Обобщенные решения задачи Дирихле для уравнения Шредингера на некомпактных римановых многообразиях

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 95 ББК 22. 161. 6
ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА НА НЕКОМПАКТНЫХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
Е. А. Гульманова, А. А. Клячин, Е.А. Мазепа
В работе изучаются обобщенные решения (в смысле работы [1]) задачи Дирихле для стационарного уравнения Шредингера
Ьи = Аи — с (х)и = 0, (1)
где с (х) — гладкая неотрицательная функция на гладком связном некомпактном римановом многообразии М без края.
В данной статье введено понятие обобщенного решения задачи Дирихле на римановом многообразии, и сведено изучение вопроса о разрешимости задачи Дирихле к исследованию данного обобщенного решения.
Ключевые слова: уравнение Шредингера, обобщенные решения задачи Дирихле, ри-мановые многообразия.
Введение
о
о Проблема разрешимости краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений на римановых многообразиях с предписанным поведением решений на «бесконечности» является достаточно актуальной. В частности, особый интерес представляет с собой постановка задачи Дирихле на некомпактных римановых многообразиях. Для
а-
я исследования вопросов о разрешимости задачи Дирихле чрезвычайно существенным ^ оказалось введенное Винером понятие обобщенного решения задачи Дирихле для гар-& lt- монических функций в областях М'- получившее в нашей работе обобщение на случай некомпактных римановых многообразий. Кроме того, в данной работе использован под® ход к постановке краевых задач, основанный на введении класса [/], эквивалентных на ^ М непрерывных функций (см., напр., [3]-[5]).
г Пусть М — гладкое связное некомпактное риманово многообразие без края,
щ {-В/г}^! — исчерпание многообразия М, то есть последовательность предкомпактных
га __оо
о открытых подмножеств таких, что Вд. С ь М = и
га к=1 л —
5
(_ * Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проект № 10−01−970 004 © р_Поволжье_а).
Определение 1. Пусть fi (x) и ?'--?(х) — непрерывные ограниченные на М функции. Будем говорить, что fi (x) и ?'--?(х) эквивалентны на М, и использовать обозначения fi (x) ~ h (x)& gt- если для некоторого исчерпания {Вк}^=1 многообразия М выполнено равенство:
lim Wf^x) — f2(x)\co (м вк) = О,
к-& gt-оо
где ||/И||с0© = sup f (x).
G
Введенное определение корректно, поскольку не зависит от выбора исчерпания многообразия (см. [3]). Класс функций, эквивалентных функции /, будем обозначать [/]. Определение 2. Предположим, что / - непрерывная функция на М. Будем говорить, что для уравнения (1) на М разрешима краевая задача с граничными условиями из класса [/], если на М существует решение и (х) уравнения (1) такое, что u G [/]. Класс [/] в этом случае будем называть допустимым для уравнения (1).
Введем понятие обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения (1) на многообразии М.
Всюду в дальнейшем будем считать, что {Bji,}'-^=1 — исчерпание многообразия с гладкими границами дВ^.
Рассмотрим последовательность решений задач Дирихле в В^
Г LukJ = 0,
I UkjdBk = /|9Bk-
Определение 3. Пусть / - некоторая непрерывная на М функция. Если существует предел
u, f = lim ид. ,/,
k-& gt--oo
в каждой точке х G М, то функция Uf называется обобщенным решением задачи Дирихле для уравнения (1) с граничными условиями из класса [/].
Замечание. Данное определение обобщенного решения задачи Дирихле было впервые введено Винером (см. [1]) для эллиптических дифференциальных уравнений в областях М'-
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть / - некоторая непрерывная на М функция такая, что класс [/] является допустимым для уравнения (1).
Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Последовательность решений uj, u2,/,…, ukj,… задач (2) сходится равномерно на М к обобщенному решению Uf.
2. Предельная функция Uf не зависит от выбора исчерпания {Вк} многообразия М.
3. Если и — решение краевой задачи для уравнения (1) с граничными условиями из класса [/], то функция и совпадает с и/.
Необходимо пояснить, что означает равномерная сходимость последовательности решений Ukj задач (2) на многообразии М.
Определение 4. Будем говорить, что последовательность решений щ,/ задач (2) сходится равномерно на М, если Уе & gt- О ЭЖ = Л^(б): Уп & gt- т & gt- N Ух Е В^ выполнено
Unjix) ~ ит,/(х) | & lt- б.
1. Доказательство теоремы
Рассмотрим последовательность решений задач (2). Используя принцип максимума для любых к G N, х G Вд., имеем
& lt- sup ukj & lt- sup |/|.
эвк м
Отсюда следует равномерная ограниченность семейства функций {uk, f}kLi на всем многообразии М и, следовательно, компактность в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций на любом компактном подмножестве G С М (см., напр., [2]).
Без ограничения общности можем считать, что G С Вд. для всех к G N. Тогда существует последовательность ир сходящаяся к некоторой функции uj в Выберем из нее подпоследовательность функций и^ р сходящуюся в В-2 к некоторой функции u'-j, при этом u'-j будет совпадать с uj в В. Аналогично для каждого к? N найдется подпоследовательность функций сходящаяся в Вд. к некоторой функции uj, причем uj = ukf~l во множестве Таким образом, продолжая процесс бесконечно, можно
построить функцию
uj, в Bi,
uf
и
/, В 1& gt-1.- 1& gt-1.- I-
Выберем теперь диагональную последовательность uj, …, … Ясно, что u^j сходится к функции Uf в каждой точке х G М.
Покажем равномерную сходимость последовательности решений Ukj задач (2) на всем многообразии М. Выберем произвольное б & gt- 0. Используя принцип максимума, для достаточно больших n, m G N, n & gt- т получаем
sup I unJ (x) — umJ (x) I & lt- sup I unJ (x) — Umj (x) I & lt-
G B7n
& lt- sup IUnj — u (ir)| + sup Iltmj (x) — u (ir)| & lt- 6.
Bn Вт
Действительно, так как класс [/] является допустимым для уравнения (1), то существует функция и G [/] такая, что Lu = 0. Тогда, по принципу максимума, имеем
sup |unj (x) — u (rr)| = sup |/ - и] & lt- sup umj (x) — u (rr)| = sup I/ - u & lt-
Bn '- двп 2 вт '- 9Bm 2
В силу равномерной сходимости последовательности {ukj}^=i на М существует функция Uf = lim Ukj, и, следовательно, u, f является обобщенным решением уравне-
к-& gt--оо
ния (1) на М (по определению).
Покажем, что предельная функция Uf не зависит от выбора исчерпания {Вк}^=1 на М.
Предположим противное: пусть {Bk}'-^Ll и {Dk}'-^Ll — два произвольных исчерпания многообразия М, {ukj}kLi и {uij}kLi — соответствующие им последовательности решений задач (2), сходящиеся к различным предельным функциям Uf и u*f. Построим новое исчерпание многообразия М. Пусть С = В качестве множества С-2 возьмем множество Dk, где к — наименьший номер, начиная с которого множество Вi С Dk. Множество С3 будем искать в {-Ва-}^ так, чтобы С2 С Вк, где к — наименьший номер. Аналогично найдем все остальные множества Ск, к = 4,5,…, где
__оо
Ск С Ск+1, М = IJ Ск для любого к. Тогда соответствующая последовательность ре-
fc=i
шений задач (2) для нового исчерпания uklj, u*knj,… является расходящейся,
что противоречит доказанному выше утверждению. Следовательно, предельная функция Uf не зависит от выбора исчерпания {Вк}^=1 на многообразии М.
Покажем, что построенное обобщенное решение Uf задачи Дирихле для уравнения (1) не зависит от выбора представителя из класса [/].
Предположим противное, возьмем /i G [/], /2 G [/], /1 ф /2, тогда для них соответствующие задачи (2) во множестве Вк перепишутся в виде
Г LukJl = 0, Г Lukj2 = 0,
UkjidBk = fidBk, '- Ukj2dBk = /21авк-
Согласно доказанному выше, на М существуют обобщенные решения Uf1 и Uf2. Тогда для любых & lt- 0.. /• •: ,/ имеем
о & lt- Iufl (x) — uh (x)I & lt- Iuh (x) — uk& lt-fl (x) + Iuh (x) — iikj2(x)I + IUk& lt-fl (x) — likj2(x) & lt- 6,
для достаточно больших к.
Первые две оценки: [и^^х) — Ukj^x)] & lt- f, |Uf2(x) — Ukj2(x) & lt- f имеют место в силу равномерной сходимости последовательностей функций {ukjAkLi и {ufc,/2}fcli соответственно к функциям Uf1 и Uf2, доказанной выше.
Покажем, что? Ukj^x) — Ukj2(x) & lt- Функция ufcj1 — ukj2 является решением следующей задачи:
i •: "-/¦¦/ - UkJ2) = о,
I (ukji ~ Ukj2) dBk = (/1 — Л)!эвк-Следовательно, для любого х G Вк выполнено
uk, fi (x) ~ Ukj2(x) & lt- sup uk& lt-fl (x) — Ukj2(x)I = sup |/i — /21 & lt-
двк эвк ¦& gt-
для достаточно больших к (так как /1 G [/], /2 G [/]). В силу произвольности t & gt- 0 следует и^ = Uf2. Таким образом, предельная функция Uf не зависит от выбора представителя из класса [/].
Так как класс [/] является допустимым для уравнения (1), то на М существует решение и краевой задачи для уравнения (1) с граничными условиями из класса [/], то есть Lu = 0, и G [/]. Покажем, что данное решение и совпадает с функцией Uf.
Действительно, так как и G [/], то в качестве граничного значения / для задач (2) в Вк выберем функцию и, то есть
Г Lukj = 0,
I ukjdBk = & quot-. v/i. •
Но, с другой стороны, и является решением уравнения (1) в Вд. для любого к. Таким образом, имеем
/-& quot-/,./ = Lu в ///,. ukjdBk = идвк-
Тогда, в силу теоремы единственности решения задачи Дирихле в области Вд., получаем hi, ,{. г) = и (х) для любого х G Вк. По доказанному выше Uf = lim ukj (x),
к-& gt--оо
следовательно, Uf (x) = и (х) в каждой точке х G М. Теорема полностью доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Келдыш, М. В. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле / М. В. Келдыш // Избр. тр. Математика. — 1941. — С. 171−231.
2. Лосев, А. Г. О неограниченных решениях стационарного уравнения Шредингера на модельных многообразиях / А. Г. Лосев, Е. А. Мазепа, В. Ю. Чебаненко // Изв. вузов. Математика. — 2006. — № 7. — С. 46−56.
3. Мазепа, Е. А. Краевые задачи для стационарного уравнения Шредингера на рима-новых многообразиях / Е. А. Мазепа // Сиб. мат. журн. — 2002. — Т. 43. — № 3. — С. 591−599.
4. Мазепа, Е. А. Краевые задачи и лиувиллевы теоремы для полулинейных эллиптических уравнений на римановых многообразиях / Е. А. Мазепа // Изв. вузов. Математика. — 2005. — № 3 (514). — С. 59−65.
5. Losev, A. G. Unbounded Solution of the Stationary Schrodinger Equation on Riemannian Manifolds / A. G. Losev, E. A. Mazepa, V. Y. Chebanenko // Computational Methods and Functional Theory. — 2002. — Vol. 3. — № 2. — P. 443−451.
GENERALIZED SOLUTIONS OF THE DIRICHLET PROBLEM FOR THE STATIONARY SCHRODINGER EQUATION ON RIEMANNIAN MANIFOLDS
E.A. Gulmanova, A.A. Klyachin, E.A. Mazepa
We study questions of existence of generalized solutions of the Dirichlet problem for the basic models of elliptical equations: the Laplace equation, А и = 0, and the stationary Schrodinger equations Lu = А и — c (x)u = 0, where c (x) is a smooth non-negative function on a non-compact Riemannian manifolds M without boundary.
In this arcticle the concept of generalized solutions of the problem is specified and the investigation of guestions of existence Dirichlet problem is affoded to investigation this generalized solution.
Key words: the stationary Schrodinger equation, the deneralized solution of Dirichlet problems, Riemannian manifolds.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой