Об одной контактной задаче теории упругости для составного кольца

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1468−1469
УДК 539. 311
ОБ ОДНОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ СОСТАВНОГО КОЛЬЦА
© 2011 г. С. В. Данилова, М. Ф. Кулагина
Чувашский госуниверситет им. И. Н. Ульянова, Чебоксары
kulagina_mf@mail. ru
Поступила в редакцию 15. 06. 2011
Рассматривается первая основная задача теории упругости для двухслойного концентрического кольца, составленного из двух колец с различными модулями упругости и коэффициентами Пуассона.
Ключевые слова: теория упругости, двухслойное концентрическое кольцо.
Решается задача в следующей постановке: найти упругое равновесие кольца, составленного из двух колец Я (& lt- г & lt- Я2 и Я2 & lt- г & lt- Я3 (-п & lt- 0 & lt- п) с модулями упругости и коэффициентами
Пуассона V1, V11, для случая плоского напряженного состояния.
На окружностях г = Я (и г = Я3 заданы напряжения в виде рядов Фурье:
а V (r, 0)
= с01) +
?[c^cos n0 +d^sin n0],
Для смещений и напряжений записываются выражения Папковича — Нейбера через три гармонические функции, две из которых связаны условиями Коши — Римана. Подставляя структуры гармонических функций в выражения Папковича — Нейбера, получим структуру напряжений:
cr (r, 0) = B00r& quot-2 + 2A? — 2B0r-3 cos 0- 2D0 r-3 sin0 + 2A2r cos0 + 2C^rsin0 +
+
?{[-n (n-1)A0rn-2 -n (n + 1) B0r-n-2 + «n=2 T1 r0 (r, 0) ^ = °01) + ??1[ani)c0sn0+^ni)sinn0], + (n +1)(n + 2) An+1rn + (n — 1)(n -2)B_xr-n ] x
a11 r
(1)
(r, 0) = c03) + Y [43) cosn0 + dn3 sinn0],
r=R
n=1
x cosn0 + [-n (n — 1) C0rn-2 — n (n +1)D0r& quot-n-2 + +(n+1)(n+2)cn+1rn+(n-1)(n-2)Dn-1r- n ]sin n0},
T11 r0 (r, 0)
где
r=R3
=a03) +?[an3) cosn0 + bf) sinn0],
tr0 (r, 0) = -2B0r-3 sin 0 + 2D1 r~-* cos 0 + + 2 Ar sin 0 — 2C2 r cos 0 +
o» — 3
n=1
Ь ((() = С ((), а (() =-ЬР = С (3), а[3) = -d1(3). Здесь и ниже, верхний индекс I соответствует кольцевой области Я (& lt- г & lt- Я2 (-п & lt- 0 & lt- п) с параметрами V1, Е1, а индекс II — Я2 & lt- г & lt- Я3 (-п & lt- & lt- 0 & lt- п) с параметрами V11, Еп.
На окружности г = Я2 заданы условия жесткого сцепления:
+
?{[-n (n — 1) С0 rn-2 + n (n + 1) Dn0r
o -n-2
u 4 r, 0) T1 r0 (r, 0) v!(r, 0) a1 r (r, 0)
r=R2
= u! I (r, 0)
r=R,
r=R2
= T11 r0 (r, 0)
n=2
— n (n + 1) cn+1rn + n (n — 1) D?-1r ~n ] cos n0 +
+ [n (n -1)A0rn-2 — n (n +1)BOr~n-2 + n (n +1) x
x Aln+1rn — n (n -1)B1−1r~n ]sinn0} (3) и смещений:
2Gu (r, 0) = (к-1) Ajr — BO r- + [kAO — A}0 +
+B10r~2 + (к-2) A2r 2]cos 0+[kA02 — C0 + D^r'-2 +
r=R2
r= R2
r =R,
= v u (r, 0)
(2)
+(
(к-2)C2r2 ] sin 0+? {[-nAn0rn-1 + nB0---n-1
r+
n=2
r =R2
= a11 r (r, 0)
r=R,
Предполагается, что точка с координатами (Л0, 0), где Я (& lt- Я0 & lt- Л2, жестко закреплена, т. е. смещения и вращение в этой точке отсутствуют.
+ (к-n -1)A1n+1rn+1+(к+n-1)B1−1r-n+1]cosn0+ + [-nC0rn-1 + nD0r-n-1 + (к-n — 1) C1+1rn+1 + + (к + n — 1) D1−1r& quot-n+1]srnn0}, 2Gv (r, 0) = -(к + 1) Cjr + [kA02 — CO — D0r-2 —
Об одной контактной задаче теории упругости для составного кольца
1469
— (к + 2) С2r 2] cos0 — [кД1 — A — B0r-2 —
то
— (к+2) A? r 2]sin 0 + ^ {[-nC
0 rn-1 — nD0r-n-1

n=2
-(к+п+1)СП+1rn+1+(к-n+1)D?-1r & quot-n+1]cos n0-- [-n^V-1 — nB0 r~n-1 — (к + n +1) A1+1rn+1 +
+ (к-n +1) B?-1r & quot-n+1]sin n0}.
леза, в следующей постановке: пусть область 1 & lt- & lt- г & lt- 2 (-п & lt- 0 & lt- п) занимает медь (V1 = 0. 25, Е1 = = 1. 37−1011), а область 2 & lt- г & lt- 4 (-п & lt- 0 & lt- п) -железо (V11 = 0. 26, Е11 = 1. 68−1011).
Граничные условия представлены следующим образом:
(4)
Подставляя (3) и (4) в граничные условия (1) и (2) и приравнивая коэффициенты при cos n0 и sin n0, получим две системы линейных алгебраических уравнений 8 порядка. Исследованы определители систем. Показано, что системы имеют единственное решение, которое находится по формулам Крамера. Доказано, что ряды, дающие напряжения и перемещения, сходятся.
В числовых расчетах рассмотрена задача о равновесии кольца, составленного из меди и же-
с1 r
(r, 0) Т1 r0 (r, 0)
= cos 0,
r=1
с11 r (r, 0)
= 3cos 0,
r=4
= sin0,
r= 1
Т11 r0 (r, 0)
= 3sin 0.
r=4
Решение определятся из (2) и (3). Построены графики приближения решений
a1 r (r, 0), апг (r, 0), т1 re (r, 0), т11 re (r, 0) к граничным условиям. На рис. 1 изображено приближение ar (r, 0)(r ^ 1) к ar (r, 0)| = cos0. На рис. 2 изображено приближение т^ (r, 0) (r ^ ^ 1) к тr0 (r, 0)| r=1 = sin 0.
Рис. 1
-1 0 Рис. 2
ON A CONTACT PROBLEM OF THE THEORY OF ELASTICITY FOR A COMPOUND RING
S. V Danilova, M.F. Kulagina
The first basic problem of the theory of elasticity for a two-layer concentric ring made of two rings with different modules of elasticity and Poisson ratios is considered.
Keywords: theory of elasticity, two-layer concentric ring.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой