то, в силу полноты семейства {е х: X E C} вF, достаточно показать, что
Qq (/!, Z, ех) = шь (/1, ех)
для X E C. Так как z) = L (p) для любых p, z E C, то
Q (X, z) — Q (p, z) L (X) — L (p)
^qeх) =-т-=-т-.
X — p X — p
По [1, свойство 3, c. 242] также
L (X) — L (p)
uL (/i, ex)
X — p
2) Интерполирующий функционал, введенный в [2, § 3] на основе интерполирующей функции А. Ф. Леонтьева, — тоже частный случай изученного в данной работе.
Пусть С, На — такие, как выше в 1) — Р ¦= А (С) — пространство всех функций, аналитических в С, с топологией равномерной сходимости на компактах С. В качестве Е рассмотрим счетный индуктивный предел весовых банаховых пространств:
Е: ={ fE A (c)
I f (z)
3n E N lfln := sup-м/ ч & lt-
?ec exp (HG (z) — Izl/n)
т. е. в данном случае
Vп, к (%) = На (г) — г/п, п, к Е N г € С, и все ЛВП Еп являются банаховыми пространствами. Семейство функций (уп, к) п, кеп удовлетворяет условиям (1) и (2). Пусть ех (г) ¦= ехр (Аг), А, г Е С. Преобразование Лапласа
Т (у)(г) ¦= & lt-р (е2), гЕ с, у Е А (С)'-,
является [16, теорема 4.5. 3] топологическим изоморфизмом сильного сопряженного А (С)'-Ь к А© на Е. Билинейная форма
{х, /) ¦= Т -1(/)(х), х ЕР, /еЕ,
устанавливает двойственность между Р и Е. Как и в 1), условия (И)-(Е3) выполняются.
Пусть Q — целая в С2 функция, такая, что Q (•, г) Е Е для любого г Е С. Согласно [2, § 3, определение 3. 1], Q-интерполирующий функционал определяется так (чтобы все же отличать его от исследованного здесь, обозначим его несколько иначе, чем в [2]):
г
& amp-д (р, г, х) ¦= Т-1^, г))ьП х (Ь —)(%), Е с, х Е А©.
0
В данном случае тоже можно взять д0 = 1. Из непрерывности функционалов Пz, •) и 0& gt-(((ц, г, •) на А© = Р ([2, § 3, лемма 3.2 (б)] и теорема 11 (11) соответственно), полноты
системы {ел: X Е C} в A (G) и равенства Qq (i, z, ел) = ilq (i, z, ел) для любых ?, z, X Е C, следует, что 1q = lq на C2 х F. (Заметим, что равенство! q (i, z, ел) = Q (x'-zj-Q ('-V'-^ установлено в [2, лемма 3.2 (б)] при 1 = z- очевидно, оно имеет место для любых z Е C.)
3) Пусть теперь G — ограниченное выпуклое множество в C, содержащее 0. Предположим, что G локально замкнуто, т. е. имеет счетную фундаментальную систему компактных подмножеств Gn С G, п Е N. Можно считать, что все компакты Gn выпуклые и Gn С Gn+i, п Е N (см., например, [4], [17], [18]). Пусть F := A (G) := proj A (Gn) — про-
--n
странство ростков всех функций, аналитических на G, с топологией проективного предела
(LВ)-пространств A (Gn), п Е N. Введем весовое (LF)-пространство Е := indproj Ank, где
n^ -к
банахово пространство Ank определено следующим образом:
Ank := {/ Е A (C): \i\nk := sup-(и & lt- +оо
I? ec exp (HGn (z) + Izl/k) J
(Hgti — опорная функция Gn). В данном случае
Vn, k (z) := Hg"(z) + Izl/k, z Е C, n, k Е N-
семейство (vn, k) n, keN удовлетворяет условиям (1) и (2).
Как и ранее, e (z) := exp (Xz), X, z Е C. Преобразование Лапласа
Т (y)(z) := tp (ez), zE c, у Е A (G)'-,
устанавливает топологический изоморфизм сильного сопряженного A (G) к A (G) на Е [17, lemma 1. 10]. Билинейная форма
& lt-х,/>-:= Т~/)(х), х Е F, /ее,
устанавливает естественную двойственность между F и Е- свойства (F1)-(F3) выполняются.
Пусть L — целая (в C2) функция такая, что L (-, z) Е Е для любого z Е C. L-интерполирующий функционал li в [4, § 3] определяется так:
t
li (?, z, x):= Т ~1(L (-, z))t (^J x (t — C) exp (/i$,)d? j, ?, z Е C, х Е F.
0
И в этом случае можно взять д0 = 1. Положим Q := L. Как и в 1) и 2), вследствие непрерывности функционалов li (ц, z, ¦) и l q (i, z, ¦) на F ([4, lemma 3. 3] и теорема 11 (ii) соответственно), полноты системы {е л: X Е C} в F и равенства Qq (i, z, ел) = li (??, z, ел) для любых z Е C, равенство li = 1q выполняется на C2 х F. (Заметим, что равенство
(?, z, ел) = z) установлено в [4, lemma 3. 3] при 1 = z- очевидно, оно имеет место
для любых i, z Е C.)
Авторы выражают благодарность А. В. Абанину за ценные замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. 536 с.
2. Мелихов С. Н. Продолжение целых функций вполне регулярного роста и правый обратный для оператора представления аналитических функций рядами квазиполиномов // Матем. сб. 2000. Т. 191, № 7. C. 105−128.
3. Иванова О. А., Мелихов С. Н. О представлении аналитических функций рядами из квазимономов // Исследования по современному анализу и математическому моделированию. Владикавказ, изд-во ВНЦ РАН и РСО-А. 2008. С. 30−37.
4. S.N. Melikhov, S. Momm On the expansions of analytic functions on convex locally closed sets in exponential series // Владикавк. матем. журн. 2011. Т. 13, № 1. С. 44−58.
5. Иванова О. А., Мелихов С. Н. О формулах для коэффициентов рядов по функциям Миттаг-Леффлера для аналитических функций // Исследования по математическому анализу. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. 2014. С. 251−260. (Матем. форум. Т.8. Ч.1. Итоги науки. Юг России).
6. S.N. Melikhov Generalized Fourier expansions for distributions and ultradistributions // Rev. Mat. Compl. 1999. V. 12, № 2. P. 349−379.
7. M. Pommies Sur les restes successifs des series de Taylor // Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse. 1960. V. 24, № 4. P. 77−165.
8. Коробейник Ю. Ф. К вопросу о разложении аналитических функций в ряды по рациональным функциям // Матем. заметки. 1982. Т. 31, № 5. С. 723−737.
9. Линчук С. С., Нагнибида Н. И. Об эквивалентности операторов Поммье в пространстве аналитических в круге функций // Сибирский матем. журн. 1990. Т. 31, № 3. С. 507−513.
10. I.N. Dimovski, V.Z. Hristov Commutants of the Pommiez operator // Int. J. Math. and Math. Sc. 2005. Issue 8. P. 1239−1251.
11. Шерстюков В. Б. Нетривиальные разложения нуля и представление аналитических функций рядами простых дробей // Сиб. матем. журн. 2007. Т. 48, № 2. С. 458−473.
12. Yu.S. Linchuk Description of the generalized eigenvalues and eigenvectors of some classical operators. (Ukrainian. English summary). // Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr., Mat. Pryr. Tekh. Nauky. 2013. № 2. P. 25−29.
13. Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. 1072 c.
14. Робертсон А. П., Робертсон В. Д. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967. 257 с.
15. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Часть 2. М.: Наука, 1985. 464 с.
16. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968. 279 c.
17. S.N. Melikhov, S. Momm Analytic solutions of convolution equations on convex sets with obstacle in the boundary // Math. Scand. 2000. V. 86. P. 293−319.
18. Мелихов С. Н., Момм З. О свойстве внутрь-продолжаемости представляющих систем экспонент на выпуклых локально замкнутых множествах // Владикавк. матем. журн. 2008. Т. 10, № 2. С. 36−45.
Ольга Александровна Иванова, Южный федеральный университет,
Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Ворровича
ул. Мильчакова, 8а,
344 090, г. Ростов-на-Дону, Россия
E-mail: neo_ivolga@mail. ru
Сергей Николаевич Мелихов, Южный федеральный университет,
Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Ворровича
ул. Мильчакова, 8а,
344 090, г. Ростов-на-Дону, Россия,
Южный математический институт ВНЦ РАН,
ул. Маркуса, 22,
362 027, г. Владикавказ, Россия
E-mail: melihumath. rsu. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой