Об обобщенных резольвентах линейных отношений, порожденных неотрицательной операторной функцией и дифференциальным выражением эллиптического типа

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Известия вузов. Математика 2008, № 11, с. 12−26
http: //www. ksu. ru/journals/izv_vuz/ e-mail: izvuz. matem@ksu. ru
В.М. БРУК
ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕЗОЛЬВЕНТАХ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ, ПОРОЖДЕННЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ОПЕРАТОРНОЙ ФУНКЦИЕЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ВЫРАЖЕНИЕМ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Аннотация. Рассматриваются обратимые расширения минимального отношения, порожденного неотрицательной операторной функцией и дифференциальным выражением эллиптического типа. Доказывается, что операторы, обратные к таким расширениям, являются интегральными и дается описание этих интегральных операторов. Получена формула обобщенных резольвент минимального отношения.
Ключевые слова: линейное отношение, симметрическое отношение, обобщенная резольвента, функция Грина, операторная функция.
УДК: 517. 983
Abstract. We study invertible extensions of the minimal relation generated by a nonnegative operator function and a differential elliptic-type expression. We prove that the operators inverse to such extensions are integral operators and describe such integral operators. We obtain a formula for generalized resolvents of the minimal relation.
Keywords: linear relation, symmetric relation, generalized resolvent, Green function, operator
function.
Введение. Линейные отношения, порожденные неотрицательной операторной функцией и формально самосопряженным дифференциальным выражением с ограниченными операторными коэффициентами, определялись в конечномерном случае в [1], а в бесконечномерном случае — в [2]. Формула обобщенных резольвент для таких отношений в конечномерном случае получена в [2], [3], а в бесконечномерном случае — в [2]. При построении такой формулы используются граничные значения для упорядоченных пар, образующих максимальное отношение. В бесконечномерном случае ситуация усложняется тем, что ядро максимального отношения может содержать элементы, не являющиеся функциями со значениями в исходном пространстве. (В [2] предполагалось выполненным условие, гарантирующее отсутствие таких элементов.) Поэтому граничные значения для упорядоченных пар, принадлежащих максимальному отношению, вообще говоря, не содержатся в исходном пространстве даже тогда, когда коэффициенты дифференциального выражения являются ограниченными операторами. При наличии неограниченного операторного коэффициента в дифференциальном выражении для построения граничных значений требуется более широкое пространство, чем исходное, и при отсутствии операторного веса (см., напр., [4], с. 211).
Поступила 31. 08. 2006
В данной работе рассматриваются линейные отношения, порожденные неотрицательной весовой операторной функцией и дифференциальным выражением эллиптического типа с переменным неограниченным операторным коэффициентом. Дается описание обратимых расширений и обобщенных резольвент минимального отношения. В связи с наличием неограниченного переменного операторного коэффициента в первой части работы изучаются свойства соответствующей функции Грина. Основные теоремы доказываются с помощью абстрактных пространств граничных значений, введенных в работах [5]-[8]. Это позволяет значительно упростить доказательства.
1. Максимальное и минимальное отношения. Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением (•, •) и нормой || • ||. На конечном отрезке [0,6] рассмотрим дифференциальное выражение 1[у] = -у& quot- + Л (Ь)у, где операторная функция А (Ь) удовлетворяет следующим условиям: при каждом фиксированном? ? [0,6] оператор Л (Ь) положительно определен и самосопряжен в Н- операторы Л: (?) имеют постоянную область определения Р (Л: (?)) = ^(Л) — для любого элемента х? V (Л1) функция Л (Ь)х сильно непрерывно дифференцируема на [0,6].
Зафиксируем какую-либо точку? о? [0,6]. Пусть {Нт} (- 1 ^ т ^ 1) — гильбертова шкала пространств ([4], с. 65), порожденная оператором Л1(?о). Шкала {Нт} не зависит от выбора точки? о? [0, 6] в следующем смысле. Если ?0 — какая-либо другая точка из промежутка [0,6] и {НТ} - гильбертова шкала пространств, порожденная оператором Л1 (?0), то множества Нт и Н'-т совпадают, а нормы в них эквивалентны. При каждом фиксированном? ? [0,6] оператор Л1(?) отображает непрерывно и взаимно однозначно Н+1 на Н. Поэтому сопряженный к Л1(?) оператор Л+(?) отображает непрерывно и взаимно однозначно Н на Н-1 и является расширением Л1(?). Далее обозначаем I+ [у] = -у& quot- + Л+ (?)у.
Пусть А (?) — сильно измеримая на [0, 6] операторная функция, значениями которой являются ограниченные самосопряженные операторы в Н такие, что (А (?)х, х) ^ 0 для почти всех? ? [0,6] и всех х? Н. Предполагается, что норма ||А (?)|| суммируема на отрезке [0,6].
На множестве непрерывных на отрезке [0, 6] функций со значениями в Н введем скалярное произведение
Отождествляя с нулем функции у со свойством (у, у) в = 0, а затем факторизуя и производя пополнение, получим гильбертово пространство, которое обозначим В = ^(Н, А (?) — 0,6). Элементами пространства В являются классы функций, отождествленных между собой по норме У • У в. Далее у обозначает класс функций с представителем у. Чтобы не усложнять терминологию, будем часто говорить про функцию у, являющуюся представителем класса у, что у принадлежит В.
Пусть Со (?) — множество таких элементов х Є Н, что А (?)х = 0, Н (?) — ортогональное дополнение в Н к Со (?), Н (?) = Н © Со (?), Ао (?) — сужение А (?) на Н (?), {Н^(?)}
— гильбертова шкала пространств, порожденная оператором А-1(?). Оператор Ао (?) расширяется по непрерывности до оператора Ао (?), отображающего непрерывно и взаимно однозначно Н-а (?) на Ні-а (?) (0 ^ а ^ 1). Через А (?) обозначим оператор, определенный на Н-а (?) ® Со (?), равный Ао (?) на Н-а (?) и нулю — на Со (?). Оператор А (?) является расширением А (?). В [2] доказано, что пространства Н-і/2(?) измеримы по параметру? ([9],
с. 28), если в качестве измеримых функций взять функции вида А-1(?)А½(?)Ь (?), где Н (?)
ь
— измеримая функция со значениями в пространстве Н. Пространство В состоит из элементов (т. е. классов функций) с представителями вида А-1(?)А½(?)Л (?), где Н (?)? ^(Н- 0, 6), ь
т. е. / ||Л,(?)||2М & lt- ж. о
Определим максимальное и минимальное отношения, порожденные выражением I+ [у] и функцией А (?). Обозначим через Б'- множество функций у (?)? В со свойствами 1) у (?) сильно непрерывно дифференцируема на [0,6] в пространстве Н и у'-(?) абсолютно непрерывна в пространстве Н1, и) I+ [у](?)? Н^(?) при почти всех? и функция А-1(?)1+ [у] принадлежит В. Поставим в соответствие каждому классу функций, отождествленных в В с у? V, класс функций, отождествленных в В с А-1 (?)1+[у]. Это соответствие, вообще говоря, не будет оператором, так как может случиться, что функция у (?) отождествлена с нулем в В, а функция А-1(?)1+ [у] отлична от нуля. Таким образом, получим в пространстве В линейное отношение Ь'-, замыкание которого обозначим через Ь и назовем максимальным отношением. Минимальное отношение Ьо определим как сужение Ь на множество элементов у? В, обладающих представителями у? V со свойством у (0) = у'-(0) = у (6) = у'-(6) = 0.
Терминология, связанная с линейными отношениями, имеется, например, в ([4], [10]). Далее обозначаем: {•, •} - упорядоченная пара- Кег Ь — множество пар вида {г, 0}? Ь-
кег Ь — множество элементов г таких, что {г, 0}? Ь- /Я-(Ь) — область значений отношения
Ь, ?& gt-(Ь) — область определения.
2. Функция Грина. Для изучения введенных отношений построим функцию Грина С (?, 8, Л) задачи Неймана для выражения I+ [у] - АА (?)у. С этой целью используем функцию Грина той же задачи для выражения 1[у], построенную в [11]. Согласно [11] операторная функция С (?, в) называется функцией Грина задачи
1[у] = -у& quot- + Л1(?)у = g (?), (1)
у'-(0) = у'- (6) = 0, (2)
если для любой функции д (?) со значениями в Н, удовлетворяющей условию Гельдера, ь
интеграл г (?) = / С (?, 8) д (8)(18 дает решение задачи (1), (2). При этом решением уравнения о
(1) в [11] была названа функция у (?) со значениями в Н, удовлетворяющая условиям:
1) у (?) сильно непрерывно дифференцируема на отрезке [0, 6] и дважды сильно непрерывно дифференцируема на интервале (0,6) —
1 /2
2) значения у (?) принадлежат ^(Л{) для? ? (0,6), а функция Л/ (?)у (?) непрерывна на [0,6]-
3) у (?) удовлетворяет уравнению (1) на (0,6). В [11] установлено, что для любых х1, х2? Н существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям
у'-(0) = -х1, у'-(6) = х2. (3)
Решение однородного уравнения 1[у] = 0, удовлетворяющее (3), имеет вид у (?) = С (?, 0) х1 + С (?, 6) х2.
Докажем, что для любой функции Н (?)? Ь1 (Н- 0, 6) найдется функция у (?) со свойствами (а) у (?) сильно непрерывно дифференцируема в пространстве Н на [0, 6]- (б) у'-(?) абсолютно непрерывна в пространстве Н_ 1- (в) у (?) удовлетворяет уравнению
I+ [у] = -у'-'- + Л+(?)у = Н (?).
Возьмем последовательность достаточно гладких на [0,6] функций Нп (?), сходящуюся к
ь
Н (?) в пространстве Ь1(Н- 0, 6). Функции гп (?) = / С (?, 8) Нп (8)й8 удовлетворяют условиям
о
1), 2) и уравнению
-г'-П (?) +Л+(?)гп (?) = Нп (?). (4)
Из условий, наложенных на Л1(?), и оценок из [11] следует, что функции С (?, в), С[(?, 8) (? = 8) равномерно по ?, 8 ограничены по норме на [0,6]. Поэтому последовательности {гп (?)}, {г'-п (?)} при п сходятся равномерно в Н к
г (?) = / G (?, 8) h (8)d8, г'-(?) = о
соответственно. Отсюда следует, что г (?), г'-(?) сильно непрерывны на [0,6] в пространстве Н и последовательность {Л+ (?)гп (?)} равномерно сходится в пространстве Н1 к Л+ (?)г (?). Так как г'-п (0) = г'-п (6) = 0, то из (4), (5) получаем, что последовательность {г'-п (?)} сходится
в Ь1(Н1−0,6) к г'-'-(?) и г'-(0) = г'-(6) = 0. Поэтому г (?) удовлетворяет условиям (а), (б), (в).
Итак, справедлива
Лемма 1. Пусть Н (?)? Ь1(Н- 0, 6). Функция у (?) тогда и только тогда удовлетворяет условиям (а), (б), (в)7 когда у (?) можно представить в виде
у (?) = G (?, 0) х1 + G (?, 6) x2 + г (?), (6)
где х1, х2? Н, г (?) определяется формулой (5).
Замечание 1. В равенстве (6) функция у удовлетворяет условиям (3). Для любой функции Н (?)? Ь1 (Н- 0,6) и любых элементов х1, х2? Н функция у со свойствами (а), (б), (в) единственным образом определяется условиями (3).
Рассмотрим интегральное уравнение
г Ь
К (?, 8, Л)х = А½ (?^(?, 8) х + Л А½ (?^(?, т) А½ (т)К (т, 8, Л)хг1т (7)
о
с неизвестной функцией К (?, 8, Л)х, где х? Н. Так как функция G (?, 8) равномерно по ?, 8 ограничена по норме, то в гильбертовом пространстве Ь2(Н- 0, 6) ограничен оператор
ь
G, определяемый равенством Gv = § G (?, 8) v (8)d8. Оператор G1 является замыканием
о
оператора, порожденного в Ь2(Н- 0, 6) выражением 1[у] и граничными условиями (2) ([11]- [4], с. 255). Поэтому G положительно определен. Ядро А½(?)G (?, 8) А½(8) определяет в Ь2(Н- 0, 6) ограниченный неотрицательный оператор
Г ь
GAV = / А½(?^(?, 8) А½(8)v (8)d8 (V? Ь2(Н-0,6)). о
Уравнение (7) разрешимо при всех Л, для которых оператор ЛGA — Е имеет всюду определенный ограниченный обратный (Е — тождественный оператор). Множество таких чисел Л обозначим ро^А) — оно содержит все недействительные, отрицательные числа и нуль. Далее всегда считаем Л? ро^А).
Так как при фиксированном 8? [0,6] функция А½(?)К (?, 8, Л)х (х? Н) принадлежит Ь1(Н- 0, 6), то функция G (?, 8, Л), определенная равенством
Г ь
G (?, 8, Л)x = G (?, 8) x + Л G (?, т) А½ (т)К (т, 8, Л)xdт, (8)
о
/ С'-і(І, 8) Н (8)й8 (5)
¦І0
сильно непрерывна по? в пространстве Н. Из (7), (8) следует
G (?, 8, Л)x = G (?, 8) x + Л (G (?, т) А (т)G (т, 8, Л)xdт (9)
о
и Gt (0, 0, Л) х = -х, (6, 0, Л) х = 0, Gt (0, 6, Л) х = 0, (6, 6, Л) х = х. Согласно лемме 1 функ-
ция у (?) = G (?, 0, Л) х1 + G (?, 6, Л) х2 (х1, х2? Н) обладает свойствами (а), (б), удовлетворяет граничным условиям (3) и уравнению
-у'-'- + Л+ (?)у — ЛА (?)у = 0. (10)
Докажем, что задача (10), (3) имеет единственное решение. Действительно, пусть у'-(0) =
у'-(6) = 0. Положим и (?) = Л /о G (?, 8) A (8)y (8)d8. Тогда из замечания 1 следует у (?) = и (?).
Отсюда
С ь
А½ (?)у (?) = Л Al/'2(?)G (?, 8) A (8)y (8)d8.
о
Так как Л? ро^А), имеем А½(?)у (?) = 0 при почти всех ?. Поэтому у (?) = и (?) = 0 при всех? и единственность решения задачи (10), (3) доказана.
Из (9) следует
С ь
А½(?)G (?, 8, Л) А½(8) = А½(?)G (?, 8) А½(8) + Л / A½(?)G (?, т) А (т)G (т, 8, Л) А½(8)с1т.
о
Ядро A½(?)G (?, 8, Л)A½(8) определяет в Ь2(Н-0,6) ограниченный оператор
С ь
GA (Л^ = / A½(?)G (?, 8, Л) А½(8)v (8)d8. о
(Ясно, что GA (0) = GA.) Операторы GA (Л) и GA перестановочны и в силу самосопряженности GA имеем для почти всех ?, 8 равенство
А½(8)С*(1, в,)А½(1) = А½(8)0(8, ?,)А112(Ь). (11)
Обозначим дх (?) = А½(?)G (?, 8, Л) х, д (?) = А½(?)G (?, 8) х, где х? Н, 8 фиксировано. Так как д, д? Ь2(Н- 0, 6), из (9) следует дх = д+ЛGAgx. Из равенства Е+АGA (Л) = (Е-ЛGA)_1 получаем дх = д + ЛGA (Л)g. Поэтому в пространстве Н при почти всех ?, 8

А½(?)G (?, 8, Л) = А½(?)G (?, 8)+ Л / А½(?)G (?, т, Л) А (т)G (т, 8) dт.
о
Переходя в этом равенстве к сопряженным операторам, меняя местами? и 8, заменяя Л на Л, учитывая (11) и равенство G*(?, 8) = G (8,?), получим _ гЪ
С*{8, Ь,)А½{8) = С (Ь, 8) А½{8) + Л 0(1,т)А (т)0(т, 8,)А½(8)с1т. (12)
о
Из (9) имеем
/¦ ь
G (?, 8, Л)A½(8) = G (?, 8) A½(8) + Л / G (?, т) A (т)G (т, 8, Л)Al/2(8)dт. (13)
о
Из (12), (13) следует С*(8, ?, А)^½^) = 0(1,8,)А12(8). Так как область значений оператора А½ (8) плотна в Н (8), то на Н (8) справедливо равенство С*(§,?, А) = С (Ь, 8, А).
Поскольку А (8)с? Н (8) для любого элемента С? Н1 (8) ® Gо (8), имеем
С*(8,1,)А (8)с = С (1,8,Х)А (8)с (се Н_(8) ® Со (8)). (14)
Пусть f — функция со значениями в H-(t) ® Go (t) такая, что -A (t)/(t) G L (H- 0, b). Из (14) вытекает, что G*(s, t, X) A (s)f (s) = G (t, s, X) A (s)f (s). При A G Po (Ga) функция G (t, s, X) ограничена по первому аргументу. Следовательно, функция G*(t, s, X) обладает тем же свойством. Поэтому интеграл
рЪ ^ гЬ ^
Е (?) = С (Ь, в, А)^4. («)/(в)с?» = С*(в, ?, А)^4. («)/(в)с?» (15)
Уо Уо
существует. Из (9) следует, что Е (Ь) обладает свойствами (а), (б), удовлетворяет граничным условиям (2) и является решением уравнения
-у" + А+(Ь)У (Ь) — ХА (Ь)У (Ь) = !(?)/(Ь). (16)
Обозначим символом и (Ь, X) операторную однострочную матрицу и (Ь, X) = (П (Ь, X), и (Ь, А)), где и1 (Ь, Х) = О (Ь, 0, А), и2(Ь, А) = О (Ь, Ь, Х). Сведем полученные результаты в следующее утверждение.
Лемма 2. Для любой функции /(Ь) со значениями в Н-1(Ь) такой, что А (Ь)/(Ь)? Ь1(Н- 0, Ь) и любых Х1, Х2? И существует единственная функция у со свойствами (а), (б), удовлетворяющая уравнению (16) и граничным условиям (3). Эта функция имеет вид
у (Ь) = и1(Ь, А) Х1 + и2(Ь, А) х2 + Е (Ь),
где Е (Ь) определяется равенством (15).
Лемма 3. Оператор / Е = Е (Ь, /, А), где Е задается формулой (15), непрерывно отображает пространство В в пространство С (И -0,Ь).
Доказательство. Пусть /? В. Так как ||А½(Ь)||? Ь2(0,Ь), ||А½(Ь)/(Ь)||? Е2(0,Ь), достаточно доказать неравенство
IIе (ь,/, а)11 & lt- к1 II (s)||ds, (17)
о
где к & gt- 0 не зависит от Ь. В силу равномерной ограниченности по Ь, s нормы ||О (Ь, s)|| неравенство (17) выполняется при X = 0. Из равенства
Г ь __ Г ь
/ О (Ь, s, X) A (s)g (s)ds = / О (Ь, s) A (s)g (s)ds+
Уо Уо
+ А/ О (Ь, т) А (т)(I О (т,, в, Х) А (, з) д (, з)(1,в^(1г и ограниченности в пространстве ^(Н- 0, Ь) оператора О, а (X) следует
ЦЕ (Ь, д, Х)Ц & lt- Ыдт^ы. АЮоь) (к1 & gt- 0, & lt-7? Ь2(Н, А (Ь)-0,Ь)). (18)
Поскольку
гь __ /*ь ^
А½(т) / О (г,-8)А (^/(s)ds & lt- к2|А½(т)|Ь2(0,Ь) I (^||^
Ло ь2 (Я -0,Ь) -/о
(& amp-2 & gt- 0), соотношение (18) и равенство
г ь __ г ь __
/ С (і, в, Х)А (в)/(в)йв = / С (і, в) А (в)/(8)^8+
+ л/ С (і, т, Л)А (т)(У С (і, 8) А (8)/(в)й^йт
ю. /о
влекут (17). ?
Из этой леммы следует, что оператор / - Е = Ір (і, /, Л), где Е задается равенством (15), непрерывен в пространстве В.
3. Основные результаты. Обозначим черезо множество элементов с Є Н ® Н, для которых А (і)и (і, Л) с = 0 при почти всех і. Из равенств
С/(^, 0) с = Г/(і, Л) с — Л / С*(«, і, Х) А (з)и (8,0)сг1,в, (19)
о
и (і, Л) с = и (і, 0) с + Л (С*(8,і)А (в)и (8,Л)ссІ8, (20)
о
вытекающих из леммы 2, получим, чтоо не зависит от Л. Пусть Q — ортогональное дополнение в пространстве Н ф Н к Qо. Введем в Q скалярное произведение
(С1,С2) — = [ (А (8)и (8, 0) сі, и (8, 0) С2)(І8 (сі, С2 Є Q). о
Это скалярное произведение порождает в Q норму
/Л ½
ІН- = (у 1|А½(8)и (8,0)с||2й8] ^ к\с\, к& gt- 0, с Є Q. (21)
Пополнение Q по норме || • ||- обозначим Q-. Из равенств (19), (20) следует, что замена в (21) и (8, 0) на и (8, Л) приводит к тому же множеству Q- с эквивалентной нормой.
Пространство Q- можно рассматривать как негативное ([4], с. 59) по отношению к Q. Со-
ответствующее позитивное пространство обозначим Q+. Символ И (і, Л) с (с Є Q-) обозначает класс функций, к которому сходится последовательность классов функций {и (і, Л) вп} (сп Є Q), когда {сп} сходится в Q- к с. Пусть V (Л): Q- - В — оператор, определенный формулой V (Л) с = и (і, Л) с. Область значений оператора V (Л) замкнута и кег V (Л) = {0}. Поэтому сопряженный оператор V*(Л): В — Q+ непрерывен и имеет область значений, совпадающую с Q+. Найдем вид V* (Л). Для любых элементов с Є Q и / Є В имеем
(/^ (Л) с) = ^ (1(8)/(8)й8,и (8,Л)с)й8 = (У и *(8,Л)А (8)/(88, с^ = (V *(Л)/, с).
~ ь
Так как Q плотно вкладывается в Q-, V*(Л)/ = / и*(8, Л) А (8)/(8)сІ8.
о
Лемма 4. При любом Л Є Ро (Са) отношение Ь — ЛЕ состоит из множества таких пар {у, /}Є В ф В, что
у = и (і, Л) с + Е, (22)
где с Є Q-, Е — класс функций, отождествленных в В с функцией (15).
о
о
Доказательство. Из лемм 2, 3 и определения пространства Q- следует, что пара {у, У}? В ф В, для которой выполняется (22), принадлежит Ь — ХЕ. Пусть {у,/}? Ь — Е. Тогда согласно лемме 2 и определению отношений Ь, Ь'- найдется последовательность пар {Уп, Уп}? Ь'- - ХЕ, сходящаяся к паре {у, У} в В ф В. Функция уп представима в виде
Уп (?) = и (Ь, Х) сп + [ А)!^)/^)^, (23)

где сп? Q. Из сходимости последовательности пар {уп, уп} в В ф В следует сходимость последовательности {и (Ь, Х) сп} в В. Переходя в (23) к пределу при п ^ ж, получаем, что у допускает вид (22). ?
Следствие 1. Оператор V (Х) непрерывно и взаимно однозначно отображает Q- на кег (Ь — ХЕ).
Замечание 2. Для любой пары {у, У}? Ь — ХЕ существуют единственный элемент с? Q-и единственная функция Е (Ь) вида (15), для которых выполняется равенство (22). Действительно, если У, У2 отождествлены в В между собой, то А (Ь)У = А (Ь)/2 и утверждение вытекает из следствия 1.
Замечание 3. Если Е задана равенством (15), то {Е (0), Е (6)} = У*(А)/.
Лемма 5. При любом Х? ро (Ол) отношение Ьо — ХЕ замкнуто.
Доказательство. Пусть последовательность пар {уп, /п}? Ьо — ХЕ сходится в пространстве В ф В к паре {у, У}. Из определения Ьо и леммы 2 следует, что можно выбрать таких представителей уп, /п классов функций уп, /п, для которых выполняется (23), где сп? Q и уп{0) = уп (Ь) = у'-п (0) = у'-п{Ъ) = 0. В силу замечания 3 и леммы 2 сп = 0 и У*(Х)У'-п = 0. Переходя к пределу при п ^ ж в последнем равенстве и в (23), получим в (22) с = 0 и У*(Х)У = 0. Поэтому {у, /} е Ьо — ХЕ. ?
Замечание 4. Попутно доказано равенство Т1(Ьо — ХЕ) = кегУ*(А).
Лемма 6. Пусть пары {у, /}, {у, у}? Ь'-. Тогда существуют такие представители у? у, г? у, для которых выполняется равенство
(У, у) в — (у, у) в = -(у'-(ь), г (Р)) + (у'-(0), г (0)) + (у (Ь), г (Ь)) — (у (0), г'-(0)). (24)
Доказательство. Из лемм 2, 4 и определения отношения Ь'- следует, что найдутся такие представители у? у, г? у, для которых выполняются равенства
гЬ ^ гЬ ^
у (Ь) = и (Ь)с1 + С* (8,Ь)А (8)У (8)с18, г (Ь) = и (Ь)с2 + С* (8,Ь)А (8)д (8)(18,
оо
где с1, с2? Q. Так как /, у? В, то А (8)У (8), А (8)д (8)? Ь (И-0,Ь). Выберем последова-
тельность гладких функций {Уп}, {дп}, сходящиеся в пространстве Ь1(Н-0,Ь) к функциям А (8)У (8), А (8)д (8) соответственно. Следовательно, функции
рО рО
уп (Ь) = и (Ь)с1 + С* (8,Ь)Уп (8)й8, гп (Ь) = и (Ь)с2 + С*(8,Ь)дп (8)d8
оо
являются решениями (в смысле [11]) уравнения (1) и поэтому удовлетворяют условиям 1),
2). Из условия 2) вытекает, что уп (Ь), гп (Ь)? ?(Л{) при любом Ь? (0,Ь). Следовательно,
для всех а, в (0 & lt- а & lt- в & lt- Ь) выполняется равенство гв г в гв
ГР ГР ГР
/ (I+ ІУп], гп)ІЇЬ — (Уп, I+ ^п])іїь = (-уП (і)+Лі(і)уп (Ь), ги (і))М-
о, а о, а о а
гв г в г в
— (Уп (і), -*п (і)+Лі(і)гпШі = - (уП (і), 2п (і))М + (Уп (і)Х (і))гМ
о, а оа оа
-)пь)'-& gt-пКЧ '- А1ь-& lt-'-пь))и>-ь — I УУпКЧч ~т I уп
Iа о, а оа
= -(у'-п (в), 2п (в)) + (уП (а)^п (а)) + (Уп (в),^п (в)) — (Уп (а), г'-п (а)). Переходя здесь к пределу при, а ^ 0, в ^ Ь, получим
Г Ь гЬ
/ (I+ [Уп]^п)(И — (Уп, I+ [%п](=
Jo Jо
= -(Уп (Ь, п (Ь)) + (у'п (0,п (0)) + (Уп (Ь),^п (Ь)) — (Уп (0), г'-п (0)).
Из свойств функции Грина С (Ь, в) следует, что последовательности {уп (Ь)}, {у'-п (Ь)}, {гп (Ь)}, {х'-п (Ь)} равномерно сходятся на отрезке [0, Ь] к функциям у (Ь), у'-(Ь), z (t), х'-(Ь) соответственно. Поэтому, переходя в последнем равенстве к пределу при п -^ж, получим
гь ~ рь ^
/ (А (Ь)У (Ь), г (Ь))(Ь — (у (Ь), А (Ь)д (Ь))(Ь =
.)о .)о
= -(у'-(Ь), г (Ь)) + (у), г (0)) + (у (Ь), г'-(Ь)) — (у (0), г'-(0)).
Отсюда следует равенство (24). ?
Следствие 2. Отношение Ьо симметрическое.
Обозначим через М дефектное подпространство отношения Ьо, т. е. ортогональное дополнение к области значений отношения Ьо — ХЕ. Из следствия 1 и замечания 4 вытекает Л/а = кег (Ь — ХЕ).
Лемма 7. ЬЦ = Ь.
Доказательство. Из леммы 6 следует, что Ь'- С ЬЦ. Поэтому Ь С ЬЦ. Известно [12], что Ед является прямой суммой своих подпространств: = ?о+^л+№д, где 1Чд — множе-
ство упорядоченных пар вида {г, Хг}, г € Л/д. Так как Ьо С Ь, Nл С Ь, 1Чд С Ь, имеем
ьо с ь. ?
Отметим, что для отношений, порожденных неотрицательной операторной функцией и дифференциальным выражением с ограниченными операторными коэффициентами, эта лемма доказана в [13].
Пусть В1, В2, В, В2 — банаховы пространства, Т С В1 ф В2 — замкнутое линейное отношение, 7: Т ^ В1 фВ2 — линейный оператор, = Рг! (* = 1, 2), где Р. — проектор В1 фВ2 на В., соответствующий разложению в прямую сумму. Подобные обозначения используются также в аналогичных случаях. Следующее определение для операторов дано в [5], а для отношений — в [6].
Определение. Четверка (В1В2,71,72) называется пространством граничных значений (ПГЗ) для отношения Т, если оператор 7 непрерывно отображает Т на В1 ф В2 и сужение оператора 71 на Кег Т является взаимно однозначным отображением Кег Т на В1.
С каждым ПГЗ связан оператор Ф, определенный равенством: Ф = 72^, где в = (71 |кегт)-1
— оператор, обратный к сужению 71 на Кег Т. Обозначим То = кег 7, т. е. То — отношение, состоящее из упорядоченных пар {у 1, у2} € Т, для которых 7{У1,У2} = 0.
Между отношениями в С В1 ® В2 и отношениями Т со свойством То С Т С Т существует взаимно однозначное соответствие, определяемое равенством: 7 Т = в. В этом случае обозначаем Т = Т-.
Лемма 8 ([6]). Отношение Т- обратимо (т. е. Т- 1 является оператором) тогда и только тогда, когда отношение в — Ф обратимо. При этом оператор Т-1 замкнут, плотно определен, всюду определен в том и только том случае, когда соответствующими свойствами обладает оператор (в — Ф)-1.
Каждой паре {у, /}€ Ь — ХЕ, представленной в виде (22), поставим в соответствие пару граничных значений по формулам
ъ (Х){У, 7} = сеЯ-, ъ (Ш7} = У*т= [Ь1Г (8,)А (8)/(з)с18?д+. (25)
о
Из замечания 2 следует, что для любой пары {у, /} € Ь — ХЕ соответствующая пара граничных значений определена однозначно. Согласно лемме 4 и следствию 1 четверка ^~, Q+, 71(Х), 72(Х)) при каждом Х € ро (Ол) является ПГЗ для отношения Ь — ХЕ. Из замечания 4 и доказательства леммы 5 вытекает, что кег 7(Х) = Ьо — ХЕ. Так как 72(Х) {у, 0} =0 при у € кег (Ь — ХЕ), соответствующий оператор Ф (Х) = 72(Х)(71 (Х) |кег (Ь-ле})-1 = 0.
Между отношениями в (Х) С Q- ® Q+ и отношениями Ь (Х) со свойством Ьо С Ь (Х) С Ь существует взаимно однозначное соответствие, задаваемое равенством
7(Х)(Ь (Х) — ХЕ) = в (Х). (26)
Таким образом, пара {ф, ф} € Ь (Х) — ХЕ тогда и только тогда, когда пара {71 (Х){ф,/}, 72(Х){ф, /}} € в (Х). Отсюда и из лемм 4, 8 вытекает
Теорема 1. Отношение Е (Х) = (Ь (Х) — ХЕ)-1 является оператором тогда и только то-
гда, когда отношение в-1(Х) является оператором. При этом оператор Е (Х) замкнут, плотно определен, всюду определен в том и только том случае, когда теми же свойствами обладает оператор в-1(Х). Оператор Е (Х) является интегральным оператором вида
~ ~ ('-Ь ~ рЬ _
Д (А)/ = Е/(*, А)01(А) С7*(в, А) А (в)/(в)ЖЛ- С*(в,*, А) А (в)/(в)Ж? =
оо
Гь ~ _ _ ~
= (Г/(^, А)6""1(А)Г/*(5, А) + & lt-^*(5, А))^1(5)/(5)^- (27)
о
В равенстве (27) предполагается, что /? Т& gt-(К (Х)) тогда и только тогда, когда У*(А)/ € V (в-1(Х)).
Найдем необходимое и достаточное условие голоморфности функции К (Х). Следующее определение из [14] обобщает соответствующее определение для операторов [15]. Семейство замкнутых отношений Т (Х) С В1 ®В2 называется голоморфным в точке Хо € С, если существует такое банахово пространство Z и такое голоморфное в Хо семейство ограниченных линейных операторов Ф (Х): Z ^ В1 ® В2, что Ф (Х) отображает взаимно однозначно Z на Т (Х). Из определения вытекает, что семейства Т (Х) и Т-1(Х) одновременно голоморфны или нет.
Лемма 9 ([14]). Пусть семейство замкнутых линейных отношений Т (Х) определено в окрестности точки Хо и Т-1(Хо) является ограниченным всюду определенным оператором. Тогда семейство Т (Х) голоморфно в точке Хо в том и только том случае, когда при всех Х из некоторой окрестности точки Хо отношения Т-1(Х) являются ограниченными всюду определенными операторами и операторная функция Т-1(Х) голоморфна в точке Хо.
Теорема 2. Пусть отношение Я (Хо) (или в-1(Хо)) является ограниченным всюду определенным оператором. Тогда семейства Я (Х) и в-1(Х) одновременно голоморфны или нет.
Доказательство. Согласно теореме 1 отношения Я (Хо) и в-1(Хо) одновременно являются или нет ограниченными всюду определенными операторами. Предположим сначала, что семейство в-1(Х) голоморфно. Тогда по лемме 9 в некоторой окрестности точки Хо отношения в-1(Х) являются ограниченными всюду определенными операторами. По теореме 1 такими же являются Я (Х). Из (27) следует, что семейство Я (Х) голоморфно.
Предположим теперь, что семейство Я (Х) голоморфно. По лемме 9 в некоторой окрестности Хо отношения Я (Х) являются ограниченными всюду определенными операторами и по теореме 1 такими же являются в-1(Х). Из голоморфности функции Я (Х) и равенства (27) вытекает голоморфность функции I/(?, А)01(А)У*(А)/. Заменив в равенстве (20) с на 01(А)У*(А)/, получим, что функция [/(?, О)0−1(А)У*(А)/ голоморфна. Из следствия 1 получаем, что функция 0−1(А)У*(А)/ голоморфна. Теперь голоморфность функции 0−1(А) вытекает из следующей леммы.
Лемма 10 ([16]). Пусть при каждом фиксированном Х из некоторой окрестности точки Хо ограниченные линейные операторы? з (Х): В1 ^ В3, ?1(Х): В1 ^ В2, ?2(Х): В2 ^ В3 связаны равенством? з (Х) = ?2(Х)?1(Х), причем область значений отношения ?1(Хо) совпадает с В2, где В1, В2, В3 — банаховы пространства. Если функции ^(Х), ?3(Х) сильно дифференцируемы в точке Хо, то в Хо сильно дифференцируема ?2(Х).
В этой лемме следует положить В1 = В, В2 = В3 = С, й'-з (А) = 0−1(А)У*(А), 51 (А) = У*(Х), 52(А) = в~1(Х). ?
Пусть четверка (В1В2,71,72) является ПГЗ для отношения Т С В ® В. Обозначим Т1 = кег 71. Тогда То С Т1 С Т. Пусть пара {у1,у2} € Т. Это равносильно тому, что пара {у1,у2 — Ху1} €Т-ХЕ. Для любой пары {у1, у2-Ху1} €Т-ХЕ положим ф (Х){у1, у2-Ху{} = 7 {у1,у2 }. В [6], [16] установлено, что четверка (В1, В2, Ф1 (Х), Ф2 (Х)) тогда и только тогда является ПГЗ для отношения Т — ХЕ, когда Х € р (Т), где р (Т0 — резольвентное множество отношения Т1, т. е. множество точек Х, при которых отношение (Т1 — ХЕ)-1 является ограниченным всюду определенным оператором.
Обозначим Г = 7(0), Ь1 = кег71(0), где 71(Х), 72(Х) определены равенствами (25). Для любой пары {у, ф — Ху} € Ь — ХЕ положим
Г (Х){ф, ф — Хф} =Г{ф, ф}. (28)
Из вышеизложенного следует, что четверка-, Г1(Х), Г2(Х)) является ПГЗ для отношения Ь — ХЕ при любом Х € р (Ь1). Из леммы 4, справедливой при Х € ро (Ол), вытекает,
что ро (Сл) С р (Ь1).
Пусть Ф (Х) = Г2(Х)(Г1(Х) кег (Ь-ЛЕ))-1: Q- ^ Q+. В силу (20)
Ф (Х) = Х [ и*(в, 0) А (в)и (s, Х) ds. о
Из того же равенства (20) получаем, что сужение Ф (А) на Q совпадает с оператором, задаваемым матрицей
(иг (0, А) — иі(0,0) ^(0,А) — ^(0,0) ()
Ф (А)иг (М) — иг (Ь, 0) Щ (Ъ, А) — и2(Ъ, 0) ^ '- (29)
Лемма 11. Пусть ^_^+, 7і(А), 72(А)), ^_^+, Гі(А), Г2(А)) — введенные выше пространства граничных значений для отношения Ь — АЕ. Тогда 7і(А) = Гі(А), 72(А) = Г2(А) — Ф (А)Г і (А).
Доказательство. Пусть {у, д} Є Ь. Тогда {у, д — Ау} Є Ь — АЕ. Из леммы 4 получаем, что
найдутся такие представители у, д классов функций у, у, для которых
у (і) = и (і, Х) с+ [ Є*(в, і, А) А (в)(д (з) — Ху (в))& lt-ів, (ЗО)
1^* /
/0
Гь
ч* і
y (^) = и (Ь, 0) с + С*^, Ь,0)A (s)g (s)ds, (31)
о
где в равенствах (30), (31) элемент с = {- у'-(0), у'-(6)} € Q один и тот же. Из определения граничных значений (25), (28) следует
с = 71(Х){ф, ф — Хф} = Г1{ф, ф} = Г1(Х){ф, ф — Хф}. (32)
Вычтем из равенства (30) равенство (31) и положим Ь = 0, а затем Ь = 6. Тогда, учитывая равенства (29), (32), замечание 3, получим
0 = Ф (А)с + У*(Х)(д — Ху) — У*(0)д.
Отсюда и из равенств (25), (28) имеем
72(Х){ф, ф — Хф} = Г2(Х){ф, ф — Хф} - Ф (Х)с. (33)
Равенства (32), (33) влекут требуемое утверждение для отношения Ь'- - ХЕ. Линейное многообразие Ь'- - ХЕ плотно в пространстве Ь — ХЕ, а операторы 7(Х): Ь — ХЕ — Q- ® Q+ и Г (Х): Ь — ХЕ — Q- ® Q+ непрерывны. ?
Между отношениями во (Х) С Q- ® Q+ и отношениями Ь (Х) со свойством Ьо С Ь (Х) С Ь существует взаимно однозначное соответствие, задаваемое равенством
ГЬ (Х) = во (Х). (34)
Отношение Ь (Х), для которого выполняется (34), обозначим через Ь-0(л). Из (26), (34) получаем 7(Х)(Ь-о (Л) — ХЕ) = в (Х).
Лемма 12. Пусть отношения во (Х) и в (Х) определены равенствами (26), (34). Тогда
в (Х) = во (Х) — Ф (Х). (35)
Доказательство. Зафиксируем Х и для любой пары {ф, ф} € Ь-0(л) положим
Г{ф, ф} = Г (Х){ф, ф — Хф} = {У1,У2 } 7(Х){ф, ф — Хф} = {У1(Х), У2 (х)}.
Из (34), (26) следует {У1,У2} € во (Х), {У1(Х), У2(Х)} € в (Х). В силу леммы 11 У1(Х) = У1, У2(Х) = У2 — Ф (Х)У1. Отсюда следует равенство (35). ?
Лемма 13. Семейства линейных отношений в (Х) и во (Х) одновременно голоморфны или нет.
Доказательство. Так как Ф (Х) — голоморфная операторная функция, то достаточно доказать, что голоморфность во (Х) влечет голоморфность 9(Х). Пусть семейство 0о (Х) голоморфно в точке Хо. Тогда существует такое банахово пространство Z и такое голоморфное в Хо семейство ограниченных линейных операторов Ф (Х): Z — Q-®Q+, что Ф (Х) отображает взаимно однозначно Z на @о (Х). Рассмотрим семейство линейных ограниченных операторов Ф (Х): Z — Q- ® Q+, действующих по формуле Ф (Х)г = {Р1 Ф (Х)г, Р2Ф (Х)г — Ф (Х)Р1 Ф (Х)г} (г € Z, Р1, Р2 — проекторы Q- ®Q+ на Q-, Q+). Это семейство голоморфно в Хо и при фиксированном Х оператор ф (Х) отображает непрерывно и взаимно однозначно Z на 9(Х). ?
Теорема 3. Для любых пар {ф, /}, {г, ф} € Ь справедлива «формула Грина»
Тогда пары {у, 0}, {го, 0}, {/о, /}, {до, ф} € Ь'-. Из замечания 3 и (25) при Х = 0 следует
Согласно /о (0) = /о (6) = до (0) = до (6) = 0, из (24), (37) получим равенства
(/, до) в — (/0,5'-)б = -(/о (Ь), до (Ь)) + 7(0), до (0)) + (/о (Ь), до (Ь)) —
— (/о (0), д^(0)) = 0 = (Г2{fо, f}, гі{уо, 7}) — (г1{/0, J}, Г2 {до, g}),
(/, г) В — (7о, 0) В = -(/о (Ь), г (Ь)) + (/о (0), г (0)) + (/о (Ь), г'-(Ь)) —
— /о (0), г'-(0)) = (Г2{7о,/}, Гі{й, 0}) — (Гі{7о, 7}, Ый, 0}),
(0,7о)в — (7о, 7) в = -(у'-(Ь), до (Ь)) + (у'-(0), до (0)) + (у (Ь), д'-о (Ь)) —
— (у (0)д (0)) = (Г2{7,0}, Г1 {уо, 7}) — (г1{7,0}, Г2{до, 7}),
(0,г7)в — (7,0)в = 0 = (Г2{7,0}, Гг {го, 0}) — (Гг {7,0}, Г2 {го, 0}).
линейности оно справедливо для всех пар {у, /}, {г, у} € Ь'-. Справедливость (36) для всех пар из Ь следует из непрерывности операторов Г1, Г2: Ь — Q- ® Q+ и плотности линейного
Из теоремы 3 вытекает, что четверка ^-^+, Г1, Г2) является обобщением ПГЗ из [7], [8], где изучалась ситуация, когда Q- = Q+ (результаты работ [7], [8] изложены в книге [4]). Так же, как в [7], [8], доказывается
Лемма 14. При фиксированном Х отношения Ь-0(л) и во (Х) одновременно являются или нет аккумулятивными (диссипативными, симметрическими, максимальными аккумулятивными, максимальными диссипативными, максимальными симметрическими, самосопряженными).
(36)
Г2 {7,0} = Г2{го, 0} = 0, Гг {7,0} = {-у'- (0), у'- (Ь)},
Гг{г7,0} = {-г'- (0), г'- (Ь)}, Г/, 7} = Гг{7о, 7} = 0, г2{7о, 7} = {/о (0),/о (Ь)} г2{7о, 7} = {до (0), до (Ь)}.
(37)
Таким образом, равенство (36) выполняется для пар {у, 0}, {го, 0}, {/о,/}, {фо, ф}. В силу
многообразия Ь'- в пространстве Ь.
?
Отметим, что при отсутствии операторного веса (т. е. A (t) = Е) отношение L является оператором. Граничные значения для функций из D (L) строились в работах [17], [18] (результаты [17], [18] изложены также в [4]). Эти граничные значения отличаются от построенных в данной работе.
Теорема 4. Всякая обобщенная резольвента R (Im Л = 0) отношения Lq является интегральным оператором (27), где в (Л) = во (Л) — Ф (Л) и во (Л) (во (Л) С Q- ® Q+) — голоморфное при Im Л = 0 семейство, значениями которого являются максимальные аккумулятивные отношения при Im Л & gt- 0 и максимальные диссипативные отношения при Im Л & lt- 0, причем $о (А) = Qq (X). Обратно, если 0о (Х) ~ семейство линейных отношений с указанными выше свойствами, то семейство операторов R вида (27) является обобщенной резольвентой отношения Lq.
Доказательство. Из формулы обобщенных резольвент симметрических операторов [19] и симметрических отношений [20] следует, что операторная функция R = Щ- тогда и только тогда является обобщенной резольвентой отношения Lq, когда функция R голоморфна при Im Л = 0 и R представима в виде R = (L (X) — ЛЕ)-1, где L (X) (Lq С L (X) С L) — семейство линейных отношений, значениями которого являются максимальные аккумулятивные отношения при Im Л & gt- 0 и максимальные диссипативные при Im Л & lt- 0.
Пусть R — обобщенная резольвента отношения Lq и во (Л) — отношение, связанное с L (X) равенством (34). Из теорем 1, 2 и леммы 13 следует, что семейство во (Л) голоморфно. В силу леммы 14 при Im Л & gt- 0 (Im Л & lt- 0) отношения во (Л) являются максимальными аккумулятивными (диссипативными соответственно).
Обратно, пусть семейство линейных отношений во (Л) обладает свойствами, перечисленными в условии теоремы. Тогда согласно лемме 14 отношения L (X) = Lg0(X) — максимальные аккумулятивные (диссипативные) при Im Л & gt- 0 (Im Л & lt- 0). Следовательно, отношения (L (X) — ЛЕ)-1 являются ограниченными всюду определенными операторами. Отсюда, а также из теорем 1, 2 и леммы 13 вытекает голоморфность семейства R. Наконец, равенство R*x = Rj равносильно равенству Ь*(Х) = Ь (Х). В силу (36) последнее равенство равносильно тому, что 9q (X) = 9о (Х). ?
Литература
[1] Брук В. М. О числе линейно независимых, квадратично интегрируемых решений систем дифференциальных уравнений // Функц. анализ. — Ульяновск, 1975. — № 5. — С. 25−33.
[2] Брук В. М. О линейных отношениях в пространстве вектор-функций // Матем. заметки. — 1978. -Т. 24. — № 4. — С. 499−511.
[3] Храбустовский В. И. Спектральный анализ периодических систем с вырождающимся весом на оси и полуоси // Теория функций, функц. анализ и их прилож. — Харьков, 1985. — № 44. — С. 122−133.
[4] Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. — Киев: Наук. думка, 1984. — 284 с.
[5] Брук В. М. Об обратимых сужениях замкнутых операторов в банаховых пространствах // Функц. анализ. — Ульяновск, 1988. — № 28. — С. 17−22.
[6] Брук В. М. О спектре линейных отношений, связанных с равномерно корректными задачами // Диф-ференц. уравнения. — 2007. — Т. 43. — № 1. — С. 21−27.
[7] Кочубей А. Н. О расширениях симметрических операторов и симметрических бинарных отношений // Матем. заметки. — 1975. — Т. 17. — № 1. — C. 41−48.
[8] Брук В. М. Об одном классе краевых задач со спектральным параметром в граничном условии // Матем. сб. — 1976. — Т. 100. — № 2. — С. 210−216.
[9] Лионс Ж. -Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971. — 371 с. [10] Рофе-Бекетов Ф.С., Холькин А. М. Спектральный анализ дифференциальных операторов. — Мариуполь,
2001. — 332 с.
Лаптев Г. И. Сильно эллиптические уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве // Ли-товск. матем. сб. — 1968. — Т. 8. — № 1. — С. 87−99.
Coddington E.A. Extension theory of formally normal and symmetric subspaces // Mem. Amer. Math. Soc.
— 1973. — V. 134. — 80 p.
Bruk V.M. On spaces of boundary values for relations generated by formally self-adjoint expression and nonnegative operator function // J. Math. Physics, Analysis, Geometry. — 2006. — V. 2. — № 3. — P. 1−10. Брук В. М. О голоморфных семействах линейных отношений // Функц. анализ. — Ульяновск, 1992. -№ 33. — С. 24−28.
Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972. — 740 с.
Брук В. М. О краевых задачах, связанных с голоморфными семействами операторов // Функц. анализ.
— Ульяновск, 1989. — № 29. — С. 32−42.
Брук В. М. Диссипативные расширения дифференциального оператора эллиптического типа // Функц. анализ. — Ульяновск, 1974. — № 3. — С. 35−43.
Вайнерман Л. И. Краевые задачи для сильно эллиптического уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве // Кибернетика. — 1973. — № 6. — С. 143−144.
Штраус А. В. Обобщенные резольвенты симметрических операторов // Изв. АН СССР. Сер. матем. -1954. — Т. 18. — № 1. — С. 51−85(3.
Dijksma A., de Snoo H.S. Self-adjoint extensions of symmetric subspaces // Pacific J. Math. — 1974. — V. 54.
— № 1. — P. 71−100.
В.М. Брук
доцент, кафедра высшей математики,
Саратовский государственный технический университет, 410 054, г. Саратов, ул. Политехническая, д. 77,
e-mail: vladislavbruk@mail. ru V.M. Bruk
Associate Professor, Chair of Higher Mathematics,
Saratov State Technical University,
77 Politekhnicheskaya str., Saratov, 410 054 Russia,
e-mail: vladislavbruk@mail. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой