Обобщенные решения и преобразования Эйлера-Дарбу

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ISSN 2074−1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 4 (2014). С. 63−70.
УДК 517. 95
ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЭЙЛЕРА-ДАРБУ
И.В. ВЕРЕВКИН
Аннотация. Введено преобразование Эйлера-Дарбу для неоднородных дифференциальных уравнений с правой частью в виде обобщенной функции. В качестве примера построены фундаментальные решения уравнений Клейна-Гордона-Фока и Шредингера с переменными коэффициентами, описывающих частицу во внешнем скалярном поле.
Ключевые слова: преобразование Эйлера-Дарбу, уравнение Клейна-Гордона-Фока, уравнение Шредингера, фундаментальное решение.
Mathematics Subject Classification: 35A08, 35D99, 35Q40
1. Преобразование эйлера-дарбу неоднородных уравнений
и обобщенные решения
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
Lu = Аи + Ви = f,
где оператор, А — дифференциальный оператор по одной переменной х:
к
г=0
В — дифференциальный оператор по переменным у,…, уп вида
А = ^ ai (x)Dzx
м
в =? ъа (у)а& quot-, (3)
Н& gt-о
а /(х, у,…, уп) — обобщенная функция. Далее используется стандартная теория обобщенных функций [1] и введены следующие обозначения: а = (аг,…, ап) — целочисленный
д1 д|а|
мультииндекс, Д!, = -, ИУ: = -----операции обобщенного дифференцирова-
охг у дуг& quot-1… оупап ния. Для классических функций мы будем также употреблять обозначения производных (в общем случае тоже обобщенных) очевидные из контекста: Ы, 7у. Функции а, г (х) и Ьа (у) считаются гладкими в соответствующих областях. Кроме этого, считаем, что все функции, на которые умножаются обобщенные функции, являются бесконечно дифференцируемыми.
Следуя работе [2], класс уравнений вида (1) обозначим через Е^, м. Если Ы (х), д (у) — классические решения уравнений
АЫ = сЫ,
(4)
Вд + сд = 0, где с € Я1,
I.V. Verevkin, Generalized solutions and Euler-Darboux transformations. © Веревкин И. В. 2014. Поступила 6 марта 2014 г.
то функция и1 = дк удовлетворяет однородному уравнению (1). Функция и1 порождает преобразование уравнения (1).
Теорема 1. Класс уравнений Ек, м обладает следующими свойствами:
1. Если 7 — гладкая функция вида 7 = р (х)д (у) = 0, '-то преобразование
и ^ V = и/^у
переводит обобщенные решения уравнения (1) в обобщенные решения уравнения
ЬУ = + А1ь + В1ь = $
где
к м
Л = ^ а1(х)Огх, где Вх = ^ Ь1а (у)0^.
г=1 |"|& gt-1
При 7 = и1 = 0 уравнение ЬV = /имеет вид
Ь1Ь = + В1У = ?/1. (5)
2. Преобразование V ^ т = ух переводит обобщенные решения уравнения (5) в обобщенные решения уравнения
к м
Ь2& lt-ш = + аМIV) + ^ Ь1 = Бх (//у). (6)
г=1 |"|& gt-1
Доказательство.
Заметим, что для произведения 7^, где V — обобщенная функция, справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения. Учитывая это и равенство (Ьи, р) = (Ь (^уу), р), которое следует из равенства (и, р) = (^ь, р), верно следующее соотношение
Ьи = Ь (& lt-уу) = уЬ ('-у) + Ау + ВУ = (7)
где
к м
Ау = ^ 7ц (х,^,^х,…)^х, Вь = ^ Ьа (У, 1,1у ,…)DyV,
г=0 |"|& gt-1
а р — функция из пространства основных функций. Коэффициенты аг могут зависеть только от х,^ и производных от 7 по х, а коэффициенты Ьа могут зависеть только от у,^ и ее производных по у1,…, уп. Функция 7 и ее производные могут входить в коэффициенты аг, Ьа лишь линейным образом. Умножая (7) на 1, получаем уравнение
Ьь = - Ь (^)у + А^ + В1у =
1
где операторы А1, В1 имеют вид
к м
А1 = ^2^i (x, P, Pх,. .)Огх, В1 = ^ ba (y, q, qу,.
г=0 |"|& gt-1
При 7 = и1 получаем уравнение (5). Для доказательства второго свойства достаточно продифференцировать (5) по х и ввести новую обобщенную функцию = Охь. В результате получается уравнение (6).
Отметим, что все уравнения Ьи = /, Ьхь = //*у, Ь2 = Их (//'-у) принадлежат одному классу Ек, м.
Следствие. Пусть к — нетривиальное решение уравнения (4), г — гладкая функция от, х. Тогда преобразование
1 к'-
V = ~(Охи — - и) (8)
г к
переводит обобщенные решения уравнения (1) в обобщенные решения уравнения того же класса Ек, м.
Действительно, преобразование
V = рШУ) Ох ((9)
является комбинацией преобразований, рассмотренных в теореме 1, и, следовательно, сохраняет класс уравнения. Здесь р, д — произвольные гладкие функции, и1 — решение уравнения (1), полученное разделением переменных и1 = к (х)д (у). Если положить Я = 9, Р = к/г, то из (9) получим (8). Следуя работе [2] покажем, что справедлива Лемма 1. Преобразование
Ш (кг,…, кк, и)
ик = Мк и =^777-^ (10)
№ (к1,…, кк)
переводит обобщенное решение уравнения (1) в обобщенное решение уравнения того же класса Ек, м.
Несмотря на то, что доказательство леммы, приведенное в [2], проходит и для случая обобщенных решений, мы его приводим, так как оно используется при доказательстве теоремы 3.
Для того чтобы убедиться в справедливости леммы 1, заметим, что если известны к7,…, кк решения уравнения (4) при различных с1,…, ск, то, как показано в [2], можно построить оператор порядка к, являющийся суперпозицией операторов Эйлера-Дарбу первого порядка вида С = кОх (1/к) и соответствующее преобразование, действующее на Ек, м. Действительно, пусть к7,…, кк — гладкие, линейно независимые функции от х. Построим последовательность функций и операторов
Р1 = к1'-Р2 = СР1 к2,.., РМ = Срм _1.. СР1 кИ,
М1 = ?Р1, М2 = Ср2 М1,…, Мм = Ст Мм-1. ()
Из построения операторов Мк следует, что функции к1}…, кк удовлетворяют дифференциальному уравнению порядка к
Мк к = 0. (12)
Значит они образуют базис решений уравнения (12). Следовательно, действие оператора Мк на произвольную функцию представляется в виде [3]
Мк и = Бх и + ак-1Вкх-1и + … + а0и = ^^ '-'-'-. (13)
№ (к1,…, кк)
Остается взять в качестве к^ …, кк решения уравнения (4) для различных с1,…, ск.
2. преобразование уравнений класса Ех, м В данном разделе рассматриваются преобразования ЭД для уравнений специального вида из класса уравнений Ех, м. Рассмотрим уравнение
т2х и + СОхи + Ни = Ви + ?, (14)
где И, С, Н — гладкие функции от х, / - обобщенная функция, а В — линейный оператор вида (3).
Теорема 2. Преобразование Эйлера-Дарбу, заданное соотношением (8), переводит обобщенные решения уравнения (14) в обобщенные решения уравнения
Р02х V + СОх: и + Ни = Ви + ?1, (15)
где
г'-
Сг = С + И'- + 2И-, (16)
г
Н1 = н + (Иг'- + Сг)'- + п к) + 2Р (1п к)'-'-, (17)
г
1 к'-
/1 = - (Ох! — -г!), (18)
г к
а функция к (х) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
Икхх + Скх + (Н + с) к = 0, где с е К1. (19)
Доказательство. Введем следующие обозначения
и = Яи = -Шхи + ви), где в = -к'-/к, г
Аи = РБ1 и + СБхи + Ни
х х
хЛ
А1и = ^ Вгхи + СфВхи + Щи. Тогда исходные уравнения (14) и (15) запишутся как Аи = Ви + / и А-_и = Ви + /1. Для доказательства теоремы необходимо показать, что
(А* - В *)Я*р = Я*(А — В*)р. (20)
Здесь звездочка означает формальное сопряжение оператора, определяемое для операторов, А и В следующим образом
к м
а*& lt-Р = Е (-1)г °х (& lt-х)^), В*р =? (-1)уву (Ьу (У)ф.
г=0 |у|& gt-0
Действительно,
(Я (А — В) и, ф) = (и, (А* - В*)Я*ф = (и, Я*(А* - В*)ф) =
= (Ни, (А* - В*)ф = (и, (А1 — В*)ф) = ((А1 — В) и, ф) = (Я/, ф.
Здесь мы использовали свойство коммутирования операторов В и Я, что, как легко показать, влечет В*Я*р = Я*В*р. Остается показать, что А*Я*р = Я*Ар. Имеем,
О о о
А*Я*р = ^ (-Ох (ф) + -ф)] - Пх[С (-Пх (р/г) + -ф)] + Н [-Ох (р/г) + -ф,
г^ г^ г^
1 Н
Я*Ар = -Бх[ ^х^р) — Бх^ф) + Н1 ф] + - [Ох^ф — Бх^ф) + НМ.
Левая часть уравнения А* Я* р — Я*А& lt-р = 0 является полиномом относительно рххх, & lt-рхх, рх, р. Коэффициенты при этих величинах должны быть равны нулю. Собирая подобные члены при рххх, & lt-рхх, получаем соответственно И1 = И и С1 = С+И'- + 2И (г'-/г). Подставляя найденные И1 и С1 в коэффициент при рх, получим выражение (17).
21)
Приравнивая к нулю коэффициент при? р, с учетом найденных Р1, С1 и Н1, получаем:
Рз& quot- + (Р* - 2Рв + в) з'- - Р'-в2 + Сз — Н'- = (Рз'- + йв — Рв2 — Н)'- = 0. (22)
При в = -к'-/к выражение принимает вид (-Рк& quot-/к — Ск'-/к — Н)'- = 0, откуда получаем требуемое уравнение (19).
Рассмотрим высшие преобразования ЭД. Если известно к решений к1,…, кк уравнения (19) для различных с1,…, Ск, то можно построить преобразование ЭД порядка к.
Теорема 3. Пусть к1,…, кк — решения уравнения (19), соответствующие различным постоянным с1,…, ск. Тогда преобразование (13) переводит обобщенные решения уравнения (14) в обобщенные решения уравнения
Р02х ик + С к Бхик + Нк ик = Вик + ?к, (23)
При этом коэффициенты и функция? к задаются формулами
Ск = С + кР'-, Нк = Н + кС + к (к — 1Р& quot- + Р& quot-(1п Ш)'- + 2Р (1п Ш)'-'- (24)
а
Л = Мк, =, (25)
здесь Ш определитель Вронского для функций к]_,…, кк. Доказательство.
Используем результаты теоремы 2. Выражение для С к получается по индукции последовательным применением формулы (16) при г = 1. Используя (17) и конструкцию (11) функций р1,…, рк, легко видеть, что индукционное построение коэффициентов Нк приводит к выражениям
Нк = н + кС + к^^р!р& quot- + р'-(1пР1.. Рк)'- + 2Р (1пР1.. рк)'-'-. (26)
Найдем произведение р1.. рк. Так как, согласно (11) и (13), имеют место соотношения
КАи Ж (к1,…, Ы'-кг+1) Рг+1 = Мк+1 = -77 777-ГТ-'-
№ (къ… '-кг)
справедливы равенства
,™ (к1,к2) № (кЬ… '-кк), , Р1 … Рк = к1−7-.. 77 777−7-Г =™ (кЪ … '- кк)'-
к1 Ш (к1'-…, кк-1)
откуда следует выражение (24) для коэффициента Нк. Справедливость формулы для /к, с учетом (13) и (18) очевидна.
3. Построение фундаментальных решений
Построим фундаментальные решения уравнений Клейна-Гордона-Фока (КГФ) и Шредин-гера с переменными коэффициентами. Для простоты ограничимся одномерной размерностью задачи по пространственной переменной. Обобщенная постановка задачи Коши, используемая ниже, подробно обсуждается в [1]. Уравнение КГФ имеет вид [4]
Б^и + т2и = а20^и, где а, т Е Я1. (27)
Для построения фундаментального решения рассмотрим обобщенную задачу Коши для уравнения (27) с источником [1]
Б^и + т2 и = а2В2с и + f (х, г), (28)
где функция /(х, Ь) имеет вид (ниже точка обозначает прямое призведение функций)
/ = ио (х) • 5'-(Ь) + Ч1(х) • 8(г). (29)
При преобразовании ЭД уравнение (28) по теореме 2 переходит в уравнение
И2у + -V = а2Б2ху + Н1 (х)ь + Л (30)
с функцией /1(х, Ь)
к'-
/1 = Ох! — к! (31)
Функция Н1(х) находится по формуле (17). Для того чтобы решение обобщенной задачи Коши уравнения (28) преобразовывалось в фундаментальное решение уравнения (30),
потребуем выполнение следующего условия
к'-
Ох! — = *(х — у) • б (г).
Указанное условие можно переписать в виде обыкновенных дифференциальных уравнений на функции и0 и и1
к'- X
и0 —ио = 0, (32)
и'-1 — ~ки1 = 6(х — у). (33)
Решения уравнений (32) и (33) соответственно выберем следующими (из соображений простоты фундаментального решения)
ио = 0, (34)
9(х — у) к (х)
U1(X, у) = -щ-, (35)
где в (х — у) — тета-функция Хевисайда. Решение обобщенной задачи Коши уравнения (28) при выборе функции и0 = 0 есть свертка фундаментального решения уравнения (27) и функции и1. Фундаментальное решение уравнения КГФ можно выбрать в виде [1]
Е (х, у, I, Т) = -х — у),!о (т V"2- г) х — (х — у) х), (36)
где 30 — функция Бесселя. Решение обобщенной задачи Коши
те
^?т (ОЕ (х, С, г, & lt-37)
-те
Опуская промежуточные выкладки, выпишем решение обобщенной задачи Коши уравнения КГФ
аЬ
и (х, у, Ь) = -6(х — у — г) к (х — г)30[ - /аЧ2 — йг. (38)
2ак (у) ] а /
-аЬ
Фундаментальное решение уравнения (30) находим по формуле
к'- (х)
Ефх, у, г) = Бхи (х, у, г) — --и (х, у, г). (39)
к (х)
После несложных вычислений получаем
Ex (x, y, t) = & lt-
0, если х — у & lt- -at,
1 Jo (*a2t2 — (х — у)2) +
f (ti'-(х — z) — ^ф)h (x — z))Jo (аЧ2 — z2) dz, если -at & lt- х — у & lt- at,
-at
at _
тщу)? (ti'-(x — z) — ti (x — z))Jo (a?t2 — z2) dz, если x — y & gt- at.
a
В последних формулах штрих у функции означает дифференцирование по соответствующему сложному аргументу, выписанному в скобках.
Приведенные формулы легко обобщаются для высших преобразований ЭД. Для этого необходимо взять функцию щ, удовлетворяющую уравнению
Ф (кг,…, кк) = 6(Х — У). (40)
Решение последнего уравнения дается формулой
(Х, У) = ШУ ,… Лг-1,Ьг+1,…, кк) кг (х). (41)
(кг,…, кк) ^
Здесь введено обозначение? у[к…, кк) = ?(к (у),…, кк (у)). Коэффициенты преобразованного уравнения определяются по теореме 3 формулой (24).
Построение фундаментального решения для уравнения Шредингера с переменными коэффициентами проводится так же, как и для уравнения КГФ. Стартуя с исходного уравнения
гОги = -И2Х и, (42)
рассмотрим обобщенную задачу Коши со следующим источником
Шги = -О2и + щ (х) • 5(г). (43)
Потребуем, чтобы функция и0, в соответствии с формулой (18) теоремы 2 преобразовывалась в-функцию Дирака. Это будет выполнено, если указанная функция удовлетворяет следующему уравнению
к
и'-0 — кио = - У), (44)
решение которого задается формулой (35). Фундаментальное решение уравнения (42) есть [1]
. ч (г (х — С)2
Е = ш ещ'-{ - т) — (45)
Тогда решение обобщенной задачи Коши можно записать в виде свертки
те
т-у)т ехр (^ (46)
-те
Решение обобщенной задачи Коши уравнения (43) преобразуется в фундаментальное решение уравнения
= -Б2х V + Щ (х)и, (47)
по формуле (39). Коэффициент Н (х), так же, как и в случае уравнения КГФ, вычисляется по формуле (17). Выпишем фундаментальное решение преобразованного уравнения (45)
оо
0(t) е-ш/4 -С h'-(x)] (г (х — П2 «Ei (x, y, = h (?) i-expi 1, d?. (48)
1() h (y) J _ 2t h (x)_ 4t J ^ { J
у
Очевидно, что последняя формула задает фундаментальное решение только в случае существования соответствующих интегралов.
Аналогично уравнению КГФ построение фундаментального решения для уравнения Шре-дингера так же обобщается для высших преобразований ЭД.
Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность О. В. Капцову за постановку задачи и внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1981.
2. Капцов О. В. Эквивалентность линейных дифференциальных уравнений с частными производными и преобразования Эйлера-Дарбу // Вычислительные технологии. 2007. Т. 12, № 4. C. 59−72.
3. Айнс Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ГНТИ, 1939.
4. Боголюбов Н. Н. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1984.
Игорь Викторович Веревкин,
Институт вычислительного моделирования СО РАН, Академгородок, 50/44, 660 036, г. Красноярск, Россия E-mail: vverigor@mail. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой