Исследование робастной устойчивости систем управления методом функции А. М. Ляпунова

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Кибернетика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ЭЛЕКТРОННЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «APRIORI. СЕРИЯ: ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ»
№ 3 2014
УДК 681. 51
ИССЛЕДОВАНИЕ РОБАСТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ ФУНКЦИИ А.М. ЛЯПУНОВА Бейсенби Мамырбек Аукебаевич
д-р тех. наук
Сулейменова Саламат Темирбековна
магистрант
Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева
Астана (Казахстан)
author@apriori-journal. ru
Аннотация. В статье излагается новый подход к исследованию систем управления в условиях неопределенности методом функции Ляпунова. Система управления обеспечивает устойчивость при любых изменениях неопределенных параметров. Область устойчивости установившихся состояний системы получена в виде простейших неравенств по неопределенным параметрам объекта управления и выбираемым параметрам устройства управления.
Ключевые слова: робастная устойчивость- система управления- функция Ляпунова- катастрофа- эллиптическая омбилика.
THE RESEARCH ROBUST STABILITY OF CONTROL SYSTEMS METHOD OF LYAPUNOV’S FUNCTION
Beisenbi Mamyrbek Aukebayevich
doctor of engineering
Suleimenova Salamat Temirbekovna
undergraduate student Eurasian National University, Astana (Kazakhstan)
Abstract. This article covers a new approach to research of control systems in uncertainty with use of Lyapunov’s function. Control system provides stability at any changes of uncertain parameters. Stability region of steady states of the system is obtained in the form of simple inequations according to uncertain parameters of control object and selected controller parameters.
Key words: robust stability- control system- Lyapunov’s function- catastrophe- elliptic umbilic.
Проблеме исследования робастной устойчивости систем управления посвящено большое число работ. В этих работах [1- 2] в основном исследуется робастная устойчивость полиномов и матриц в рамках линейного принципа устойчивости непрерывных и дискретных систем управления. Универсальным методом исследования устойчивости динамических систем является метод функции А. М. Ляпунова [3- 4].
Рассмотрим систему управления с одним входом и одним выходом, описываемую уравнением состояния:
х ()= Ах (/) + Ви (/), (1)
гдех (*)е Яп _ вектор состояния объекта управления- и (г)е Я1 _ скалярная функция управляющих воздействий- А е Япхп _ матрица объекта управления с неопределенными параметрами размерности п х п, В е Ятх1 _ матрица управления размерности тх 1. Матрицы, А и Ь имеют следующий вид:
А =
'- 0 1 0 … 0 & gt- '- 0 '-
0 0 1 … 0, ь = 0
0 0 0 … 1 0
, — «» — «» 1 — «» т … -«
1 у
п
Закон управления и (*) задан в форме суммы трехпараметрических структурно _ устойчивых отображений (катастрофа эллиптическая ом-билика):
и (ї) = -х2 + 3×2×1 — к12 + х2)+ к2×2 + к1×1 — х4 + 3×4×32 — к34 (х4 + х32) —
+ к4×4 + к3×3-х3 + 3хпх21 — кп 1п (х2 + х2,)+ кпхп + кп 1 хп 1
44 3 3 ?? п п п -1 п-1,п п п -1 / п п п -1 п -1
(2)
Система (1) в развернутом виде записывается:
х1 = х2
х 2 = х3
х
п-1
хп
х, х
х
х2
4 х3
= Ьп [3×2х'- - х2 — к12 (х'- + х2) + (к1 — «п)х1 + (к2 — «п-1)х2 + 3×4х:
— х4 — к 34 (х32 + х4)+(к3 — Яп-2)х3 +(к4 — «п-3)х 4 +,… ,+3 хп-1 -кп-1,п (хп2 + хп2−1)+ (кп-1 — «2)хп-1 + (кп — «1)хп ]
(3)
Находим стационарные состояния системы:
х1, = О, Х2, = хп-1, = 0, хш = 0, (4)
к, — а
х.
____ _________п- 1+1
к
, хр = 0 при I Ф у, 1 = 1,…, п
1,1+1
к 1,1+1 Л/ к 1,1+1 + 4(кг & amp-п-1+2)
2
кг, г+1 + кг, г+1 + 4(Аг ап-1+2)
, = 0 для У Ф1 +1- 1 = 1,…, п
о для у Ф г +1-г = 1,…, п
(5)
(6) (7)
Устойчивости стационарных состояний (4), (5), (6) и (7) системы (3) будем исследовать на основе предложенного подхода методом функции Ляпунова [5]. Рассмотрим устойчивость стационарного состояния (4). Полная производная по времени от вектор-функции Ляпунова будет равна [6]:
йУ дУ. йХ ____ - _____ ^ _
= - х2 — Х32 -,. ,-ХП — Ъ1 [к12Х1 — 3Х2×12 — (к1 — ап) х1 ]2 —
Ьп [Х2 + к12Х2 (к2 ап-1)Х2 ] Ьп [к34Х3 3Х4 Х3 (к3 ап-2)Х3 ]
& amp- дХ Ж
Х
— ЬП [к34 Х4 + Х 4 — (к 4 -ап-3) Х4 ]2-,. , —
— ЬП [кп-1,пХ2−1 — 3ХпХ2−1 — (кп-1 — а2) Хп-1 ]2 — Ь1 [хП + кп-1,пХП, — (кп — а1) Хп ]
(8)
Из (9) получаем, что полная производная по времени от вектор-функции Ляпунова будет знакоотрицательной функцией, следовательно достаточное условие асимптотической устойчивости системы (3) относительно стационарного состояния (5) выполняется. По лемме Морса функцию Ляпунова (8) локально в окрестности стационарного состояния можем представить в виде квадратичной формы:
I 1
У (х) = -Ьп (к1 — ап) х12 -Ьп к2 — ап-1 + Т
V Ь
(
Х2 -Ьп
п
1

к3 ап-2 + ,
V Ьп У
х32 —
— Ьп (к4 -ап-3 ±1
х — -Ь
4п
п
кп-1 — а2 +~Т Хп2−1 — Ь
п
1

(9)
кп — а, ±
п1
Ь у
Х
Необходимое условие устойчивости стационарного состояния (4) будет определяться системой неравенств при Ьп & gt- 0:
3
Х
2
к, — а & lt- 0, к2 — а, + - & lt- 0, к3 — а 2 + - & lt- 0, к4 — а 3 + - & lt- 0, к
1 п '2 п-1 1 ' 3 п-2 * '4 п-3 7 '
Ь Ь Ь
1
1
к, к , — а2 ±------------& lt- 0, к — а, ±----------& lt- 0
п -1 2 п 1
Ь 1 Ь
п п
Исследуем на робастную устойчивость стационарного состояния (5) на основе метода функции Ляпунова.
Полная производная по времени от вектор-функции Ляпунова будет знакоотрицательной, следовательно, достаточное условие асимптотической устойчивости состояния (5) будет всегда выполняться.
Функцию Ляпунова в скалярной форме получим:
У (х) = -ЬпХ21 Ьп к12Х3 — 3Ьп (к1 — ап КХ1 + 1 Ьп (к1 — ап) Х2 +
3
2
+ 4 ЬпХ2 + 3 Ьп к12Х2 — 3Ьп (к1 — ап) Х1 Х22 + 1 Ьп (к2 — ап-1)Х1 «¦ ¦ ¦,
2
¦ ЬпХпХ3, + Ькп, пХ3 , — 3Ьп (кп — а,)хях2, + - Ьп (кп , — а2) х2, +
п п п-1 п п-1,п п-1 п п 1 / п п-1 п V п-1 2 / п-1
2
(11)
2
+ - Ьпх4 +1 Ьпкпп & gt-х3 — 3Ь (кп — а& gt-)хп & gt-х2 -1 Ьп (кп — а& gt-)хп
4 п п 3 п п, п-1 п п п 1 / п-1 п 2 п п 1/ п
12 12
¦ -Х2 — Х3 -2 2 2 3
Условия положительной или отрицательной определенности функции (11) определить невозможно, поэтому воспользуемся леммой Морса и локально можно в окрестности точки стационарного состояния функцию (11) представить в виде квадратичной формы:
У (х)» у [(к1 — ап) Х1
(
1
л
к 2 ап-1 ,
V Ьп у
(
Х22 +
1
л
(
+
1
л
к. — а. ----------
4 п — 3 ь
п
(
1
к3 а п-2 ,
V Ьп у
V
Х32 +
к — а--------
п 1 Ь
V п у
(12)
Необходимое условие устойчивости стационарного состояния (5) будет определяться системой неравенств при Ьп & gt- 0:
к — an & gt- 0, к2 — an , — - & gt- 0, k3 — an 2 — - & gt- 0, к4 — an 3 — - & gt- 0, к
1 n '2 ft-1 7 ' 3 n-2 7 '4 n-3 7 '
b» b b»
1
1
¦¦¦, kn-1 — a2 --& gt- 0, kn — a1 --& gt- 0
b
b
Из системы неравенств (10) и (13) очевидно, что система управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости обеспечивает устойчивость системе (3) при любых изменениях неопределенных параметров.
Список использованных источников
1. Бесекерский В. А., Небылов А. В. Робастные системы автоматического управления. М.: Наука, 1983. 239 с.
2. Glover J. Robust stabilization of linear multivariable system: relation to approximation // Int. J. Control. 1986. V. 43. № 3. P. 741−766.
3. Бейсенби М. А., Ускенбаева Г. А. Метод функции А. М. Ляпунова в исследовании робастной устойчивости линейных систем управления с одним входом и одним выходом // Информационные и телекоммуникационные технологии: Образование, наука, практика. Тр. между-нар. науч. -практ. конф. Алматы. С. 274−277.
4. Beisenbi M.A., Abdrakhmanova L.G. Research of dynamic properties of parameter structurally stable maps by Lyapunov function // Int. Conference on Computer, Network and Communication Engineering (ICCNCE 2013). 2013. P. 201−203.
5. Dorato P., Vedavalli Recent Advances in Robust Control. N.Y., 1990
6. Beisenbi M., Yermekbayeva J. The Research of the Robust Stability in Linear System // Int. Conference on Control, Engineering & amp- Information Technology (CEIT'13), Sousse, Tunisia, 2013. Proceedings of IPCO. P. 142−147.
7. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. В 2-х т. Т. 1. М.: Мир, 1984.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой