ОБОБЩЕННАЯ КОНСТАНТА ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВЕ $L_{2} (R^d) $ С ВЕСОМ ДАНКЛЯ

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 74−90
= Математика
УДК 517. 5
Обобщенная константа Джексона в пространстве Ь2(Ма) с весом Данкля *
А. В. Иванов, В. И. Иванов, Ха Тхи Минь Хуэ
Аннотация. Для пары выпуклых центрально-симметричных компактных тел V, и в М^, последовательности комплексных чисел М = {^8}8ех с нулевой суммой и абсолютно сходящимся рядом в пространстве Ь2, к (М^) с весом Данкля определяются величина наилучшего приближения E (аV, f)2,к целыми функциями экспоненциального типа со спектром в теле аV, обобщенный модуль непрерывности шм (ти^)2,к и обобщенная константа Джексона Ом (^,^)2, к. Исследуется ее конечность и непрерывность. Доказывается нижняя оценка Ом (аV, тU)2,к ^ 1/^/щ, где
=Е"ех Ы2.
Ключевые слова: гармонический анализ Данкля, наилучшее приближение, модуль непрерывности, неравенство Джексона, константа Джексона.
Введение
Пусть й € М, — й-мерное действительное евклидово пространство
со скалярным произведением (х, у) и нормой х = л/(х, х), а & gt- 0, Ба = = {х €: х ^ а} - евклидов шар,
^ (х) = П (а, х)2к (а)
— обобщенный степенной вес или вес Данкля, определяемый положительной подсистемой К+ системы корней К С и функцией к (а): К ^ М+, инвариантной относительно группы отражений С (К), порожденной К,
Ск = [ е '-1Х'-[2/2Ук (х) йх ¦)жЛ
— интеграл Макдональда — Мета — Сельберга, йц, к (х) = ек 1ук (х) йх, L2, k М — гильбертово пространство комплексных измеримых по Лебегу на
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13−01−45).
функций f с конечной нормой
½
2, k = (jRd f (x)|2 dVk (x)^J
Гармонический анализ в пространстве L2, k (Rd) осуществляется с помощью прямого и обратного преобразований Данкля
f (v)= f (x) ek (x, y) d?k (x), f (x)= f (y) ek (x, y) d?k (y),
J Rd J Rd
где ek (x, y) — обобщенная экспонента, определяемая с помощью
дифференциально-разностных операторов Данкля, многие свойства которой аналогичны свойствам экспоненты ег (х, у Для преобразований Данкля выполнено равенство Парсеваля (см. [1]).
Пусть V — выпуклое центрально-симметричное компактное тело в Rd, инвариантное относительно группы отражений G®, |xy — норма в Rd, определяемая этим телом, а & gt- 0. Для функции f € ?2,k (Rd)
E (aV, f)2,k = inf {||f — g||2,k: 9 € L2, k (Rd), suppg С aV} =
Г ~ ½
/ imfdy) (1)
'-Ivlv ^ /
— величина наилучшего приближения целыми функциями экспоненциального типа со спектром в теле aV. Для них справедлива оценка
9(z) & lt- Од ealImZlV *, Од & gt- 0,
где V* - поляра тела V, z = (z1,…, zd) € Cd, Imz = (Imz1,…, Imzd).
Пусть M = [?s}s?Z — ненулевая последовательность комплексных чисел, для которой
J2^s = 0, vs & lt- (2)
seZ seZ
Посредством свертки образуем новую последовательность
Vs & quot-У '- ?l+s?l- (3)
leZ
Для нее
V0 = ^ ?l2,Vs = 0, ^ Vs & lt- & lt-x.
leZ seZ seZ
Определим функцию
Vm (t, y) = Yl Vsek (st, y), t, y € Rd. (4)
seZ
Используя интегральное представление обобщенной экспоненты [2]
ек (х, У) = I ег^й^(0, (5)
где — вероятностная борелевская мера, носитель которой лежит в выпуклой оболочке со{дх: д € С (К)} орбиты х относительно группы С (К), получим
2
(t, v)=[ ^ vsets{i'y)d^(0=[
Rd seZ R°
d$(0 ^ 0. (6)
о™(?& gt-У)
^ву
Для функции рм (Ъ, у) выполнены также свойства
Рм (Ъ, у) € Сь (М^ х М^), рм (Ъ, у) = Рм (у, Ъ), рм (0, у) = 0. (7)
Пусть и — выпуклое центрально-симметричное компактное тело в М^, инвариантное относительно группы отражений С (К). Свойства (6), (7) для функции f € Ь2, к (М^) позволяют определить обобщенный модуль непрерывности (см. [3])
шМ (ти^)2к = зир (I р (г, у)]'-(у)2й^к (у), т& gt- °- (8)
terU
Если Vk (x) = 1 (k (a) = 0) — единичный вес и
AM f (x) = ^ Vsf (x + St)
seZ
— бесконечно-разностный оператор, то обобщенный модуль непрерывности
UM (tU, f)2 = sup ||AtM f (x) ||2 (9)
terU
совпадает с обычным модулем непрерывности, определяемым оператором
AM.
Обобщенная константа Джексона
Dm (& lt-tV, tU)2,k = sup{ E (°V-/]2'k: f e ?2,k (Rd) (10)
[Um (tU, J)2,k J
для пары тел V, U есть наименьшая константа в неравенстве Джексона
E (aVJ)2,k & lt- Dum (tU, f)2,k.
Работа посвящена изучению некоторых свойств обобщенной константы Джексона. При этом мы следуем работе [4], в которой рассмотрен случай модуля непрерывности
UMi (tUJ)2k = sup (2 [ (1 — ek (t, vW (V)l2dVk (v)] (11)
terU J Rd /
для последовательности М1, у которой ?0 = 1, ?1 = -1, а остальные? л3 = 0.
Отметим, что точные неравенства Джексона в пространстве ?2,к (М^) с весом Данкля доказаны в работах [4−8]. В случае единичного веса точное неравенство Джексона в пространстве ?2 (М^) с обобщенным модулем непрерывности (9) доказано С. Н. Васильевым [9].
1. Свойства обобщенного модуля непрерывности
Пусть Сь (Ма) — пространство непрерывных ограниченных функций, Е (М^) — пространство бесконечно дифференцируемых функций, Б (М^) — пространство Шварца бесконечно дифференцируемых и быстро убывающих на то функций. Нам понадобятся некоторые свойства обобщенной экспоненты. Многие из них получаются из интегрального представления (5).
Предложение 1 [10, 11]. Если д € С (К), X € С, х, у € М^, г € СЛ, то вк (х, у) = вк (у, х), вк (0,у) = 1, вк (Хх, у) = вк (х, Ху), вк (х, у) = вк (-х, у), вк (дх, ду) = вк (х, у), вк (х, у) & lt- 1.
Если на многообразии нет группового сдвига, то модули непрерывности, обычно, определяют с помощью оператора обобщенного сдвига. В пространстве Ь2к (М^) оператор обобщенного сдвига определен М. Реслер [12]:
(х) = [ вк (Ь, у)1(у)вк (х, у) й^к (х). (12)
Jлd
Можно ли обобщенный модуль непрерывности (8) записать с помощью оператора (12)?
Приведем основные свойства оператора Т1.
Предложение 2 [2, 13 — 15]. Для оператора обобщенного сдвига Т1 справедливы следующие свойства:
1) Оператор Ть как оператор из Ь2^ (Мй) в Ь2, к (Мй) ограниченный и его норма равна 1,
(Я)к (х) = вк (Ь, х)/к (х).
2) Если f, g € Ь2, к (М^), то
(Т Ч, д) к = и, Т ~гд)к.
3) Если Ч € Б (М& lt-*), то Т*Ч (х) € Б (Ма) и
(ТЧ (х)й^к (х) = [ Ч (х)й^к (х).
Jжd
4) Если Ч, Ч € ?1,к (М^) П Сь (М^), то '-равенство (12) выполняется поточечно и ТьЧ (х) = ТХ Ч (Ъ).
5) Оператор T1 может быть продолжен до линейного непрерывного оператора из E (Rd) в E (Rd). Для любой f Є E (Rd) Tf (0) = f (t), в частности, Tl1 = 1.
Теорема 1. Справедливы следующие свойства обобщенного модуля непрерывности:
1) Если f Є L2, k (Rd), то
lim um (tU, f)2,k = 0.
t ^0+0
2) Если f, fn Є L2, k (Rd) и fn f, то равномерно по t ^ 0
UM (tU, fn)2,k ^ Um (tU, f)2,k (n ^ ж).
3) Если f Є S (Rd), то
½
d? k (x)
UM (TU, f)2,k = 1 sup I I [- ^ VsTyU (y) — f ix)1"2 I
2tu Jmd S=o)
y=x
Доказательство. Пусть для последовательности (3)
= См,2 и" = ем¦ (13)
«=0 1в1^М
В [4] с помощью представления (5) получено неравенство
вк (х, у1) — вк (х, у2) & lt- х\у1 — у2, х, у1, у2 € М*. (14)
Применяя (13), (14), предложение 1, получим
I ^ V"вк (8г, у)'-!(у)2й^к (у) = I ^ V"(вк (8Ъ, у) — 1)'-!(у)2й^к (у) & lt-
^ 2^ N II I II 2 к + I 7 V»
2^n\f ll! к + / ^ vs{ek (St, y) — l) f{y)2d?k (y) & lt- 2^N\f |||k+
Rd 0& lt-|s|<-N
+ ^ svs f ЩЫКу)?^(y)+2cm! J (y)2d?k (y) & lt-
J? r Jy & gt-T
s
0& lt-|s|<-N JBr Jlyl
& lt- 2eN\f 12, к + ^ Svsrt\f 112, к + 2 cM E2(Br, f)2, k,
0& lt-|s|<-N
поэтому первое свойство вытекает из неравенства
Um (tU, f) 2, k & lt- 26N\f \2,k + ^ svsr sup t\f ||2,k +2CM E2(Br, f)2,k ¦
0& lt-|s|<-N tGrU
Далее, применяя неравенство Коши-Буняковского и равенство Парсеваля, получим
WMm (tU, f)2,k — U2M (tU, fn)2,k I & lt-
& lt- sup I Е vs (ek (st, y) — 1) f (y)2 -fn (V)2 d^k (v)
t? rU JRd S=Q
& lt- 2 см [ (иш + fn (y)0 Kv) — fn (v)Wk (y) & lt-
jRd V '-
^ 2 cM (\f \2,k + || fn У 2, k) \f — fn\2,k ¦
Отсюда вытекает второе свойство.
Из определения преобразования Данкля и предложения 2
& lt-
f (у) = f (-y), Ttf (x) = ek (t, y) f (-y),
поэтому применяя опять предложение 2, равенство Парсеваля, получим
d^k (x) =
jRd (- Е VsTStf (у) — f (x)2^
— I Е Vs {Tst f (x) 2 + f (x) 2Tst1 — W) Tstf (x) — f (x)Tstfx)) d^k (x)
jRd s=0
= - ! Е Vs (2 Kv) 2 — ek (st, y) Kv) 2 — ek (st, y) K-y) 2) d^k (y) =
¦jRd s=0
2 I Е Vs (ek (st, y) — 1) Kv)2d^k (V) = 2[ Е Vsek (st, y) Kv)2dVk (y)¦ JRd JRd seZ
Третье свойство и теорема 1 доказаны.
2. Конечность и непрерыность обобщенной константы
Джексона
Пусть для множества M С Rd Mc = Rd M — его дополнение.
Лемма 1. Для любого r & gt- 0
Dm (raV, r-lTU)2,k = Dm (aV, tU)2,k¦
Доказательство. Согласно (1), (8), (10)
П2, T, m -W)c K (V)2d^k (V), 1C,
Dm (aV, TU)2k = sup — - ---¦ (15)
' f€L2ik (Rd) suP f (aV)c PM (t, y) fk (y) 2dVk (V)
terU y 1
Делая в интегралах замену переменной y = r 1x, r & gt- 0 и пользуясь (4), предложением 1, однородностью веса Vk (x), получим
DM (aV, rU)2,k =
I (raV)c I T (r~lx) I 2d? k (x)
= sup ---------------------------------------------- =
f & amp-L2,k (Rd) sup f (raV)c Pm (r-1t, x) I fk (r-1x)12d?k (x) t€rU y 1
= D2m (raV, r~1rU)2,k ¦
Лемма 1 доказана.
Из леммы 1 вытекает, что функция Dm (aV, rU)2& gt-k двух переменных а, т является функцией одной переменной ат:
Dm (aV, tU)2& gt-k = Dm (V, ати)2& gt-* = Dm (атУ, U)2,k,
поэтому в дальнейшем будем считать, а = 1 и будем изучать функцию Dm (V, tU)2,k, как функцию переменной т.
Пусть
L+k (V) = j f: f (x) ^ °, supp f С (V)c, j fd? k =. (16)
Тогда равенство (15) может быть переписано так:
Dmi (V, tU)2,k = inf sup i рм (t, x) f (x)d?k (x) = Km (V, tU). (17)
f eL+fc (V) terUJ (V)c
Такая форма записи константы Джексона подсказывает нам, что для дальнейшего изучения ее свойств следует использовать соображения двойственности. Это впервые в задаче о константе Джексона в L2 было сделано В. В. Арестовым [16, 17]. Будем следовать работе [4].
Пусть M (U) — банахово пространство регулярных борелевских
действительных мер? (регулярных борелевских действительных счетно аддитивных функций) на U с нормой | ?|, равной полной вариации? на tU (см. [18]). Любая мера? € M (U) равна разности двух неотрицательных мер ?+,?- € M (U) и I? I = ?+(U) + ?-(U). Если S (U) = {? € M (U): I? I = 1} - единичная сфера в M (U), то подмножество S+(U) неотрицательных мер есть множество вероятностных мер из M (U). Известно [18], что M (U) является сопряженным для пространства C (U) действительных непрерывных на компакте U функций с равномерной нормой.
Меру? € M (U) можно продолжить на а-алгебру B борелевских множеств в Rd, полагая для A € B ?(A) =? (AfU). Носитель меры supp? С U. Напомним, что supp? С U, если для любого A € B, AQ U = 0 будет? (Af)U) = 0. Пусть? € S+(U), р & gt- 0, ?p — мера, для которой? p (A) = ?(p-1A), A € B. Если A € B, AQpU = 0, то p-1AfU = 0 и
?p = ?(p 1A) = 0, поэтому supp? p С pU. Так как? p (pU) = ?(U) = 1, то
?p € S+(pU). В [4] доказано что, если f € C (pU), то
[ f (t)d?p (t) = [ f (px)d?(x). (18)
pU U
Пусть
Фм (t, x) = Vo — рм (t, x) = -^2 Vsek (st, x). (19)
s=0
Теорема 2. Справедливы следующие равенства:
Dm (V, tU)2tk =
1 1
KM (V, tU) sup inf JtU Pm (t, x) d?(t) '
?€S+(rU) x^(V)c
Dm (V,'-tU)2'k V0 — Jm (V, tU) V0 — inf sup JtU фм (t, x) d^(t) ¦
^eS+(TU) xe (V)c
Существует экстремальная мера ц* € S+(tU), для которой Dm (V, rU)2,k inf JtU pM (t, x) dц*(t) v0 — sup) JtU фм (t, x) dy,*(t)'-
xe (V)c xe (V)c
Доказательство. Множество функций
H (V) = jF (t) = J) рм (t, x) f (x)d^(x): f € L+k (V^ (20)
является выпуклым подмножеством в C (tU) и величина Km (V, tU) равна величине наилучшего приближения нуля в C (tU) выпуклым множеством H (aV). По теореме двойственности (см. [19]) и в силу неотрицательности функций из H (V)
к (v, tU) = sup mf I F (t)^(t)= mf I'- F (t)d^(t)
^€S+(tU) FeH (V) JtU feH (V) JtU
для некоторой меры ц* € S+(tU).
Покажем, что для любой меры ц € S+(tU)
я'-Пы f F (tw (t)= f рм (21)
F eH (V)JtU xe (V)cJ tU
Действительно, для любой F € H (V) согласно (20)
/ F (t)dv (t) = / f (x)pm (t, x) dц-k (x)d^t) =
¦JtU JtU J (V)c
= f (x) pm (t, x) d^t)d^(x) ^ inf PM (t, x) d^t)^
J (V)c JtU xe (V)c JtU
С другой стороны, если В (x, е) = {y? Rd: x — y ^ е}, то для x? (V)c из
непрерывности функции fTu Pm (t, x) d?(t)
inf j F (t)d?(t) ^ inf --1-- j j рм (t, x) d?(t)d?k (x) ^
FeH (V) JtU 0& lt-e<-e (x) ?k (B (x, e)) JB (x, e) JtU
^ li™ -ТТТ/-u / I Pm (t, x) d?(t)d?k (x) = I Pm (t, x) d?(t),
e^°+0 ?k (B (x, e)) JB (x, e) JtU JtU
поэтому
inf / F (t)da (t) ^ inf рм (t, x) da (t).
FеЯ (V) JtU xe (V)c JtU
Равенство (21) доказано. Согласно (17), (21)
Km (V, tU)= sup inf рм (t, x) d^t) =
Ves+ (tU) xe (V)c J tU
= sup inf I Vo — / фм (t, x) d^t) =
Ves+(TU)xe (V)c JtU J
= Vo — inf sup фм (t, x) d^t) = Vo — Jm (V, tU), (22)
Mes+(TU) xe (V)c JtU
Km (V, tU)= inf / рм (t, x) dm*(t)= Vo — sup фм (t, x) dm*(t)¦
xe (V)c J tU xe (V)c J tU
Теорема 2 доказана.
Отметим, что из леммы 1 для любого r & gt- 0
Km (rV, r-1 tU) = Km (V, tU), Jm (rV, r-lTU) = Jm (V, tU)¦
Лемма 2. Функция J (t) = Jm (V, tU) непрерывна для t & gt- 0.
Доказательство. Непрерывность слева. Покажем, что J (t) = J (т — 0). Так как J (т) не возрастает, то для этого достаточно доказать неравенство J (т) ^ J (т — 0).
Согласно теореме 2 для некоторой меры ц € S+(tU)
J (t) = sup фм (x, t) d?(t),
IxV & gt-iJtU
xvt
где фм (x, t) определена в (19). Рассмотрим функцию
h (s) = sup фм (sx, t) d?(t) = sup g (sx).
xv J tU xv
Покажем, что она непрерывная для s & gt- 0. Пусть 0 & lt- si ^ ^ 2si. Если
h (sl) = sup g (slx), то h (s2) = h (sl). Если h (sl) = sup g (slx), Q = {x € |x|v2 l& lt-|x|v ^2
€ Rd: 1 ^ lxlV ^ 2}, то согласно (13)
0 ^ h (sl) — h (s2) ^ sup g (slx) — sup g (s2x) =
K|x|y2 K|x|v ^2
= sup (cm + g (slx)) — sup (cm + g (s2x)) =
K|x|y2 K|x|v ^2
= \CM + g (slx)\a (Q) — \CM + g (s2x)\a (Q) & lt- \g (slx) — g (s2x)\a{Q) & lt-
^ sup 1фм (slx, t) — фм (s2x, t) ld^t)^
xv2 JtU
Из (13), (14), (19) для любого N € N
1фм (slx, t) — фм (s2x, t) l ^
2 Vi (ek (Isix, t) — ek (ls2x, t))
& lt-
1=0
^ E iVillek (lslx, t) — ek (ls2x, t) l +22 Ivi I ^
|i|& lt-N |i|& gt-N
^2 lvillx||11|sl — s21 +2eN, (23)
m^N
поэтому для 0 & lt- sl ^ s2 ^ 2sl
h (sl) — h (s2) ^ 2 lvlt max x max x\sl — s2 + 2eN¦
nt^N |x|vl |x|u ^l
Непрерывность и даже равномерная непрерывность h (s) на интервале [5, то), 5 & gt- 0 доказана.
Пусть 0 & lt- р & lt- т. Так как цр/Т € S + (pU), то из (18), (22)
J (р) ^ sup фм (x, t) dцp/T (t) = sup фм (Px, t) d^t)= hi^^
|x|v ~^l J pU |x|vIjtU t Vt'-
Переходя к пределу в этом неравенстве при р ^ т — 0 и используя непрерывность Ь (в), получим
3(т — 0) ^ Н (1) = 3(т).
Непрерывность слева установлена.
Непрерывность справа. Рассмотрим функцию
0(т) = П2М (V, ти)2& gt-к = 1). (24)
щ — 3 (т)
Очевидно, что Б (т) = +то только в случае, когда 3 (т) = щ. Из невозрастания и непрерывности слева 3(т) = щ на некотором отрезке [0, т*],
0 ^ т* & lt- то. Случай т* = +то, как мы увидим позже, невозможен (см. следствие). В случае единичного веса это вытекает из результатов работы [9].
Пусть т & gt- т*. Из определения обобщенной константы Джексона для любого р & gt- т и любой функции f € L+k (V)
i f (t)d^(t) ^ D (p) sup) i рм (x, t) f (t)d^(^^ (25)
JV c |x|U & lt-pJV c
Функция
v (p) = sup PM (x, t) f (t)d^ (t) =
xu & lt-p Jv c
= sup PM (px, t) f (t)d^(t), p& gt- 0
|x|U & lt-lJ Vc
непрерывна, так как для любого N € N, любых pl, р2 & gt- 0 согласно (23)
v (pl) — v (p2) ^ sup фм (Plx, t) — фм (p2x, t) f (t)d^ (t) ^
|x|u & lt-lJ V c
^ У'- lvi max x max t\pl — p2 + 2en + 2 cm f (t)d^(^^
|i|& lt-N |x|U & lt-l tv & lt-N J |t|v ^N
Переходя к пределу в (25) при р ^ т + 0, получим
i f (t)d^(t) ^ D (t + 0) sup) i (1 — Re ek (x, t))f (t)d^(t), (26)
JVc xu& lt-t Jvc
поэтому для D (t), как наименьшей константы в (26), выполнено неравенство D (t) ^ D (t + 0). Обратное неравенство вытекает из невозрастания D (t). Непрерывность справа функции D (t), а согласно (24) и функции J (т) при т & gt- т* доказана.
Из доказанного вытекает также что, если D (t + 0) & lt- то, то и D (t) & lt- то, поэтому D (t* + 0) = то, а J (т* +0) = v0.
Таким образом, лемма 2 полностью доказана.
Пусть
5M, k (V, U) = sup {5 & gt- 0: Dm (V, 5Uk = +то} ¦
Величина 5M, k (V, U) — конечна.
Из леммы 2 и равенства (24) вытекает утверждение.
Теорема 3. Обобщенная константа Джексона Dm (V, tU)2,k как функция т бесконечна при 0 ^ т ^ 5M, k (V, U), не возрастает и непрерывна при т & gt- 5M, k (V, U'-), причем Dm (V, (5M, k (V, U) + 0) U)2,k = +то.
Для последовательности Ml непрерывность константы Джексона при d = = 1, k (a) = 0 доказана в [20], а в общем случае — в [4].
Исследуем величину 5 м, к (V, U). Вначале рассмотрим случай, когда тела
V = U = Б = B — евклидовы шары. Для этого случая в [3] доказано, что обобщенная константа Джексона в пространстве Ь2}к (Rd) совпадает с обобщенной константой Джексона в пространстве Ь2 (R+) со степенным весом.
Пусть Хк = d/2 — 1^ Е k (a), JXk (x) — функция Бесселя
aeR+
порядка Хк, jk (x) = 2XkГ (Ак + 1) — нормированная функция
Бесселя, bk = 2Xk Г (Ак + 1), L2, Xk (R+) — пространство комплексных измеримых по Лебегу на R+ функций f с конечной нормой \f ||2,Ak =
= ibk JOT f®2r2Xk+1 dr) l/2,
г ^
f (s)= b-1 J f ®jxk (rs)r2Xk+ldr
— преобразование Ганкеля.
Рассмотрим непрерывную на R+ функцию
ам ® = YlvijXk (lr)¦ (27)
leZ
Для нее выполнены условия [3]:
ам® е Cb (R+), ам® ^ 0, ам (0) = 0.
Пусть
Еа (f)2,Xk = inf {\f — g\2,Xk: 9 е L2, Xk (R+), suPP g С [0,ст]}
— величина наилучшего приближения функции f е L2, xk (R+),
/ !¦ & lt-Х _ ½
им (S, f)2,Xk = sup (b-k a (rs)f (s)2s2Xk+lds
O^r^S V k JO J
— ее модуль непрерывности,
Вм (a, S)2tXk =sup{: f е L2, Xk (R+)}
константа Джексона в пространстве Ь2& gt-к (Предложение 3 [3]. Справедливо равенство
Ом (В, тВ)2,к = Ом (1,т)2,к ¦ Рассмотрим непрерывную функцию
вм (г) = ^ р-зе13*, г е м.
з€ 2
Для нее определим величину
Гм = шах {г ^ 0: вм |[-г, г]= 0}.
Отметим, что для ненулевой последовательности М Гм € [0, п) и для любого г € [0, п) найдется последовательность М, для которой гм = г. В частности, гм = 0, если у последовательности М конечное число ненулевых членов.
Теорема 4. Если к & gt- -½, то
& amp-м, к (В, В) = гм¦
Доказательство. Для функции ]к (х) при к & gt- -½ имеет место интегральное представление (см. [21, формула 8. 411])
гж/2 '--ж/2
Где С1 = /2). ОтсЮда и и3 (3
Г п/2
Зхк (х) = 0! егх*1п V (сов р)2Хкй& lt-р,
«/ -п/2
Гп/2
ам (г) = оЛ У^щвг1г 81П 1р (соБ р)2Хк (1р =
п/2
п/2 1-п/2
п/2
01 /
— п/2
ХУ
веЪ
гвг 81П V
(сов р)2Хк й& lt-р.
Из этого представления ам (го) = 0, если только вм& amp-) = 0 на отрезке [-го, го], поэтому ам (г) = 0 на отрезке [0, гм] и ам (г) & gt- 0 при г & gt- гм.
По теореме 2 для некоторой меры р € Б + [0,т]
Ом (1,т)2,Хк = 1П{ [ ам (гs)dр (г),
поэтому при Т € [0,гм] Ом (1,т)2,Хк = +ТО.
Пусть т & gt- гм. Тогда при г ^ т ам (г) & gt- 0. В силу асимптотики [22, 23]
л& lt-г) = 0(гч+17г) (г
следует оценка
'- 1
^^8]к (^)
в=0
1 ^ ^ IV в I 1 /
^ гХк+½ 2=0 1^к + ½ ^ гк + ½ (г ^ ж),
поэтому
Иш ам (г) = vо (28)
2
и ам ® ^ c & gt- 0 при r ^ т. Тогда для любой функции f € L2, k
lf®l2r2Xk+1 dr & lt-
ам (Tr)f'-®l2r2Xk+1dr & lt-М (т, fh, k¦
Это неравенство показывает, что Dm (1,т)2,k & lt- то.
Итак, Dm (1,т)2,k = +то при т € [0,гм] и Dm (1,т)2,k & lt- то при т & gt- гм. Остается воспользоваться предложением 3. Теорема 4 доказана.
Пусть
R+ = max Ixl, R- = min x
V xedV V xedV
— радиусы описанного и вписанного в тело V евклидовых шаров. Используя монотонность обобщенной константы Джексона, получаем оценки
Dm (В, R+ К+тB)2,k ^ Dm (v, ти)2,k ^ Dm (В, R- R-тB)2,k¦ (29)
Отсюда и из теоремы 3 вытекает следствие.
Следствие. Если Xk & gt- -½, то справедливы оценки
ГМ & lt- OM, k (V, U) ¦
R+ R+ Rv Ru
В частности, 0 м, к (V, U) & lt- то и, если гм = 0, то Dm (Y, tU)2,k & lt- то для всех т & gt- 0.
3. Нижняя оценка обобщенной константы Джексона
Для оценки обобщенной константы Джексона снизу будем использовать лемму В. В. Арестова [16]. Сформулируем ее в удобном для нас виде.
Лемма (В.В. Арестов). Пусть задана система {фа (і)}%=і функций, непрерывных на [0, т] и удовлетворяющих условиям:
(a) ф. 3(0) = 0,s (t) ^ K (t Є [0,т], s Є N) —
(b) для любого o Є (0, т] выполняется равенство
lim max фs (t) = v0.
s^& lt-x S^t^r
Тогда для любого є & gt- 0 найдется функция
ГО ОО
F (t) = X Psфs (t), Ps & gt- 0 J^Ps = X
s=1 s=1
такая, что
F (t) ^ Vo + є, t Є [0,т].
Теорема 5. Если т & gt- 0, то
Dm (У, ти)2& gt-к ^ -=. (3°)
VVo
Доказательство. Для случая единичного веса оценка (30) получена в [9]. В силу неравенств (29) достаточно доказать (30) для тел V = U = B. Согласно предложению 3 достаточно оценить снизу обобщенную константу Джексона Dm (1,т)2,к при & gt- -½. По определению
D2) /Г 1/(У)12У2Ак+1аУ ^
Dm (1,т)2,Хк = sup -Г-1- ^
f& amp-Ь2'Хк (R+) sup / ам (ty)f (y)2y2Xk+1dy
O^t^r 1
1 Г
^ suP -------Г--------: Ps & gt- °, J2ps = 1 } ' (31)
sup Е фs (t)ps s=1
где
O^t^rs=1 s+1 s+1
фs (t) = Vs j ам (ty)y2Xk+1dy, Vs = j y2Xk+1dy.
Имеем
s (t)l lusI = K, ф-sit) = ам (tys (t)), ys (t) € (s, s + 1).
s€Z
Отсюда равномерно по o ^ t ^ т lims^? tys (t) =? ив силу (28)
lim max фs (t) = v0.
s^? S^t^r
По лемме В. В. Арестова из (31) получаем оценку (30) для обобщенной константы Джексона Dm (1,т)2,k. Теорема 5 доказана.
Список литературы
1. Rosier M. Dunkl Operators: Theory and Applications // Lecture Notes in Math. 2002. V. 1817. P. 93−135.
2. Rosier M. A positivity radial product formula or the Dunkl kernel // Trans. Amer. Math. Soc. 2003. V. 355. P. 2413−2438.
3. Хуэ Ха Тхи Минь. О связи многомерных и одномерных констант Джексона в пространствах L со степенными весами // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып.2. С. 114−123.
4. Иванов А. В. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С. 29−58.
5. Иванов А. В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып.1. С. 26−44.
6. Иванов А. В., Иванов В. И. Теорема Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Матем. заметки. 2010. Т. 88. № 1. С. 148−151.
7. Иванов А. В., Иванов В. И. Теория Данкля и теорема Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16. № 4. С. 180−192.
8. Иванов А. В., Иванов В. И. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона в пространстве L2 (Rd) со степенным весом // Матем. заметки. 2013. Т. 94. № 3. С. 338−348.
9. Васильев С. Н. Неравенство Джексона в L2(RN) с обобщенным модулем непрерывности // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16. № 4. С. 93−99.
10. Dunkl C.F. Integral kernels with reflection group invariance // Canad. J. Math. 1991. V. 43. P. 1213−1227.
11. Rosier M. Positivity of Dunkls interwining operator // Duke Math. J. 1999. V. 98. P. 445−463.
12. Rosier M. Bessel-type signed hypergroups on R // Probability Measures an Groups and related Structures: proc. conf. Oberwolfach, 1994. Wourld Scientific, 1995. P. 292−304.
13. Rosier M. Generalized Hermite polynomials and the heat equation for the Dunkl operators // Comm. Math. Phys. 1998. V. 192. P. 519−542.
14. Thangavelu S., Xu Y. Paley-Wiener theorems for Dunkl transform and Dunkl translation operators // J. Anal. Math. 2005. V. 97. № 1. P. 25−55.
15. Trimeche K. Convolution operator and maximal function for the Dunkl transform // Integral Transform. Spec. Funct. 2002. V. 13. № 1. P. 17−38.
16. Арестов В. В., Попов В. Ю. Неравенство Джексона на сфере в L2 // Изв. вузов. Математика. 1995. № 8. С. 13−20.
17. Бабенко А. Г. О точной константе Джексона в L2 // Матем. заметки. 1986. Т. 39. № 5. С. 651−654.
18. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
744 с.
19. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближений. М.: Наука, 1976. 320 с.
20. Arestov V.V., Babenko A.G. Continuity of the Best Constant in the Jackson Inequality in L2 with respect to Argument of Modulus of Continuity // Approx. Nytory: a vol. dedicated B. Sendov: DARBA, 2002. P. 13−23.
21. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.
22. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1966. 296 с.
23. Ватсон Г. Н. Теория Бесселевых функций. Ч. 1. М.: ИЛ, 1949. 798 с.
Иванов Алексей Валерьевич (d_bringer@mail. ru), к.ф. -м.н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Иванов Валерий Иванович (ivaleryi@mail. ru), д.ф. -м.н., профессор, декан, механико-математический факультет, Тульский государственный университет.
Хуэ Ха Тхи Минь (hahue@mail. ru), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Generalized Jackson constant in L2(Rd)-space with Dunkl weight
A. V. Ivanov, V. I. Ivanov, Ha Thi Min Hue
Abstract. For a pair of centrally symmetric convex bodies V, U in Rd, the sequence of complex numbers M = {ps}s& amp-Z with zero sum absolutely convergent in the space L2, k (Rd) with Dunkl weight the value of the best approximation E (aV, f)2,k by entire functions of exponential type with spectrum in the body aV, generalized modulus of continuity uM (tU, f)2,k and generalized Jackson constant DM (aV, TU)2,k are defined. Finiteness and continuity of generalized Jackson constant are researched. The lower estimation DM (aV, TU)2,k ^ 1/t/VO, where v0 =seZ lpsl2 is proved.
Keywords: Dunkl harmonic analysis, best approximation, modulus of continuity, Jackson inequality, Jackson constant.
Ivanov Alexey (d_bringer@mail. ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Ivanov Valeriy (ivaleryi@mail. ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean, mechanical and mathematical faculty, Tula State University.
Hue Ha Thi Min (hahue@mail. ru), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 15. 09. 2013

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой