Об одном обобщении теоремы Пэли-Винера для весовых пространств Харди

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ISSN 2074−1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 4 (2013). С. 31−37.
УДК 517. 5
ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ ПЭЛИ-ВИНЕРА ДЛЯ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ ХАРДИ
Б.В. ВИННИЦКИЙ, В.Н. ДИЛЬНЫЙ
Аннотация. В работе рассматривается пространство Харди H§(C+) в полуплоскости с экспоненциальным весом. В этом пространстве изучается задача аналитического продолжения функции с границы. Ранее получено утверждение для случая p? (1- 2]
об аналитическом продолжении с мнимой оси, которое является обобщением одной теоремы Пэли-Винера. Но для многих приложений более интересным является случай p =1. Для этого случая в статье получены оценки функции, удовлетворяющей некоторым стандартным условиям.
Ключевые слова: весовое пространство Харди, теорема Пэли-Винера, угловые граничные значения
Mathematics Subject Classification: 30H10, 30E20
1. Введение
Обозначим через Hp (C+), 1 ^ p & lt- +то, пространство функций, аналитических в C+ = {z: Rez & gt- 0}, для которых
{+^ л 1/р
/ |f (re^dr& lt- +то.
0
А. М. Седлецкий [1] показал, что это пространство совпадает с пространством Харди Hp (C+) аналитических в C+ функций, для которых
/ +Ж л 1/р
||f ||яp = suP I |f (x + iy)|pdy& lt-
x& gt-0 u
и нормы || ¦ ||яр и || ¦ ||hhP являются эквивалентными. Свойства пространств Харди достаточно полно изложены в [2], [3]. Функции из пространств Харди имеют почти всюду на Ж угловые граничные значения, которые обозначаем через f (iy) и f (iy)? Lp®. Хорошо известной [3, c. 94] является следующая теорема Пэли-Винера.
Теорема 1. Функция f0? Lp (Ж), 1 ^ p ^ 2, является угловой граничной функцией некоторой функции f? Hp (C+) в том и только том случае, если
J f0(it)elTtdt = 0,
для почти всех отрицательных чисел т.
B.V. Vinnitskii, V.N. Dilnyi, On generalization of Paley-Wiener Theorem for weighted Hardy spaces.
© Винницкий Б. В., Дильный В. М. 2013.
Поступила 28 сентября 2013 г.
Б. В. Винницкий рассмотрел [4] следующее обобщение пространства Харди. Обозначим через Н'-(С+), а ^ 0, 1 ^ р & lt- +то, пространство аналитических в С+ функций, для которых
{+го Л 1/Р
/ |/(гОГе-'"& quot-'-1"-1"-^/1т<- +м.
0
Функции из этого пространства имеют почти всюду на на Ж угловые граничные значения, которые обозначаем через /(гу) и /(гу)е-'-^у Е Ьр (М).
В [5] получено следующее обобщение теоремы Пэли-Винера.
Теорема 2. Функция /о: гМ ^ С такая, что /о (И)е-'-^ € ЬР (М), 1 & lt- р ^ 2, является угловой граничной функцией некоторой функции / Е НР (С+) в том и только том случае, если существует функция /2 такая, что
1) /2 Е НР'-(С+) —
2) /з (гУ) := /1(гУ) + /2(гу) Е ЬР (-ж- 0), /1 (гу) := /о (гу)е '--
3) для почти всех т & lt- 0
+го +го о
J /1(гу)егтьйу + - ! /2(п)етийп + ^ /з (гь)егт'-ийу = 0. о о -го
Теорема 1 является частным случаем теоремы 2 для случая, а = 0. При исследовании цикличности в некоторых пространствах и свойств уравнений свертки (см [6], [7]) возникает вопрос о справедливости теоремы 2 для случая р = 1. В [5] показано, что необходимая часть этой теоремы справедлива и для случая р = 1, но вопрос о достаточности условий остается открытым. Цель этой статьи — получить описание функций, угловые граничные функции которых удовлетворяют условиям 1)-3) предыдущей теоремы.
2. Основной РЕЗУЛЬТАТ Получено следующее утверждение.
Теорема 3. Если /о: гМ ^ С, /о (й)е-'-^ Е Ь1 (М) и выполняются условия 1)-3) теоремы 2, то существует аналитическая в С+ функция /, для которой функция /о является угловой граничной функцией и
+ГО
8ир^ J /(тег (р)е-агИ& quot-т: у Е (-п/2- п/2)(-5- для всех 5 Е (0- п/2).
Доказательство в существенном базируется на следующих вспомогательных утверждениях.
Лемма 1. Если выполняются условия теоремы 3 и
+го о +го
Н (-) = 2−1 *, + 1 / *, + (Жгп
2п ] гу — г 2п ] гу — г 2п% ] п — г
о -го о
то 'Б. (г) = 0 для всех г Е С- := {г: Кег & lt- 0}.
Доказательство. Обозначим
+го + го о
т (т) = ! /1 (гу)егт'-ийу, щ (т) = - ! /2(п)етийп, щ (т) = ! /з (%у)егт'-и& lt-1у.
оо
Тогда из условия 3) вытекает, что
о
J е-тг (щ (т) + П2(т) + Пз (т)) йт = 0, Иег & lt- 0.
— го
Но по теореме Фубини мы имеем для Иег & lt- 0
о +го о +го
e-TZПл (т)dT = I fi (iv) I eT{tv-z)dTdv = I dv.
— ro 0 -ro 0
Аналогично
0 0 0 +ro
[ e-TZ Пз (т)dT = f dv, [ e-TZ П2 (T)dT =- f du.
J J iv — z J i J u — z
-ro -ro -ro 0
Поэтому из (2) получаем утверждение леммы. ?
Введем обозначение С (а- в) = {z: а & lt- arg z & lt- в}.
Лемма 2. Если выполняются условия теоремы 3, то угловые граничные значения функции
I -e-«zE (z), z? C (0- -/2),
J (z) -e-& lt-°z (=(z) — f2(z)), z? C (--/2−0),
совпадают почти всюду на iR с функцией f0.
Доказательство. По лемме 1 имеем Е (-z) = 0, z? С+. Поэтому
+ro
SW = E (z) — E (-z) = ±-J Miv)(iv- - -+z) dv+
0
0 +ro
+2- / h (iv){wh — шЬ) dv + 2Ы f2{u){u-z — du =
— ro 0
+ro 0
= 2−1fi (iv)av — mv+z)dv+ 2- j f3(iv)(iv — ^iv+D dv+
0 -ro
+ro
+ 2Ы f2(u)(u — + z) du
0
Последний интеграл равен нулю [1] на мнимой оси за исключением, возможно, точки z = 0. Легко видеть, что
+ro +ro
2- [ fi (iv)r--2x¦ + z) dv=-- / fi (iv)-(-xx2 + 2dv
2- j (iv — z) (iv + z) — J (v — y)2 + x2
00
является интегралом Пуассона, поэтому для него существуют угловые граничные значения почти всюду на дС+ из С+ и эти значения равны — fi (iv) для v & gt- 0 и 0 для v & lt- 0. Аналогично можно показать, что угловые граничные значения на дС+ из С+ функции
о
— I / С 2х
2п J 3 (гу — г) (гу + г)
-оо
Су
равняются почти всюду — /3(гу) для у & lt- 0 и нулю для у & gt- 0. ?
Лемма 3. Если выполняются условия теоремы 3, то для функции /, определенной в
лемме 2, справедливо условие (1).
Доказательство. Из леммы 1 вытекает, что для Иег & gt- 0
+го о +го
0 = - [су +1 / Iу +
2п ] гу + г 2п ] гу + г 2пг ] п + г
о -го о
+го о +го
0 = - Г Шсу + 1. [ ШЛу + ± [ Ж. Ли.
2- ] гу + г 2п ] гу + г 2пг ] п + г
о — о
Из вышеприведенных равенств получим для г = х + гу Е С+, у = 0,
+го
0 = ^ / /1(гу)(-^ + -
2п
+ 2-- [ /з (гу)(--2- + -
2п I гу + г гу
+го
2пг
/2(п) (--------------^ + -
(1 1
гу + г гу + г
1 1 ^
гу + г гу + г
Г 1 1
|Су+
п + г гу п + г п + г/
йу+
Сп.
11
1 х (1
+ -
1
Поэтому, обозначив
2 шх
Х (ш- г) := -т--------7-------гт------г: | | _
-г (ш + г)(ш — г)(ш + г) 2-г ш — г ш + г гу ш + г ш + г
получим
+го о + го
?(г) = г ! /1(гу)х (гу- г) Су + г^ /з (гу)х (гу- г) Су + J /2(п)х (п- г) Сп.
о — о
Рассмотрим сначала случай, когда 0 & lt- у & lt- -/2. Тогда
+го + го + го
J /(тег^)е-аг18"^Ст = I Е (тег^)ат ^ У
о о о
+го + (
+го
/1(гу)х (гу- тег1р) с1у
Ст+
о п +го п +го п
/ /з (гу)х (гу- тег^)Су Ст + / / /2(п)х (п- теУ) Сп Ст ^
и — и о и о
о
+го + го о + го
/ / ЫП1ЫЩГ^)^ +/ /
о о — о
+го + го
Ч /
оо
1
+
Очевидно,
+ Го + Го
— f |x (iv-rei-)dr = !-----------|v|rcospdr = dr.
2 J J (v2 — 2vr sin p + r2)/v2 + 2vr sin p + r2
00
Если v & gt- 0, то
+ro +ro
f |v| r cos pdr f s cos pds
J (v2 — 2vr sin p + r2) ^/v2+2vr~sinp+r2 J (1 — 2s sin p + s2)
Поскольку p? (0- -/2), то использовав неравенство s & lt- л/s2 + 1, имеем
+ro + ro
f s cos pds f cos pds —
------------ & lt- - -: -о7T + arctgtg p & lt- -.
J (1 — 2s sinp + s2) y/Y+lssinp+s2 J 1 — 2s sinp + s 2
00
Если же v & lt- 0, то
+ro + ro
| v| r cos pdr s cos pds
(v2 — 2vr sin p + r2) ^/v2+2vr~sinp+r2 J (1 + 2s sin p + s2)^/T-2^s si^p+^^
& lt-
+ro +ro.. .
& lt- I& quot- s cos pds j'- s2 sin (n — |) cos (| - |) ds ^
& lt- 0 (1 + s2)^Щ1-пр) 0 (1 + s2)^4s sin2 (n — 1) & lt-
+ro () + ro
fscos (f — I) ds fsds V2
& lt- J 1 + s2 & lt- J 1 + s2 = -~2.
00
Поэтому по теореме Фубини при p? (0- -/2) имеем
+ro + ro + ro + ro
J dr J f1(iv)x (iv- relI) dv & lt- c & lt- +ro, J dr J f3(iv)x (iv- relI) dv & lt- c& lt- +ro,
0 0 0 0
Также для u & gt- 0 получим
+ro + ro
2/lx (u reI)]d = I |(u + z) lU-:)(«+ z) dr =
00
+ro
ur cos p
dr
J (u2 + 2ur cos p + r2) уu2 — 2ur cos p + r2
+ro 2
s cos p 2
= --------. dr = -j=. dr+
(s2 + 2s cos p + 1) s2 — 2s cos p + 1 s2 — 2s cos p + 1
00
+ro 2
+ ----/ s 2 = dr ^ 2 1.- 2 dr+
J (s2 + 1) y (s — cos p)2 + sin p J у/(s — cos p)2 + sin p
+ro 2 + ro
'- 1,11! 1 f 1
+ - dr ^ 2 — dr ±. --TTT dr & lt- c2.
J sW2(s — cos p) sin p J | sin p| V2sm pj (s — cos p)3/2
2 v 0 2
Поэтому также
+ro + ro
J dr J f2(u)x (u- relI) du & lt- c1 & lt- +то, p? (--/2 + 8- -/2 — 8) 00
Рассмотрим теперь случай --/2 & lt- p & lt- 0. Тогда
+ro +ro + ro
J f (relI)e-arlsinl|dr ^ J E (relI)dr + j f2(relI)e-2arlsinlldr ^
0 0 0
+ro + ro 0 + ro
^ У U1(iv)^ x (iv- relI) drdv + j J x (iv- relI) drdv+
0 0 — 0
+ro +ro
+ J |f2(u)| J x (u- relI) drdu + c.
00
Аналогично случаю 0 & lt- p & lt- -/2 можно показать, что если v & gt- 0, то
+ro
| v| r cos pdr 2
& lt- --
J (v2 — 2vr sin p + r2) Zv2+2vrssiop+r2 2
а если v & gt- 0, то
+ro
| v| r cos pdr
& lt- -.
J (v2 + 2vr sin p + r2) у v2 — 2vr sin p + r2
Учитывая также (3), получим справедливость (1) и для p? (--/2- -8). ?
Доказательство теоремы 3 вытекает из лемм 1−3, если учесть, что функция f, определенная в лемме 2, является аналитической в С+. Действительно, функция
+ro 0
_L Г Ш dv + L / ММ. л,
2- iv — z 2- iv — z 0-
очевидно аналитическая в С+. Функция
+ro
1 f f2(u) d f ()
u-zdu — f2(z)
0
аналитическая в углах C (0- -/2) и C (--/2−0). На положительной действительной полупрямой по теореме Сохоцкого предельные значения из верхнего и нижнего угла совпадают. Поэтому, как и при доказательстве леммы 8 из [7], легко получим, что f — аналитическая в С+.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Седлецкий А. М. Эквивалентное определение пространств Нр в полуплоскости и некоторые приложения // Матем. сб. 1975. 96. № 1. C. 75−82.
2. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр. М.: Наука. 1984. 368 с.
3. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир. 1984. 469 с.
4. Винницкий Б. В. О нулях функций, аналитических в полуплоскости, и полноте систем экспонент // Укр. мат. журн. 1994. 46. № 5. C. 484−500.
5. Винницкий Б. В. Об обобщении теоремы Пэли-Винера // Мат. студ. 1995. 4. C. 37−44.
6. B. Vinnitskii, V. Dil’nyi On extension of Beurling-Lax theorem // Math. Notes, 79. 2006. P. 362 368.
7. V. Dilnyi On Cyclic Functions In Weighted Hardy Spaces // Журн. матем. фiз., анал., геом. 2011.
7. C. 19−33.
Богдан Васильевич Винницкий,
Дрогобычский государственный педагогический университет имени Ивана Франко, ул. Стрыйская, 3,
82 100, г. Дрогобыч, Украина Владимир Николаевич Дильный,
Львовский национальный университет имени Ивана Франко, ул. Университетская, 1,
82 000, г. Львов, Украина E-mail: dilnyi@mail. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой