Об одном методе расчета течения в круглом подшипнике

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц, А Г И
Т о м IV
19 7 3
М 3
УДК 517. 9:532/533
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЯ В КРУГЛОМ ПОДШИПНИКЕ
Оцениваются характеристики одного итерационного метода решения уравнений Навье- Стокса для случая круглого подшипника, когда мал зазор между вращающейся и неподвижной поверхностями. Показано, что с уменьшением зазора растут допустимые значения чисел Рейнольдса, обеспечивающие сходимость итераций. Дана оценка отклонения приближенного решения от точного и приведены результаты численных расчетов.
Итерационный метод решения задачи о движении жидкости между двумя некоаксиальными цилиидрами, основанный на введении малого параметра в граничные условия, рассмотрен в работах [1] и [2]. В работе [2] показано, что в пространстве, где I-целое, равно или больше трех, этот метод схо-
дится при достаточно малом числе 1}е и некотором ограничении, наложенном на значение итерационного параметра.
Случай подшипника, являющийся примером приложения рассматриваемой задачи, характерен малостью зазора между неподвижной и вращающейся поверхностями. Пользуясь этой особенностью, конкретизируем ограничения, накладываемые на параметры расчета (см. [2]) и число Ие, а также оценим отклонение приближенного решения, в частности решения упрощенного уравнения, в котором отброшены конвективные члены, от решения полного уравнения Навье- Стокса.
Содержание задачи пояснено фиг. 1. Исследуется течение между круглой неподвижной цапфой, с центром О и радиусом, равным единице, и вращающимся шипом радиусом г & lt- 1 с центром О'-- Расстояние 00' - е удовлетворяет неравенству 1 — г & lt- I.
Скорость вращения — неизвестная константа У0 обеспечивает заданный расход IV
При помощи преобразования
Э. Н. Сармин
У ¦=
Р
+ р2 — 2 -у- сое & lt-р
где? = 0,5
е + -
— Л2
/('-
е +
) — Г*2
е У '- е
задача сводится к решению уравнения
— 4
и введения функции тока У
Ие (дН 2 ДУ & lt-?? дН 2 ДЧг? чг
др д& lt-р
ду др
(2)
с граничными условиями
ЧГ|г,=0, ЧТ|Г (
ау I
•| =о.
г,
-2
дп
, дУ I
-Яг'^|г = ^
дН~1 № дп
(11 = 0.
Здесь приняты обозначения:
(1 Л / / 1, 2 Р А
1 1) / ^!г + Р"--у ССН
Г0 — окружность с радиусом р0 = г
= 1 __ ?е, образ поверхности шипа-
Г]-окружность единичного радиво
уса, поверхность цапфы- Ие =-, где
V — коэффициент кинематической вязко-ети.
Рассматриваемый нами итерационный метод представляет собой последовательное решение двух краевых задач. В первой решается уравнение
АР-і =
Ке (дО^г дЧГ. _! a^J1 д*^
при граничных условиях
др ду д'-У:
І2/ = аН
¦ і-1
Й, = а (Я& quot-1
Р
дЧГ,
дп
+ на Г],
дп ~ ^о,?-і/+ йі-і на Го,
•дОі дп
Вторая — краевая задача Дирихле:
дщ = н2. аь ЧТ,|Г=1, 4Гі]г=о.
Индекс г означает номер итерации. В работе [2] показано, что при
-2
Г+1
(оператор Кс введен там же) и при
II
-1
& lt- а & lt- о
2 (5)
(3)
где с — некоторая постоянная, Чг0 — решение исходной задачи, соответствующее Ие=0 (см. [ 1 ]), итерации сходятся, и указана скорость сходимости.
УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА ДЛЯ СЛУЧАЯ ПОДШИПНИКА
В работе [3] было показано, что при решении задачи для односвязной области итерационный параметр, а обратно пропорционален линейному размеру области. В нашем случае на величины, а и числа Ие влияют два фактора: разность радиусов цилиндров и расстояние между их центрами. Установим характер этого влияния.
Следствием малого размера зазора между цилиндрами является малость интервала изменения координаты р, так как
I — Ро = Л & lt- 1 — г.
С другой стороны, разложением в ряд по Л убеждаемся, что
[ _ г = Л + О (№)
(- + 1 V
----- | =М{ +0(Л)],
где М является отношением наибольшего расстояния между цилиндрами к наименьшему:
1 — г + е
М = 1-------- ,
1 — г — е
поэтому нам достаточно дать оценки интересующих нас величин через М и /г.
Оценим а. Разложение коэффициентов уравнений (96) и (9в) из работы [2) по степеням Л дает право утверждать, что при любом фиксированном и при Л -& gt- О предельный вид этих уравнений не зависит от к:
_ 2 _ Л2
Л^ -?- 12 ~ О-
Из этого следует, что Х& lt-'>- -. Л/2, Х12) -* Л/6. Для? = О величина Х0 -& gt-• Л/2, поэто-
А-.0 А*о
му для нормы оператора Кс при малом Л имеем
Н Кс и = ^ + от.
Следовательно, нижняя граница в неравенстве (3) имеет вид
— 4/(ЛМ3/") = а" а1 + 0(1)& lt-а<-0.
Обратимся теперь к оценке величины числа Ие. При численных расчетах было замечено, что допустимые значения [?е, для которых метод сходится, растут с уменьшением 1-г. Объяснить это явление помогает введение новой координаты р: р = /гр. После такого преобразования в уравнении (2) появляется новое число Рейнольдса: Ие = Ие Л, а все характерные размеры области 5 и входящие в уравнение члены становятся величинами, сравнимыми с единицей. К этому уравнению можно применить результаты работы [2], из которых следует, что
*'-м& lt-т-тг'-
МГ2 1 2 (5)
т. е. допустимые значения числа Ие растут обратно пропорционально произведению /ИЛ.
ОТКЛОНЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ОТ ТОЧНОГО
Оценим отклонение любого приближенного решения от решения полного уравнения (2) при условии, что Л достаточно мало. Сделаем это на примере решения уравнения Стокса. Разложим решение (2) в ряд по степеням Не:
СО
У = 2 хь Ке'-. (4)
7 = 0
Нулевой член этого ряда соответствует решению линейного уравнения с Ие = О, а последующие удовлетворяют уравнению
Д/УГ2ДУ,-:- V
Р & gt- О
D (Н~2 ЬУк. Wj)
k+i=j-1
D (р, & lt-?)
(5)
и граничным условиям
d4Tj г
1 г дп ІІ о I
'-дн^ш = о. (6)
дп
Для нахождения радиуса сходимости ряда (4) представим каждый член Ф'-у в виде суммы
Ф/=У/+С/Х1. (7)
где Фу — решение задачи
о ~ ~
= О,
Р]-правая часть уравнения (5), а Хі удовлетворяет условиям
д^р2дХі = °. Xt I =
Hi
дп
= 0,
Н

р дп
const
• f
А дп
dl= 1-
Хі имеет вид
Хі ¦
¦ - 1) Н.
[(2 In Р0 + 1 — Р2) р2 — (2 Ро 1 п Ро -t- 1 — Р2)] In Р — (1 — P^) In Ро (р2−1)
2 In р0+ 1 — р2
— 2 Ро 1п ро — 1 + Ро
Оценим функцию Ч/у, записав ее как У, = Н «у. Для и, имеем
Дім, — = Яр /=), а і Поэтому для любой правой части
dUj
дп
— 0.
А-* Iі м-sr
где X* - наименьший из собственных значений оператора Д2 над функциями, обращающимися на границе в нуль вместе со своими нормальными производными.
Исследование последних показывает, что при Л -& gt- 0 величины X растут не
тс
медленнее, чем тс/Л, т. е. X ^ -Т- -) — 0 (1). Поэтому для подшипника из формулы Грина легко получается
диі №
_L дЛ±
Р
d& amp-uj
~w
dp 1 d& amp-Uj
p d& lt-f
L.
rc3 II H9Pj\Lt,
(8)
Константа с, — в равенстве (7) определяется через Ч'', — и потому может быть
выражена через Р-:
& lt-ЗЯ"2 ДФ,-дп
dl =
Хо I
¦Цхо-Р/
ds.
г» s
Функция уо является решением задачи
ллг2дхо = о,
Хо
'-г,
?Хо
дп
= °& gt- Хо I г, = согіві,
2? Хо дп
са= і
и принимает на границе наибольшее абсолютное значение. Поэтому
|с7-|& lt- /2^А І! /V II ц-
Разлагая коэффициенты по степеням Л и сопоставляя (7), (8) и (9), приходим к выводу, что при малом Л
1 дУу |
Р ^9
II
др
М '
& lt- Л4 її рі II ц — +
М
О (ЛЬ),
& lt-Л3И р.
1III,
м1-
2 + ~^з~'-) + о т,
1 дН~2№
М'-к
дЯ~2ДФ, др
Пользуясь этими оценками, найдем радиус сходимости ряда (4). Если потребовать, чтобы каждый из Ф, — удовлетворял неравенству
(і мг. л, и
I р а? и р & lt-эр
1 дН~2 ДФ
Л2,
ан-2дф,
ар
л3 & lt-
(У + О2'
и провести рассуждения, аналогичные доказательству неравенства (11) из работы [4], получим результаты: ряд (4) сходится при
Ие & lt-
1
4 АКИ '-
(10)
где, А — гпах
Iо. р д& lt-р
/С = шах
аФ0
ар
Л,
+
уИ7'
і ая-2дф0
р
7С3
+ 2,
1
г.
др
ЛЗ
М', а т /& quot-
— + К-
Так как члены ряда, начиная с первого, не превосходят членов геометрической прогрессии со знаменателем q = 4АК Ие Л, то при условии (10) отклонение сток-совского решения Ф0 от точного удовлетворяет неравенству
| Ф — Ф0 II з & lt-
М72(5)
2 Ие К И [[ Ф0 || з 1 — 4 АКИ Ле '-
Подобным же образом, представив погрешность какого-либо приближенного решения У в виде «хвоста» ряда типа (4), можно оценить эту погрешность через невязку уравнения (2):
«- вки
11 ЧГ|1 тг? (5)& lt- 1 -Яе А, АГЛ '-
где
Д Я~2ДФ
ре О (Я"2 ДФ, У)
А — 4 шах '-
' і аФ аФ 1
1 р & lt-э<-р и, ' а? л, А Р
0(р, & lt-р) Н~2 ДФ
а& lt-р
ая0_2дф 1
л2, ЛЗ
?2 с/р I, '-
РАСЧЕТ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ПОДШИПНИК
Обратимся к определению силы и момента, с которыми смазочный слой действует на шип. Если в интересующие нас составляющие тензора напряжений из работы [5] подставить выражение компонентов скорости из (1], учесть граничные условия и уравнения неразрывности, то получим
Р» = -Р& gt- И (^ + 2 «
Р& lt-Р
(П)
где р — гидродинамическое давление на поверхности шипа, определяемое согласно уравнению для угловой скорости из [1] формулой
& lt-р
^ = (12^
о
а 0 — вихрь, О, — Н
Знание решения позволяет нам получить компоненты равнодействующей
силы:
Рх = [ (Ррр сов (р, х) + сое (?, х))Л1, Го
Ру = ] (Ррр СОБ (р, у) + Рр9 СОБ (?& gt-, у)) & lt-11.
Формулы (1) и (11) дают возможность вычислить подынтегральные выражения:
2 Г.
Рх — Ро (?2 '-
Ру — Ро I ?2 1
Ро ^ э1п 9 Н-н-2
+ р0 сое ср-2
?
+ Рс2−2^С08& lt-Р
сйр,
¦ (13)
?2 + Ро I С08
+ М-Й (-р- - Ро) з1п ?
. 02.
о Р°
2 сое ч/
Здесь учтено то обстоятельство, что
I
?2 + Ро у 008 '-Р — 2? ТГ + Ро — 2 Т- с0?- Ч& gt-
Ро
Момент касательных к вращающейся поверхности сил относительно центра вращения вычисляется аналогично:
с V (2 У0 (?2 — 1 ^ Ро
м = г ] Роу — й + ~Т
г»
Рп
— с1у =
2 к
= - 2цгУ0- - ро
§ 2 + Ро 2? С05 *Р
0. с1 у
_ ?2 + РО — 2
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Ро
(14)
сое & lt-р
Опишем теперь вычислительный эксперимент и результаты расчетов. Схема построения итераций показана в работах [I] и [2], а сами последовательные приближения рассчитывались конечноразностным методом, т. е. производные заменялись центральными разностями и результат получался в узлах сетки '- Н 2п1
Ро + -?г *& gt- «дГ& quot- 1 ¦ Аппроксимация граничных условий дана в [2]. Интегралы по контуру (12), (13) и (14) вычислялись по методу Симпсона.
7 — Ученые записки ЦАГИ № 3 97
В таблице приведены результаты разностного расчета. Для проверки ег точности разностное решение было сравнено с аналитическим для случая г =0,9, е = 0,05, Ие = 0. На сетке, содержащей 20X20 точек, разница между решениями не превышала 0,01%. По-видимому, такая точность для инженерных расчетов избыточна, однако в таблице мы даем в некоторых случаях пять значащих цифр, чтобы более наглядно проследить влияние числа Не на конечные результаты.
Результаты в таблице сгруппированы в следующем порядке: для совокупности параметров т = {г, е, Ие} приводятся значения К0/11'-0, Рх/^о- Гу/^о и ЛН^Уо, а в конце строки делается замечание относительно наличия возвратного течения («есть») или его отсутствия («нет»). Затем в х меняется последний компонент Не до тех пор, пока его дальнейший рост не позволит за 100 итераций установить пять значащих цифр результата. После этого изменяется расстояние между центрами е и приводится новая группа результатов и т. д. Некоторые данные опускались из соображений экономии места.
Проследим влияние числа Не на результаты. Известно [6], что при Ие=0 суммарная составляющая сил, действующих на вращающуюся поверхность подшипника, перпендикулярна линии центров окружностей. В нашем случае это выражается равенством Ру — 0 при Ие = 0. При Ие ф 0 в уравнении появляются конвективные члены, вносящие асимметрию в течение, и возникает составляющая Р'-у, которая растет с увеличением Ие. Однако она не составляет значительной доли по сравнению с Рх на всем диапазоне чисел Ие, обеспечивающих сходимость итераций. Результаты расчетов показывают также, что число Ие практически не меняет скорости, реализующей единичный расход жидкости между поверхностями подшипника, т. е. при малых Л величина У0 =¦ У0(г, е). То же самое можно сказать н о Рх и М.
г е Не У/Щ Рх/цЧГ0 Ру/^О М/цЧГ о Возврат- ное течение
[ ° 21,070 0, '-002•10* 0 -0, 11 021 10* Нет
0,9 0,015 10 21,070 0,5006−10* 0,3251−103 -0,11 021 10* «
35 21,072 0,5052−10* 0,1134−10' -0,11 022 10* Я
0,9 0,03 0 23,359 0, 1113−105 0 -0,13 861 10*.
0,9 0,3 125 Г 32 1 о 23,363 23,640 0,1121• 105 0,1174−105 0,2081−10* 0 -0,13 864 -0,14 221 10* 10* Есть
32 23,645 0,1183−105 0,2167−10* -0, 14 224 10* «
0,9 0,05 0 30,420 0,2477−105 0 -0,23 591 10*
10 30,420 0,2478−105 0,9960−103 -0,23 591 10*
25 30,423 0,2483−105 0,2489−10* -0,23 595 10*
0,98 0,006 150 115,21 0,1567−107 0,2553−10» -0,40 995 105 Нет
0 119,11 0,1794−107 0 -0,43 982 105 Есть
0,98 0,00(6) 100 119,12 0,1798−107 0,1889−10& quot- -0,43 986 105 «
150 119,13 0,1804−10? 0,283Ы0е -0,43 991 105 «
0,98 0,015 80 293,06 0,1179−108 -0,3515−10» -0,22 166 10» «
0 5,7116 0,3870−102 0 -0,32 037 102 Нет
0,6 0,05 5 5,7117 0,3890−102 0,6658−101 -0,32 037 102
8 5,7118 0,3920−102 0,1063−102 -0,32 037 102 «
0.6 0,125 7 6. 4231 0,1102-Юз 0,2351−102 -0,41 918 102
0,6 0,13 7 6,5252 0,1178−103 0,2280−102 -0. 44 160 102 Есть
0 10,482 0,3819-Юз 0 -0,11 180 103
0,6 0,25 3 10,482 0,3819−103 0,1354−102 -0,11 181 103 п
5 10,480 0,3820−103 0,2259−102 -0,11 194 103 «
Для объяснения этого явления заметим, что четность по 9 членов ряда (4) совпадает с четностью их порядковых номеров, а переменная часть гидродинамического давления (12) имеет противоположную четность. Из (13) следует, что нечетные члены ряда (4) влияют на составляющую ру и не оказывают никакого влияния на М и Рх.
Из формулы Грина и из (6) легко получить равенство
|{(Ф0Д"-2ДУ2А+1-ЧГ2й+1ДН-2ДЧГ0)^ = -| (У0Н-1АЧг2к+1- К2А+1 Н~х ДЧГ0)
5 '- г0
Первые три интеграла в этом равенстве равны нулю согласно замечанию о четности. Следовательно, У2*+1=0.
Таким образом, в первом (относительно Ие) приближении значения V, М и Рх не меняются, их возмущения имеют второй порядок малости 0(Яе2Л2). Этим
это подтверждают) тот факт, т. е.
что Ру растет прямо
же объясняется (и расчеты пропорционально числу Ие,
Ру = с (г, е) Ие [I + О (Ие2 /г2)],
где с (г, е) — константа, зависящая от геометрии области и не зависящая от числа Яе.
В работе [1] дан пример появления зоны возвратного течения в диффузор-ной части подшипника, около неподвижной стенки, вблизи наиболее удаленной от шипа точки. Как видно из таблицы, возникновение возвратного течения не
е
зависит от числа Ие. При малых Л оно появляется в случае, когда ^____________ & gt-0,3,
что хорошо согласуется с выводами работ [6].
На фиг. 2 для случая г = 0,9, е = 0,05, Ие = 25 нанесены линии уровня Ф& quot-
у, уравновешивающие направленную вниз нагрузку на
и составляющие Рх шип — Р.
В конце таблицы приведены результаты расчета для случая, когда разность радиусов равна 0,4. Из них видно, что все замечания относительно влияния числа на величины У0, Рх, Ру и М и относительно наличия зоны возвратного течения справедливы и в этом случае, хотя зазор между поверхностями цилиндров достаточно велик.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сарм и н Э. Н. Об одном численном методе решения частной задачи гидродинамической теории смазки. Труды секции по численным методам в газовой динамике второго международного коллоквиума по газодинамике взрыва и реагирующих систем. Новосибирск, август, 1969. Том I. М., Изд. ВЦ АН СССР, 1971.
2. С, а р м и н Э. Н. Метод расщепления граничных условий для задачи о движении жидкости между двумя некоаксиальными цилиндрами.. Ученые записки ЦАГИ& quot-, т. 111, № 5, 1972.
3. П, а л ь ц е в Б. В. О разложении задачи Дирихле и смешанной задачи для бигармонического уравнения в ряд по решениям распадающихся задач. «Ж. вычисл. матем. и матем. физ. «, т. 6, № 1, 1966.
4. Пальцев Б. В. О сходимости метода последовательных приближений с расщеплением граничных условий при решении краевой задачи для уравнения Навье-Стокса. «Ж. вычисл. матем. и матем. физ. «, т. 10, № 3, 1970.
5. К о ч и н Н. Е., Кибель И. А., Розе И. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 11. М., Физматгиз, 1963.
6. Гидродинамическая теория смазки. Под редакцией А. С. Лей-бензона. М., Гостехтеориздат, 1934.
Рукопись поступила 281VI 1972

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой