Обобщенный оператор Данкла

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ISSN 2074−1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 1 (2014). С. 59−68.
УДК 917. 53, 917. 98 ОБОБЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР ДАНКЛА
И.И. КАРАМОВ, В.В. НАПАЛКОВ
Аннотация. В статье введен обобщённый оператор Данкла, действующий в пространстве целых функций на C, изучены задачи гармонического анализа, связанные с этим оператором, и показана его взаимосвязь с оператором обобщённого дифференцирования Гельфонда-Леонтьева.
Ключевые слова: Оператор Данкла, собственная функция, оператор свертки Данк-ла, преобразование Данкла, характеристическая функция, гиперциклический оператор.
Mathematics Subject Classification: 47B38
1. Введение
Пусть H (C) — пространство целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах, H*(C) — сильное сопряженное пространство к H©, Рс — пространство целых функций экспоненциального типа. Известно, что пространство H*© изоморфно пространству Н0({то|) — пространству аналитических функций в окрестности бесконечно удаленной точки, обращающихся в точке ж в нуль (см., например, [1]). Более того, если F Е H*© и gp Е H0({to}) — соответствующая функция (согласно указанному изоморфизму), то
(F /) = 2″ / / (z)gp (z) dz, (1Л)
C
где / Е H©, C — замкнутый спрямляемый контур, охватывающий все особенности функции gp и лежащий в области аналитичности этой функции.
Рассмотрим обобщённый оператор Данкла Л на H (C)
, m- 1
Л/(z) = dzf (z) + z ^ aj/ (ajZ), Z Е C, (L2)
j=о
где aj = e"mr, j = 0, m — 1, / Е H©, m — фиксированное натуральное число, причем m ^ 2. Не ограничивая общности, в дальнейшем будем считать, что с =1.
Этот оператор обобщает ранее изученный в работе [2] оператор Данкла
d с
D/(z) = dzf (z) + z (/(z) — /(-z)), z Е C'-
Операторы Данкла (см. [3]) — это дифференциально-разностные операторы, связанные с конечными группами отражений в некотором евклидовом пространстве. Эти операторы играют важную роль в различных задачах математики и физики (см., например, [4]). Изучим задачи гармонического анализа, связанные с оператором (1. 2) (операторы сдвига Данкла, свертка Данкла, преобразование Данкла и т. д.).
I.I. Karamoy, V.V. Napalkov, Generalized Dunkl operator.
© Карамов И. И., Напалков В. В. 2014.
Работа поддержана РФФИ (грант 11−01−97 019).
Поступила 26 декабря 2013 г.
Рассмотрим функцию д Є Но ({то}):
т- 1 2пі. 7
1 X---------Л Є т
д (*) = 72 + ^
г2 г — 2п^'-
. 7=0 т
Согласно вышеуказанному изоморфизму, этой функции соответствует функционал Р € Н*©. Возьмём преобразование Лапласа данного функционала: -Р (^) = (Р,). При-
меняя (1. 1), преобразование Р можно записать в виде:
1 Г 1 Г (1 т-1 ^пи
Г& lt-"-) = «/е'-» ^) * = 2л /"'-" (? + § ^ =
т- 1
^ ^ є^(м+1). (1. 3)
і=о
Здесь контур С охватывает начало координат и точки ^т^, І = 0, т — 1. Введём теперь функцию
г к
у (г) = 1 + У^ ^---------------^. (1. 4)
{=1 -Г (1)-Г (2) … ^)
Во втором разделе изучаются свойства собственной функции у л оператора Л, соответствующей собственному значению Л и удовлетворяющей условию ул (0) = 1, и будет показано, что функция у определяется соотношением ул (г) = у (Лг), где функция у имеет вид (1. 4). Далее по (1. 2) строится оператор сдвига Данкла тад (раздел 3):
СЮ к
__ у и
(тадf)(г) = f (г) + -------------- Лкf (г), г, € С. (1. 5)
к=1 -Г (1)_р (2) … ад
Тогда оператор свертки Данкла функционала Т € Н*© и функции f € Н© определяется следующим образом:
МТ [Жг)= Т * f (г) = (Т™, (Гад f)(г)) ^ € С. (1. 6)
В завершение вводится преобразование Данкла функционала Т € Н*(С):
(r)(Т)(Л) = Т (Л) = (Т, у (Лг)), Л € С, (1. 7)
которое устанавливает топологический изоморфизм пространств Н*© и Рс, а также рассматриваются уравнения обобщенной свертки (однородное и неоднородное).
2. Собственная функция оператора Л
Предложение 1. а) Собственная функция ул оператора Л, соответствующая собственному значению Л и удовлетворяющая условию ул (0) = 1, единственна и определяется по формуле (1. 4).
б) Функция у (г) является целой функцией экспоненциального типа, причем ее тип о = 1. Доказательство. а) Действительно, пусть у имеет вид (1. 4), тогда
Л (у (Лг)) = Л (1 + § Г Г^ Г Г Гк'-Л (гк) Г. (2. 1)
V к=1 ^(1)^(2) … Г (к)/ к=1 _/^(1)_Г (2)…. Г (*)
Учитывая, что
т- 1 т- 1
Л (гк) = гк + - V, а («кгк) = кгк-1 + - V -к+^к —
а^- г =
7=0
7=0
т1
к + 5] ак+Ч гк-1 = адгк-1, к Є Н, Р (0) = 0, (2. 2)
7=о
получим
Л (у (А-)) = ?
к ~к-1
Ак 2'-
-І?(к) = А 1 + ?
кк
Ак 2
АУ (Аг).
к=1 Р (1)Р (2)… ОД V к=1 ^(1)^(2)… Р (к)
Докажем теперь единственность собственной функции. Пусть й € Н© такова, что
СО к=0
СО 1 СО
Л (^(А2)) = А^(Аг). Если ^(г) = ^^0 Ьк2к, где Ь0 = 1, то
ЛДОг)) = ^ Ьк Ак Л (гк) = ]& gt-] Ьк АкР (к)гк-1 = - ^] Ьк І^(к)(Аг)к.
к=0
к=1
к=0
С другой стороны,
ЛДОг)) = А? Ьк (Аг)к.
(2. 3)
(2. 4)
к=0
Так как Ь0 = 1, из (2. 3) и (2. 4) следует, что
Ь,
к=
-, к = 1, 2,
адад … ад
Следовательно, й (Лг) = у (Лг). б) Напомним, что функция f € Н (С) — целая функция экспоненциального типа, если
3 С, а & gt- 0: ^(г)| ^ Се"|г|, г € С.
Из (1. 4) следует
Ок
|у (г)| ^ 1 + § ^----. (2. 5)
|1л к=1 |-Г (1)-Г (2)… ад| '- -
Оценим выражение |-,(1)-'-(2)… Р (к)|. Имеем
|-Г (1)-Г (2) … ад| = |?(1)||?(2)|… |%)| =
т1
1+
4 пі]
Є
7=0
т1
т- 1
«п+?
7=0
І 4пі]
І є
2+
7=0
т- 1 2+ ?
6пі]
Є т
т1
к+
2(^: +1)пі]
Є т
7=0
т1
6пі]
Є т
І=0
= (1 + т)(2 + т)… (к + т) Поскольку -'(к) принимает следующие значения:
.. к +
7=0 '- (к + т)!
2(^+1)пі]
Є т
т!
ад =
то, очевидно,
к + т, если к = /т — 1, / € N к, если к = /т — 1, / € N
|І^(1)І^(2)… І^(к)| ^ к!
(2. 6)
1
Таким образом,
к! ^ |Р (1)Р (2) … Р (к)| ^ (к + т)!. (2. 7)
т!
Из (2. 6) получаем
СЮ
|у (г)1 & lt- 1 + ^ -
к!
^ Ы к
2)і ^ 1 +? ТГ = ЄИ. (2. 8)
к=1
те ¦
т!. к
Рассмотрим функцию ^(г) = 1 + N Л -------------- гк. Вычислим её порядок. Напомним, что
^ (к + т)!
те
к
порядок произвольной целой функции f (г) '- акгк можно вычислить по формуле
(см. [5])
к=0
-- к 1п к
Р/ =, 1]^ГШ
к^те 1п —
1 «к 1
Следовательно,
- к 1п к- к 1п к
р^ = 11 т — = 11 т --------- --- ----г =
к^о 1п (к+т) — к^о 1п (к + т)! — 1п т!
т!
-- к 1п к -- к 1п к
= 11 т --- = 11 т ---------- --------------= 1.
к^°& gt- 1п к! к^° 1пу2пк + к (1п к — 1)
1 т!
Поскольку ---------------------- ^ -------------------, то порядки соответствующих функций удовле-
|_Г (1)_Г (2) … _Г (к)| (к + т)!
творяют неравенству ру ^ р^. Используя оценку (2. 8), заключаем, 1 ^ ру ^ 1. Последнее
означает, что порядок функции у также равен 1.
Вычислим тип у. Так как ру = 1, то для вычисления типа можно использовать формулу (см. [5])
1
к
11 т ку |ак | = (о/ер/) pf, (2. 9)
к^о
где ак — коэффициенты функции f € Н ©, 0 & lt-р/ & lt- то и о/ - порядок и тип f соответственно.
В нашем случае
ак = ----------, к =1, 2,…, а0 = 1.
Р (1)Р (2) … Р (к)
Тогда, используя оценку (2. 6) и формулу Стирлинга к! л/2пк (-)к, выводим
_______. ------------------ -------------, 1 _____________________________________________________ 1
1]т к ру у |ак | = 1іт к л------------------------------------------------------------= 1іт к-
к^те к^те у |і7'(1)і7'-(2) … Р (к)| к^те ^к! іїт к-= є їїт -^ = є.
к^те к (2пк) 2к к^те (2пк)

Применяя (2. 9), находим, что оуе = е. Следовательно, оу = 1.
Таким образом, у € Рс.
Предложение 2. Имеет место следующая формула произведения
у (Лг) ¦ у (Лш) = тад (у (Л.))(г), г, ш € С. (2. 10)
1
Доказательство. Используя (1. 4), получим
(° Лк ?& lt-|к О щк
у (Лг) ¦ у (Лп) = 11 + ^^ ------ I ¦ у (Лг) = у (Лг) + V& quot-1 --------------Лку (Лг).
V к=1 -Г (1)-Г (2) … ВДУ у () у () к=1 -^(1)-Г (2) … Р (к) у ()
Так как Лку (Лг) = Лку (Лг), то
Ок _ 7/ /
у (Лг) ¦ у (Лп) = у (Лг) + -----------Лку (Лг) =
к=1 -?(1)-?(2) … Р (к)
Ок
= у (Лг) + ^ ------------- Лку (Лг) = тад (у (Л.))(г).
к=1 ^(1)-Г (2)… -Г (к)
3. Оператор сдвига Данкла. Свертка Данкла Рассмотрим вначале свойства оператора (1. 2).
Предложение 3. Оператор Л осуществляет непрерывное отображение из Н© в Н ©.
Доказательство. Пусть / Є Н©. Не теряя общности, можно положить / (0) = 1. Запишем (1. 2) в следующем виде:
т- 1 т- 1
Л/(г) = /'-(г) + -? а7(/(а7г) — 1) + -? а7 =
7=0 7=0
1 1 1
т-1 (/ () _ 1) т-1 г
=/'-(г) +? а -7- =/'-(г) +? а2 //(а72і)^ (3. 1)
7=0 г 7=0 0
Тогда для любого Я & gt- 0, используя интегральную формулу Коши, получаем
т- 1
1|Л/"я & lt- ||/'-Ия +? |а,|2||/'-||я = (т. + 1)||/'-||я «(т. + 1)
R
j=0
где II/1|я = max |/(z)|. Таким образом, Л: H© ^ H (C) — непрерывный оператор.
|z|^R
Теорема 1. Если / є H©, f (0) = 1, то / представляется в следующем виде:
/(z)=1 + Е F (Лf)(0)F zk, є C.
F (1)F (2)… F (k)
Доказательство. Пусть
те
/(z) = anzn, a0 = 1, z є C. (З. 2)
& quot-=0
Тогда в силу непрерывности оператора Л для любого k є N
те
(Л' /)(z) = Е «пЛ' (z& quot-),
& quot-=1
л* (z& quot-) = F (n)F (n — 1) … F (n — k + 1) z& quot--k, k = 1"П, n =1, 2,…
В частности, Лк (гк) = -,(к)-'-(к — 1)… Р (1) и Лк (гп) = 0 при п & lt- к или п & gt- к. Следова-
тельно,
(Лк f)(0) = ак %)Р (к — 1) … Р (1).
Отсюда
«к = Г, к = 1,2,…
_Г (к)_Г (к — 1) … -Г (1)
Подставляя последнее в (3. 2), получаем утверждение теоремы.
Предложение 4. Ряд (1. 5) сходится в Н© и тад: Н© ^ Н© является непрерывным оператором.
Доказательство. Пусть f € Н©. Из (3. 1) получаем
1 1 1111
т- 1 т- 1 т- 1
)(г) = №) + § О?! / (1 + ал^& quot-(ал^ а22 / / ^& quot-(аЛ0/2г*1 *2) ,
71 =0 0 /1=0 /2=0 0 0
1 1
т- 1
(л3f)(г) = f& quot-/(г) + § а21 / (1 + ал * + а21*2)/г & quot-/(ал ^ й*+
/1=0 0
11 11
т- 1 т- 1
+? Еал «22 / / *1(1 + а/ *1 + а/а/2^^^(а/ а/2г*1*2) й*1й*2+
Л=0 /2 =0 0 0
1 1 1
т- 1 т- 1 т- 1
+ ^Х!а41 а32 а2з / / / *?*2f ///(а/1 а/2 а/3 г*1*2*з) й*1^*2 й*з.
__П л'-_П л'-__п и и и
а/1 а/2 а /1=0 /2=0 /з=0 0 0 0
По индукции выводим
п т-1 т-1
(л& quot-f)(г) = (п) м + § §… § «к+Ч… «2, —
к=1 /1=0 =0
1 1
(п)
… Рк, п (*1,…, *к)f (п)(ал … а/, г*1… *к) й*1… й*к
00
где Рк, п — многочлен по *1,…, *к, 1 ^ к ^ п, удовлетворяющий неравенству
п
|Рк, п (*1,.. ,*к)| ^ (к), *1,.. ,*к € [0, 1].
Тогда, учитывая, что |а/11 = |а/21 = … = |а/к | = 1, к = 1,…, п, п =1, 2,…, получим
п / т-1 т-1
||Л'7Ия & lt- и/(п)Ия + § к § … § |ал |к+'К|к … Кг2/(п)Ия =
к=1 '- /1=0 /к =0
т- 1 т- 1
1 + § … §& lt-2"- - Ч) и/(П)Ия = & lt-! + & lt-2"- - 1& gt-т"-)И/(п)Ия
/1=0 /к=0
По интегральной формуле Коши для любого Я & gt- 0
и/(п) Ия «Яп И/||2я.
Тогда
n!
ЦЛ'-7Ия в (1 + (2n — 1) mn)-И/"2Я
(З. З)
Используя (3. 3), находим, что для любого R & gt- О и |z| в R
^"(Лп/)(z)
lim
n
F (1)F (2) … F (n)
n в lim Ш"ИЛ» / || R
n^-те n!
в
2m|w|
R
Отсюда следует, что для любого г, и& gt- Е С ряд (1. 5) сходится и, к тому же, сходится равномерно на каждом компакте С х С. Таким образом, тадf Е Н©. Покажем теперь, что ||т-шf ||я ^ М (Л, эд)|^ |2д+4т|ад|. Из этой оценки будет следовать непрерывность оператора тад. Действительно, применяя (3. 3), получим
|Tw/ «Я в ||Tw/ «R+2m|w| -
/(z) + Е
wk
= F (1)F (2) … F (fc)
Лк / (z)
в
R+2m|w|
в
1 + Е
|w|
k=1
(R + 2m|wfyk (1 + (2& quot- - 1) m& quot-W И/"2(R+2m|w|) в M (R, w)||/"2R+4m|w|.
Полученный ряд сходится, так как
-- /(1 + (2k — 1) mk)|w|^ fc lim
к^те (R + 2m|w|)k
Следовательно, tw — непрерывный оператор.
2m|w|
R + 2m|w|
& lt- 1.
Следующее утверждение характеризует взаимосвязь обобщенного оператора Данкла и оператора Гельфонда-Леонтьева.
Теорема 2. Оператор (1. 2) представляет собой частный случай оператора обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева.
Доказательство. Возьмем функцию f Є Н (С):
те
/» = ?
z) = у anZ
n=0
Оператор обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева (см. [б]) действует на функцию / следующим образом:
'-k[f 4z) = V an zn-k,
bn
n= k
Dk [/](z) = Е'-
где bn — коэффициенты некоторой целой функции F (z) порядка p (0 & lt- p & lt- то) и типа a (0 & lt- a & lt- то), причем bn = 0, n ^ 0 и существует
lim np у |bn| = (aep) p.
(3. 4)
Рассмотрим функцию
y (z) = Е 6"z» =1 + Е
n=0
=1 F (1)F (2)… F (n)
b0 = 1.
1
n
z
Очевидно, bn = 0, n ^ 0. Так как функция у экспоненциального типа, то, учитывая, что, а = 1, используя оценку (2. 7) и формулу Стирлинга, получим
1, 1
lim nу |-n| = lim n-. = = lim n-. -
у'- |І?(І)І?(2) … i?(n)i
= lim n------------ = e lim ----------- = e.
n (2nn) 2П (2nn) 2П
Следовательно, условие (3. 4) выполняется. Подействуем теперь на f Є H© оператором Л:
те
Лf (z) =? a,^(z»).
n=1
vn- 1
Из (2. 2) следует, что Л^п) = F (n)zn 1. Следовательно
те те ,
Лf (z) =? an-F (n)zn-1 =? а™-П-1 zn-1
-n
n=1 n=1
тете
-n 2
Л2f (z) =2 anF (n^(zn 1) = anF (n)F (n — 1) zn 2 = ^ -
n=1 n=2 n=2
По индукции по числу к находим, что если выполняется равенство
те те ,
Лк-1/(г) = У а"Р (пШп — 1)… Р (гс — к + 2Ьга-к+1 = V а"/
-п
«,=& amp--1 «,=& amp--1
Тогда
те
Лк/(г) = Л (Лк-1/(г)) = ^ а"Р (п)-Р (п — 1)… Р (гс — к + 2) Л (гга-к+1)
n=k-1
те те
n-к ___ л -n-к _n-к
= ^'-
n= k n= k
anF (n)F (n — І)… F (n — k + 2) F (n — k + 1) zn к = an V «z
-
n=
Таким образом, получили требуемое представление.
Приведем далее некоторые свойства оператора свертки Данкла (1. 6). Пусть X — топологическое векторное пространство, Ь — линейный непрерывный оператор в X.
Определение 1. Линейный непрерывный оператор Ь: X ^ X называется гиперцик-лическим, если существует такой элемент х Є X (называемый гиперциклическим вектором оператора Ь), что его орбита {Ьпх, п = 0,1, 2,… } плотна в X.
Каждый гиперциклический оператор Ь является топологически транзитивным в смысле динамических систем, т. е. для любой пары открытых и непустых подмножеств и и V в X найдется п Є N такое, что Ьп (и) П V = 0.
Определение 2. Точка х Є X называется периодической для Ь, если Ьпх = х для некоторого п Є N.
Определение 3. Оператор Ь: X ^ X называется хаотическим, если он является топологически транзитивным и имеет плотное множество периодических точек.
Предложение 5. Пусть Т Є Н*©.
1) Оператор (1. 6) действует непрерывно из Н© в Н©.
2) Оператор свертки Данкла является гиперциклическим и хаотическим на Н©.
Доказательство.
1) Рассмотрим последовательность (/п)пем Є Н (С):
/п ^ /, Му[/"] ^ # при п ^ то, /,# Є Н©.
Для любого Ш Є С из Предложения 4 следует
Тш/п ^ / при п ^ то в Н©.
Тогда
Мт[/п](г) ^ Мт[/](г) при п ^ то для любого г Є С.
Применяя теорему о замкнутом графике, получаем, что Му: Н© ^ Н© является непрерывным оператором.
2) Так как обобщенный оператор Данкла является частным случаем оператора обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева, то справедлива Теорема 1 (из работы [7]), из которой следует гиперцикличность и хаотичность оператора свертки Данкла (1. 6).
4. Следствия из теоремы 2 Из теоремы 2 вытекает ряд важных следствий.
4.1. Преобразование Данкла. Обозначим через Ра© пространство целых функций экспоненциального типа:
|/(г)| ^ Се"|г|, г Є С, С, а & gt- 0,
где постоянная С зависит от /.
Введем на этом пространстве норму ра:
Ра (/) =™р I/(-)|е-«М.
гЄС
Как известно, Ра (С) — банахово пространство. Тогда
РС = У ^"©.
а& gt-0
Рс наделяется топологией индуктивного предела.
Определим преобразование Данкла функционала Т Є Н*© по формуле
те
Ф (Т)(г) = (Тш, у (шг)) = ао + п----- гп,
()() (У ()) ^(1)Р (2)… Р (п)
где ап = (Тш, шп), п & gt- 0, г Є С.
Применяя результат из работы [8], получим
Следствие 1. Преобразование Данкла ® устанавливает топологический изоморфизм между пространствами Н*© и Р©.
4.2. Уравнение свертки, порожденное обобщенным оператором Данкла. Рассмотрим оператор свертки Данкла Мт[/](г) = (Тш, (тш/)(г)), г, ш Є С. С учетом (1. 5) перепишем его в следующем виде
те те
Мт [/1& lt-2) = ао/(г) + к Я1) Р (2Т… %)Л/(г) =? ^И'- (4'-1)
где
Со = ао, с* = ^ в*-^-, а* = (Тш, ш *), к = 1, 2,…
Р (1)Р (2) … Р (к)
4.2.1. Однородное уравнение свертки. Однородное уравнение свертки — это уравнение вида Мт[/](г) = 0. Из (4. 1) получаем
те
Мт [/](*) =? Ск Л' / (-)=0. (4. 2)
к=0
Характеристическая функция уравнения (4. 2):
Т (А) (Т, у (^)} «о +? ]?(1)]?{2) Л? СкА ¦
Учитывая Теорему 2 и результат из работы [9], получим, что уравнение (4. 2) имеет решения вида гту (т)(Агаг), т = 0,1, ¦ ¦ ¦, рп — 1, п =1, 2, ¦ ¦., где Аі, А2, ¦ ¦ ¦ - нули характеристической функции Т (А) кратности р1, р2, ¦ ¦ ¦ соответственно.
Решения вида гту (т){Агаг), т = 0,1, ¦ ¦ ¦, рп — 1, п =1, 2, ¦ ¦ ¦ назовем элементарными решениями уравнения (4. 2). Обозначим множество таких решений через Е. Пусть Ш -множество всех целых решений уравнения (4. 2). Тогда из [9- Теорема 3.3. 5] вытекает
Следствие 2. Замыкание линейной оболочки множества Е в Н© совпадает с Ш. Рассмотрим в Н© неоднородное уравнение свертки
Мт[/](^ = д (^ ?(^) є Н©. (4. 3)
Следствие 3. ([9]) Уравнение (4. 3) разрешимо в Н© для любой функции д є Н©.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956.
2. J.J. Betancor, M. Sifi, K. Trimeche Hypercyclic and chaotic convolution operators associated with the Dunkl operators on C // Acta Math. Hungar. 106: 1−2 (2005). P. 101−116.
3. C.F. Dunkl Differential-difference operators associated with reflections groups // Trans. Amer. Math. Soc. 311:1 (1989). С. 167−183.
4. M. Rosier Dunkl operators: theory and applications // Orthogonal Polynomials and Special Functions (Leuven, 2002) Lecture Notes in Math. 1817. Springer-Verlag. Berlin. 2003. P. 93−135.
5. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука. 1983. 77 с.
6. Гельфонд А. О., Леонтьев А. Ф. Об одном обобщении ряда Фурье // Матем. сб. 29:3. 1951. C. 477−500.
7. Ким В. Э. Гиперцикличность и хаотичность операторов обобщенной свертки, порождаемых операторами Гельфонда-Леонтьева // Матем. заметки. 85:6. 2009. С. 849−856.
8. Панюшкин С. В. Обобщенное преобразование Фурье и его применения // Матем. заметки. 79:4. 2006. С. 581−5596.
9. Леонтьев А. Ф. Обобщения рядов экспонент. М.: Наука. 1981. 299 с.
Ильмир Иршатович Карамов,
Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. Карла Маркса, 12,
450 008, г. Уфа, Россия
E-mail: ilmir. karamov@gmail. com
Валентин Васильевич Напалков,
Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,
450 008, г. Уфа, Россия E-mail: napalkov@matem. anrb. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой