Об одном подходе к решению игры с «Линией жизни» (случай поточечной встречи)

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Теперь легко получить решение игры на «выживание» в квадрате. Граница выигрывающего множества игрока Е в случае 5 = {(х- у) | ^ & lt- х & lt- d, -к & lt- у & lt- d} получается как граница пересечения выигрывающих множеств игрока Е, определяемых системами (7) и (11). Вид этой границы при 1 = 3, k = 2,5 приведен на рис. 10.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ширяев В. Д. Об одной задаче простого преследования / В. Д. Ширяев // Исследования по прикладной математике. Саранск, 1982. С. 22 25.
2. Ширяев В. Д. Обном способе определения улитки Паскаля / В. Д. Ширяев // Вестн. Ленингр. гос. ун-та. Сер. '- математики, механики и астрономии. 1982. № 19. С. 107.
Поступила 09. 02. 2012.
УДК 519. 83
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ ИГРЫ
С «ЛИНИЕЙ ЖИЗНИ»
(СЛУЧАЙ ПОТОЧЕЧНОЙ ВСТРЕЧИ)
В. Д. Ширяев, Д. И. Скоблов
В работе рассматривается игра с «линией жизни» на полуплоскости 5 = {(х- у)| -да & lt- & lt- х & lt- у & gt- 0}. Преследуемый (игрок Е) использует кусочно-постоянные стратегии, а преследователь (игрок Р) стратегии с дискриминацией. В этих предположениях построены в явном виде сечения выигрывающих множеств игроков Р и Е.
Пусть на плоскости задано множество 5. Преследуемый Е считается пойманным, как только расстояние между ним и преследователем Р станет меньше или равно I (I & gt- 0). Число I называется радиусом встре-
чи, а процесс поимки — 1-встречей. Целью игрока Р является сближение с игроком Е до достижения последним «линии жизни» — границы множества 5. Игрок Е преследует противоположную цель, т. е. стре-
© Ширяев В. Д., Скоблов Д. И., 2012
мится достичь «линии жизни» до момента I-встречи.
Будем рассматривать игры с дискриминацией Е, в которых Е использует кусочно-постоянные стратегии (г& gt-ст), а Р использует стратегии с дискриминацией из +
Пусть множество 5 — полуплоскость
5 = {(х- у): -да & lt- х & lt- +да- у & gt- 0}-
и — некоторая фиксированная стратегия игрока Р, обладающая свойством в любой ситуации {и, 1& gt-а} х Е обеспечивать /-встречу с игроком Е во всей плоскости, если в момент времени? = 0 игроки находятся в точках г1° = (хр°- уро), 22° = (х?°- уЕ°).
Обозначим через Сй (2°, 2°) множество всевозможных положений игрока Е в момент 1-встречи в ситуации {и, vs} для различных vs е Е (местоположение игрока Е в момент 1-встречи называется «точкой встречи»). Очевидно, что если множество С (2°, имеет непустое пересечение с дополнением множества 5, то игрок Р, используя стратегию и, не может гарантировать I-встречи с игроком Е в множестве 5.
Определим структуру Си (2°, 2°), с тем чтобы получить уравнения границ зоны встречи и зоны убегания. Имея явное выражение для границ множества С^(2°, 2°) и зная границу множества 5, можно геометрически достаточно просто построить границу выигрывающего множества игрока Е в позиции = 21° как множество точек е для которых граница множества С^(2°, 2°) касается границы множества 5. Аналогично, имея явное выражение для границы С (2°, 22°) и зная границу множества 5, можно геометрически построить границу выигрывающего множества игрока Р в позиции Е = 22 как множество точек ?1 е 5, для которых граница множества С^(2°, 2°) касается границы множества 5.
При использовании игроками П-страте-гии граница множества С^ (2°, 2°) в случае поточечной поимки (I = является окружностью Аполлония [1].
Определим границу выигрывающего множества игрока Е в позиции = 21° = = с) (рис. 1).
Уравнение окружности Аполлония для начальных положений 21° = с), 22 = (хЕ- уЕ) имеет вид:
(х — хЕ)2 + (у — уЕ)2 = 12[х2 + (у — с)2],
где 1 = - & lt- 1 — отношение скоростей игро-а
Для того чтобы окружность Аполлония касалась прямой у = ° (границы множества 5), необходимо, чтобы уравнение
(х — хЕ)2 + уЕ2 = 12(х2 + с2)
имело единственное решение. Для этого дискриминант приравняем к нулю:
4хЕ2 — 4(1 — 12)(хЕ2 + уЕ2 — 12с2) = Отсюда
УЕ
ХЕ
= 1.
(1)
12с2 (1 — 12) с2 Уравнение (1) определяет границу выигрывающего множества игрока Е в позиции Р° = с). Искомая граница является ветвью гиперболы. Часть полуплоскости 5, расположенная под этой ветвью гиперболы, является выигрывающим множеством игрока Е в позиции
Заметим, что абсцисса точки касания окружности Аполлония для начальных положений 2° = с), 22 = (хЕ- уЕ) равна
1 — I2 '-
Определим границу выигрывающего множества игрока Р в позиции Е° = 2° = = с) (рис. 2). Уравнение окружности Аполлония для начальных положений 21 = (хР- уР), 2° = (0- с) имеет вид:
х2 + (у — с)2 = 12[(х — хР)2 + (у — уР)2].
Для того чтобы окружность Аполлония касалась прямой у = необходимо, чтобы уравнение
х2 + с2 = 12[(х — хР)2 + уР2]
112
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2612 | № 2
имело единственное решение. Для этого приравняем дискриминант к нулю:
414хР2 — 4(1 — 12)[с2 -12(хР2 + уР2)] = 0.
Отсюда
1 хр
12, 2 1 Ур
(1 — 12) с2
: 1.
(2)
Искомая граница является верхней половиной эллипса (2). Внутренность эллипса, лежащая в полуплоскости Я, является выигрывающим множеством игрока Р в позиции Е0.
Заметим, что в данном случае абсцисса точки касания окружности Аполлония для начальных положений 21 = (хр- ур), 20 = (0- с)
12
1 -12
Р (хр- Ур)
М (х-0)
Рис. 2
1. Петросян Л. А. Геометрия простого преследования восибирск: Наука, 1983. 144 с.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Л. А. Петросян, Г. В. Томский.
Но-
Поступила 10. 03. 2012.
УДК 517. 977. 8:53. 088
ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ЛИНЕАРИЗАЦИИ В КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ*
О. В. Дружинина, В. Н. Щенников, Е. В. Щенникова
Объектом исследования является многосвязная нелинейная система дифференциальных уравнений, для которой построены верхние оценки на решения и найдена оценка погрешности ее линеаризации. Следует отметить, что система первого приближения является также нелинейной. Рассматриваемая система является более общей по сравнению с системами, описывающими критические случаи к нулевых и 2к чисто мнимых корней.
Рассмотрим нелинейную многосвязную ^ (т+а) С ч ^ / л_
систему дифференциальных уравнений + ^ (/& gt-х1>- ¦¦¦& gt-хд) + (^) _
У=1
^=хт (х^)+хт (г, х1,…, х") + (1)
^ ^ '- ^ 1 ^ - М3 {I, х) + Д5 (*)
© Дружинина О. В., Щенников В. Н., Щенникова Е. В., 2012
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) (проект № 10−08−826-а).

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой