Область сходимости рядов экспоненциальных многочленов

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ISSN 2074−1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 4 (2013). С. 84−90.
УДК 517. 5
ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
О.А. КРИВОШЕЕВА
Аннотация. В работе изучаются вопросы сходимости рядов экспоненциальных многочленов, которые построены по почти экспоненциальным последовательностям таких многочленов. Частными случаями этих рядов являются ряды экспоненциальных мономов, ряды экспонент, ряды Дирихле и степенные ряды. Получен аналог теоремы Абеля для таких рядов, из которого, в частности, вытекают результаты о продолжении их сходимости. Получен также аналог теоремы Коши-Адамара. Приводится формула, позволяющая восстанавливать область сходимости указанных рядов по их коэффициентам. Полученные результаты включают в себя результаты, связанные с теоремами Абеля и Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов, рядов экспонент, рядов Дирихле и степенных рядов.
Ключевые слова: экспоненциальный многочлен, выпуклая область, ряд экспонент, инвариантное подпространство, область сходимости.
Mathematics Subject Classification: 41A05, 4130
1. Введение В работе изучается сходимость рядов
ГО
4efc (z), (1. 1)
к=1
где (вк}fe=i — почти экспоненциальная последовательность.
Для каждой выпуклой области D С C зафиксируем последовательность выпуклых компактов K (D) = (Kp}c^=l, которая строго исчерпывает ее, т. е. Kp С intKp+1, p = 1, 2,…, (int — внутренность множества) и D = U^==1Kp. Пусть Л = (Лк}^=1 — последовательность комплексных чисел такая, что |Лк| ^ то при к ^ то, и вт — целая функция, m = 1, 2,… Будем говорить (см. [1]), что (вк}^=1 — почти экспоненциальная последовательность с показателями (Лк}, если для любой выпуклой области D С C выполнены два условия:
1) для каждого p & gt- 1 существуют постоянная, а & gt- 0 и номер s такие, что
sup |вк (w)| ^ а exp (Hks (Лк)), к =1, 2,… -
wEKp
2) для каждого p & gt- 1 существуют постоянная b & gt- 0 и номер s такие, что
b exp (Hkp (Лк)) ^ sup |вк (w)|, к = 1, 2,…
wEKs
O.A. Krivosheyeva, Convergence domain for series of exponential polynomials. © Кривошеева О. А. 2013.
Поступила 7 апреля 2013 г.
Здесь Hm (Л) обозначает опорную функцию множества M (точнее говоря, комплексно сопряженного с M множества):
Hm (Л) = sup Кв (Л'-ш), Л е C.
wEM
Условия 1) и 2) означают, что последовательность (вт}^=1 в некотором смысле схожа с последовательностью экспонент (exp^mz)}^=1. Действительно, из условия 1) с учетом определения опорной функции получаем соотношения:
sup |em (w)| ^ а exp (HKs (Лт)) = а sup exp (Re^mw)) = а sup | exp^mw), k = 1, 2,…
wEKp wEKs wEKs
Условие 2) дает аналогичную оценку снизу на модуль функции em (w). Очевидно, что указанная последовательность экспонент является почти экспоненциальной последовательностью. В качестве примера последней рассмотрим еще семейство функций (zn exp^mz)}≅Tra=0. В предложении 2.3 работы [2] по существу показано, что при условии km/^m| ^ 0 это семейство является почти экспоненциальной последовательностью. Сходимость рядов экспоненциальных мономов, т. е. рядов по элементам такой системы изучалась в работе [3]. В ней получены аналоги теорем Абеля и Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов. Почти экспоненциальные последовательности более общего вида рассматривались в работе [4]. Они состоят из линейных комбинаций экспоненциальных многочленов, показатели которых образуют так называемые & quot-относительно малые& quot- группы. Подобные последовательности используются в теории представления элементов инвариантных относительно оператора дифференцирования подпространств функций, аналитических в выпуклой области (см. [5]), и, в частности, пространств решений однородных уравнений свертки и их систем. В этой связи возникает задача исследования сходимости рядов экспоненциальных многочленов, построенных по почти экспоненциальным последовательностям таких многочленов. В настоящей работе изучаются области сходимости указанных рядов. Для них получены аналоги теорем Абеля и Коши-Адамара.
2. Предварительные результаты
Пусть D — выпуклая область в C, K (D) = (Kp}^=1, Л = (Лк}?=1 и p = 1, 2,…
Рассмотрим банахово пространство комплексных последовательностей
ОДЛ) = (d = (4}: ||dp|| = sup |41 exp Нкр (Лк) & lt- то}.
к& gt-1
Символом ^(Л, D) обозначим проективный предел пространств Qp, p & gt- 1. Пространство ^(Л, D) является пересечением Qp, p & gt- 1. Топология в Q^, D) эквивалентна топологии, определяемой метрикой
d/) = ^ 2-p ||d — d'-\p) ^ 1 + \d — d/\p.
С этой метрикой ^(Л, D) становится, очевидно, пространством Фреше.
Покажем, что последовательность коэффициентов сходящегося ряда (1. 1) принадлежит пространству Q (D) для некоторой специальной выпуклой области D.
Символом S будем обозначать окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Пусть E — множество в C, 0 — замкнутое подмножество окружности S.
0-выпуклой оболочкой E называется множество
E (0) = (z е C: Re (z?) & lt- HeШ е 0}.
Отметим, что внутренность E лежит в E (0). В самом деле, если z — внутренняя точка E, то из определения опорной функции следуют неравенства Re (z?) & lt- He ©, VC е 0. Это означает, что z е E (0). В частном случае, когда 0 = S, 0-выпуклая оболочка множества совпадает с его обычной выпуклой оболочкой (точнее говоря, с внутренностью этой выпуклой оболочки) и, таким образом, является выпуклой областью. Последнее имеет место и в общем случае, что и подтверждает
Лемма 2.1. Пусть E — множество в C, 0 — замкнутое подмножество окружности S. Тогда множество E (0) является выпуклой областью.
Доказательство. По определению, множество E (0) есть пересечение полуплоскостей, а потому выпукло. Выпуклость влечет за собой связность E (0). Остается показать, что E (0) — открытое множество. Предположим, что это не так. Тогда существует точка z0 е E (0) и последовательность ^к} такие, что Zk ^ z0 при к ^ то и Zk е E (0) для всех к & gt- 1, то есть Яв^кСк) & gt- НЕ (Ск) для некоторого Ск е 0, к =1, 2,… Переходя к подпоследовательности, можно считать, что (Ск} сходится к точке С0 е 0. Тогда из последнего неравенства с учетом полунепрерывности снизу опорной функции получаем
Re (z0^) = lim Яв^кСк) = lim Яв^кСк) & gt- lim He (Ск) & gt- He (С0).
к^те к^те к^те
Это противоречит определению E (0), так как z0 е E (0), а С0 е 0. Лемма доказана.
Пусть Л = (Лк}r=1. Через 0(Л) обозначим множество всех частичных пределов последовательности (Лк/Лк}те=1 (исключая точку Лк = 0, если она есть). Очевидно, что 0(Л) — замкнутое подмножество окружности S. Символом B (x, 8) будем обозначать открытый круг с центром в точке x и радиусом 8.
Лемма 2.2. Пусть Л = (Лк}^=1 — последовательность комплексных чисел, Лк ^ то при к ^ то, (вк}те=1 — почти экспоненциальная последовательность с показателями (Лк}те=1- Предположим, что общий член ряда (1. 1) ограничен на каждом компакте K открытого множества E С C, т. е. 4вк (z) ^ A, к = 1,2,…, z е K. Тогда имеет место включение d = (4} е ^(Л, D), где D = E (0(Л)).
Доказательство. Предположим, что d е Q (^-, D). Тогда d ер (Л) для некоторого номера p = 1, 2,… Это означает, что найдется подпоследовательность (d^} такая, что
Икг exp Нкр (Лкг) ^ +то, l ^ то. (2. 1)
Переходя еще раз к подпоследовательности, можно считать, что (Лкг/Лкг } сходится к некоторой точке х0 е 0(Л). Поскольку Kp — компакт в области D = E (0(Л)), то из определений множества E (0(Л)) и опорной функции следует, что для некоторого z0 е E верна оценка: Re (z0x0) & gt- Нкр (х0). Тогда с учетом непрерывности опорной функции компакта найдется 8 & gt- 0 такое, что
Re (z0x) & gt- НКр (х), х е B (x0,8). (2. 2)
По условию E — открытое множество. Поэтому оно содержит некоторый круг D с центром в точке z0. Пусть K (D) = (KKm}те=1. Выберем номер s, для которого компакт Ks содержит z0. Тогда верно неравенство
Hks (x) & gt- Re (z0x), x е C. (2. 3)
Поскольку (вк}r=1 — почти экспоненциальная последовательность с показателями (Лк}те=1, то существуют постоянная b & gt- 0 и номер n такие, что
b exp (HKKs (Лк)) ^ sup вк (w), к = 1, 2,… (2. 4)
wEKп
Выберем номер lQ так, что Лк-/^k-I Є B (xQ,^), l У lQ. Тогда из неравенств (2. 2)-(2. 4) и положительной однородности опорной функции для всех l У lQ получаем:
sup Iek-(w)I У bexp (HKp (Лд)).
w€Kn
Таким образом, в силу (2. І) имеем:
Idk- I sup Iek-(w)I ^ +то, l ^ то.
w€Kn
С другой стороны, согласно условию верно неравенство
Idk- I sup Iek- (w) I ^ A, l = І, 2,…
w€Kn
Полученное противоречие завершает доказательство леммы.
Из леммы 2.2 вытекает один из результатов работы [І] (лемма І).
Следствие. Пусть D — выпуклая область в C, Л = {Лк}?=1 — последовательность комплексных чисел, !ЛдI ^ то, k ^ то, {ek}^=1 — почти экспоненциальная последовательность с показателями {Лк}?=1. Предположим, что ряд (1. 1) сходится равномерно на каждом компакте области D. Тогда верно включение d = {dk} Є Q^, D).
Доказательство. Достаточно заметить, что D С D ((c)^)), а потому имеет место вложение Q^, D ((c)^))) С Q^, D).
В работе [І] доказывается, что при условии а (Л) = lim ln k/1ЛдI = О имеет место утвер-
k^-ro
ждение обратное к этому следствию и даже более сильное утверждение:
Лемма 2.3. Пусть D — выпуклая область в C, Л = {Лк}^=1 — последовательность комплексных чисел, !ЛкI ^ то, k ^ то, {ek}ГО=1 — почти экспоненциальная последовательность с показателями {Лк}?=1, такими, что а (Л) = О, и d = {dk} Є Q (Л, D). Тогда для каждого номера p У І существуют номер s и постоянная Cp & gt- О, не зависящие от d = {dk}, для которых выполнено неравенство
ГО
^ IdkI sup Iek (z)I ^ CpIIdIIs. (2. 5)
k=1 zeKp
В частности, ряд (1. 1) сходится абсолютно и равномерно на каждом компакте области D.
3. Аналог теоремы Авеля Следующий результат является аналогом теоремы Абеля для ряда (І. І).
Теорема 3.1. Пусть Л = {Лк}?=1 — последовательность комплексных чисел, !ЛкI ^ то, k ^ то, такая, что а (Л) = О, {ek}^=1 — почти экспоненциальная последовательность с показателями {Лк}?=1- Предположим, что общий член ряда (1. 1) ограничен на каждом компакте K открытого множества E С C. Тогда для каждого номера p = І, 2,.. найдутся номер s и число Cp & gt- О (не зависящие от последовательности d) такие, что выполнено (2. 5), где нормы IIdpII построены по последовательности K (D) = {Kp}pTO=1 и D = E ((c)(Л)). В частности, ряд (1. 1) сходится абсолютно и равномерно на любом компакте области D.
Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда по лемме 2.2 имеет место включение d = {dk} Є Q^, D). Отсюда по лемме 2.3 для каждого p = І, 2,… найдутся номер s и число Cp & gt- О (не зависящие от последовательности d) такие, что выполнено (2. 5). Теорема доказана.
Замечания. 1. Из теоремы 3.1 следует, что при условии, а (Л) = 0 внутренность множества равномерной сходимости ряда (1. 1) всегда является выпуклой и даже 0 — выпуклой областью (т.е. областью, которая представляет из себя пересечение полуплоскостей
(z: Re (zC) & lt- h©, С е 0}).
2. Если из теоремы 3.1 изъять условие, а (Л) = 0, то ее утверждение становится неверным. В лемме 4 работы [1] доказывается, что из сходимости ряда
те
У Ик sup вк (z) к=1 zeKp
при любой последовательности d = ^к} е ^(Л, D), где D — ограниченная область, вытекает равенство, а (Л) = 0.
4. АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ КОШИ-АдАМАРА
Приведем результат, который является аналогом теоремы Коши-Адамара для степенных рядов. Прежде чем его сформулировать, введем еще обозначения. Пусть С е 0(Л). Для последовательности коэффициентов d = ^к} ряда (1. 1) положим
h (d, 0 = inf iim 1п (1/^к^,
•?^те Лк (j)
где инфимум берется по всем подпоследовательностям (Лк^)} последовательности (Лк} таким, что Лк^)/Лк (j) сходится к С, когда j ^ то. Таким образом, мы получили функцию h (d, С), С е 0(Л). Она является полунепрерывной снизу. Действительно, пусть С, Ср е 0(Л), p & gt- 1, Ср ^ С и последовательность (Ср} такая, что
limh (d, Z) = lim h (d, Ср) = а.
р^те
По определению функции h (d, Z) для каждого p & gt- 1 найдем точку Лк (р), удовлетворяющую условиям: Лк (р)/Лк (р) — Ср & lt- 1/p и ln (1/dk (p))/Лк (р) & lt- а + 1/p. Тогда последовательность Лк (р)/Лк (р) сходится к С и
1п (¼(р)0 lim--------^ а.
р^те Лк (р)
Это означает, что
iimh (d, C) & gt- М^С)
т. е. h (d, Z) полунепрерывна снизу. Тогда, как и в лемме 2. 1, показывается, что множество
D (d, Л) = (z: ДфС) & lt- h (d, С), С е 0(Л)}
является 0(Л) — выпуклой областью. Символом D (d, Л) обозначим множество точек плоскости, в окрестности каждой из которых ряд (1. 1) сходится равномерно.
Теорема 4.1. Пусть Л = (Лк}?= - последовательность комплексных чисел, Лк ^ то, к ^ то, такая, что а (Л) = 0, (вк}^=1 — почти экспоненциальная последовательность с показателями (Лк}^=1. Тогда области D (d, Л) и D (d, Л) совпадают.
Доказательство. Покажем, что d = (dk} е Q^, D (d, Л)). Пусть K — произвольный элемент множества K (D (d, Л)). Достаточно доказать, что
limк exp Нкр (Лк) & lt- +то. (4. 1)
к
Предположим, что это не так. Тогда для некоторой подпоследовательности |к (^'-)} имеем:
limк exp Нкр (Лк) = +то, к
или, что эквивалентно
Ііт (1п |4(Л| + Як (А^))) = +то.
З^ж
Отсюда
1іт |Ак (З)! (1п КЗ + (Ак (з'-))) & gt- 0. (4. 2)
З^ж
Переходя еще раз к подпоследовательности, можно считать, что Ак (^)/|Лк (^)| сходится к некоторой точке? Е (c)(Л). Тогда с учетом непрерывности, положительной однородности опорной функции компакта и определения величины Л,(д, ?) получаем
1іт |Ак (З)! 1(1п КЗ + (Ак (з'-))) ^ 1іт ^(З)! 11п КЗ + 1іт |АЗ ^
З^-ж З^ж З^ж
^ 1іт 1 Ак (З)1 1 1п КЗ + ЯК © ^ -М^?) + НКр (?).
З^ж
Поскольку Кр — компакт в области Д (^, Л), то верно неравенство Якр (?) & lt- Яд (^л)(?). Кроме того, в силу определения области Д (^, Л) и ее опорной функции Яд (^, Л) верно также неравенство Яд (^-л)(?) ^ М^, ?). Таким образом, с учетом предыдущего получаем:
1іт |Ак: (З)| (1п М& amp-(З)1 + НКР (Ак (З))) ^ - М^,?) + НКР © & lt- - М^,?) + Н^(Й, Л)© ^ °.
З^ж
Это противоречит (4. 2). Следовательно, (4. 1) верно, т. е. д Е ^(Л, Д (д, Л)). Тогда, согласно лемме 2. 3, ряд (1. 1) сходится абсолютно и равномерно на каждом компакте области Д (д, Л). Это означает, что верно вложение Д (д, Л) С _0(д, Л).
Покажем, что имеет место и обратное вложение. Пусть г Е _0(д, Л). По определению области _0(д, Л), в некоторой окрестности Е точки г ряд (1. 1) сходится равномерно. Поэтому общий член этого ряда ограничен на множестве Е. Тогда по лемме 2.2 последовательность д = {4} является элементом пространства ^(Л, Е ((c)(Л)). Выше отмечалось, что множество Е лежит в области Е ((c)(Л)). Поэтому один из компактов Кр последовательности К (Е ((c)(Л)) содержит точку г в своей внутренности. Согласно определению пространства ^(Л, Е ((c)(Л)) для некоторого С & gt- 0 верно неравенство
|41 ^ С ехр (-Я^р (Лк)), к = 1, 2,… (4. 3)
Фиксируем произвольную точку? Е (c)(Л). Согласно определению величины Л,(д, ?) найдем подпоследовательность {к (^'-)} такую, что Л^(^)/1Л^(^) | сходится к точке? и
1- 1п (1/|дк (3)|)
Мд,?) = 11 т ----гг----,--.
3^~ 1Лк (з'-)1
Отсюда, с учетом (4. 3), положительной однородности и непрерывности опорной функции компакта получаем
, ^ 1- 1п (1/С ехР (-(Лк (з)))) = 1. (Ч1/С) + (Лк (3))) =
'-Цл, ?) — 1-т | Л | пш..
3^~ |Лк (3)1 3^~ 1 Лк (3)1
Поскольку точка г лежит внутри компакта Кр, то верно неравенство Яе (г?) & lt- Нк (?). Следовательно, в силу предыдущего неравенства имеем: Яе (г?) & lt- Л,(д, Л). Напомним, что? — произвольная точка множества (c)(Л). Поэтому согласно своему определению область Д (д, Л) содержит г. Теорема доказана.
Замечание. Формула, определяющая величину h (d, Л) как частные случаи содержит в себе соответствующие формулы для рядов экспоненциальных мономов, рядов экспонент и формулу Коши-Адамара для степенных рядов. В частном случае для ряда ^ dk exp^z) имеем формулу
h (d, 1) = lim -(/ кВ = lim (- ln kdk).
к^-те к к^-те
Делая преобразование w = exp z, переводящее этот ряд в степенной ряд, получаем следующую формулу для радиуса сходимости последнего
R = exp h (d, 1) = lim — --.
к^те уdk
Таким образом, мы получили формулу Коши-Адамара для степенных рядов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кривошеев А. С. Почти экспоненциальный базис // Уфимский математический журнал. 2010. Т. 2. № 1. С. 87−96.
2. Кривошеев А. С. Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств в выпуклых областях // Известия РАН. Серия матем. 2004. Т. 68, № 2. С. 71−136.
3. Кривошеева О. А. Область сходимости рядов экспоненциальных мономов // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3. № 2. С. 43−56.
4. Кривошеев А. С. Почти экспоненциальная последовательность экспоненциальных многочленов // Уфимский математический журнал. 2012. Т. 4. № 1. С. 88−106.
5. Кривошеев А. С. Базисы «по относительно малым группам11 // Уфимский математический журнал. 2010. Т. 2. № 2. С. 67−89.
Олеся Александровна Кривошеева,
Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,
450 074, г. Уфа, Россия
E-mail: kriolesya2006@yandex. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой