Обобщенные траектории линейных управляемых систем с разрывными коэффициентами при управлении

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ОБОБЩЕННЫЕ ТРАЕКТОРИИ ЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРИ УПРАВЛЕНИИ
А Г Ченцов, Т Ю Каширцева
Иштитут математики и механики УрО Российской Академии наук
Ра (& lt- матриваегпся обобщенное пред (тавленис областей достижимости и пуч ков траектории линейной управляемой системы с импульсными ограничениями (на вы бор управления) в класы конечно аддитивных мер ограниченной вариации
Ключевые слова конечно аддитивная мера, топология поточечной сходи ионии линеиная система
В статье рассматривается конкретизация общих соотношений [1,2] примени I ельно к задачам управления линейными системами с разрывными коэффициентами при управлении в правой части соответствующего век торного дифференциального уравнения
Итак фиксируем два числа /о 6 И и ^ 6 Я, ?о & lt-о, здесь и ниже II вещеслвенная прямая Эти моменты? о, 1? о определяют промежуток
/0 [?о на котором рассматривается процесс управления системой
с фазовым пространством И& quot-, где п — заданное натуральное число Полагаем, что начальные условия (н у) системы (1 1) ж (?о) — хо? Г1п заданы, матрицам, А = А{) определен на /о, принимает значения в пространстве всех п х п — матриц и имеет непрерывные компоненты Ац (), г? 1, п, ] Е 1, п, кроме того, полагаем, что Ь — Ь () есть ограниченная /г-вектор-
функция на I = [?о, $о[= М№ Мы допускаем, что Ь — разрывная функция В (1 1) в качестве / = (/(?)? Л,?о & lt-? & lt- используется для простоты кусочно постоянная (к -п) и непрерывная справа (н сп) функция на I про котор}ю известно только, чю
1. Введение
х (г) = А (?)х (?) +
(1 1)
• ?о
138
А Г Ченцов Т Ю Каширцева
1де с € [0,оо[ задано В дальнейшем мы рассмотрим и управления более общего вида В этом разделе будем полагать, что компоненты b являются равномерными пределами к -п и н сп вещественно-значных (в/з) функций на I При этих условиях каждому управлению f вышеупомянутого типа отвечает единственная траектория & lt-pf = (& lt-pf (t)? R& quot-, io & lt- t & lt- $o), определяемая формулой Коши
t
?& gt-/(*) = Ф (Мо)®о + f f{T)$(t, T) b (T)dr (13)
io
Здесь и ниже интеграл (не обязательно & quot-римановский"-) вектор-функции определяется как вектор интегралов ее скалярных компонент Множество траекторий (1 3) при переборе всех допустимых в смысле (12) управленийf называю! пучком возможных траекторий, а аналогичное множество точек iff (до) — областью достижимости [3−5] Упомянутая область не замкнута, как правило, в R& quot-, а пучок соответственно не обладает, вообще говоря, свойсiвом замкнутости в топологии поточечной сходимости
2. Конечно-аддитивные меры как обобщенные управления
в линейной системе
Рассмотрим вопрос о преде i авлении & quot-регуляризаций"- таких характерных для теории управления объектов, как область достижимости (ОД) и пучок движений (ПД), будем рассматривать управляемую систему (i 1) на проме жутке /о (см раздел 1) при несколько более общих предположениях Через J обозначим семейство всех промежутков [a, b[, а? /о, b Е [а, t? o]& gt- тогда (/ J) известное пространство-стрелка, через В обозначим борелевскую сг-алюбру [6,7] подмножеств I, порожденную полуалгеброй J Пусть? — полуалгебра [1,2,6,7] подмножеств I — [fo& gt-$o[, удовлетворяющая следующим условиям J С С, С В Полагаем ienepb, следуя [1,2], что Bq (I, C) — множес 1во всех ступенчатых относительно (/, С) в/з функций на I (см подробнее [1, гл III]), через В (1,С) условимся обозначать замыкание Во (1,?) в пространстве В (/) всех ограниченных в/з функций на I с традиционной sup нормой [8, с 261] Мы полатаем, что в (1 1) вектор-функция Ь () такова, что при всяком г 1, п компонента Ьг = Ьг () функции Ь = Ь (), определяемая
условием bt (i) = (b (t))t есть элемент В (1,С) Ьг G В (1,?) Относительно управления f в (1 1) полагаем, что / 6 Bq (I, C) Предположения относи-хельно матрицанта, А =) сохраняем прежними (см раздел 1) Имеем при / 6 В0(1,?) в виде
t ^ f{t)b (t) IRn
борелевскую вектор-функцию на I. Решение (1. 1) в этих условиях (и при фиксации н. у ж (?о) = х^) определяется в смысле Каратеодори. В связи с этим следует напомнить, что В (1,В) есть множество всех ограниченных борелевских в/з функций на I (т.е. всех таких ограниченных функций к: I К, что /с? 11: {?? / | & lt- с}? В). По выбору С имеем вложение В (1,С) С В (1,В) Решение системы (1 1), порожденное управлением /? Вц (1,?), определяется посредством (1 3), где следует только использовать (вместо & quot-римановского"- интеграла) интеграл, определяемый по схеме [1, с 69], либо & quot-обычный"- интеграл Лебега. Итак, пусть Л — след меры Лебега [8] на ст-алгебру В (Л — счетно-аддитивная неотрицательная в/з мера на В такая, что А ([а, 6[) = 6 — а при to & lt- а & lt- Ь & lt- $о). Через г] обозначаем след Л на С: г] - (А | ?) — тогда 1] есть счетно-аддитивная неотрицательная в/з мера на ?, причем для функций из В (1,С) интегралы относительно г] и относительно, А совпадают. В этих условиях, при /? Ва (1, С) и, более общим образом, при /? В (1,С)решение системы (1. 1) есть функция из /о в И& quot- со значениями
?& gt-/(*) = Ф (Мо)хо+ / /(т)Ф (4,г)Ь (т)7,(?*т) — (2. 1)
мы сохраняем для обозначения & quot-обычных"- траекторий, порожденных программами ^ обозначение, принятое в (1 3) Условие (1. 2) на выбор управляющей программы Г в (2 1) заменим более общим требованием
/ |/!Ж? = / |/(*МЛ)& lt-с (2. 2)
/ I
на выбор /? В (1, С). Здесь, как и прежде, с? [0, оо[ - заданная ресурсная константа. Через /& lt-Ь (через Р) обозначаем множество всех /? Во (1, С) (всех /? В (1, ?)), удовлетворяющих условию (2. 2), /& lt-о С Р. Кроме того, пусть
Со = {& lt-/>-/№) • / € ?о}, С й {^pf (^дo): /? П
Всегда Со С С, так что мы имеем два варианта области достижимости в классе обычных управлений. Аналогичным образом полагаем
Х0 = {& lt-/>-/ =
При этом А'-о С X
Легко видеть на примерах, подобных [1,2], что множества 0(замкнуты, вообще говоря, в Я& quot- с топологией покоординатной сходимости, а множества не замкнуты (вообще говоря) в пространстве всех
п-вектор-функций на /о с топологией поточечной сходимости. Замыкания этих множеств естественно рассматривать как некоторую их регуляризацию, полезную, в частности, при решении экстремальных задач. В настоящей статье мы рассматриваем представление замыканий & amp-о, О, Ло, используя, по сути дела, конкретизацию общих представлений [1, 2]. Это представление достигается использованием специального расширения пространства управлений в классе к. -а. мер ограниченной вариации [8, гл. III] с одним специальным свойством слабой абсолютной непрерывности относительно & quot-Ч (если? = 3, то этим свойством обладает любая к. -а. мера ограниченной вариации, определенная на ?: см. [1, с. 89]). Мы рассматриваем линейное пространство А (?) всех в/з к. -а. мер на ?, каждая из которых имеет ограниченную вариацию- А (?) порождается конусом (агМ)+[?] всех неотрицательных в/з к. -а. мер на? и оснащается сильной нормой, определяемой в виде полной вариации (см. [1, с. 62]). При этом, в частности, тI е (ас1с1)+[?], а
А"[?] = А (?) | VI? С: {г,{Ь) = 0) =& gt- (/*(?) — 0)}
есть множество всех к -а. мер ограниченной вариации, определенных на С и обладающих слабой абсолютной непрерывностью [10] относительно г). Мы используем меры из множества
5,(?) = {/*еАч[?]| ««(/)& lt- с} ?2. 3)
в качестве обобщенных управлений (см [2, с. 48]). Напомним, что ??*(/,?) -пространство, топологически сопряженное к банахову пространству В (1, ?) в традиционной вир-норме [8, с. 261], изометрически изоморфно А (?) в сильной норме, а сам изометрический изоморфизм А (?) на В*(1,С) определяется простейшей конструкцией интегрирования [1, с. 69, 70] (см. также [11]) Это свойство позволяет оснащать А (?) *-слабой топологией [12]- эту топологию, следуя [1, 2], обозначаем через т*(?) (общее определение см. в [8, гл. У]- конкретизация приведена в [1, с. 71]). Условия компактности в
(А (?), т*(?)) (2. 4)
определяются известной теоремой Алаоглу [8, с. 459] (следствие теоремы Тихонова [13, 14]) — конкретизация общих положений приведена в [1, с. 71]. Нам потребуется понятие неопределенного интеграла относительно меры г/. Следуя [1, с 70], обозначаем для /? ??(/,?) через / * г) неопределенный-интеграл 1, получая всякий раз к. -а. меру из А7?[?]- будем использовать основное свойство неопределенного интеграла [1, (3.4. 11)]. Напомним, что [1, с 82] множество (2. 3) компактно в топологическом пространстве
виде всюду плотных, относительно ТП (2. 4), подмножеств (см. [1,. 87]). При этом конкретная схема аппроксимативной реализации обобщенных элементов (ОЭ) ц? 2с (?) в классе / € ?7о приведена в [2, с. 245]. Если? € /о, то отображение т Ф (?, т)6(т): / -& gt-• Л& quot- таково, что все его компоненты — суть элементы В (1, ?) — мы учитываем здесь свойство непрерывности ?15] матрицанта (фундаментальной матрицы решений) системы при изменении переменных в пределах /о- С учетом этого обстоятельства полагаем Чр € А (?) Ш? 10
= оЬ+ I ФЦ, т) Ь (т)ц (с1т). (2. 5)

Далее, мы рассматриваем (2. 5) как траектории обобщенной системы, полагая
УмеА (2. 6)
В виде (2. 6) мы имеем всякий раз отображение из /о в Л& quot-. Условимся о следующем обозначении:
X = {"^: е Ес (?)}. (2. 7)
Пространство Е всех п-вектор-функций на /о оснащаем естественной топологией Т поточечной сходимости. Если (О, — направленность в Е и I С Н, то сходимость [13,14] (?& gt-,^,/1) в (Е, Т) к X имеет место тогда и только тогда, когда для каждого i 6 /о направленность
сходится к 1(1) в К& quot- с обычной топологией покоординатной сходимости. Здесь и ниже мы используем для обозначения направленностей и сходимости направленностей (сходимость по Мору-Смиту) символику [2, с. 34]. Через с/(-, т) будем обозначать оператор замыкания в ТП с топологией т. Для замыканий в К& quot- будем использовать более простое обозначение: замыкание множества А, А С К& quot-, обозначается через А, т. е. А — с1(А, т
Нашей ближайшей целью будет устанавление совпадения с1(Х, о, Т), с1(Х, Т) и X. Из этого утверждения как следствие будем извлекать аналогичные соотношения для О Д Со, О и
о =: V е Ес (?)} - {х (0о) *(•) €
Нашей ближайшей целью будет установление следующих равенств
(С = О = СоЩХ = с1(Х, о, Т) = с/(Д Т)), (2. 8)
где черта сверху обозначает замыкание в Rn с топологией т'-1'-^ покоординатной сходимости. Напомним в этой связи, что простанство (Е, Т) есть тихоновское произведение (см. [13, 14]) экземпляров (Rn, T^) с индексным множеством /ц. Для доказательства (2. 8) будем использовать & quot-стандартные"- свойства непрерывных операторов на компактных ТП и аппроксимативную конструкцию [2, с. 244, 245]. В связи с (2. 1), (2. 5), (2. 6) отметим, что при условии / G В (1,С) и ц = f * т) имеет место равенство ipj = ф^ (см. в этой связи [1, с. 70]). Это свойство позволяет утверждать, что
(Со С С С G) k (X0 С Л& quot- С Л& quot-). (2. 9)
С учетом (2. 9) и свойства замкнутости [13, 14] непрерывного оператора, действующего из компактного пространства в хаусдорфово, можно установить следующую цепочку вложений (существенную в плане доказательства (2 8))
(Go С G С G) k{cl (X0, Т) С cl (X, Т) С X). (2. 10)
В'- самом деле, Go С G и cl{Xo, T) С cl (X, T) в силу монотонности оператора замыкания в произвольном ТП. По определению ТП (2. 4) мы имеем при t G /о свойство непрерывности оператора
/i^^(i): А (?) -*Rn (2. 11)
в смысле топологий т"(?), т^. В частности, это свойство имеет место при t = до. Тогда по определению G имеем (в виде G) нерперывный образ компакта Е ((?). Тогда G — компактное множество в (Rn, T^) и, стало быть, G есть множество, замкнутое в смысле Поскольку при этом
G С G, то, по определению замыкания, G С G. Тем самым завершается обоснование первой цепочки вложений.
Из непрерывности операторов (2.1 J) при каждом t G /о вытекает, что и оператор
(2. 12)
непрерывен в смысле топологий г*(?), Т. В этом случае пучок (2. 7) как непрерывный образ компакта компактен в ТП (H, T), а в силу отделимости последнего, S (2. 7) — замкнутое множество. Тогда согласно (2. 9) имеет место вложение cl (X, T) С X, чем и завершается проверка (2. 10) в целом. Покажем, что
X С cl (X0, Т). (2. 13)
Для обоснования (2. 13) будем использовать конструкцию [2, с. 245]. Пусть выбрано произвольное движение х (-) = (?(i))ie/0 G X, после чего подберем fi G Н ((?) так, что при этом х (-) = ф^. Это означает, что х (-) есть отображение из /о в R™ такое, что V? G Iq: x{t) = фц{€). Воспользуемся
отображение из Iq в Rn такое, что Vi? /о: x (t) — & lt-i>-?{t). Воспользуемся непрерывностью оператора (2. 12). Рассмотрим множество D, определяемое соотношением (3.6. 10) [2] при Е ¦= I, так что D есть множество всех неупорядоченных конечных разбиений I- мы оснащаем D направлением ч [2, с. 48], соответствующим свойству вписанности одного конечного ?-разбиения I в другое. Если 1С? D, то (поскольку? ? Ач[?]) оределяем 0/-[/С]? Bq (I,?) в соответствии с [2, с. 244]. При этом (см. [2, с 45, 56, 245]) имеет место свойство: @^[/С]? Fo при /С? D. Как следствие имеем V/CeD
& lt-Р/ 1/=0м[К]е & lt-*0. (2. 14)
Заметим теперь, что 0^[/С] * г)? А,[?], так что движение (2. 14) есть
фр при v = Q?[K. }*rj, если только К.? D. Рассмотрим оператор ф = ©?Д-]*т) % с. 245], т. е.
/С ^ 0М[/С] *i]: D -& gt- Аг,[?].
Дополняя этот оператор направленным множеством (D,-& lt-), D ф 0, мы получаем [2, с. 245] сходимость
(D. ^VO^V (2. 15)
В силу непрерывности оператора (2. 12) получаем, что
В свою очередь, из соображений, связанных с представлением траекторий вида (2 14), мы получаем при К.? D, что
& lt-Л=>-М[/С] = 4& gt-v [К]*т]= Фф (К.) — (2−17)
Стало быть, у нас (см. (2. 16),(2. 17)) имеет место сходимость
(2Л8)
Из (2 14),(2 18) вытекает [13,14], что
?('-) = Фц е cl[X0,T).
Поскольку выбор ж (-) был произвольным, установлено вложение
X С cI (Xq, Т). (2 19)
Из (2 10) и (2 19) мы получаем, что справедлива
ТЕОРЕМА 2.1. Каждое из множеств Х, Хд всюду плотно в X в смысле ТП {Б, Г): с1(Х0,Т) = с1{Х, Т) =
3. Управляемая система с импульсным ограничением, включающая линейную часть и нелинейный безынерционный
преобразователь
В настоящем разделе мы рассмотрим комбинацию системы (1. 1) и нелинейного безинерционного блока, определяемого непрерывным оператором д Ип -& gt-• И& quot-1, где пит — натуральные числа. Итак, мы рассматриваем систему, в которой действие управления / С ^ характеризуется & quot-траекторией"-
1^д{х1(1)): 10->-В. т, (3. 1)
которую мы условимся обозначать через), так что Zf (t) — д{х]{Ь)) при? 6 /о- При переборе всех /? /& lt-о (всех / € ]?) реализуется пучок (пучок Z) всех возможных траекторий Zf (). Мы рассматриваем замыкания множеств ъ естественной топологии поточечной сходимости пространства т-вектор-функций и его представление в терминах к. -а. управлений-мер.
В связи с нелинейным преобразованием в (3. 1) полезно отметить некоторые модели, используемые в теории радиотехнических цепей [16, гл. 11] К числу устройств такого рода могут быть отнесены, в частности, полупроводниковые приборы, характеризуемые своей вольтамперной характеристикой Конструкции такого рода (см. (3 1)) могут рассматриваться, в частности, в качестве фрагмента типового радиотехнического звена [16] С учетом (3 1) мы введем в рассмотрение специальный оператор в, переводящий Н в множество Т всех функций из /о в И. "-1 Полагаем, что С есть, по определению, отображение
(3. 2)
Мы оснащаем Т естественной топологией 0 поточечной сходимости (при этом РТ& quot- оснащаем & quot-обычной"- топологией покоординатной сходимости, т. е. (Т, 0) есть тихоновское произведение экземпляров К& quot-1. В силу непрерывности оператора д имеем, что отображение С непрерывно в смысле ТП (Н, Т) и (Т,& amp-). Мы учитываем при этом свойства [2,. 35] и тот факт, что С (Х)(?) — д (Х (Ь)) при X? Е и? ? /о- В качестве X можно, конечно, использовать (как и в (3. 1)) & quot-обычные"- траектории системы (1. 1). Можно, однако, в качестве X использовать обобщенную траекторию фц, где ц? А (?). В последнем случае естественно возникает суперпозиция операторов (2 12) и (3 2): е отображение
М С (^). А (?) Т,
(3. 3)
непрерывное в смысле ТП (2. 4) и (Т, 0). Поскольку (Т,& lt-9) — хаусдорфово
ТП, то множество
?й{0{ф»). «еЕс (С)} (3 4)
компактно в (Т, 0) как непрерывный образ компакта. В частности, 2 (3 4) — замкнутое в (Т, & amp-) множество. Напомтш, что
(2о = {-?/(•) • / е })Ь (2 =) /6^}) (3 5)
Если / б -Р, = то
= 0 = = {з{ч& gt-^)))ш0 = СК^/) = */(•)
Таким образом, у нас
?о С 2 С ?, (3 6)
г к / * г]? Н при / Е F Из (3 6) и замкнутости 2 вытекает, что
с1{2о, 0) Сс1{2,0) С 2 (3 7)
Рассмотрим доказательство вложения
?Сс1{2о, 0), (3. 8)
действуя по аналогии с обоснованием (2. 19) Пусть г € 2 Тогда, используя (3 4), подберем I/ € Нс (?) так, что г = С ((/3») Рассмотрим направленное множество (В,-& lt-:), В ф 0, а также оператор ©?,[]. Мы получаем в виде (Б, -& lt-, 0"[ ]) направленность во, которая посредством процедуры [1, (2 3 9)] может быть погружена в Н, (?) А именно, мы рассматриваем оператор ж ^ 0, у[ ] * г] вида
(c)"[?]* г/ Б-^А^]
При этом, как и в (2 15), имеем [2, с 245] сходимость (0,-^, ае) к и в ТП (2 4) С другой сюроны, как всякая суперпозиция непрерывных функций, непрерывно отображение (3 3) Поэтому имеет место сходимость
. (со^и))^) ® ош
Иными словами,
(3−8)
При этом (c)"[?] € Fo при /С € D [2,. 45,56,245], а тогда VK € D:
G (?e"[K: ]"f) = G (ve"[/q) = *e"[x: ](-) € 2о- (3. 9)
Из (3. 8),(3. 9) вытекает по теореме Биркгофа, что z € cl (Zo,& amp-). Поскольку выбор z был произвольным, установлено вложение (3. 8). Из (3. 7),(3. 8) вытекает
ТЕОРЕМА 3.1. Справедлива следующая система равенств
Z = cl{Z{h0) = cl{Z, 0).
ЗАМЕЧАНИЕ 3.1. С помощью аналогичных рассуждений можно (для системы, включающей нелинейный преобразователь) построить обобщенное представление в классе к. -а. мер для замыкания ОД в пространстве Rn. Это представление аналогично первому утверждению (2. 8).
Список литературы
Ченцов А. Г. Конечно-аддитивные меры и релаксации экстремальных задач. Екатеринбург: Наука, 1993. 232 с.
Chentsov A.G. Asymptotic attainability. Kluwer Academic Publishers, 1997. 322 c. Красовский H.H. Теория управления движением. M.: Наука, 1968. 476 с. Красовский Н. Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с. Панасюк А. И., Панасюк В. И. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем. Минск: Наука и техника, 1986. 296 с. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. 309 с. Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. 576 с.
Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Иностр. лит., 1962. 895 с.
Ченцов А. Г. К вопросу об условиях асимптотической нечувствительности достижимого множества при возмущении части ограничений/Вестн. Челяб. ун-та № 1(3). 1996. С. 189−205.
Bliaskara Rao K.P.S., Bhasltara Rao M. Theory of charges. A study of finitely additive measures. London: Acad. Press, 1983. 253 p.
Semadeny Z. Banach spaces of continuous functions, volume 1. Waiszawa: PWN Polish Scientific publishers, 1971. 584 p.
Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с. Келли Дж.Л. Общая топология. М.: Наука, 1981. 431 с. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 751 с.
Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 322 с.
Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высш. шк., 1988. 448 с. Summary
The closure of the bundle of trajectories of a linear system with integral constraints is considered. The differential equation contains a discontinuous dependense. The exlension in the class of finitely additive measures is constructed As a result, the closure of the bundle in the topology of point-wise convergence is obtained.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 11.
12.
13.
14.
15.
16.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой