Об одном классе орбит в задачах трех и четырех тел

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

НАВИГАЦИОННЫЕ И ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ |
СИСТЕМЫ
УДК 629. 78. 086
Ф. В. Звягин
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ОРБИТ В ЗАДАЧАХ ТРЕХ И ЧЕТЫРЕХ ТЕЛ
На примере систем Солнце-Земля-КА и Солнце-Земля-Луна-КА рассматривается класс орбит, охватывающих коллинеарные точки либрации и расположенных между Солнцем и Землей. Проработан вопрос устойчивости орбит данного класса как в случае ограниченной эллиптической задачи трех тел, так и в случае би-круговой задачи четырех тел.
E-mail: pk-bmstu@ya. ru
Ключевые слова: задача трех тел, возвраты Пуанкаре, ляпуновские показатели.
Постановка задачи. Уравнения движения. В классической работе В. Себехея [1, с. 466] представлен класс орбит f так называемой Копенгагенской категории, существующих в области между двумя притягивающими телами и имеющих разные характеристики устойчивости. Указанный класс орбит может быть определен не только в случае равенства масс основных притягивающих тел, но и при другом их соотношении, например в системе тел Солнце-Земля-Луна. Численное исследование уравнений задач трех и четырех тел позволяет определить важнейшие характеристики данных орбит, такие как их период, устойчивость, область существования.
Уравнения движения ограниченной эллиптической задачи трех тел могут быть записаны в пульсирующих координатах. Пусть Gxyz — неравномерно вращающаяся барицентрическая прямоугольная система координат, плоскость Gxy которой совпадает с плоскостью орбит конечных масс, направление оси Gx совпадает с направлением P0P1 (P0 — материальная точка массой 1 — д, Р1 — материальная точка массой д), ось Gz перпендикулярна плоскости движения основных тел, а ось Gy дополняет систему координат до правой. Примем, что |P0Pi| = 1, сумма масс возмущающих тел равна единице, постоянная тяготения f = 1. Система уравнений, описывающих поведение тела P [2, с. 549], имеет вид
d2xdy 1 dU
d& amp-2 d& amp- 1 + e cos & amp- dx '-
d2y dx 1 dU, 14
_'-L + 2_=__• (1)
d& amp-2 d& amp- 1 + e cos & amp- dy '- d2z _ 1 dU_
d& amp-2 1 + e cos & amp- dz '-
где
U = - Ix2 H y2 — z2e cos a] H--U H — -
2 L Pi P2
Pi = y (x + p) + y2 + z2- p2 = y (x — 1 + p) + y2 + z2.
Переход от истинной аномалии $ тела массой p к времени t осуществляется с помощью равенства
da (1 + e cos a)2 dt p 2
где е, p — эксцентриситет и параметр конического сечения.
Уравнения движения бикруговой задачи четырех тел во вращающейся системе координат [3, с. 24] записываются исходя из предположения, что три притягивающих тела обращаются относительно друг друга в одной плоскости, попарно, по круговым траекториям относительно их барицентров. Центр системы координат располагается в барицентре системы двух меньших притягивающих тел. Это позволяет таким образом учитывать влияние наиболее массивного тела как возмущение, вносимое в круговую задачу трех тел. При проведении численных расчетов в качестве основных притягивающих тел рассматриваются Солнце, Земля и Луна. В этом случае движение четвертого тела P описывается уравнениями движения:
x = Px + y- y = Py — x- z = pz-
px=py — (x — p) — til (x — p+1) — ri,(x — Xs) — a
py = -px--^y y (y — sin 0- (2)
Tpe
1 — p
Pz =---z —
Tpe
где расстояния от тела P до Земли, Луны и Солнца соответственно определяются по формулам
r2Pe = (x — p)2 + y2 + z2-
r2pm = (x — p + 1)2 + y2 + z2-
Tps = (x — xs)2 + (y — ys)2 + z2.
Координаты Солнца вычисляются согласно формулам
xs = as cos 0, ys = -as sin 0.
Переход к времени осуществляется по формуле t = 0/ws. Числовые значения постоянных приняты следующими: p = 0,121 505 816, as = 388,8114, ms = 328 900,54, ws = 0,925 195 985 520 347.
Устойчивость. Существует несколько определений понятия & quot-устойчивость"-, применяемых к анализу различных реализаций приведенных систем. Определение устойчивости по Лагранжу относится к
(x — U u) — ~Т '- pm (x — U + 1) — ms rps

U У — - -у — rpm ms '-ps (y — ys) + ms a2
_Р_ ms z--F z, rps
rpm
отдельно взятой фазовой траектории и может быть сформулировано следующим образом: фазовая траектория х (Ь) устойчива по Лагранжу, если состояние х (Ь) при всех Ь & gt- 0 остается в некоторой ограниченной области фазового пространства. Другим определением устойчивости отдельно взятой фазовой траектории, не являющейся неподвижной точкой, является определение устойчивости по Пуассону. Устойчивой по Пуассону будет траектория, которая возвращается в сколь угодно малую окрестность каждой своей точки бесконечное число раз. Возвраты траектории в е-окрестность произвольно выбранной точки называют возвратами Пуанкаре. Для периодических траекторий возвраты Пуанкаре происходят через промежуток времени, равный периоду этих траекторий. В случае квазипериодических траекторий время между возвратами зависит от е. Для траекторий, проявляющих признаки хаотического движения, возвраты Пуанкаре носят нерегулярный характер.
В случае, когда необходимо исследовать устойчивость фазовых траекторий, изначально близко расположенных, используется определение устойчивости по Ляпунову. Траектории х (Ь) и у (Ь) устойчивы, когда для любого сколь угодно малого положительного числа е существует такое 8 & gt- 0, что для любой точки старта у0 из-окрестности точки х0, т. е. при ||х0 — Уо|| & lt-8, для всех? & gt- 0 ||х (Ь) — у (?)|| & lt- е.
Определение устойчивости по Ляпунову приводит к методу количественной оценки устойчивости по линейному приближению, основанному на теореме Ляпунова. Теорема утверждает, что для любого? х
решения уравнения — = Ах (где х (Ь) задает возмущение исходной
аЬ
траектории х (Ь), А — матрица, составленная из частных производных от компонент невозмущенного решения по компонентам вектора х) можно определить ляпуновский характеристический показатель, дающий численную оценку изменения во времени возмущения х (Ь) [4, с. 140]:
А^) = & quot-лт 1]п ||х (Т)||. (3)
Т ^^ ±
При размерности фазового пространства N (размерность функции возмущения равна К) существует N ляпуновских показателей, называемых спектром. Наибольший показатель из спектра называется старшим.
В линейном приближении возмущение исходной траектории эволюционирует во времени как вЛь, т. е. при положительности ляпунов-ского показателя фазовая траектория является неустойчивой. Равенство нулю ляпуновского показателя говорит о периодическом характере фазовой траектории, отрицательность — о ее асимптотической устойчивости.
Численное определение спектра ляпуновских показателей строится на применении процедуры ортогонализации Грама-Шмидта
к векторам возмущении номинальном траектории и суммированием накопленных за некоторое расчетное время отклонении и последующем вычислении показателя, как описано, например, в работе [4, с. 155].
Результаты численного исследования. На рис. 1 приведен вид семеИства орбит в проекции на плоскость обращения притягивающих тел. Численное моделирование показывает, что орбиты всех видов достаточно долгое время, отличное, впрочем, от бесконечности, остаются в некоторой ограниченной области. Принимая во внимание, что продолжительность указанного времени существования орбит составляет от 40 модельных лет и больше, можно считать, что эти орбиты имеют признаки устойчивости по Лагранжу.
Рис. 1. Семейство орбит
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Рис. 2. Среднее квадратическое отклонение времени возвратов Пуанкаре
На рис. 2 представлены результаты расчета среднеквадратического отклонения времени возвратов Пуанкаре в окрестность точки пересечения фазовой траекторией оси x. Верхний график дает представление об указанном параметре для всего семейства орбит, нижний — для отрезка [0,4- 0,999] оси x. Период орбит, пересекающих отрезок [0,4- 0,96] близок к 2п модельных лет. Орбиты, лежащие ближе к меньшему притягивающему телу, имеют меньший период обращения. Таким образом, в достаточно широкой области рассматриваемого фазового пространства существуют устойчивые по Пуассону орбиты.
Результаты численного определения спектра ляпуновских показателей для исследуемого класса орбит приведены на рис. 3 в виде графика изменения спектра для орбит, пересекающих отрезок оси x [0,4- 0,999] (рис. 3, а). На рис. 3, б тот же график показан для орбит из отрезка [0,82- 0,831], на рис. 3, в — для орбит, лежащих внутри колли-неарных точек либрации. В последнем случае расчет проводился как интегрированием уравнений движения задачи трех тел (1), так и интегрированием уравнений движения бикруговой задачи четырех тел (2). Определение спектра ляпуновских показателей проводилось на основе выражения (3) для орбит, лежащих за коллинеарными точками либрации, через 0,0005 а.е., а для орбит, лежащих внутри коллинеарных точек либрации, шаг был уменьшен до 0,0001 а.е. Расчет показателей проводился с использованием 75 случайных возмущений номинальной траектории для орбит, лежащих за коллинеарными точками, и с использованием 175 — для орбит, лежащих во внутренней области.
Из графика изменения спектра ляпуновских показателей следует, что:
— для орбит, лежащих за коллинеарными точками либрации, Az & lt- 0, т. е. указанные орбиты асимптотически устойчивы вдоль оси z. Во внутренней области это соотношение не выполняется и орбиты не являются устойчивыми вдоль указанной оси-
— существует область фазового пространства, границей которой можно условно считать отрезок [0,8215- 0,8305]. Для орбит из этой области ляпуновские показатели имеют глобальные минимумы. График суммы спектра ляпуновских показателей приведен на рис. 4. Погрешность вычислений ляпуновских показателей приводит к тому, что в нескольких точках этот график имеет отрицательные значения, что не свойственно консервативным системам, а в диссипативных системах указывает на присутствие аттрактора — области притяжения фазовых траекторий. В описываемой области фазового пространства старшим показателем является Лх, что не характерно для других областей. Ляпуновские показатели, с точностью до ошибок их численного определения, можно считать нулевыми, однако расчет возвратов Пуанкаре показывает, что они все же положительны. Пример для орбиты, лежащей в данной области, приведен на рис. 5- графики возмущений вдоль всех осей имеют ярко выраженный периодический характер-
Рис. 3. Спектр ляпуновских показателей для области, характеризующейся минимальным среднеквадратическим отклонением времени возвратов Пуанкаре (а), для области минимумов ляпуновских показателей (б) и области внутри коллинеарных точек либрации (в)
Рис. 4. Сумма ляпуновских показателей (1) и ее среднее (2) для области минимальных значений ляпуновских показателей
Рис. 5. Орбита исследуемого класса из области минимумов ляпуновских показателей и временные характеристики ее возмущений
график возмущения вдоль оси г указывает на устойчивость орбиты-
— область между коллинеарной точкой и меньшим притягивающим телом характеризуется резким ростом ляпуновских показателей, т. е. большей неустойчивостью орбит исследуемого класса как в задаче трех тел, так и в задаче четырех тел. Пример орбиты, лежащей в этой области, приведен на рис. 6 — видно плотное заполнение области фазового пространства, в которой локализована орбита, графики возмущений по осям имеют заметную долю случайной составляющей — это является отражением положительности ляпуновских показателей. Следует отметить, что направление движения по орбитам внутри кол-линеарных точек либрации противоположно направлению движения в этой области космических аппаратов.
Выводы. Проведенное исследование показало, что в системе Солнце-Земля-Луна существует класс орбит, устойчивых по Лагран-
Рис. 6. Орбита исследуемого класса, расположенная внутри коллинеарных точек либрации и временные характеристики ее возмущений
жу, внутри которого можно выделить подкласс орбит, устойчивых по Пуассону. Период обращения по данным орбитам близок к 2п модельных лет. Общее время существования указанных орбит при численном исследовании составляло более 400 модельных лет. Важнейшими свойствами орбит является их асимптотическая устойчивость вдоль оси z и общая ограниченность области существования.
Указанные свойства позволяют использовать данные орбиты для построения различных космических группировок продолжительного времени существования, таких как радиотелескопы-интерферометры с высокой разрешающей способностью или группировки автоматических станций. Кроме того, возможно использование орбит данного класса для исследования околопланетного пространства с посещением окрестностей коллинеарных точек либрации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трех тел / Пер. с англ. под ред. Г. Н. Дубошина. — М.: Наука, 1982. — 656 с.
2. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / В. К. Абалакин, Е. П. Аксенов, Е. А. Гребеников и др. Под ред. Г. Н. Дубошина. -М.: Наука, 1976.- 864 с.
3. Апёгеи M. А. The quasi-bicircular problem / Departament de matematica aplicada i analisi, Universitat de Barcelona, 1998. — 199 с.
4. Кузнецов С. П. Динамический хаос. — М.: Физматлит, 2001. — 296 c.
Статья поступила в редакцию 19. 02. 2010
Феликс Валерьевич Звягин родился в 1970 г., окончил МГТУ им. Н. Э. Баумана в 1993 г. Старший преподаватель кафедры & quot-Системы автоматического управления& quot- МГТУ им. Н. Э. Баумана. Специализируется в области исследования задач трех и четырех тел с применением методов теории динамических систем.
F.V. Zvyagin (b. 1970) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 1993. Senior teacher of & quot-Automatic Control Systems& quot- department of the Bauman Moscow State Technical University. Specializes in the field of study of three-and four-body problems with application of methods of theory of dynamical systems.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой