Об областях управляемости динамических систем при ограничениях на управление и фазовые переменные

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц, А Г И
Том XIX 198 8 № 6
УДК 629. 735. 33. 015. 017. 2
ОБ ОБЛАСТЯХ УПРАВЛЯЕМОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА УПРАВЛЕНИЕ И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ. Ч. II
А. И. Курьянов
Рассматривается метод построения области управляемости для динамических систем достаточно общего вида при ограничениях на управление и фазовые переменные. Показано, что граница области управляемости состоит из поверхностей, заполненных всюду траекториями, которые удовлетворяют некоторым условиям, представленным в форме принципа максимума, и поверхностей, определяемых фазовыми ограничениями. Приведены примеры построения областей управляемости для линейного и нелинейного объектов управления.
2.1. Ограничения на управление и фазовые переменные. В первой части работы [її] рассматривалась управляемость динамических систем для случая, когда область возможных значений управления ограничена, т. е. u^?lczEm. Однако в инженерной практике при изучении управляемости динамических систем часто приходится ограничивать не только область управления, но и область возможных значений фазовых переменных х. Обозначим эту область через GczEn, а ее границу через dG.
В дальнейшем будем полагать, что
G = {х: g (x) СО},
где функция g (x) принадлежит к классу С2 на открытом множестве пространства Еп, содержащем границу dG.
В качестве области управления Q будем рассматривать такое замкнутое множество пространства Ет, которое может быть представлено в виде
й = {и: срДм)<-0, / - 1, …, s},
где функции фi (u) принадлежат к классу С1 на открытом множестве пространства Ет, содержащем границу & lt-3Q.
2.2. Область управляемости. Движение динамической системы, как и в ч. I, описывается уравнением
x = f (x, u). (1)
В отношении функции f (x, и) будем предполагать, что f (x, и) и матрицы df/dx и df/du определены и непрерывны на прямом произведе-
нии G*X^*, где G* и Q* - открытые множества пространств Еп и Ет, содержащие соответственно G и й.
Приведенные в ч. I определение 1 управляемости и определение 2 области управляемости будут приемлемы и при наличии области GaEn, если только иметь в виду, что теперь х°, xi^G и траектория x{t)?G V*6[*o, ^il-
Для области управляемости сохраним прежнее обозначение С, а для ее границы введем новое — дС. Если область Ccint G, то граница дС будет целиком находиться в открытом ядре области G и, следовательно, задача определения границы дС в этом случае эквивалентна задаче, рассмотренной в ч. I. Для технических приложений наибольший интерес имеет случай, когда CcG. Нетрудно убедиться, что из условия CcG следуют:
1°. & lt-?CnintG0.
Это условие показывает, что часть границы дС находится в открытом ядре области G. Обозначим ее, как и в ч. I, через Е. Приведенные в ч. I леммы 1, 2, 3 и следствие 1 остаются справедливыми и для этого случая при условии, что для всех t& quot-
траектория x (^)^intG и вместо множества comp С будем рассматривать множество comp С П int G. Кроме того, соотношение intCU U 2 U int (comp С) = Еп заменим соотношением intCU? U (comp С П flint G) = intG.
2°. СПдОф0.
Из условия 2° следует, что часть границы dG принадлежит области управляемости Сив тоже время является частью границы дС. Обозначим эту часть границы дС через §?. Ясно, что
размерность поверхности $ равна (га — 1) и что множество dG& lt-% ф ф 0. Поэтому имеет границу, размерность которой будет равна (п — 2). Обозначим ее через Для множеств dG& lt-% и границы
также будут справедливы леммы 1, 2, 3 и следствие 1, если только условиться, что для всех t& quot- траектория х (t) d dG и
вместо множества comp С будет рассматриваться множество dG%, а соотношение int C[J S Ц int (comp С) -- Еп будет заменено соотношением int ^ U U int (dG& lt-i) = dG.
Объединяя результаты, полученные в пунктах 1° и 2°, сформулируем следующую лемму.
Лемма 4. Пусть x'- = x (t'-) и х& quot- = x{t& quot-) будут внутренними точками траектории x (t)^G, Если x'-^compCflG, тогда
х& quot-? comp С П G для всех
2.3. Постановка задачи. В разделе 2.2 было показано, что граница дС области управляемости CczG состоит из (я-1)-мерных поверхностей 2 и §?, которые стыкуются между собой при помощи (п-2)-мерной поверхности 2i. Отсюда следует, что задача построения области управляемости С приводится к задаче определения поверхности SU 2i, заполненной граничными траекториями x*(t), которые
состоят из участков, принадлежащих либо поверхности 2, либо поверхности Заметим, что поверхность 2 находится в открытом ядре области G и поэтому участки траектории х*(?)^2 могут быть определены при помощи условий, сформулированных в теореме 1.
Следовательно, задача нахождения траектории x*(^)e2lJ2i& gt- t0& lt-ct*ctu может быть теперь сведена к задаче: среди всех допустимых
управлений ы (0, порождающих траектории требуется выбрать такое управление и*(0, чтобы соответствующая ему
фазовая траектория х* (?)? Б, у [?в& gt- 4]- Здесь через tв обозначен момент выхода траектории х*(1) на границу 2ь, а через — момент схода с границы 2^
Кроме того, должно быть выполнено сопряжение каждой пары примыкающих друг к другу участков траектории **(/), один из которых лежит на поверхности 2, а другой — на поверхности 24. Точку сопряжения пары примыкающих друг к другу участков траектории х*(?) в момент t=tв будем называть точкой выхода на поверхность 2ь, а в момент -точкой схода с 21.
2.4. Траектории, лежащие на границе области С. Рассмотрим траекторию х (^)еС, которая порождается таким управлением
н (0, ЧТО
& lt-р,(й (*))=0 ?*(: [*'->-*"-}>- *= 1, — ,
Для того чтобы эта траектория целиком лежала на границе сШ, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
р (х, й)*у? (*)•/(*" Й)±=0 Ч П-
Рассмотрим уравнение
Щх, и) = {р (х, и), ^(и), …, «р2(»)} - 0 (2)
и 0удем предполагать, что матрица дЯ/дки имеет ранг (г+1) в окрестности точки хЦ), и (^). Без потери общности первые (г+1) столбцов этой матрицы могут быть выбраны в качестве ненулевого минора порядка (г+1). Тогда уравнение (2) может быть разрешено единственным образом относительно (г+1) координат вектора и. Отсюда следует, что вектор и разбивается на два вектора
Иа == (Цъ ••• 1 И*1'-=(11г+2& gt- Чт)*
причем вектор иа — иа (х, иъ) и матрица диа/дх будут определены и непрерывны в окрестности точки х{Ц, ы (^). Заметим, что совокупность векторов и — {иа, иь), удовлетворяющих при фиксированных значениях х уравнению (2)& gt- образуют некоторое ограниченное, множество
& lt-в (л:)с:?2.
Рассмотрим теперь на поверхности дй малую окрестность точки х° = х (У), состоящую из точек
х'- - х° 4- г8л:0 о (е), (3)
где 8х° - некоторый вектор, касательный к поверхности дй в точке х°. В работах [2], [3] показано, что около любой траектории х^)?дй
порождаемой допустимым управлением и (0еш (х), можно построить семейство «близких» траекторий
х ((, г) = х ({) + еЬхУ) + о{*)€дО у *?[*'-. П. (4)
исходящих из точек (3). В соотношении (4) б*(0 — решение уравне-
ния в вариациях
•Ч-?-& amp-(&-)"-¦?]•* (5)
при начальном условии Ъх (У) = Ъх°. Следует заметить, что при построении траектории (4) варьируется только управление ив (?), причем 8и"(/) связана с Ъх{1) соотношением
8″"" - (Ш'-ъг**® — & lt-6)
2.4. Вектор смещения. Пусть х* (() будет решением системы уравнений (1), (2), исходящим из точки -с*(7в)61 и соответствующим такому допустимому управлению и* (?)? & lt-о (х* (?)), что. **(?)(-?! 4]- Тогда в соответствии с результатами
предыдущего раздела около траектории х* (() можно построить семейство варьированных траекторий х (?, $)?& lt-?(/, для которого вариация управления иа (Ь) = [и* (?), …, иг±^)) связана с вариацией траектории х*(?) соотношением (6).
При таком построении траектории х (Ь, в) управление иь (Ь) — = {иг+2{{), …, Мт (0) не варьируется. Поэтому семейство траекторий х^, е) можно существенно расширить, если вариации управления иа (() дополнить «игольчатыми& quot- вариациями управления
и* (0 [2].
Так же как и в ч. I, образуем на отрезке [?», ^с] попарно не пересекающиеся отрезки /г, / = 1, …, 7, на которых управление и*(/) заменим постоянным вектором г& gt-г, состоящим из векторов ««(х,) и V*, и определим смещение ТОЧКИ х (ъ--й, г) относительно точки х* (х) из соотношения
X (х + & amp-1, е) — х* (?) = еАх + о (е), где вектор смещения
Ах=/{х*(т), «*(х))/+1& gt-(х, т,)Л, (7)
и
Л| = [/(х*(^), ®,) — /(*•(*,), а* СО)]*/- (8)
Здесь Р (т, х,) — линейное неособенное преобразование, определяемое уравнением в вариациях (5).
Обозначим через Т (х* (?)) гиперплоскость, касательную к границе дО в точке д: *(х)^Е1. Так как х (*, е)(-дО то
Ах? Т (х* (х)).. Векторы смещения Ах, определяемые формулой (7), образуют выпуклый'-конус АГ (л: *(х)) с вершиной в точке х* (х), который принадлежит гиперплоскости Г (л: *(х)). Допустим теперь, что точка л*(х) будет регулярной точкой поверхности Е). Тогда через точку х* (х) можно провести (п — 2)-мерную плоскость Т (п~2) (х* (х)), касательную к поверхности Е,. Плоскость Т{п~2) (х* [?)) разделяет гиперплоскость 7'-(д-*(х)) на две полуплоскости: положительную открытую полуплоскость
Т+ (х* (х)) = {я* (х) + Ах: пАх & gt- 0} и отрицательную замкнутую полуплоскость
Т_ (х* (х)) = {х* (х) + Да: — пАх & lt- 0},
где «- единичный вектор, лежащий в плоскости Т (х* (т)), нормальный к плоскости 7'(л-2) (я* (т)) и направленный внутрь множества Ч.
Для траектории у [tb, /с] и вектора смещения
Ах? Т (х* (т)) применимы несколько видоизмененные рассуждения, использованные в ч. I при доказательстве основной леммы. Для видоизменения рассуждений достаточно условиться, что вектор Ах получается в результате совместного варьирования решения x*(t) и u*{t) на отрезке_[?», tc (формулы (7), (8)) и что вместо полупространств П+ и П_ рассматриваются полуплоскости Т+ и Т_. Кроме того, под множествами С и comp С следует подразумевать множества ^ и dGW, принадлежащие границе дО. С учетом указанных изменений для рассматриваемого случая оказываются приемлемыми формулировка основной леммы и конструкции, использованные при их доказательстве.
2.5. Принцип максимума при наличии конечных связей. Теорема 2. Пусть tB & lt- t -& lt- tc — такое допустимое управление,
что соответствующая ему траектория x*(t), определяемая уравнениями (1), (2), целиком лежит на поверхности S^dG. Тогда существует такая ненулевая непрерывная вектор-функция & lt-Ь (t), которая является решением сопряженного уравнения
что для всех 4] будут выполняться равенства:
а) Щ'-КО* х*(?), и*(0) = тах ЩФ (^)& gt- и) —
и? ш (X)
б) Я (ф (0, *•(*). «*(*)) = О
и условие
в) РЧё (х* (?))& gt- ГДе [А — произвольное действительное ¦число.
Доказательство условий а) и б) совпадает с доказательством соответствующих условий теоремы 1, если только иметь в виду, что теперь вектор управления м? ш (х) и что вектор смещения Ах определяется формулой (7).
Обратимся теперь к условию в) — условию нетривиальности решения ф (^. В ч. I нетривиальность решения ф (^) гарантировалась тем, что вектор Л (^) был ненулевым. В рассматриваемом случае, когда х* (?)?%!, этого оказывается недостаточно. Дей-
ствительно, пусть х* (?), и* (Ь) — некоторое решение уравнений (1), (2), удовлетворяющее условию х*Ц)^^х. Тогда можно установить непосредственной подстановкой, что любое решение вида
*•(*), и* (*), '-И0 = ^?(-к* (*)) (Ю)
обращает в тождество уравнения (1), (2), (9). Следовательно, требование нетривиальности решения ф (?) эквивалентно требованию неколлинеарности векторов ф (?) и vg (x*(0)^
2.6. Условие скачка. Рассмотрим траекторию Ии'-^,
и окрестность N границы дв
#={*: ?(. *)?(-V, 0), N& gt-0}.
Нетрудно убедиться в том, что из каждой точки участка траектории х* (Ь)? ?, 4 & lt- Ь & lt- исходят три вектора: вектор п (х* (^)) — нормальный к гиперплоскости (л-* (?)), касательной к поверхности Е- вектор ф ({) — нормальный к некоторой гиперплоскости (х* (?)), которая содержит в себе (п — 2)-мерную плоскость Т (п~2) (х* ({)), касательную к поверхности Е^ вектор (ф — нор-
мальный к гиперплоскости Тда (х*^)), касательной к границе дв. Первые два вектора направлены в сторону области С, а третий вектор-во вне области О. Заметим, что через плоскость 7'-(& quot-~2)(х*(0) можно «провести11 бесчисленное множество гиперплоскостей Т^(х*(1)). Поэтому для определенности положим, что
& lt-И Ъ) = п{х* (гв)). (11)
Естественно, что в других точках траектории а: *(/)^Е1 вектор 4* (О в общем случае неколлинеарен вектору п (х*(ф.
Рассмотрим исходящий из точки я* (4) некоторый вектор 8лг (?в), для которого выполняются условия
Ф (4) 8* (*») = о, Чg (х* (*»)) Ьх (*в) & lt- 0.
Выберем теперь такое малое г & gt- 0, чтобы точка х (*в) = х* (*в) + в8* (*в) + о (г)? Е и Ех П ЛЛ '
Тогда траектория
X (() = X* 4-гйх (г) + о (г)? N у*?[(в, ^1,
где Ъх У) = Р (4 4) Ьх (4).
Отсюда следует, что
vg (x*(t))Ъx (t)& lt-0 V *?[*. 4]. (12)
Используя известное свойство скалярного произведения векторов ф (?) и 8х (^), получим
ф (*) 8* (*) = 0 у*?[*в& gt- 41- (13)
Поскольку траектория х^) исходит из точки л: (4)^2иЕ, то никакая точка траектории х (Ь), согласно леммы 4, не принадлежит области управляемости С. Следовательно
п (х* (х))8л-(0 & lt-0 у 4]- (14)
Применяя к соотношениям (12), (13), (14) лемму Фаркаса [4], получим
п (х*(?)) = а (1)'-!1& gt-У) + а0(^(х*{ф у *?[*, 4]. (15)
где а0(?)& gt-- 0 и а (?) — непрерывные функции.
Теорема 3. Пусть траектория д:* (& lt-) ^ Е и Е4, соответствующая управлению и*(?). в момент времени выходит на
поверхность Е! и остается на ней в течении отрезка времени
4 & lt- * & lt- & lt- к.
Если в момент выхода траектории х* (р) на поверхность ^ сопряженный вектор & lt-]>-(*) непрерывен, т. е.
& lt-К<-в + 0) =. Ь (*е-0),
то в точке схода х* (4) траектории х* (/) с поверхности Б, выполняется условие скачка
Ф (*с + 0) = ф (4 — 0) + (х* (О) & gt-
где постоянная ^ & gt- 0.
Доказательство. Согласно условию (11) а (/»)=» 1. В силу же линейной независимости векторов и уё (х*(?)). Функция а (() не имеет нулей на отрезке [?в, 41- Следовательно, а (/')& gt- 0 для всех Ц.
Рассмотрим теперь точку схода х*(1с) траектории л-*(*) с поверхности 21. Для ^& gt-4 траектория х*(?) будет находиться в открытом ядре области в И соответствующий ей сопряженный вектор '-КО, используемый в теореме 1, будет коллинеарен вектору п (х*(})). Поэтому можно положить, что в точке X* (?с)
'-М4 + 0)=-^я (х*(4)).
Кроме того, обозначим через р. = а0 (^)/а (4).
Тогда соотношение (15) приводится к виду
& lt-Ь (4 + 0) = & lt-Ь (4 — 0) + цуй- {х* (4)),
где [а& gt-0.
2.7. Область управляемости линейного объекта. В разделе 1.7 при построении области управляемости линейного объекта (9) предполагалось, что орган управления безынерционен. Однако, в действительности орган управления перемещается с ограниченной скоростью. Поэтому попытаемся выяснить влияние этого ограничения на область управляемости линейного объекта (9). Управляющий параметр и объекта (9) примем за фазовую координату (обозначим ее через у3), а и — за управление V. Тогда система уравнений (9) расширится за счет новой фазовой координаты у3 и может быть представлена в виде
=& gt-^^1 + *1. Уз>-
Ъ —2 У2 + КУъ, (16)
Уз = ъ,
где управление V и координата у3 подчинены ограничениям:
— а& lt-г>-<-а, (17)
МтШ Уз ^ Ишах. (18)
Постоянная, а в (17) — максимальная скорость перемещения
органа управления, т. е. ит& amp-% = а. Для удобства дальнейшего изло-
жения фазовый вектор системы (16) обозначим через у = (у1,у2, Уз)-Ограничения (18) выделяют в трехмерном пространстве Е3 область в допустимых значений у, заключенную между плоскостями у3 = «шт и у3 = мШах. Заметим, что уравнения конечных связей (2) в нашем случае сводятся к одному уравнению
Я (у, (19)
Рассмотрим плоскость у = итах. Из раздела 1.7 следует, что на этой плоскости находится прямая В силу условия (19) положение прямой не зависит от управления V и поэтому она будет принадлежать границе области управляемости системы (16), построенной, с учетом ограничения на управление V. В соответствии с теоремами, 2 к 3 прямая Е! должна стыковаться с поверхностью Б, лежащей в открытом ядре области й. Поверхность Б заполнена траекториями, которые могут быть определены из условий, сформулированных в теореме 1.
Сформируем гамильтониан
Н — (^11 + + Уг +2 Уз) 4- Фз^-
Для того, чтобы использовать условия теоремы 1, необходимо найти решение ф (*) следующей системы
4*11 *1*1 & gt- Фг==2 Фг 1 Фз==1 1*12 Фг • (20)
Согласно теоремы 1 вектор ф (?) направлен в сторону области управляемости и нормален к вектору фазовой скорости у*Ц) системы (16) в каждой точке траектории у*(?)^Б, 0& lt-^<-?в. Траектория у*Ц) в момент t = tъ входит в точку (?»)… Обозначим через Т плоскость, которая проходит через прямую Б] и содержит вектор фазовой скорости у* (4). исходящий из точки у* (4). Очевидно, что плоскость Т — касательная плоскость к поверхности Б. Поэтому в качестве вектора ф (*в) можно взять единичный вектор, нормальный к плоскости Т
Ф (*.) = (0, -1, 0). (21)
Интегрирование системы (20) с учетом (21) дает
*1(0 = 0, (22а)
'-М0"-?(е~М,-'-«)-1). (226)
Из формулы (226) видно, что функция ф3(?) положительна для всех t & lt- 1 В и равна нулю при t = tв. Тогда из теоремы 1 вытекает, что v*(t) = a для всех ?(-|0, 41- Подставив ю*{1) = а в систему (16) и проинтегрировав ее от точки у*(0) = у°, лежащий на плоскости _Уз = итЬ& gt- до точки _У*(4)(- Б^ получим координаты траектории у* (Ь)
у-«) = Гу» + ^ +• ^^ (1 + х,»,
кча Л (& lt--<-«) а
У2Ч-, 2 е 1 1,2
Л2 2 л2
У3 (0 == мшщ ~Ь ,
(23)
где I? [0, 4] И 4 = («шах — Ишт)/а.
Из выражений (22) и (23) следует, что поверхность Б является цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси уи и что проекция поверхности Б на плоскость у,=0 представляет собой кривую, координаты которой у^(& lt-) и у*(& lt-) определяются двумя последними формулами в (23). Так как поверхность Б — цилинд-
рическая, то точка у0 лежит на прямой, параллельной оси ух. Обозначим эту прямую через Ег. На плоскости уь — итп уравнение прямой имеет вид
2 2
Таким образом, мы построили цилиндрическую поверхность Е с краями Е1 и Е2.
Аналогичным путем для случая, когда V* (?) = - а, определяется поверхность Е'- с краями Е (и Е^.
Полученные таким способом поверхности ЕиЕ, иЕг и Е'-уЕ^иЕг дают возможность в области О выделить область управляемости С.
В разделе 1.7 в качестве примера рассматривался ЛА с без-инерционными рулями для него на фазовой плоскости была построена область управляемости (рис. 1. 1), ограниченная двумя прямыми, проходящими через крайние седловые точки отрезка возможных положений равновесия системы (7).
Продолжим изучение области управляемости этого ЛА при наличии ограничений на угловую скорость отклонения руля высоты Мщах ~ а = 70°/с. Область управляемости ЛА в этом случае располагается в трехмерном пространстве переменных ул, уг, у$ и представляет собой множество, границей которого являются цилиндрические поверхности с образующей, параллельной оси уг. На рис. 2.1 показана проекция области управляемости на плоскость ^ = 0. Из этого рисунка следует, что верхняя и нижняя границы области управляемости определяются поверхностями ЕиЕ^Еа и Е'-иЕ^и^г, а боковые границы — плоскостями3 = ыШт и_у3 = ишах. Проекция поверхности ЕиЕ^Еа на плоскость Уз = йШах
уг, град/с
Рис. 2.2 ¦у2,град/с
показана на рис. 2.2. Видно, что поверхность Еи^іІІ^г заполнена траекториями у*(гО& gt- которые начинаются на прямой? г и заканчиваются в седловой точке равновесия, находящейся на прямой 5^. Согласно теоремам 1 и 2 поверхности Еи^іІІ^ и не
принадлежат области управляемости, а боковые границы ^ и входят в состав этой области.
Рассмотрим влияние иШах на область управляемости ЛА, варьируя величину м"1ах в диапазоне 50°/с & lt-«шах & lt- 400°/с. На рис. 2. 3-на плоскости Уі=0 построены проекции области управляемости, соответствующие различным значениям «шах- Видно, что при уве-
личении Ншах область управляемости расширяется И при ИШах & gt- & gt-400°/с поверхности? и Е'- приближаются к плоскостям Г и Г'-, а область управляемости — к «предельной^ области управляемости ЛА с безынерционными рулями.
2.8. Область управляемости нелинейного объекта. В разделе 1.8 были построены области управляемости нелинейного объекта (12) с безынерционными органами управления для двух типов зависимости '-р^) °т х1. Рассмотрим влияние ограничения на скорость перемещения органа управления на область управляемости этого объекта. По аналогии с предыдущим разделом введем новую фазовую координату х3 и управление V. Тогда система (12) расширится и будет иметь вид
Х
хг
*3
где на управление V и координату лг8 наложены ограничения
Мтт ^ '-О -& quot-С Мтах & gt- (25)
Итт Ушах. (26)
Составим гамильтониан
Н = 4»! х8 4- ф2 [9(хх)+ ах2 + Ьхй) + Ф3 V, (27)
где переменные & lt-1*1, 4*2 и Фз являются решением следующей системы
4*1 = Ф2' Фз «'-1*1---------Фз = • (28)
Пусть л:* (?)??, О & lt-*<-*», будет траекторией, которая в момент t = 1 В входит в точку X* (/»)? ?,. Проведем через точку х*ув)?'-?1 плоскость Т, содержащую вектор фазовой скорости х*{1в) системы (24) и вектор фазовой скорости я* (/») системы (12) раздела 1.8. Нетрудно убедиться в том, что плоскость Т является касательной плоскостью к поверхности ?. Следовательно, в соответствии с теоремой 3 в качестве вектора & lt-[>-(4) можно взять вектор, нормальный к поверхности Т, т. е.
Ф (*.)=('-М*в), & lt-Ы*в)» °) —
В разделе 1.8 было показано, что в каждой точке границы ^
& lt-М*В)<-0 и ф2(/,)& lt-0.
Повторяя доказательства, приведенные в пунктах (А) и (В) раздела 1. 8, приходим к выводу, что ф2(0& lt-0 для всех ??[0, & lt-,]. Тогда из третьего уравнения системы (28) вытекает, что фз (4)& gt-0 для всех *00, ?"]• Учитывая теперь, что & lt-М*В) = 0, получим ф3(*)& gt-0 для всех ^[0, ?"]• Следовательно, максимум гамильтониана (27) по управлению V достигается при ъ*У) = йт, х-
Таким образом, поверхность Е заполнена траекториями x*(t)r О которые определяются путем интегрирования методом
«попятного& quot- движения системы (24) при v*{t) = umiyi от точки jc* (?»)(-?! до точки л-*(0)^Е2. Здесь через Е2 обозначено множество точек л-*(0), принадлежащих плоскости х3 = ит1а.
Аналогичным образом определяется поверхность Е'-, заполненная траекториями x*{t), О & lt-?<-4, которые порождаются управлением (t) = иШт.
В пунктах (А) и (В) раздела 1.8 были построены (см. рис. 1.2 и рис. 1. 3) области управляемости ЛА с безынерционными рулями для двух типов нелинейной зависимости продольного момента & lt-р (дг,) от угла атаки хг.
Построим теперь области управляемости ЛА с теми же параметрами, что и в пунктах (А) и (В), при наличии ограничений (25) и (26). На рис. 2.4 и рис. 2.5 показаны области управляемости для ншах=70°/с. Из рисунков видно, что поверхности Е и S'-, ограничивая сверху и снизу область управляемости, заполнены траекториями, которые на поверхности Е «втекают& quot- в левую и правую ветви границы Ех и на поверхности Е'- - в аналогичные ветви границы Еь
ЛИТЕРАТУРА
1. Ку рьян ов А. И. Об областях управляемости динамических систем при ограничениях на управление и фазовые переменные. Ч. .1 — Ученые записки ЦАГИ, 1988, т. 19, № 5.
2. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелид-з е Р. В., М и щ е н к о Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов.- М.: Физматгиз, 1961.
3. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. -
М.: Наука, 1968.
4. Cannon М. D., С u 11 и ш С. D. and Р о 1 a k Е. — Theory of optimal control and mathematical programming. — New York: Me Graw —
Hill, 1970.
Рукопись поступила 9ЦХ 1987 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой