Об одном автомодельном решении уравнения фильтрации газа в сферически симметричной пористой среде

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Известия вузов. Математика 2008, № 8, с. 58−69
http: //www. ksu. ru/journals/izv_vuz/ e-mail: izvuz. matem@ksu. ru
Л.Д. ЭСКИН
ОБ ОДНОМ АВТОМОДЕЛЬНОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА В СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОЙ
ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
Аннотация. Построены формальное в окрестности точки r = ж и сходящееся в окрестности точки r = 0 разложения решения автомодельной задачи Коши для уравнения Буссинеска, описывающего фильтрацию газа в сферически симметричной пористой среде.
Ключевые слова: автомодельное решение, особая точка, асимптотика, нормальная форма, окрестность.
УДК: 532.5. 011
Abstract. We consider the Cauchy problem for the Boussinesq equation, describing filtration of a gas in a spherically symmetric porous medium. For the self-similar solution to this problem we construct a formal in the neighborhood of the point r expansion and a convergent near r = 0 one.
Keywords: self-similar solution, singular point, asymptotics, normal form, neighborhood.
1. В случае сферически симметричной фильтрации газа в пористой среде давление газа удовлетворяет уравнению Буссинеска [1]
Pt = r-2(r2(p2)r)r (1. 1)
(для удобства положили равным единице определяемый свойствами газа постоянный мно-
житель в правой части уравнения (1. 1)). В работе [2] Г. И. Баренблатт предложил численный алгоритм для построения решения уравнения Буссинеска в осесимметричной пористой среде pt = r-1(r (p2)r)r, удовлетворяющего начальному условию
p (r, 0) = crY (1. 2)
и граничному условию
Pr (0, t) = 0, (1. 3)
выражающему отсутствие притока газа на оси симметрии. Целью данной работы является построение разложений решения задачи (1. 1)-(1. 3) в окрестности границы r = ж и r = 0. С этой целью будем существенно использовать методику, основанную на совместном применении методов качественного анализа и теории нормальных форм обыкновенных дифференциальных уравнений, развитую в работе [3] для исследования асимптотических свойств решения известной задачи Полубариновой-Кочиной об опорожнении бассейна.
Поступила 20. 09. 2006
(1. 4)
(1. 5)
так что 7 = а/в.
Известно [2], что единственное автомодельное решение задачи Баренблатта (1. 1)-(1. 3) существует при всех Ь & gt- 0 лишь в случае
Ниже будем предполагать условие (1. 6) выполненным.
2. Подстановка (1. 4) в уравнение (1. 1) приводит к нелинейному уравнению второго порядка
Каждая интегральная кривая уравнения (2. 3) в фазовой плоскости (ф, а) в силу уравнения
(2. 2) порождает однопараметрическое семейство автомодельных решений f (?) уравнения
(2. 1). Поскольку давление р (г, Ь) неотрицательно, то неотрицательна и функция f, а вместе с ней с учетом (2. 2) и ф. Следовательно, уравнение (2. 3) следует рассматривать в полуплоскости ф & gt- 0 плоскости (ф, а). Прямая ш = 0 разбивает эту полуплоскость на два сектора: I) ш & gt- 0 и II) ш & lt- 0 (см. рис. 1).
Интегральные кривые уравнения (2. 3), принадлежащие сектору I), порождают с учетом соотношения (2. 4) монотонно возрастающие по г автомодельные решения (1. 4) уравнения
(1. 1). Интегральные кривые, принадлежащие сектору II), — монотонно убывающие по г решения, интегральные кривые, принадлежащие обоим секторам, порождают немонотонные автомодельные решения. В полуплоскости ф & gt- 0 уравнение (2. 3) имеет две конечные особые точки: седло-узел 0(0, 0) и седло 0(0, — в/2), и четыре бесконечные: А (0, то), В (0, -то), бесконечную особую точку — седло С в направлении с угловым коэффициентом к = -2 и бесконечную особую точку — узел Е в направлении с угловым коэффициентом к2 = -5/2. С помощью стандартных методов качественной теории дифференциальных уравнений ([4], с. 106) (исследование особых точек и ветвей изоклины нуля уравнения (2. 3)) нетрудно показать, что существует однопараметрическое семейство 5 (см. рис. 1) интегральных кривых уравнения (2. 3), выходящих из особой точки О в сектор I) в направлении с угловым коэффициентом кз = -1/в & gt- к. Семейство 5 разбивается на два подсемейства 51 и 52. Интегральные кривые подсемейства 51 горизонтально пересекают ветвь изоклины нуля в секторе I), затем вертикально ось ф и уходят на то в особую точку А, в окрестности которой для них справедлива асимптотика
0 & lt- ^ & lt- 2.
(1. 6)
(2. 1)
(2. 2)
сводится к дифференциальному уравнению первого порядка
аФ = Q/P,
Q = (10ф + 2& lt-т + в) ш + 4фа — аф, Р = -2фа, ш = 2ф + а.
(2. 3)
(2. 4)
(2. 5)
II
Рис. 1
(к & gt- 0 — параметр подсемейства 51). Интегральные кривые подсемейства 52 с ростом ф пересекают прямую ш =0, переходят в сектор II), в котором затем и остаются, на то устремляясь в направлении узла Е, в окрестности которого для них справедлива асимптотика
а ~ к2ф, ф ^ то. (2. 6)
Подсемейства 51 и 52 разделяет интегральная кривая Ь — сепаратриса седла С, также
принадлежащая семейству 5, для которой при ф ^ то справедлива асимптотика
а = -2ф + 6−1а + 0(ф-1). (2. 7)
Для всех интегральных кривых семейства 5 (в том числе и для кривой Ь) справедлива асимптотика
а ~ к3ф, ф ^ +0. (2. 8)
Уравнение (2. 3) имеет в секторе II) еще однопараметрическое семейство 5з интегральных
кривых, которые при ф ^ +0 стремятся к особой точке В, а при ф ^ то уходят на то в направлении узла Е. Для кривых семейства 5з справедливы асимптотики (2. 5) (к & lt- 0 — параметр подсемейства 5з), (2. 6). Кривые семейств 52 и 5з разделяет сепаратриса М седла О, для которой справедливы асимптотика (2. 6) в окрестности узла Е и асимптотика
а + 2−1 В ~-(7 В + а) ф/(2в), ф ^ +0, (2. 9)
в окрестности седла О. С помощью асимптотических формул (2. 5), (2. 6), (2. 8) и (2. 9) и уравнений (2. 2) нетрудно убедиться, что интегральные кривые уравнения (2. 3), принадлежащие подсемействам 51, 52, семейству 5з, и сепаратриса М не могут порождать решения задачи
Коши (1. 1)-(1. 3). Наоборот, из (2. 8) с помощью уравнений (2. 2) без труда найдем, что интегральная кривая Ь порождает однопараметрическое семейство решений (1. 4) уравнения
(1. 1), для которых справедлива асимптотика
р (г, Ь) — с2га (?/в1)7, Сто, (2. 10)
С1 & gt- 0 произвольно. В силу условия (1. 6) и соотношений (1. 5) получаем, что, а & gt- 0, в & gt- 0, так что при любом г & gt- 0 при Ь ^ +0 имеем С ^ то. В силу (2. 10) решения уравнения
(1. 1), порожденные с помощью уравнений (2. 2) и (1. 4) интегральной кривой Ь уравнения
(2. 4), будут удовлетворять начальному условию (1. 2), если положить С1 = св. Далее с помощью асимптотики (2. 7) нетрудно убедиться, что интегральная кривая Ь порождает в силу уравнения (2. 2) однопараметрическое семейство решений уравнения (2. 1), для которого при С ^ +0 справедлива асимптотика
/ © = С-2[1 + 12−1 а (С-1С)2 + 0((С-1С)4)],
Ь = 6−1 а^ 1 + 0((С-1С)4)),
1 /2
Со = (/(0)) & gt- 0 — параметр семейства. В результате получаем, что решение задачи
(1. 1)-(1. 3) порождается в силу уравнений (2. 2), (1. 4) именно интегральной кривой Ь. Для построения разложения этого решения в окрестности С = то (г = то) необходимо построить разложение кривой Ь в окрестности особой точки 0, а для построения разложения в окрестности точки С = 0 (г = 0) — разложение Ь в окрестности особой точки С (седла в направлении с угловым коэффициентом к1 = -2).
3. В этом пункте будет построено разложение решения задачи (1. 1)-(1. 3) в окрестности точки г = то. Положим
У1 = ф, У2 = Ш = а + 2ф (3. 1)
и заменим уравнение (2. 3) эквивалентной динамической системой
У1т = А1У1 +4у2 — 2У1У2, У 2 т = - ау1 + Х2У2 + 6У1У2 + 2у|, (3. 2)
где А1 =0, А2 = в. Система (3. 2) не каноническая, но приводится к каноническому виду
Х1т = Ах + Х1/1, /1 = 2(в-1 Ж1 — Х2), (3. 3)
Х2т = А2Х2 + Х2/2, /2 = 2(7(27 + 1) х2 Х-1 + 3(1 + 7) Х1 + Х2)
с помощью преобразования
У1 = Х1, У2 = 7×1 + Х2. (3. 4)
В результате преобразований (3. 1), (3. 4) особая точка 0(0, 0) уравнения (2. 3) переходит в особую точку Х1 = Х2 = 0 системы (3. 3). Известно ([5], с. 97), что система (3. 3) с А1 =0 и А2 = в приводится в окрестности начала Х1 = Х2 = 0 к нормальной форме
21 т = 211 (21), 22 т = 22 (А2 + д21)), (3. 5)
го го
д1 = ^ gl (fc, о) г1, д2 = ^ д^, о) 4 (3. 6)
к=1 к=1
с помощью преобразования
Х1 = 21(1+ ^1), Х2 = 22 (1 + Л-2), (3. 7)
где
л1 (г) = ^ гя = (91,92), 91 & gt--1, 92 & gt- 0, (3. 8)
я
л.2 (2) = ^ Ь, 2Я2я, я = (91,92), 91 & gt- 0, 92 & gt--1,
я
— формальные степенные ряды от двух переменных, 2 м = 2'-^2'-^, если М = (б, в), причем ряды 211, 22Л-2 не содержат линейных и свободных слагаемых, так что
Ы1(-1,0) = Ы2(0,-1) = Ы1(-1,1) = Ы2(1,-1) = 0. (3. 9)
Коэффициенты степенных рядов (3. 6), (3. 8) определяются с помощью соотношений ([5], с. 95)
Ы (я, 0) = 0 д"я, з) = 0 («= 0), дг (д, 0) = $ 1,0) + с ((1,0), (3. 10)
Кя = (в92)-1(4з + с (Я)) (г = 1, 2, 92 = 0)
где
с (я} = - ^ Ьгрдгп — ^ (ршд + Р2д2Я) Ыр, (3. 11)
р+п=Я р+п=я
а с1Я, с2Я — соответственно коэффициенты при 2я в разложении функций
(1 + Ы1)/1(21(1 + ^1), 22 (1 + ^2)) = А1 + А2, (3. 12)
А1 = 2 В 1 (1 + Ы)221, А2 = -222 (1 + Л-1)(1 + ^2),
(1 + Ы2)/2 (21(1 + Ы1), 22(1 + Ы2)) = В1 + в2 + B3, (3. 13)
В1 = 27(27 + 1) 22 2−1(1 + Ы1)2, В2 = 6(1 + 7)21(1 + Ы1)(1 + Ь, 2),
Вз = 222(1 + Л-2)2.
(2)
При вычислении вкладов слагаемых А1, А2, В1, В2, В3 в коэффициенты с^ полезно
Замечание 1. Из (3. 10) следует, что все отличные от нуля мономы ^1^2я содержат множитель 22 как минимум в первой степени.
С помощью соотношений (3. 9), (3. 11) и (3. 12) индукцией по 9 нетрудно доказать, что Ь1(-1,д) =0 (9 & gt- 0). Ниже понадобятся коэффициенты
д1(1,0) =2в-1, д2(1,0) = 6(1 + д1(2,0) = 47(27 + 1) в-1, (3. 14)
Ы1(0,1) = -2 В 1, Ы1(1,1) = 2(9а + 1) в 3, Ы2(2,-1) = -21 (27 + 1) в 1. (3. 15)
Докажем справедливость равенств (3. 14), (3. 15). С учетом соотношений (3. 11) и (3. 10)
нетрудно получить, что с (1& lt-)0) = 0, так что дг (1,0) = с (2)0). Вычисляя вклады слагаемых (2)
А1, А2 в с1(^0) — коэффициент при 21 в степенном разложении функции (3. 12) — без труда
найдем с помощью замечания 1, что вклад А1 равен 2/в при 9 = 1 и нулю при 9 & gt- 1, а
вклад А2 равен (-22(1,-1)). Отсюда получаем первое равенство в (3. 14) и соотношение
д1(1,0) = -2Ы2(1,-1), 9 & gt- 2. (3. 16)
Далее имеем д2(1, 0) = с2& quot-(1 0) — коэффициент при 21 в степенном разложении функции (3. 13).
(2)
Вклад В1 и В3 в с2(1 0) равен нулю, вклад В2 равен 6(1 + 7), откуда следует справедливость второго равенства в (3. 14). С помощью (3. 11) и (3. 9) находим с2(2−1) = 0, после
чего из (3. 10) получаем Н2(2 ,-1) = - в-1с222 -1), где с22 -1) — коэффициент при 2^г2−1 в
(2)
степенном разложении функции (3. 13). Вклад В1 в с2(2 -1) равен 27(27 + 1), вклады В2 и В3 равны нулю. Справедливость последних соотношений в (3. 14) и (3. 15) доказана с учетом равенства (3. 16). С помощью соотношений (3. 11), (3. 9) получаем $ 0 1) = 0, откуда
^¦1(0, 1) = в-420 1). Вклад А1 в $ 0 1) равен нулю, вклад А2 с учетом замечания 1 равен (-2). Справедливость первого равенства в (3. 15) доказана. Осталось вычислить ^1(1, 1). Снова с учетом равенств (3. 11), (3. 14) и (3. 15) для Нщ, 1) находим $ 1 1) = 2(5 + 9а)/в2, откуда ^¦1(1, 1) = в-1 (сц! 1) +2(5 + 9а) в-2). Из (3. 12) с учетом замечания 1 получаем, что вклад А1
в с121 1) равен 4в-1Н1(0,1) = -8/в2, вклад А2 в $ 1 1) с учетом соотношений (3. 9) — нулю. В результате получаем второе соотношение в (3. 15). С учетом соотношений (3. 14) и (3. 6) система уравнений (3. 5) принимает вид
?1Г = 2 В 1гі(1 + ^ 2 1 в9і(к+і, 0}^) '- к=1 '-
?2т = (1 + ^ в~1§ 2(к, 0} ^) ,
V и-1 '-
откуда
к=1
где
а-1
1йz2 = 2 1в'2г1 2(1 + ^ Ц-к %к^ Лг1, (3. 17)
V и- 1 /
11 =2 (2д2(1, 0}в — д1(2, 0} Р) — (3−18)
Остальные коэффициенты Цк, к & gt- 2, не понадобятся. Интегрируя уравнение (3. 17), получим
?2 = с^і(1 + vzl + $к?к^ ехр (-в2/21), (3. 19
V /-& gt-- О /
к=2
где С2 & gt- 0 произвольно, й = в21 /2, коэффициенты V и 5к, к & gt- 2, не понадобятся. С учетом соотношений (3. 14), (3. 18) найдем
й = (3 + 8а — 5а2)/2. (3. 20)
Из (3. 19) следует, что ?2 экспоненциально убывает при ?1 ^ +0 и ниже будем вычислять ф и, а лишь с учетом слагаемых порядка О (?2). Из (3. 8), (3. 19) находим
ф = Ж1 = ?1 + ^1(0, 1}?1 ?2 +1, 1}Х2^Х2 + О (^3+гіехр (в2/2X1)). (3. 21)
Коэффициенты ^1(0,1}, ^1(1,1} определены в (3. 15). С учетом (3. 1), (3. 4), (3. 7) и (3. 15) для ^1(0,1} и Л-2(2,-1} после ряда преобразований будем иметь
а = Х2 — в-1Х1 = -в-1ZlF (?1)[1 — С2вг^-1 exp (-в2/2zl)(1 + (?1 + О (г^))], (3. 22)
г
где формальный степенной ряд
го
Р (21) = 1 + /(21), / =2 /к2к, /к = -вН2(к+1,-1), (3. 23)
к=1
? = V + 2 В 2 + в2(2,-1) = V + 2 В 2(1 — ав — 2а2).
Уравнения (3. 21), (3. 22) задают в параметрической форме (21 — параметр) интегральные кривые семейства 5, причем каждой кривой семейства отвечает определенное значение константы С2 & gt- 0 (с2 — параметр семейства 5). С помощью равенств (3. 17) и (3. 19) без труда найдем
А22 = 2−1С22^~2в2(1 + (ц-1 + V)21 + 0(22)) ехр (-в"2/221)d2l, (3. 24)
после чего из (3. 21) в результате ряда преобразований, используя соотношение (3. 24), по-
лучим
йф = {1 + С22^-1 ехр (в2/221)[2−1в2Н1(0,1) +
+ (Н1(0,1) (1 + 2 1 (^1 + V) в2) + 2 1в2Н1(1,1))21 + 0(22)]}й21. (3. 25)
После подстановки в правую часть равенства (3. 25) выражений (3. 15) для /?1(0,1), /1(1,1) окончательно найдем
йф = {1 — С22^-1 ехр (-в2/221)[в + (в-1 + (Р1 + v) в — 97)21 + 0(22)]}й21. (3. 26)
С учетом соотношений (3. 22) и (3. 26) второе уравнение (2. 2) принимает вид
С-1йС = -в (21^ (21))-1 {1 — С221 ехр (- в2/221)[в-1 +
+ (ц.1 + V — С,)в — 97 + 0(21)]}й21. (3. 27)
С помощью соотношений (3. 23) (последнее равенство) и (3. 14) равенство (3. 27) нетрудно представить в виде
С-1йС = -в (21 Р (21))-1[1 — 2в-1С22^ ехр (-в2/221)(1 + 0(21))]й21. (3. 28)
Положив
гого
(Р (21))-1 = 1 + 0(21) = 1 + ?(- 1) к/к = 1 + Е дк2к (3. 29)
к=1 к=1
(коэффициенты дк — полиномы от коэффициентов /1,…, /к) и интегрируя уравнение (3. 28), найдем
с- 1С = 2- вД (21)[1 + 2с2(в2/2)^Г (-й, в2/221) + 0(Г (-й — 1, в"2/221))], (3. 30)
где
К (2) = ехр ^ - в У 2−10(2)й^ =1 + 5^ гк2к (3. 31)
— формальный степенной ряд, в котором коэффициенты гк снова являются полиномами от /1,…, /к, С1 & gt- 0 — вторая произвольная постоянная, а Г (х, у) — неполная Г-функция ([6], с. 954). Используя асимптотику функции Г (х, у) при у ^ то ([6], с. 956), перепишем равенство (3. 30) в виде (при 21 ^ +0)
с-1 С = 2-в К (21)[1 + 4с2 в-2(1 + 0(21))2^+1 ехр (-в2/221)]. (3. 32)
Из (3. 32) находим
ГО
= (с-1 С)_1/^ lk (с-1 ?)-k/? [1 + 4c2?-3 ?(1 + O (?-1/?)) X k=0
x (c-1?)-(d+1)/?exp (-?2(- ?)1/?/2)],
?ю, S = exp (h?2/2), h = 2y (2y + 1), после чего с помощью (3. 21), (2. 2), (1. 4) и (3. 15) для ^1(0,1) получаем следующее представление для двупараметрического семейства (с1, С2 — параметры семейства) автомодельных решений уравнения (1. 1), порожденных семейством S,
ГО
p (r, t) = с2 ?"(с-1 ?)^ lk (с-1 ?)-k/? [1 — 2c2?-1S (c-1 ?)-d/? x k=0
X (1 + O (?-1/?))exp (-?2(c-1 ?)1/?/2)], (3. 33)
где lo = 1, I1 = 27(27 + 1), а остальные коэффициенты lk выражаются с помощью соотношений (3. 23), (3. 29), (3. 31) через коэффициенты h, 2(k-1), для вычисления которых ниже укажем рекуррентные формулы. При r & gt- 0 и t ^ +0 имеем? ^ ю и из (3. 33) находим limp (r, t) = c1/?rY (r & gt- 0, t +0). Следовательно, чтобы решение (3. 33) удовлетворяло
начальному условию (1. 2), достаточно положить в (3. 33) С1 = c?, после чего (3. 33) дает
представление однопараметрического семейства с параметром с2 решений уравнения (1. 1),
удовлетворяющих начальному условию (1. 2). Значение параметра С2 определяется граничным условием (1. 3).
Замечание 2. Для коэффициентов h2(m,-1), т — 3, через которые выражаются коэффициенты fk, gk, rr и lk рядов (3. 23), (3. 29), (3. 31) и (3. 33), при т & gt- 2 с помощью соотношений
(3. 10)-(3. 13) нетрудно получить рекуррентные формулы
т-2
У, sh2(s,-1) h2(m-s, — 1) +(m — 1) h2(m-1,-1) j ,
s=2 '-
если т нечетно,
m-2
I]sh 2(s,-1)h2(m-s, r1) + (m — 1) h2(m-1,-1) + (h2(m/2,-1))2 j, s=2
если m четно, причем h2(2,r1) = -27(27 + 1)/?, h2(0,r1) = h2(1,-1) = 0. В случае 7 = 0
имеем h2(2r1) = 0, а в силу замечания 2 в этом случае получаем h2(m,-1) = 0 при всех т.
ГО
В результате для степенного ряда в (3. 33) получаем ^ lk (с-1 ?)-k/? = 1.
k=0 1
4. Выше было показано, что решение задачи (1. 1)-(1. 3) порождается интегральной кривой L — сепаратрисой седла C уравнения (2. 3), принадлежащей семейству S. В этом пункте построим асимптотическое разложение этой кривой при фю (в окрестности седла C), что позволит получить асимптотическое разложение решения задачи (1. 1)-(1. 3) при r ^ +0. С этой целью с помощью преобразования Пуанкаре ([4], с. 108)
ф = УГl, V = (У2 — 2) y-1 (4. 1)
преобразуем уравнение (2. 3) в динамическую систему
У1т = -4У1 + 2У1У2, У2т = - ay1 + 2У2 + ?y1 У2 + 4y|. (4. 2)
h2(m,-1) = -2? 1 (
h2(m,-1) = -2? 1 (
Преобразование (4. 1) седло С уравнения (2. 3) переводит в особую точку — седло 0(0, 0) системы (4. 2). Система (4. 2) не каноническая, но переходит в каноническую систему
жіт = - 4жі + 3-іажі +2жіж2, ж2т = 2ж2 + рх + джіж2 + 4ж^ (4. 3)
с помощью преобразования
Уі = жі, У2 = 6−1 аж і + ж2 (4. 4)
(в (4. 3) и ниже обозначили р = а (3 + 5а)/36, д = 2-і (1 + 3а)). В результате преобразований
(4. 1), (4. 4) седло С уравнения (2. 3) переводится в седло 0(0, 0) системы (4. 3) в фазовой плоскости (жі, ж2), а сепаратриса Ь седла С — в сепаратрису этого седла. Сепаратрису седла 0 системы (4. 3) будем искать в виде степенных рядов
оо оо
жі = ик, ж2 = и2 ^ Ъкик, и = ехр (-4г), (4. 5)
к=0 к=0
сходимость которых в некоторой окрестности точки и = 0 будет доказана в конце п. 4. При т имеем и ^ +0, следовательно, и жі ^ 0, ж2 ^ 0. Система (4. 3) инвариантна относительно сдвига по т, что равносильно умножению параметра и на произвольный множитель. Поэтому, не уменьшая общности, будем полагать ао = 1. Подстановка рядов (4. 5) в систему
(4. 3) приводит к рекуррентным соотношениям для коэффициентов ак, Ък
-4каи = 3-іа ^ asam + 2 ^ asЪm, к & gt- 1, (4. 6)
в+т=к-і в+т=к-2
-2(2к + 5) Ък = р2 азат + д ^ asЪт + 4 ^ ЪsЪт, к & gt- 0,
з+т=к з+т=к-1 з+т=к-2
аі = Ъi = 0 при і & lt- 0. Соотношения (4. 6) позволяют последовательно вычислять коэффициенты ак, Ък. Будем иметь а0 = 1, аі = -а/12, Ъ0 = -р/10, Ъ1 = 420-ір (5а + 3д). На вычислении остальных коэффициентов ак, Ък, к & gt- 2, не останавливаемся. Из (4. 1) и первого равенства (4. 5) получим
и = ф-і(1 + ^ икф-к), (4. 7)
V Ь-Л /
к=1
где VI = -й1 = а/12, остальные коэффициенты также вычисляются с помощью метода неопределенных коэффициентов после подстановки ряда (4. 7) в (4. 5) для Ж1 (коэффициенты Рк являются полиномами от коэффициентов а1, а2 ,¦¦¦, ак). С помощью вторых соотношений в (4. 1), (4. 4), (4. 5) и (4. 7) найдем
а = -2ф + 6 1а + Ж2Ж-1 = -2ф + 6 1а + ^ йкф к¦ (4. 8)
к=1
Коэффициенты д, к в равенстве (4. 8) вычисляются с помощью соотношений (4. 5), (4. 7), причем1 = Ьо = -р/10, на вычислении остальных коэффициентов не останавливаемся. Сравнивая равенство (4. 8) с (2. 5), получаем, что (4. 8) дает асимптотическое разложение при ф интегральной кривой Ь, принадлежащей семейству 5 и разделяющей его подсемей-
ства 51 и 52. Интегральной кривой Ь отвечает определенное численное значение С2 = С20 параметра С2 семейства 5, которое может быть найдено лишь в численном эксперименте. Подставляя равенство (4. 8) во второе уравнение (2. 2) и интегрируя полученное уравнение, найдем
с-іЄ = Ф-і/22 8кф-к, (4. 9)
к=0
где коэффициенты Sk выражаются через коэффициенты di, причем so = 1, si = а/24. Из
(4. 9) получаем
ГО
ф = (сз1 С)-2X? mk (c31C)2k, (4. 10)
k=0
где mo = 1, mi = а/12 и так далее, Сз & gt- 0 — произвольная постоянная. После подстановки
(4. 10) в первое равенство в (2. 2) получим, что порожденное интегральной кривой L (4. 8) уравнения (2. 3) решение f © уравнения (2. 1) представляется в окрестности точки С = 0 в виде ряда
ГО
f (с) = c3Y^ mk (с-1 С)2k, (4. 11)
k=o
а решение p (r, t) уравнения (1. 1), определенное равенством (1. 4), — в виде ряда
ГО
p (r, t) = c3taJ2 mk (c-1C)2k• (4. 12)
k=o
Поскольку при ф — ж имеем w — а/4, а С — 0, то из (2. 4) следует f?(0) = 0. Поэтому
решение (4. 12) уравнения (1. 1) при любом Сз & gt- 0 удовлетворяет условию (1. 3). Итак, реше-
ние p (r, t) начально-краевой задачи (1. 1)-(1. 3) порождается в силу соотношений (2. 2), (1. 5) именно интегральной кривой L уравнения (2. 3). Для этого решения справедливы в окрестности С = ж представление (3. 33), в котором следует лишь положить С1 = Св, С2 = С20, и в окрестности С = 0 представление (4. 12). Значение параметра Сз в (4. 12) полностью определяется параметрами с и Y и универсальной (т. е. не зависящей от с) постоянной С20. Действительно, из (4. 11) следует равенство c3 = f (0). Значение f (0) полностью определяется заданными значениями с & gt- 0, Y, удовлетворяющим условию (1. 6), и постоянной С20. Однако при заданных численно с и Y значение Сз и значение С20 можно найти лишь в численном эксперименте.
Нетрудно показать, что кривая L полностью принадлежит сектору I), откуда в силу равенства (2. 4) следует, что решение p (r, t) задачи (1. 1)-(1. 3) монотонно возрастает по независимой переменной г. Действительно, в силу (4. 8) при ф -- оо она уходит на ж в направлении с угловым коэффициентом кз, оставаясь при достаточно больших ф в секторе I). Сектору I) она, как и любая кривая семейства S, принадлежит и при ф ^ 1. Интегральные кривые уравнения (2. 3) могут пересекать прямую w = 0, переходя из сектора I) в сектор II), лишь в направлении с угловым коэффициентом к4 = -2 + (2& lt-т)-1 а & lt- k1, причем ветвь изоклины нуля в секторе II) они пересекать не могут (см. рис. 1). Поэтому после пересечения кривой семейства S прямой w = 0 в некоторой точке ф = Ф0, а = - 2ф0 эта кривая переходит из сектора I) в сектор II) и остается там при всех ф & gt- ф0. Кривая L, принадлежащая сектору I) при ф ^ 1, должна принадлежать сектору I) при всех ф.
Докажем, что ряд (4. 12) сходится в некоторой окрестности точки С = 0. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что ряды (4. 5) сходятся в некоторой окрестности точки и = 0. Обозначим A = max{4,p, q} - наибольшее из трех чисел 4, p, q (отметим, что в силу справедливости оценки q & gt- а/3 следует оправедливость оценки A & gt- а/3). Имеем |й0| & lt- A, u11 & lt- A, |fo| & lt- A. Пусть уже доказано, что
las| & lt- As, & lt- As+1, s = 1,^, k — L
(4. 13)
Тогда из первого соотношения (4. 6) с учетом оценки 3 1а & lt- д & lt- А находим 4как & lt- а (? А*+т + 2? А*+т+Л = (3к — 2) Ак.
4+т=к-1 Ь+т=к-2
Следовательно, ак & lt- Ак. Оценка, а & lt- Ая доказана для всех в & gt- 1. Используя эту оценку и предположение (4. 13) для Ь3, из второго соотношения (4. 6) получим
2(2к + 5) Ьк & lt-а (? А*+т +? А*+т+Л +4А-1? А*+г+з =
4+т=к 1+т=к-1 1+т=к-2
= (к + 1) Ак+1 + кАк+1 + 4А-1(к — 1) Ак+1 & lt- 3кАк+1
(воспользовались оценкой, А & gt- 4), так что Ьк & lt- Ак+1. Справедливость оценки Ь3 & lt- А5+1 доказана для всех в & gt- 0. Из полученных для а3, Ь3 оценок следует сходимость рядов (4. 5) при и & lt- 1/А. Поэтому сходятся ряды (4. 7), (4. 8), (4. 9) в некоторой окрестности точки ф = ж, следовательно, сходится ряд (4. 12) в некоторой окрестности точки? = 0.
Замечание 3. Так как влияние граничного условия (1. 3) сказывается лишь на выборе значения С20 параметра С2 в разложении (3. 33) и, следовательно, не сказывается на степенной части этого разложения, то это означает, что на больших расстояниях от центра симметрии (г ^ 1) граничное условие (1. 3) оказывает влияние лишь на экспоненциально убывающую часть давления р (г, Ь), что вполне естественно с физической точки зрения. Точно так же это влияние экспоненциально мало на малых временах Ь ^ 1 вне малой окрестности центра симметрии.
В заключение отметим, что в работе [7] рассматривались модели фильтрации газа в пористых и трещиноватых средах (а также некоторые их автомодельные решения), отличные от модели Буссинеска, описываемой уравнением (1. 1), а в моногорафии [8] - обобщения задачи Коши для моделей механики сплошных сред. Следует также заметить, что в [9] приводятся результаты о нормальных формах и свойствах нормализующих преобразований для динамических систем в пространствах произвольной размерности.
Литература
[1] Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. -М.: Недра, 1972. — 288 с.
[2] Баренблатт Г. И. Об автомодельных решениях задачи Коши для нелинейного параболического уравнения нестационарной фильтрации газа в пористой среде // ПММ. — 1956. — Т. 20. — Вып. 6. — С. 761−763.
[3] Эскин Л. Д. К задаче П.Я. Полубариновой-Кочиной об опорожнении бассейна // Изв. вузов. Математика.
— 2004. — № 9. — С. 73−84.
[4] Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1990. — 488 с.
[5] Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1979. -256 с.
[6] Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М: Физматгиз, 1962.
— 1100 с.
[7] Титов С. С., Фуреева С. А., Казакова С. П., Березин В. Г. Некоторые автомодельные решения задач фильтрации газа в пористых и трещиноватых грунтах // Изв. вузов. Горный журнал. — 1986. — № 5. -С. 41−46.
[8] Баутин С. П., Казаков А. Л. Обобщенная задача Коши и ее приложения. — Новосибирск: Наука, 2006. -399 с.
[9] Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. — М.: Наука, 1998. — 287 с.
Л.Д. Эскин
доцент, кафедра прикладной математики, Казанский государственный университет,
420 008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 18
L.D. Eskin
Associate Professor, Chair of Applied Mathematics, Kazan State University,
18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420 008 Russia

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой