ОБ ОДНОМ КЛАССЕ УРАВНЕНИЙ СВЕРТОК С ?-ОПЕРАТОРАМИ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Л.Г. Салехов
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ УРАВНЕНИЙ СВЕРТОК С X -ОПЕРАТОРАМИ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ
Рассматривается класс уравнений сверток с X -операторами Римана-Лиувилля (Хе С) в одном сверточном модуле обобщенных функций на действительной оси. Решения строятся в явном виде путем построения элементарных (фундаментальных) решений с помощью проекционного метода. Рассматриваемый класс уравнений содержит как обыкновенные дифференциальные и интегральные уравнения в указанном сверточном модуле и в & amp-+, так и дифференциальные и сингулярные интегро-дифференциальные уравнения с X -операторами дробного дифференцирования и интегрирования. Этот класс уравнений тесно связан с задачей Римана, когда граничное условие, понимаемое в смысле обобщенных функций, содержит сверточные X -операторы Римана-Лиувилля.
Пусть О1 — векторное подпространство функций из Е (М) таких, что |?ф (к)(?) & lt- С, Ук е N. Топология в 01 определяется также как в Е (М), причем Ук е N существует постоянная Ск, не зависящая от ] так, что |ф (к^ & lt- Ск |?| 1, где (фу), j е N последовательность из 01.
Через О- обозначают [1] пространство, дуальное к пространству 01. Пусть, А — векторное подпространство обобщенных функций из О-, имеющих на бесконечности асимптотику О (|^| 1), то есть, если? е А, то существуют константы Я & gt- 0 и С & gt- 0 такие, что
|& lt- ?, ф& gt-|<- С^ 1 |ф (^)|& amp-, УфеО-1, 8ирр фе{|^ & gt- Я}.
Тогда для У? и УТ е, А определим свертку? * Т по формуле:
& lt-? *Т, ф& gt-:=<- ?, Т *ф& gt-=<-Т,? *ф& gt-, Уфе 01,
где ?, Т действуют по правилу: & lt-?, ф>-:=<-?, ф>-, Уфе 01, а ф (0: =-ф (_).
Легко убедиться, что, А с введенной операцией свертка становится ассоциативной и коммутативной сверточной алгеброй с единицей 5 -мерой Дирака, а пространство О- - сверточным модулем на А, ибо У? е А, УТ е О- свертка? * Т, определенная по закону
& lt-? * Т, ф& gt-:=<- Т,? *ф& gt-, УфеО-1, существует, причем (? * Т) е О-.
Иначе говоря, А — есть алгебра сверточных операторов на О__1.
В сверточном модуле О- рассматривается следующий класс уравнений сверток:
I т п I
] I"т_кЛ (а-к)") * 5+ +?Ьп_к/^к)") *5- *Ф = Ж, (1)
Iк=0 к=0 J
где ak, bk — const- Va, Ре M- X, це С | Re X& gt- 0, Re ц& gt- 0- W — заданная обобщенная функция из O__1, а Ф — искомая обобщенная функция из — {fX (Y)(t) *} - сверточные X -операторы Римана-Лиувилля [2] следующего вида & gt- (t)tY-1
f (Y)(t) 4
, y& gt- 0, Xe С | ReX & gt- 0-
Г (у)
(D + X) mf (Y+m)(t), y& lt- 0, m -min N |(y + m) & gt- 0,
где У (^) — функция Хевисайда, Г (^) — гамма-функция- В = -- производная
-
в смысле обобщенных функций- 5+ := - 5 -- V.р.1 и 5_: =55+ - обоб-
2 2п/ t
щенные функции по Н. Н. Боголюбову.
Так как операторы (5± *) являются дополнительными проекторами, то уравнение (1) есть уравнение с парным оператором сверток в сверточном модуле О1 [3].
Учитывая, что /Х (у)(/), 5± е, А и 5+*Ф = Ф +, 5_*Ф = -Ф_ в смысле
обобщенных функций [4], где Ф (2) — представление Коши (или преобразование Гильберта) для Ф, т. е.
(Ф (г) = - & lt-Ф,->-, 1 т 2 Ф 0, (2)
2л/ t _ 2
уравнение (1) можно записать в виде:
Рт (о* ф± а (о* ф_=ж, (3)
где
т п
Рт (0 = Iат/-к)(t) — а (0!Ьп_к/,(Р_к)(t). к=0 к=0
Соотношение (3) есть граничное условие в смысле обобщенных функций для искомой кусочно голоморфной функции Ф (2), исчезающей на бесконечности, причем известно, что если Ф е О'-_(к, к е N, то Ф (2) имеет следующее поведение в окрестности оси М [5]:
|Ф ± (z)|:
с
ik+1
IZ
|1т-
Если Ф есть решение уравнения (1), то формула (2) дает решение задачи (3), и обратно, если Ф (2) есть решение задачи (3), исчезающее на бесконечности, то формула Ф = Ф+ _Ф_, понимаемая в смысле обобщенных функций, дает решение уравнения (1).
Рассмотрим проекционный метод решения уравнения (1). Пусть Е -элементарное решение уравнения (1). Тогда по определению Е имеем:
{рт (0*5+ + ^(г)*5_}*Е = 5. (4)
Умножая (сверточное) уравнение (4) сначала на 5+, затем на 5_, получим:
Рт (0* (5+ * Е) = 5+, (5)
Qn (О*(5_ *Е) = 5_. (6)
Далее, поскольку множества {/А (аг), Уае м}, {/Ц (Р)(0,Уре м} являются сверточными группами, то умножая (сверточно) (5) и (6) соответственно на /_а)(/), /(_Р)(г), получим соотношения:
т
I «т_ к/^)») * (5+ * Е) =/ _а) (г)* 5+, (7)
к=0
I ъп_ /к) (г) * (_ * Е) =/(_в) (г)* 5_. (8)
к=0
Теперь, учитывая, что /(_к)(г) = (О + у) к 5, У к е N, у = А, ц, очевидно, что соотношения (7) и (8) являются обыкновенными дифференциальными уравнениями:
т
I «т_ к (О + А) к (5+ * Е) = /-а) (г) * 5+, (9)
к=0
I Ъп_к (О + ц) к (5 * Е) = /-в) (г) * 5, (10)
к=0
соответственно в сверточных алгебрах А+ и А_, где, А = А+ + А_ - прямая сумма А± = 5± * А.
Из теории уравнений сверток известно, что всегда существуют элементарные решения Е± соответственно уравнений (9) и (10), принадлежащие
сверточной алгебре & amp-+ [6], но, вообще говоря, не принадлежащие А±. Однако, иногда удается из элементарных решений Е±, используя решения соответствующих однородных уравнений к уравнениям (9), (10), построить элементарные решения е±, принадлежащие А±.
Таким образом, если существуют элементарные решения 5± е А±, то существуют и, притом единственные, решения уравнений (9) и (10), принадлежащие А±, которые имеют вид:
5+ *Е = е+ * /^"ЧО *5+, 5 *Е = е_ * /{-рг) *5_,
откуда
Е = е+ * /(-а) (г) *3++е_ * /Ц-в) (г) * 5_. (11)
Поскольку Е е А, то существует и, притом единственное, решение уравнения (1) в 0__1, которое имеет конструкцию Ф = Е * Ж, где Е имеет вид (11). Тогда формула (2) дает решение задачи (3).
Приведем несколько примеров.
1. Если в уравнении (1) положить т = п = 0, ак = Ък = 0, к = 1, п, а0 = Ъ0 = Г (/), где 0 & lt-у<- 1, а = р = у + р, реN, уе М, А = це С, то оно
можно получить решение уравнения сверток, обобщающее известное уравнение Абеля при, А = 0.
2. Уравнение в 0 вида
{(О2 _о2)/Ч_п)(г) *5+ + а (О + V)"/7+к)(г)*5_}*Ф = Ж,
где, а Ф 0, о & gt- 0, V & gt- 0, п е N, к е М, 0 & lt-а<- 1, 0 & lt- в & lt- 1,
А, це С | Яе, А & gt- 0, Яе ц & gt- 0 имеет единственное решение
Литература
[1] Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. М., 1968. С. 81.
[2] Салехов Л. Г., Салехова Л. Л. О некоторых классах уравнений в сверточной
алгебре Э+'-. // Известия вузов. Математика. 2004. № 7(506). С. 75−77.
[3] Пресдорф З. Некоторые классы сингулярных уравнений. М., 1979. С. 70.
[4] Салехов Л. Г., Салехова Л. Л. К решению одного класса уравнений сверток в сверточном модуле. // Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы. Стерлитамак. 2003. С. 199−206.
[5] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.І. Теория распределения и анализ Фурье. М., 1986. С. 86.
[6] Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М., 1967. С. 159.
примет вид Г (/)/((7+ р)(і)*Ф = Ж. Рассматривая его в Э+'-, получим следую-
щее его решение
него при р = 0

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой