Обобщенная импульсная функция семейства течений газа в каналах ДЛА и ЭУ

Тип работы:
Реферат
Предмет:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 533. 6
МАШИНОСТРОЕНИЕ • ТЕПЛОВЫЕ, ЭЛЕКТРОРАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ И ЭНЕРГОУСТАНОВКИ ЛА
Э. Г. ГИМРАНОВ
ОБОБЩЕННАЯ ИМПУЛЬСНАЯ ФУНКЦИЯ СЕМЕЙСТВА ТЕЧЕНИЙ ГАЗА В КАНАЛАХ ДЛА И ЭУ
Приводится обобщенная импульсная функция течения газа в каналах ДЛА и ЭУ, выраженная в модифицированных газодинамических функциях полного импульса. Решение системы уравнений законов сохранения дано для газодинамики торможения вязкого сверхзвукового потока, для псевдоскачков в каналах, принадлежащих к семейству со степенной зависимостью между давлением и площадью поперечного сечения. Импульсная функция- торможение вязкого сверхзвукового потока- псевдоскачок
Установление закономерностей изменения параметров газового потока на псевдоскачке [1] имеет важное значение для решения целого ряда практических задач, разработки методов расчета газодинамики технических устройств.
Параметры газа за псевдоскачком определяются законами сохранения массы, импульса и энергии. Эти законы связывают между собой значения параметров газа перед псевдоскачком с параметрами газа за псевдоскачком со скоростью движения газа. Под параметрами газа на псевдоскачке здесь понимаются приведенные скорости Х1 в начальном х1 и — в конечном х2 сечении полностью развитого псевдоскачка отношение статических давлений р = р2 /р1 и полных, а = р*2 /р*1 — коэффициент восстановления полного давления на псевдоскачке.
Приближенное определение соотношения параметров развитого псевдоскачка производится методами одномерной газовой динамики установившихся течений с использованием модифицированных газодинамических функций потока полного импульса, учитывающих неравномерность распределения параметров газа в каналах газодинамических установок или струях по площади поперечного сечения.
1. ОБОБЩЕННАЯ ИМПУЛЬСНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ИНТЕГРАЛЫ
Уравнение импульсов для течения газа с трением, подводом или отводом массы вторичного газа в канале переменного поперечного сечения запишется в виде
АФ = pdF + пхёЫ-хкёЕк. (1)
Здесь их — осевая составляющая скорости
й т = с, Ри_
вторичной массы газа- № 1 2 — касатель-
ное напряжение на стенке канала, С, — коэффициент гидравлического трения.
После несложных преобразований уравнения (19) получим
, А «их АО 1 й Ах
АФ = pdF + Ои -----------ХОи- …
и О 2 П, (2)
где X = 4Cf — коэффициент гидравлического сопротивления (важнейшая гидравлическая характеристика канала) — Дг = 4 ^/П — гидравлический диаметр канала- П — периметр сечения канала.
Уравнение состояния совершенного газа записывается в виде
р=рЯТ Т. (3)
Связь между заторможенными изоэнтропи-ческими параметрами и параметрами газа в потоке определется известными газодинамическими функциями:
— = 1-У-=т (1) —
Т * у+1
л_
р=ї1−12 Г =Р1) —
р*
У+1 У-1
(4)
-^=1 1-^-12 I =е (1).
У+1
|У-1
Используя выражения для потока полного импульса типа (3), представим уравнение (2) в следующих трех различных видах:
Контактная информация: (347) 273−09−44
= рсір+ви^--1 ?ри-- (5)
ив 2 Д,
а
рр
(1о)
их ао 1 ах
= рар + Ои -----------------ХОи --
и О 2 Д
а Г р * р 1 (10)] = рйЕ+Ои-аО-1 х, Ои-. Г 0 ] и О 2 Д
В уравнениях (5) индексом '- обозначены формы записи модифицированных газодинамических функций потока полного импульса. Разделив почленно соответственно первое У+1^. |
т I, второе на (pF)1 и
уравнение на
У
третье на (р*Р)ъ после ряда преобразований уравнения (1) запишутся в безразмерном виде:
+ау-я'- (1о) С-Г1-я'-(1о)11ОаО+
7'-(10) у р Г J О Г1
О
+ 2 Х Г1 Я'- (1о)] = 0-
+ П- я'- (10)1 €-Г1-я'- (10)11ОаО +
р к (10) Г 0 ] р Г 0 ] О ^
О
(6)
^О-+Г!-я'- (10)1 ^-Г!-я'- (1 11ОаО +
О Р (10) Г 0] р Г 0] О ^
О
+ 2хГ1 я (1о)]0.
Здесь у — комплексный параметр
= ОТ* у = ОЛ т-у
— я. 1 / [ ^ я.
= Ов,
у — V у
где О = О / О1 — коэффициент массового воздействия- 0 = ^Т* /Т* - коэффициент теплового
воздействия-
в = .ц УН я1 / (ОН л
— коэф-
фициент термического воздействия- р = р / р — безразмерная площадь поперечного сечения канала- 1о = 1Ох /1 — относительная безразмерная скорость подведенной (отведенной) массы газа, приведенной к расчетному сечению.
Общие интегралы дифференциальных уравнений (6) будут определять изменение приведенной скорости и относительного давления в конечном сечении псевдоскачка в функции начальных условий, физических воздействий и изменения геометрии канала:
а2' (10) + ау-я'- (і) ар-
(І0) у
— Г1-я'- (І0) ] 1оО +
+ 0 ХГ1 я' (10)] = 0-
ар-ая'- (10) р — я'- (І0)
+[і-я'- (І0)] р-
-[1-* м] 1оАО + (7)
+2 Х -1-Л'-(1о)] =0-
Аа-?рсхо)+,-1-# (Хо)п ?- а Р'-(10) — 0J F
— -1-Л'- (1о)] 1о"О~ +
+2 Х1& gt--*'- (1о)]: А| = °.
Здесь для краткости записи принято I'-(10) = 1 — Л'-(10). Правые части уравнений
(7) представляют собой произведения четырех сомножителей, где первый сомножитель 1 / у учитывает влияние внутренних воздействий теплом 0 массой О и изменением термодинамических свойств потока газа Ф- второй
сомножитель
ехр
і
или ехр
1 і'- (і0)а іпр
учитывает влияние изменения геометрии канала F = F (х) — третий сомножитель
ехр
11'- (і 0)іОа іпО
учитывает влияние изменения потока полного импульса за счет подведенной (отведенной) массы газа О = О (х) — четвертый сомножитель
ехр
1 X
-21 л»
л
ах
учитывает влияние закона трения X = Х (х).
Влияние начальной неравномерности потока определяют модифицированные газодинамические функции потока полного импульса 21(^0), яг (^0) и /(Х0), р (^0). Таким образом, уравнения (6) представляют собой дифференциальные (а с учетом интегральных характеристик вязкого диссипативного слоя — интегро-дифференциальные) уравнения движения газа в псевдоскачке, а уравнения (7) — уравнения движения в интегральной форме. Указанные
1
а
уравнения по форме и содержанию напоминают уравнения Л. А. Вулиса [2] - «условия обращения воздействия» и уравнения движения недиссоциированного газа В. Н. Крымасова [3], но при этом существенно отличаются от них модифицированными газодинамическими
функциями потока полного импульса и дозвуковыми решениями при сверхзвуковых начальных условиях с высоким переходным непрерывным (только в одном частном случае локальным) градиентом параметров газового потока. В этом смысле уравнения (6−7) могут быть названы как общие условия перехода от сверхзвукового (М & gt- 1) течения к дозвуковому (М & lt- 1) в псевдоскачке. В частном случае, в предельно упрощающем предположении об отсутствии начальной неравномерности потока в канале, физических воздействий и трения в канале постоянной площади поперечного сечения уравнения (7) приводятся к виду
2 (12) = ^ (11),
р = г (12)/ Г (1Д
а = / (11)/ / (12),
решение которых дает известные соотношения для единичного прямого скачка уплотнения:2 = 1 — основное кинематическое соотношение для прямого скачка уплотнения-
У -1
с"
p=ь=
Pi
— P2-& gt-2
— * -1
g+1
1-
g-1 g+1
Pi
g+ 1
1i2
g- 1 J_
g+ 1 If
по отношению к которым в последующих расчетах будут даны сравнительные оценки.
Точные решения уравнений (6−7) можно получить, если известны зависимости у = у (х)
или О = О (х), 0 = 0(х), у = у (х), F = F (х), Х = Х (х), 10 = 10 (х) или М0 = М0 (х), а также начальные условия: числа М и Яв, профиль скорости вязкого слоя и = и (^) (пограничного слоя или в сечении канала, заполненного вязким течением). При этом подынтегральные выражения получаются достаточно сложными, что приводит к существенным затруднениям аналитического метода, который рациональнее использовать для решения частных задач. В общем случае лучше переходить к приближенным или численным методам.
Форма записи уравнений (7) позволяет рассматривать раздельно и в любой комбинации воздействия на газовый поток на длине псевдоскачка.
Выражение для определения изменения
F = F (х)
площади поперечного сечения канала 4 ! (обратная задача) находится из решения первого дифференциального уравнения (6), которое после ряда преобразований приводится к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка относительно ис-
комой функции yl~F и производной

1
d4F
+
2R (10)
dn (yZ (1о)) ]
dx
i'- а,)^
dx
R (I,)
--1
X (x).
(8)
Общее решение уравнения (8) запишется в виде
4 °F —
— exp |^-J p (x)dx J {| Q (x) exp I p (x)dx J dx + C-},
где
p (x)
1
2R (1о)
i. Y dlnG dn (yZ' (1о))
) 1 (10)1G
Q (x) — 4
R (lo)
-1
dx
X (x).
dx
Если возмущающая функция Q (х) ° 0, то уравнение (8) становится линейным однородным и решается способом разделения переменных
АЫлГТ =----------1--{/'- (10)I-А 1пО —
Я'- (10)г 0 О
А 1п (у 2'- (10))}.
Тогда после интегрирования получим
{1 X 1
11ЯЖ) А1п -у2'-(1|) ]-
-1 х[_01_А1пО 1.
20 Я (10)
К обратной задаче можно отнести определение из первого уравнения (6) при известном характере изменения площади поперечного сечения канала F = F (х) коэффициента внутреннего воздействия на газовый поток на длине псевдоскачка, у = у (х). Эта зависимость имеет вид
1
1
(
1
1
j R'- (10)dlnF-
G 1 X '-
+ j i'- (10)1sdbG-j i'- (10)X (x)dx
(9)
2. СЕМЕЙСТВО течения газа в каналах, ДЛЯ КОТОРЫХ ДАВЛЕНИЕ И ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ СВЯЗАНЫ СТЕПЕННОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ
Пусть зависимости вида p (x) и F (x) будут объединены функцией [p (x), F (x)], которая
представляет собой степенное выражение вида
?
pFe-1 = const, (10)
заимствованное из [1]. Предполагается существование течения в таком канале, для которого в каждом сечении справедливо соотношение
?? ? pF?-1 = p1F1e~1 = p2F2?-1 = const.
Рассмотрим семейство сверхзвуковых течений с переходом от М & gt- 1 к М & lt- 1 (псевдоскачок) в таких каналах сначала в общем виде.
Поток обобщенного полного импульса
(«обобщенная импульсная функция» по
Л. Крокко) запишется следующим образом:
Ф = GW + epF или с помощью газодинамических функций для однородного потока
g+1 1
Ф = - Ga Z (e, lo) — Ф = p^-рр--
g r (?, 1o) (Ц)
Ф = p* Ff (e, lo),
где газодинамические функции обобщенного полного импульса имеют вид
Z (e, I0) = 2 1
2g-e (g-1). + e
•к ±-
1
g+1 — +(e-1) —
к
(12)
г (е, ^0) г (^)
/ (е, 10) = (е — 1) Р (^0) + / (10).
Согласно (5) поток полного импульса представим в следующих трех различных видах:
у+1
d
g
р?
Ga"Z: (e, Х0)
: iz? Fdp+Gui^ -1 GuX IX- -
e u G 2 Dr
1
1 — e u x dG 1 dx
----Fdp + Gu--------------Gux-:
e u G 2 Dr
d [ p * FF' (e, 10)] =
1 -e ux dG 1 dx
=-------Fdp + Gu-------------Gut-.
e u G 2 Dr
Разделив почленно соответственно первое
Г g+1 ^
уравнение на I------Ga I, второе на (pF) и
I g А
третье на (p F)1, после преобразований уравнения импульса запишем в безразмерном виде
dZ'-10) + iiy + e-i R (e, 10) & amp- -
Z (e, lo) y e p
dG
-[1-R (e, 10)] 1gG +1 [1-Ri (e, 10)] x-jb =0-
2L
dp — dR (e, 10) р R' (e, 10)
e-1
e
R (e, 10)-1
ф
P
s- dG
-[1-R (e, 10)] 1g~GT
(13)
+1 [1-r (e, 10)] X-d= = 0-
d s dF dF '- (e, 10)
-±±. ^ +
s F F '- (e, 10)
+e-1 R (e, 10) # - [1-R (e, 10)] К-G e P G
+2 [1-R- (e, 10)] = 0.
Общие интегралы дифференциальных уравнений (13) имеют такое же содержание, что и обобщенные уравнения движения газа в
[4].
Z (e, 10) = exp
У (х)
j R (e, 10) dlnF
xexp
j г (e, 10)1G ~GG exp- 2 j1 10) x^dXr
j -Ri (e ,)dlnP = ln R ((e, 10)) +
1 e R (e, 101)
+j I'- (e,TT — 1 jl-(e, ^ -
F'- (e, 101) s =-г-r0^- exp
F- (e, 10)
G
G 2-
: e_-1
e
xexp
j Г (e, 10)1gG
f-----1'- (e, 10) dlnp
e0
2 j Г'-(еД0)Х TF.
0
+
x
d
Использование обобщенных уравнений (13) и (14) для решения практических задач по расчету параметров псевдоскачка требует определения значений е. Так, в [1] показано, что физический смысл имеют значения е, заключенных в пределах
У — 1
0 & lt-e<-
g
Соответствующим образом представленные уравнения законов сохранения массы, энергии и обобщенного полного импульса приводит к «обобщенному уравнению Ренкина-Г югонио» -«псевдоударная адиабата».
(
Р2
Pi
Рг 1 + пч& gt-
А
VP
Pi Пкр (
Р v рі
где
п2 = кр
e (g- 1) 2g-e (g-1)
Для воздуха (g = 1,4) 0 & lt- e & lt- 3,5, а и кр = = 0,4e / (2,8 — 0,4e). При e = 0 имеет место течение с постоянным давлением без трения, p=const (р =1). При e = 1 — течение без
трения в канале постоянной площади поперечного сечения, F = const (F=1). При є = _ g
g-1
«обобщенное уравнение Ренкина-Гюго-
нио» совпадает с уравнением изоэнтропы, =
= 0. При всех остальных значениях е происходит увеличение энтропии, & gt- 0, при условии
р/р & gt- 1, т. е. в соответствии со вторым законом термодинамики физически осуществляются только течения сжатия.
Тогда может быть предложен следующий способ решения смешанной задачи при заданных р2/р1 & gt- 1 и F2/Fl & lt- 1 или F2JF & gt- 1 (слабо-расширяющийся или слабосужающийся канал без нарушения одномерности течения). Из условия Л. Крокко получим
e = ln — / ln
(р2_ F1Л
Pi Fi J
(15)
а затем из уравнений (13) или (14) определяются закономерности р = р (х) и F = F (х). Заметим, что разрешить уравнения относительно искомых функций в явном виде не удается. Вместо (15) может быть предложено соотношение, полученное с использованием уравнения расхода, записанного в виде
или
m 1 У (1 01) F1-T= = m 2 У (1 02) F2~J=
р2 F2 = mi T2 У (101)
Pi F1 m2 T1* У (102).
Тогда получим
e = ln -2 / ln
Pi
(16)
т. е. вместо геометрии канала (отношение площадей) можно использовать чисто газодинамические и термодинамические параметры потока. При T = const будем иметь
. V (101)
e = ln — / ln
Pi y (102) '-
(17)
Pi
Pi
Рис. 1. Сравнительные характеристики:
1 — идеальной адиабаты Пуассона- 2 — ударной адиабаты Рэнкина-Гюгонио- 3 — псевдоударной обобщенной адиабаты Рэнкина-Гюгонио- у = 1,4.
El
л
Рис. 2. Характеристики обобщенной псевдоударной адиабаты Рэнкина-Гюгонио- у = 1,4
На рис. 1 и 2 представлены характеристики адиабаты Пуассона, ударной адиабаты и обобщенной псевдоударной адиабаты Рэнкина-Гюгонио.
ВЫВОДЫ
Таким образом, получены:
• обобщенная импульсная функция семейства течений газа в каналах ДЛА и ЭУ, позволяющая рассматривать изменение параметров потока в условиях влияния начальных факторов и различных физических воздействий-
• уравнения законов сохранения массы, энергии и импульсов функции приводят к «обобщенному уравнению Рэнкина-Гюгонио -псевдоударная адиабата» в каналах, принадлежащих к степенному семейству между давлением и площадью поперечного сечения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Крокко Л. Одномерное рассмотрение газовой динамики установившихся течений // Основы газовой динамики. 1963. С. 64−324.
2. Вулис Л. А. Термодинамика газовых потоков. М.: Госэнергоиздат, 1950. 320 с.
3. Крымасов Н. Н. Газодинамические течения в каналах при наличии тепломассообмена // Тр. ЦАГИ. 1973. Вып. 1443. 64 с.
4. Гимранов Э. Г., Михайлов В. Г. Обобщенные квазиодномерные уравнения движения газа в каналах ДЛА и их интегралы // Вестник УГАТУ. 2006. Т. 7, № 1(14). С. і 53−160.
ОБ АВТОРЕ
Гимранов Эрнст Гайсович,
проф. каф. прикладной гидромеханики. Дипл. инж. -мех. по авиац. двигателям (УАИ, 1965). Д-р техн. наук по тепловым двигателям (УАИ, 1990). Иссл. в обл. газовой динамики двигателей.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой