Об инвариантных полях двумерных площадок распределения многомерных плоскостей в эвклидовом пространстве

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Математика и механика. Физика
УДК 514. 76
ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ПОЛЯХ ДВУМЕРНЫХ ПЛОЩАДОК РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ЭВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Е. Т. Ивлев, А. С. Пшеничникова, В.А. Пилипенко
Томский политехнический университет E-mail: AnkaBee@mail. ru
Изучаются поля пар соответствующих двумерных площадок m-плоскостей Lm и нормальных (п-т)-плоскостей Pnm распределения A[m в эвклидовом пространстве E. Доказывается существование конечного числа пар соответствующих площадок L'^Lm и P2& lt-^Pn-m, характеризуемых наличием вполне определенных отображений этих площадок специального вида.
Введение
Распределения на погруженных многообразиях составляют один из важных разделов дифференциально-геометрических структур [1]. Одной из основных проблем распределения т-плоскостей Ьт в «-мерном однородном пространстве является проблема оснащения [1]. Эта проблема для распределения т-плоскостей Ьт в эвклидовом пространстве Еп является тривиальной, поскольку оснащающей плоскостью является (п-т)-плоскость Рп_т±Ьт. В этом случае возникает необходимость более детального изучения инвариантных геометрических образов, связанных с распределением т-плоскостей Ьт в Еп.
Данная статья является продолжением статьи [2].
В первом пункте, посвященном аналитическому аппарату, приводятся некоторые аналитические результаты работы [2], которые используются в данной статье при изучении распределения Д1пт: Л^Хт в Еп.
В пункте 2 доказывается теорема о существовании в общем случае инвариантного поля пар двумерных площадок Ц^Ьт и Р21еРп_т, Р"_т^Ьт.
Третий пункт посвящен изучению некоторых специальных распределений и Дп"т в Еп.
Все рассмотрения в данной статье, как и в [2], носят локальный характер, а функции, встречающиеся в статье, предполагаются функциями класса С».
1. Аналитический аппарат
1.1. В п-мерном эвклидовом пространств-- Еп, отнесенном к ортонормальному реперу Я={Л,-}, (/,/'-, к,/=1,п) с деривационными формулами и структурными уравнениями
йЛ =т'-в[, йе1 = т] е],
Бт'- = Ю лт], Бтк = Ю люЮ, (1)
/- - Го,'- ^
т +т] = о, (е'--'- = 8″ =|1. =.
рассматривается распределение
ДП, т: Л ^ 1 т = (А еЬ е2, ет). (2)
Здесь, как и в [2], символ (х--) означает скалярное произведение векторов х, — еЕ", а символ Ь1=(Б,-,-,… ,-,) обозначает р-мерная плоскость (р-плоскость) Ьр^Еп, проходящая через точку Б& lt-еЕ" параллельно линейно независимым векторам Б, х1, х2,…, хр.
В соответствии с (1), (2) и [2. Ур. (6), (8), (9)] дифференциальные уравнения распределения Д1п, т имеют вид:
ю" = Л" т, УЛ" = Л"", т], = 0,
а а'- ' а'- а'-] & gt- а}]
(!, ] = 1, п, а, в, У= 1, т- а, /3,у = т +1, п). (3)
С учетом (1)-(3) и [2. Ур. (10), (11)] замечаем, что в пространстве Еп определено распределение:
Дп, п-т: А ^ Рп-т = (Л, вт+1,вт+2,…, вп) ^. (4)
Из (1) и (3) следует, что
та = Ла т = -Ю ^ Ла = -Ла, (5)
а а! а а'- а!
(см. [2. Ур. (11)]).
Замечание 1.1. Здесь и в дальнейшем предполагается, что т и п удовлетворяют неравенствам: т& gt-2, п-т& gt-2, т& lt-п.
1.2. Каждой точке ЛеЕ" сопоставим в? т и Р"_т следующие двумерные плоскости в соответствии с [2. Ур. (15), (16)]:_ _
-2 — (A, еь е2) о х"'- = я"1 х х" = 0, L12 с Lm-
Р, 1 = (А, ?т+1, Бт+ 2) «Х"2 = Я"2X"2,
где /
х, а = 0, Р'-2 с Рп _
Б а1 = еа1 + ЯЯ1 еЯ1, е, а 2 = еа 2 + Яа — С'-
а1, Р1, Т1 = 1,2- а1, в х, у 1 = 3, т-
^ а2, в: ,/: = т +1, т + 2- а:, Р 2, у 2 = т + 3, п
(6)
(7)
причем величины g"1 и ,"2 удовлетворяют дифференциальным уравнениям [2. Ур. (14)]:
V# ^ + ю"1 = я „Ю'-, Уе"2 + ю"2 = е"'-2 ю'-. (8)
о а1 а1 о а^ ' & lt-Ьа 2 а 2 & lt-^а — '- '-
Заметим с учетом (1), (2), (4)-(7) и в соответствии с [2. Ур. (17)-(19)], что в точке ЛеЕ“ определяются следующие линейные подпространства:
1^т-2 = (А, Бз,---, Бт) 1 -2, Lrm- 2 С —
Р/п-т-2 = (А, Бт+3,…, Бп) 1 Р21, Р- - С Р- т, (9)
где е"1 — е"1 + #^ еа 1, Баг — е"2 + еа2,
(10)
2. Поля инвариантных плоскостей 1. 2с1-т и Р1сР-т
2.1. В соответствии с [2. Ур. (27)] в каждой точке ЛеЕ» определены при каждом фиксированном направлении /еЕ":
, — (А, е1),'- следующие отображения
Р: -2 ^ р- о уа2 — (О"2ха1 + § а2),'-
(11)
(12)
: Р2-2 о *" — - О: -у"2 + дГ-)/'-, геометрически определенные в виде [2, (28)].
Здесь величины Оа! и Оа в соответствии с [2. Ур. (20)] определяются по формулам:
о- - 4- + & lt- А|-+4 + ?А), о--С'- + ?С42'- + са- + с с), (!3)
и удовлетворяют дифференциальным уравнениям [2. Ур. (21)].
В соответствии с определением 3. 1, теоремой 3.1 и (27) в [2] имеем
('-(О1'т+1 — От+2У — 0- [(От1 + О’т+2),'- - 0
(14)
при каждом фиксированном направлении (11).
В соответствии с теоремой [2. Теорема 3. 2] и [2. Ур. (29)-(31)] в точке ЛеЕ" плоскостям Х2'-сХт и Р 1сР"_т отвечает («-2)-плоскость
Гп-2 „
(От+1 — От+2у — 0- [(вЩ+2 + от+1у — 0,
(15)
как совокупностьвсех направлений (11), при которых е^ое^^.
2.2. Имеет место следующая теорема.
Теорема 2.1. Каждой точке ЛеЕ“ при „& gt-4 отвечает конечное число пар соответствующих плоскостей
-2 — -т П Гп-2 И Р-1 — Рп-т П Г"-- (16)
таких, что р ^ ра, V* е Гп-4 — - - 2 и Р — -•
Доказательство. Из (9) и (10) с учетом (11)-(16) получаем, что
и1=2(т-2)+2(„-т-2)=2("-4) величин и & amp-„2=-,?"2, определяющих иско-
мые плоскости ?2 и Р2 в точке ЛеЕ“, удовлетворяют „неоднородным алгебраическим уравнениям:
т~ - (вт+1 — ва2) ?"1 + в'-^1 — вт++2 — 0-
'- а1 ^ 1 а1 2 а1 '- ^ й1 1а 1 2а 1
-тт+1
+ От+1 — 0-
Та 1 '
^ - (ва-2+о%) ??+ в
т“. — (в, т+1 -в7т+ 2) е „2 + О-О"^2 — 0-
'- '- 1 аТ 2а Т ГУ о 1 ГУ о? ГУ -& gt-
т+1

т+ 2 1а 1 т+1 1а
(17)
— (От+2 + О7т+1)е „2 + от2 + От+1 — 0,
'- аг 1 а 2 2а 2 а 2 1а 2 2а 2
а1, в1 — 1,2- а 1, в 1 — 3, т-
Л
ча 2, в2 — т +1, т + 2- аг, в2 — т + 3, п/ Рассмотрим якобиеву матрицу системы (17):
дт- дш~ дт- дш~
дев1
дев1
дев22
дев22
дт- дш~ дт- дш~
'-/& quot-У
деР1
дев1
в -ыв д8в: дев
в-
(18)
Подсчитаем ранг якобиевой матрицы (18) при следующих нулевых значениях величин:
е „1 — -е ^ - 0, е“: — -е"2 — 0, (19)
(r) а1 & lt-„'а1 ® а- ® а 2
что с учетом (13) и (17) приводит к следующим соотношениям:
лт+1 лт+2 г лт+ 2. лт + 1
^4“!+1 — ^т+2 — 0,
1а1 2а1
^4т+1 — Ат+2 — 0,
1аг 2аг
Ат+2
1 а1 Ат+2
1 а 2
+ А — - 0,
Та 1 '
+ А1 — 0.
2а 2
(20)
С учетом (19), (20) и (13) следует, что в точке ЛеЕИ при „& gt-4 в общем случае существует нижеследующий тождественно ненулевой минор порядка и1=2(и-4) матрицы (18):
В — det
Ат+2 Ат+2 — А 2 А'-3-:
Р1 а1 /? 1 а1 1а 1 2а 1
Ат+2 Ат+.1 — Ав — Ав:
Д1 а1 в? 1 а1 2а 1 1а 1
— Ат+2 Ат+ 2 А2 — АТ’г
1 „2 в1 „2 1а 2 2а
Ат+2 — А!"±1 А^ А2
в1 „2 /?1 а 2 2а 2 1а 2
Здесь
а-=3,т — номера (т-2) первых пар строк, а2=т+3,“ — номера (и-т-2) следующих пар строк, в 1=3,т — номера (т-2) первых пар столбцов, в 2=т+3," — номера (и-т-2) следующих пар столбцов.
Поскольку определитель В порядка „тождественно не равен нулю в точке ЛеЕ“, то система (17) в общем случае состоит из „алгебраически независимых уравнений, а потому она допускает в общем случае конечное число решений относительно ?“?-???и ?|2=-,|.
Теорема 2.1 доказана.
Проведем в точке ЛеЕ“ -акую канонизацию ор-тонормального репера Я={Л,-}, при которой имеют место соотношения (20) и В0 (см. ур. (21)). Из [2. Ур. (21)] и (20) с учетом [2. Ур. (11)], (19), (20), (8) и В0 получаем
ю-1 —, & lt-<-2 — 4'-ю'-,
VA: -'--, VA: — 4: ю. (22)
Здесь явный вид величин Ли Ла"2 для нас не существенен, причем в силу (1) и1 меем2
ю"1 — -ю"1 — -А"1 ю'- ^ - -А"1 ,
а1 а1 а1/ а1'- й1 '-
ю"2 --ю"2 — -А"2ю'- ^ А"2, — -А"2. (23)
а2 а 2 а: '- 2'- а 2'-
Из (22) следует, что указанная канонизация орто-нормального репера Я, осуществленная по формулам (20) и Вф0, в соответствии с [3] существует на любом распределении Дт: Л^Ьт, на котором В0. В соответствии с Теоремой 2.1 эта канонизация репера с учетом
(19), (16) и (9) геометрически характеризуется тем, что ______________________ *2 ____________________
-2 — (А, е1, е:) ^ - т-2 — (А, е3,…, ет),
_________ * 2 _________ _
Р1 — (А, ет+1, ет+ 2) ^ Рп-т-2 — (А, ет + 3,…, еп). (24)
Здесь плоскости ?1 и Р2- в точке ЛеЕ“ геометрически определены в Теореме 2.1. В случае В=0 эти плоскости определяются бесчисленным количеством способов. Естественно, этот случай из рассмотрения исключается при указанной канонизации ортонормального репера Я.
3. Распределение ДЦт
Определение 3.1. Распределение
называется распределением Д^, если F: L ^ Р2, Vte Еп.
(26)
Теорема 3.1. Распределение Д1““, т существует. Доказательство. Из (14) в силу (3), (5), (13),
(20), (25) и (26) получаем, что распределение Д характеризуется следующими дифференциальны ми уравнениями:
1п
n, m
,^m+l ^лт+ 2 A ^m+ 2. m +1 _
О -®2 = 0, (c)1 + (c)2 = 0-
(27)
Рассмотрим распределение Дп, определяемое дифференциальными уравнениямип (см. ур. (22), (23)):
со* 1 = 0, о „2 = 0,
= 0, о"2 = 0,
01
^ а1 = 1,2- ai = 3, m- а 2 = m +1, m + 2- ^
а 2 = m + 3, n
(28)
Из (1) заключаем, что дифференциальные уравнения (28) замкнуты относительно операции внешнего дифференцирования. Поэтому распределение Д0 1“ существует. Из (27) и (28) следует, что распреде-
н.т 01“
ление Д0 „, т является частным случаем распределения Д1″“, т. Сле"д, товательно, распределение Д1″“, т существует. Теорема 3.1 доказана.
0 1″
Теорема 3.2. В случае распределения Д"т и только в этом случае ортогональные линейные подпространства (см. ур. (24)):
Гm — (A, ?m+1, @m+ 2, ез,…, @m) — P, U Lm-2,
___ _ _ _ _ * 2
Гn-m = (A, e1, e2, ?m+3, …, en) = ?2 U Р n-m- 2
(29)
изменяются параллельно самим себе.
Доказательство этой теоремы вытекает из (1), (24) и (29) с учетом (22) и (23).
Из теоремы 3.2 следует, что каждое из распределений
Дnm: A ^ Г“
(25)
в случае распределения является голономным в смысле [1].
Замечание 3.1. Из (28) с учетом (22) и (23) заключаем, что определитель (21) сохраняет свое значение как для общего распределения Д1″, т в Е», так и для распределений Д1"& quot-т и Д1″.
'и, m
2
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г, Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии. Итоги науки и техники. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1979. — С. 7−246.
2. Ивлев Е. Т, Пшеничникова А. С., Барышева В. К. О распределении многомерных плоскостей в эвклидовом пространстве //
Известия Томского политехнического университета. — 2007. -Т. 310. — № 3. — С. 31−35.
3. Остиану Н. М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR) — 1962. -№ 2. — P. 231−240.
Поступила 25. 10. 2007 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой