Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых пространствах функций Соболева-Бесова

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

REFERENCES
1. Pokorny Y.V., Penkin O.M. Differential Equations on Geometric Graphs // M: Physmathlit, 2005, 272 pp.
2. Wermer J. Potential Theory // Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1974, 136 pp.
3. Oshchepkova S.N., Penkin O.M. The mean-value theorem for elliptic operators on stratified sets. // Mathematical Notes, 2007. V. 81. № 3. P. 365−372.
4. Besedina S.V. Large Harnack'-s inequality on stratify set // Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics, 2004. № 1. P. 77−81.
Savasteev Denis Vladimirovich, Voronezh State University, Voronezh, the Russian Federation, Postgraduate Student, Department of Operational Equation Studies and Functional Analysis, e-mail: savasteev@gmail. com
УДК 517. 983
DOI: 10. 20 310/1810−0198−2016−21−1-116−121
ОБ ОБРАТИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ СОБОЛЕВА-БЕСОВА
Изучается одновременная обратимость (корректность) линейных дифференциальных операторов в частных производных в функциональных пространствах типа Бесова. Ключевые слова: пространства Соболева-Бесова- корректность- функциональные пространства.
Обозначения. Пусть X — произвольное банахово пространство- Ьр = Ьр (Кп, Х) — пространство Лебега сильно измеримых (по Бохнеру) функций и: Мп — X (р& gt- 1, и € М) с нормой ||и|| 10- Мр = Мр (Шп, Х) — пространство Степанова сильно измеримых функций и: Мп — X, с конечной нормой
K (x) — единичный куб в Мга с центром в точке x €Мга [1](с. 78), [2](с. 165), || • || - норма в X- C = C (Rra, X) — пространство непрерывных ограниченных функций u: Rra — X с нормой
равной ||u||c = sup ||u (x)||- Wm = Wm (Rra, X) — пространство Соболева функций u € Lp,
x€Rn
имеющих обобщенные производные Dau € Lp (|a| & lt- m), при этом норма
Received 23 January 2016.
© В. М. Тюрин
/
1/p
||u||lm = ^ ||Dau||10 & lt- ГС,
a& lt-m
а = (а1,…, ап) — мультииндекс, |а| = а1 +… + ап, т €, [3](с. 60), [4](с. 37). Пространства Бесова Врк = Врк (Мп, Х) функций и € Ьр зададим формулой
ни = М110 +
1рк
/
+ЕЕ
к= 1 а& lt-т
? (-1)3+1 Ск- 1 ?(у — х) Баи{х + и — 1)(у — х))
3 = 1
1/р
К& quot-х К& quot-
1х — у1п+Р1
-йхйу
V
(1)
норма которых находится по формуле
= ||и|110 + {и)%к & lt- ж.
Щрк = В2рк (
Введем пространства Бесова-Степанова В2рк = В2рк (Мп, Х), состоящие из функций и € Мр,
|и|и = ||и||20 + {и)%к & lt- Ж.
2рк
(2)
В формулах (1) и (2) в = т + 0 & lt-^<- 1, t € М, к € М, С_ - биномиальные коэффици
енты. В частности, пространства имеют норму
Мвр = ||и||10 + /
|Д (у — х) Паи (х)) |
1/р
-йхйу
1/р
а& lt-т К& quot-хК™
а пространства В^ - норму
иии^ = ||и||1р + (/хх--иху = ||и||1р + (и)1-
Норма пространств В2р это
… + ^ ([ |д (у — х) Паи{х))
тви = | |и|| 20
а& lt-т ук" хК& quot- г1^ имеет норму ||",||" _1_ /, 17
х — уп+Р1
р 1/Р -йхйу I & lt- ж.
Пространство В2р имеет норму ||и||2р + (и)^.
Отметим, что норма (1) эквивалентна норме пространства Соболева-Бесова [5](с. 228)
||и||1т + (и)рк.
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор Pi: Врк ^ В*2 (I = 1, 2) в частных
производных
Ри = ЛаБаи, Аа € С (Кп, ЕМХ).
а& lt-т
Оператор: В^ В^ назовем обратимым (корректным), если существует такая поло-
жительная постоянная к%, не зависящая от функции и, что имеет место неравенство
l|u|lвts & lt- ЫРиИ
Вгрк
вг'-& lt-
гр
(3) 117
р
р
для любой функции и €.
Пусть фт (х,?): Мп — [0,1] - гладкая финитная функция с носителем в шаре В (?, 2Т) & lt- Мп такая, что фт (х,?) = 1 при х € В (?, Т) и Оафт & lt- ЬоТ-1 (Ьо не зависит от параметра Т& gt-шах (и, 2),? € Мп, а = 0).
Лемма 1. Для любой функции и € ВЦ справедливо неравенство
\фт (хС)и (х) — фт u{y, i) u{y)f
i/p
R™
х — yn+pY
dxdy
& lt-
& lt- a
R™
\u (x) — u (y)\p
x — yn+P~f
i/p
dxdy I + aT i\u\io
Положительная постоянная a не зависит от и, T,
?ts }ipk
Лемма 2. Пусть и € В!,. Тогда имеет место следующая оценка
/
=Е Z
k=1 a& lt-m
?
j=i
(-iy+1Ck-_Hy — x)^T (x + (j — l)(y — x)) X xPu,(x + (j — 1)(y — x))
1/p
R™x R™
y — xn+PY
dxdy
V
& lt-
(4)
& lt- biT _Y\Pu\io + b2(Pu)1'-Y.
Доказательство. В интеграле (4) сделаем замену переменных х = (1 — ] + jwj, у = (2 — j) zj + (^ -, д^'-^]) = а (j) = 0. Получим, используя лемму 1.
st=a (j)Y1
k=1 a& lt-m xr"xr™
\Фт (zj)Pu (zj) — Фт (wj)Pu (wj)\p dxdy
x — yn+pY У
1/p
& lt-
(5)
& lt- biT _Y \Pu\w + b2(Pu)1'-y0.
Постоянные Ь1 & gt- 0, Ь2 & gt- 0 не зависят от функции и и Т. Лемма доказана.
Теорема 1. Оператор Р1: В1рк — В^ корректен, если и только если корректен оператор Р1: В" - ВЦ ¦
Доказательство. Предположим, что оператор Р1: Вр — В^ корректен, а оператор
Р1: Вц, — ВЦ не является таковым. Тогда можно указать такую последовательность функций
1″
1р,
uv е B^s, что
lim Piuv = 0, lim uv bXs =1.
Так как фт u удовлетворяет уравнению
Pi (Фтu) = ФтPiu + Q (u, Фт)
и фтu е В^рк, то из (6) имеем
Фт uv Buk & lt- ki Фт Pu Bl7 + k2 Q (uv, Фт) B17
(6)
lpk
ip
ip iY
Q (uv, Фт) B1Y & lt- aiT_i uv im + a2T_i (uv) ?.
lp
p
Постоянные a: >- 0, a2 & gt- 0 не зависят от u, T и Из (7) следует
lim \Q (uv, фт)||l7 = т -ж Bip
С помощью (4) и (5) оценим разность \фтP: uv\ tY -\Pluv\ tY:
B1p B1p
\фт PlUv I tY -\PlUv \
'-by lp
by 1p
& lt- \фтPiUv — PlUv\ 10 +
+E
k= l
у (-l)j+1 Ck-A (y — х)(фтPlUv — PlUv) X j=l X (x + (j — 1)(y — x))
l /p

y — xn+pY
-dxdy
& lt-
(9)
& lt- \фт PlUv — PlUv \ l 0 + b3T\Pl Uv \ l 0 + b4 (PlUv) l Y. Константы b3 & gt- 0, b4 & gt- 0 не зависят от u и T. Так как lim \фтPlUv\l0 = \P:l uv\l0, то из
v-ж
(9) следует
lim \фтPiuv\ ^^ = PlUv
T -ж
b]1 1p
1p
Аналогичным образом доказывается, что
(10)
lim фт Uv B 1s = Uv B1 в. T -Уж i p i p
(11)
С учетом (8) — (11) имеем
1 = Uv B1s = lim Фт Uv B1s & lt- h Jim фт PlUv \в17 + lp T -Уж
'-Blp~ '-T-ж
p
+ kl Jim Q (uv, фт) B1Y & lt- kl Pluv B1Y, т-е-
& quot- T-ж
p
p
1 & lt- k ib2 PlUv biy.
p
Последнее неравенство противоречиво, а значит, оператор Р1: Вр ^ В^ корректен. Предположим, что оператор Р1: В^ ^ корректен:
u & lt- kl PiU ,
lp B1 p
(12)
постоянная к 1 & gt- 0 не зависит от функции и € ВВ силу неравенства (12), применяя оператор Р1 к функции фти, получим
Фт U B1s & lt- kl Фт PlU B1 y + kl Q (u, Фт) \B 1Y B1p B lp B lp
(13)
Возьмем элемент u € Blpk и оценим его норму:
Фт U Bts & lt- al Фт U B1s, lpk lp
ai не зависит от u и T. Неравенства (13), (14) приводят к оценке
(14)
Фт U BUk & lt- alkl Фт PlU BlY + al kl Q (u^т) BlY.
1pk
(15)
lp
lp
p
С учетом, что Jim \фт u\Bts = \uv \Bts, согласно (15) получим в пределе при T ^ ж
T-& gt-оо
1 pk
1 pk
\u\Bts = aiki\Piu\B.
1pk B1p
Оператор Pi: ?fpk ^ ?? корректен. Теорема доказана.
Теорема 2. Оператор Р2: В2рк ^ Вкорректен тогда и только тогда, когда корректен ратор Р2: ^ ¦
Доказательство. аналогично теореме 1. Вместо леммы 1 применяется неравенство
(1 /Р
sup
x, y& amp-™
\фТ (x, i) u (x) — фт u (y, Ou (y)f
K (x)xK (y)
& lt- a2 sup
x, y& amp-Rn
К (x)xK (у)
y — xn+PY \u (x) — u (y)\p
x — yn+PY
dxdy
J
& lt-
i/p
dxdy | +
+ a3T i sup
|x-?|& lt-4T
/
K (x)

/
u (x) pdx
/
Постоянные a2 & gt- 0, a3 & gt- 0 не зависят от u, T и
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Миссера Х., Шеффер Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. 456 с.
2. Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978, 204 с.
3. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. 3-е изд., доп. и перераб. М.: Наука, 1988, 336 с.
4. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы М. Тейлор. М.: Мир, 1985, 472 с.
5. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980, 664 с.
Поступила в редакцию 7 декабря 2015 г.
Тюрин Василий Михайлович, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: tuvm@stu. lipetsk. ru
UDC 517. 983
DOI: 10. 20 310/1810−0198−2016−21−1-116−121
ABOUT INVERTIBILITY OF LINEAR DIFFERENTIAL OPERATORS IN SOME SPACES OF THE SOBOLEV-BESOV FUNCTIONS
© V. M. Tyurin
The simultaneous invertibility (well-posedness) of linear differential operators with partial
derivatives in the Besov type functional spaces is studied.
Key words: Sobolev-Besov spaces- well-posedness- functional spaces.
REFERENCES
1. Missera H., SHeffer H. Linejnye differencial'-nye uravneniya i funkcional'-nye prostranstva. M.: Mir, 1970. 456 s.
2. Levitan B.M., ZHikov V.V. Pochti periodicheskie funkcii i differencial'-nye uravneniya. M.: Izd-vo MGU, 1978, 204 s.
3. Sobolev S.L. Nekotorye primeneniya funkcional'-nogo analiza v matematicheskoj fizike. 3-e izd., dop. i pererab. M.: Nauka, 1988, 336 s.
4. Tejlor M. Psevdodifferencial'-nye operatory M. Tejlor. M.: Mir, 1985, 472 s.
5. Tribel'- H. Teoriya interpolyacii, funkcional'-nye prostranstva, differencial'-nye operatory. M.: Mir, 1980, 664 s.
Received 7 December 2015.
Tyurin Vasily Mikhaylovich, Lipetsk State Technical University, Lipetsk, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, e-mail: tuvm@stu. lipetsk. ru
УДК 519. 85:612. 821−056. 2
Б01: 10. 20 310/1810−0198−2016−21−1-121−130
МЕТОДОЛОГИЯ ОЦЕНИВАНИЯ КАЧЕСТВА ЖИЗНИ, СВЯЗАННОГО СО ЗДОРОВЬЕМ
© И. А. Финогенко, М. П. Дьякович, А. А. Блохин
Статья посвящена применению методов когнитивного анализа и анализа иерархий для исследования такого сложного объекта, как связанное со здоровьем качество жизни населения. Взаимосвязанные концепты когнитивной карты используются для построения иерархической модели качества жизни и формирования матриц парных сравнений — основы всех вычислительных процедур метода анализа иерархий для преобразования качественной информации об исследуемом объекте в количественную — весовые коэффициенты всех его характеристик. Метод анализа иерархий и когнитивный анализ имеют самостоятельное значение, но, как показано, в сочетании они хорошо дополняют друг друга и становятся новым инструментом исследования сложных и плохо формализуемых объекта с большим набором взаимодействующих разнородных субъективных и объективных факторов. Основным результатом работы является описание методики исследования связанного со здоровьем качества жизни с комбинированным использованием когнитивных карт и основных процедур метода анализа иерархий. Ключевые слова: связанное со здоровьем качество жизни- численное ранжирование- когнитивная карта- метод анализа иерархий.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой