ОБ ОДНОЙ КЛАССИФИКАЦИИ p-СЕМЕЙСТВА m-ПЛОСКОСТЕЙ В n-МЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Естественные науки
УДК 514. 76
ОБ ОДНОЙ КЛАССИФИКАЦИИ р-СЕМЕЙСТВА т-ПЛОСКОСТЕЙ В n-МЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Е. Т. Ивлев, В. К. Барышева, Е.А. Молдованова
Томский политехнический университет E-mail: eam7@front. ru
Изучаются частные классы семейств линейных подпространств в многомерном евклидовом пространстве, связанные со специальным видом отображений некоторых полей инвариантных двумерных площадок.
1. Аналитический аппарат
Все функции, встречающиеся в данной статье, предполагаются аналитическими, а рассмотрения носят локальный характер.
Обозначения и терминология соответствуют принятым в [1−5].
Рассматривается «-мерное евклидово пространство Е», отнесённое к подвижному ортонор-мальному реперу Я={А,-}, (/'-,?=1,") с деривационными формулами и структурными уравнениями:
dA = ю '-ei, dei = mjeJ, Dm'- = mk лю[, Dm* =Ю лю*.
(1. 1)
Здесь 1-формы mj удовлетворяют соотношениям
юJ +mj = 0,
(1. 2)
вытекающим из условий ортонормальности репера R:
iu = j
пространства Е" с базовыми формами ю^=-ю! (а, р, у=1,ш- адт=т+1,"), удовлетворяющими структурным уравнениям [4, (1. 7)]. В расслоенном пространстве ЯрА, где число N определяется по формуле [4, (1. 5)], как и в [1, п. 1. 4)], задаётся сечение: Б (и& quot-)еИр^1те & lt-<-А. В результате получается секущая поверхность -р-мерное многообразие т-плоскостей (1. 4) в Е" [4, замечание 1. 3]. Эта секущая поверхность определяется системой дифференциальных уравнений [4, (1. 8)]:
юа = Ааава, юаа = А1ава =-юаа = -А а., b, c = 1, p,
(1. 5)
Здесь символом (-) обозначается скалярное произведение векторов — и — пространства Е".
Как указано в [4, п. 1. 4], с евклидовым пространством Е" ассоциируется (р+А)-мерное расслоенное пространство ЯрД=(Мр,& lt-У с базой Шр и слоями & lt-2а. Здесь Ир — р-мерное дифференци-руемое_многообразие с базовыми формами в& quot- (а, Ь, е=1,р), удовлетворяющими структурным уравнениям [4, (1. 1)]. Каждый слой, отвечающий точке Б (и& quot-)еМр, представляет собой грассманово многообразие всех т-плоскостей
т=(А, е, ет) (1. 4)
где величины Ааа и А& quot-аа=-Асаа удовлетворяют дифференциальным уравнениям [4, (1. 9)]. Как и в [4] предполагается, что числа р, т и «удовлетворяют неравенствам [4, (1. 11)]:
1 & lt- р & lt- N. (1. 6)
2. Двумерные площадки в линейных подпространствах 1 т, Р"-т и 1р
2.1. В статье [4] показано, что каждой точке Б (и& quot-) базы Шр в соответствующей т-плоскости 1те8рт отвечает в общем случае одна точка 01 (первый центр), координаты с& quot- которой определяются системой линейных уравнений [4, (3. 6)], где величины Аа и Ав определяются по формулам [4, (2. 1)]. Поэтому всегда можно провести такую канонизацию ортонормального репера Я, при которой точка Ае 1 т окажется первым центром 01. Однако в данной статье такую канонизацию репера Я проводить не будем, будем предполагать точку Ае 1 т, отвечающую точке Б (и& quot-)еИр, заданной. Тогда кроме дифференциальных уравнений (1. 5) на базе Ир будут выполняться дифференциальные уравнения
та =Лава
(2. 1)
где в силу (1. 1) величины Лаа удовлетворяют дифференциальным уравнениям:
(2. 2)
+ Лвш-- Л: Ъ = лу.
лв =1 ла лв лл л = 2 *(Аав)л '-
(2. 4)
П = {Лв}: Рп_т — Р"_
(2. 5)
базе Мр:
лв] ф о.
(2. 6)
где
Лр = 1 Л& quot- Лр, а аЪ 2 (а РЬ & quot->-'-
(2. 8)
л = ла в = лг ла
Л аЪ~ Л ааЬ, в аЪ ~ Ла Л
(2. 9)
причём компоненты тензоров ЛаЬ и ВаЬ удовлетворяют дифференциальным уравнениям [4, (2. 2)] и ура-
внениям:
ёв. — в еес — в ес = в. е
аЪ сЪ, а ас, а аЪс
(2. 10)
Поскольку теперь точка Ле /т, отвечающая точке Б (ыа)еМр, задана, то точке В (иа) можно с учётом (1. 4), (1. 3) и (1. 1) сопоставить (и-т)-плоскость
Р"-т = (Л, ёт+1,…, ё»), (2. 3)
ортогональную т-плоскости /т. Поэтому с этой (и-т)-плоскостью Р-т можно связать величины, аналогичные (2. 2). В частности, на базе Мр можно рассмотреть с учётом (2. 1) и (1. 5) величины
которые в силу (2. 2) и [4, (2. 3−2. 5)] удовлетворяют дифференциальным уравнениям
с1л! + Л*ар — Л?®1 = Лреа.
а, а у у, а аа
Здесь явный вид величин, стоящих при да, для нас несущественный. Поэтому величины (2. 4) образуют смешанный тензор в смысле Г. Ф. Лаптева [2]. Как показано в [4, (2. 9), (3. 9)], тензор {Л/} определяет линейный оператор П={Лр}: /т-/т, который с учётом [4, (3. 10)] в общем случае является невырожденным на базе М. Аналогично показывается, что величины (2. 4) определяют линейный оператор
Здесь явный вид величин ВаЬс для нас несущественный.
Из (2. 9) и [4, (3. 7)] с учётом [4, (2. 1)] и (2. 10) следует, что каждой точке В (иа)еМр отвечает цен-троаффинное преобразование пространства Ьр порождаемое гиперконусами Кр-1 и К'--1:
р = В}, вЪ = ВсЛсЪ, ёвЪа + всавЪс — вЪ еа = вЪ" ес. (2. 11)
Здесь явный вид величин Вьас для нас несущественный.
2.3. Отмеченные в данном пункте 2 центроаф-финные преобразования П: /т->-/т, П: Рп-т-Рп-т, Р: Ьр-Ьр, отвечающие точке В (и,)еМр дают возможность определить двумерные площадки /2с/т, Рг^Рп-т и 1с1р.
В дальнейшем будет использована следующая система индексов:
а, в, у, о = 1, т- а, Р, у, о = т +1, п- а, Ъ, с, е = 1, р- а1, Р1, у1, о1 = 1,2-
а2, в2, у2, о2 = 3, т- а1, у 1, о1 = т +1, т + 2-
(2. 12)
являющийся в общем случае невырожденным на
а2, Р2, у 2, о 2 = т + 3, п-а1, Ъ1, с1, е1 = 1, 2-
а2, Ъ2, с2, е2 = 3, р.
Каждой точке В (и)еМр сопоставим нижеследующие двумерные плоскости, определённые соответствующими линейными уравнениями:
11 с 1 т «X а2 = gа2Ха-, X «= 0-
Заметим с учётом (2. 5) и [4, (3. 10)], что линейные операторы П и П можно рассматривать в каждой точке В (и)еМр как невырожденные в силу (2. 6) и [4, (3. 10)] центроаффинные преобразования соответствующих линейных подпространств.
2.2. В [4] показано, что каждому направлению [4, (3. 2)] в Ьр отвечает симметрический линейный оператор [4, (3. 6)]:
що={Лвл^Ъ}: т-т, (2. 7)
/22 с Рп-т «х а2 = g? хаха = 0- Ь& quot-2 с Ьр «Г2 = ИааЧаV
(2. 13)
Здесь величины gа, g^ и удовлетворяют дифференциальным уравн1 ени1 ям: 1
dg: + g& gt-в- - g-н: +& lt-2=.
dg? + gвгтвг -g^oэв'- =
«1 ° а 1 в2 О/З, с, 1 а, 1 '-
г12 еа ¦
'- а 1а '-
(2. 14)
+ ие — ке +е: :=и % еа.
Из (2. 7) с учётом [4, (3. 9)] заключаем,_что совокупность всех направлений [4, (3. 2)] I=(В ,_)ГеЬр, 1соторым отвечают линейные операторы П и П (?)=П П (?): /т-/т с нулевыми следами, образует в Ьр гиперконусы Кр-1 [4, (3. 7)] и Кр1 второго порядка с вершиной В (и)еЬр:
Кр-1: ЛаЬ1а1Ъ = 0, КР-1: вл^ = 0,
Из [4, (3. 9)], (2. 5, 2.6 и 2. 9) с учётом (2. 13) заключаем, что 1) плоскость /2с/т, проходящая через точку Л- 2) плоскость 12сР"-т, проходящая через точку Л- 3) двумерная площадка Х2эВ (ма) в Ьр, соответственно параллельна двумерному направлению, неподвижному 1) при линейном^ операторе П: /т-/т, 2) при линейном операторе П: Р"-т-Р"-т, 3) при центроаффинном преобразовании Р: Ьр-Ьр тогда и только тогда, когда величины gа, g| и Н^ удовлетворяют алгебраическим уравнениям, соответственно:
/1 :т а2 = Лв Ов2 Оа 2 + Ла в1 Ов2 — Л, а 2 = 0
12: Фа1 — Лв gа, gP, + Лав2 gP, Л а, = 0
-р2оа^ 6Р1 '- -& quot-ав2о
Ла2 — Л а1 Ла 2 В _ /?Р^& quot- 2 Ла 2Яв1-
Ла — Ла2, Ла/Рг — Ла. °Р2 Л Р2°а 1-
/2 а?2 — Лвgр2gв + лЫgв2 — Ла~2 = 0
2 Р2° щй Р1 счРг «1
Л™2 = Л& quot-'- Л & quot-2 Р1 = ЛР'-да2 — Л а2§?1-
а1 а2'- а1р 2 а1 р2 р2 а1 7
(2. 15)
(2. 16)
Т* -Wa2 = Rblhb2 ha2 + Ff2 b lhb2 — Ba 2 — 0
-)a2bl щ b2
(2. 17)
Замечание 2.1. Каждая из систем неоднородных алгебраических уравнений (2. 15, 2. 16 и 2. 17) имеет в общем случае конечное число решений относительно gа, g% и к^ в силу геометрического выбора соответствующих плоскостей /1с/т, ?2сР"_т и Ь& quot-2сЬр. Этот результат также вытекает из того, что в общем случае на базе Мр каждый из нижеследующих определителей, как можно показать, не равен нулю:
1) Б = & lt-1ел[л:в ]. (2. 18)
Здесь пара (в) указывает на номер строки, а па-
ра (2) — на номер столбца.
2)
D = det
A~2?
а- ?2
(2. 19)
Здесь пара (|) указывает на номер строки, а пара (?& gt-) — на номер столбца.
3) L = det [].
(2. 20)
Здесь пара (Ь) указывает на номер строки, а пара (®) — на номер столбца.
Неравенство нулю на базе Ир каждого из определителей (2. 18−2. 20) в общем случае обеспечивает алгебраическую независимость уравнений (2. 15−2. 17), что и приводит к конечному числу решений относительно? ?|и й
Замечание 2.2. Из (2. 13) замечаем, что I- = (Л, ё- ё& quot-2*) с С /22 = (А, ?±, ?Г+2) с Рпт, (2. 21)
где в_ -, + 2еа- + 2.
(2. 22)
Из (2. 21) и (2. 22) с учётом (1. 3) следует, что каждой точке В (и) е Ир отвечают линейные подпространства
2 = (Л, ё) 1А, ?т2 и I- = I, (2. 23)
Рп-т-2 = (Л, ет+Ъ,---, Вп) 1 12& gt- Рп -т — 2 и 12 = Рп-т ,
^ а 2 е& lt-а 2 + gа, еа
— е — + g е —
п — '- п _ п
где
(2. 24)
3. Отображения /(г): /1^/22 и/(г): /^ 2 в направлении ХеЦ
3.1. Определение и геометрический смысл отображений
ло и т
Каждой точке В (иа)еИр сопоставим точки Xе /с/т и Х2е %сРп_т с радиус-векторами
X, = Л + ха-ё& quot-, х2 = Л + х*'-ё. (3. 1)
— а- у 2 а-
Из (3. 1) с учётом (2. 21), (2. 22), (2. 1), [4, (3. 1)] и [4, (1. 2), (1. 4), (1. 8)] получаем
X = {¦¦¦)аё + (-Гё~г + (ОТ + ха'-0: -а)Гё,
dX2 — (-Тё-+ (¦¦¦)а2С + G + Xa- G2,) fdea.
(3. 2)
Здесь символ (…) означает несущественные выражения, а величины, стоящие в круглых скобках при векторах и -*, определяются по формулам:
ОТ = ЛТ + ?У Л: 2, оа = Ла — + Ла 2, о: 1=+Л: + g: :+ Л: & lt-2g:--2, (3. 3)
О? = Л? + ?а -Л2 + g ?2 ла~- + л ~
Ю — П ГУ — Л, а 2 ГУ — п ГЧ — ГЧ ~. П
у «2 ga -а 2& lt-а^~>-а —а 2
и в силу (1. 5), (2. 2) и (2. 14) удовлетворяют дифференциальным уравнениям:
dGT + G^e -Ф0ba = G^eb, dGa + Gbae -G19b = Gbdb, dGla+G& amp-e — Gfx — g: 9=G-ab 9b,
dG* + Ge ав — Ge а& gt-Ъ — Gl 9& quot- = G: 9b.
aiu аа P? а аф, а а ob
Здесь явный вид величин, стоящих при 96, для нас несущественный.
Из (3. 2) замечаем, что каждому направлению teLp, касательному к кривой k (t) на базе Mp, проходящей через точку B (W) е Mp, отвечают точки Y1 е /2 и Г2е/22 с радиус-векторами
Y — A + ya-s*, Y2 — A + ,
— -У 2 S, а — '-
(3. 4)
где
а i «i, а, а-, a а, srict i, а i /-га,, a /о c
У = (Ga'- + X 1 Gala) t, У 1 = ^ 1 + X 1 G?)t. (3. 5)
Таким образом, каждому направлению teLp в точке B (ua)eMp отвечают линейные отображения
f (t): /2 ^ /22 «f (t)Xх = Уг, f (t): /22 ^ /2 » ?(t)X2 = Y, (3. 6)
(t — фиксировано).
Каждое из этих отображений определяется соответствующими функциями (3. 5) (при фиксированных Г) и в силу (3. 2), (2. 22), [4, (3. 2), (3. 13)], (2. 3, 3.4 и 1. 5) геометрически характеризуется следующим образом
{T (X,)t (t) и /т и р№ 2} п /2 = y2, {T (X2)t (t) и рп-т и с2} п /2 = Y,.
Здесь из рассмотрения исключается случай, когда точки X, e/m и X2eP"_m, отвечающие точке B (ua)sMp, являются фокусами в смысле [5] линейных подпространств /т и Pn_m вдоль кривой k (t) на базе Ир расслоения ЛрД.
3.2. Отображения f (f)^fa (f) и/(i)f)
Каждое из отображений (3. 6), отвечающих точке B (ua)sMp, при фиксированных ta определяется соответствующими двумя функциями двух аргументов.
_ Определение 3.1. Отображение f (t): /2^/22 f (t): /2^/2), отвечающее точке B (ua)eM, называется отображением fa (i) (f (t)), т. е. f (t)f t) (f (t)^m
2
(/ - фиксировано), если соответствующие две функции двух аргументов, его определяющие, удовлетворяют условиям Коши-Римана [6. С. 43−44]:
Oym+1 _ dy dym dx1 _ dx2 '- dy1 _ dy2
dym
dx1
dy2 _
dx2 dy1
dxm
3xm+2 '- 5xm+1
dx& quot-
(3. 7)
Из (3. 7) и (3. 5) с учётом (3. 3), (1. 5) и (1. 2) вытекает
Утверждение 3.1. Отображение /(?): /2^/2, отвечающее точке В (и°)еМр, будет отображением /°(г), т. е. /(/)^/а (/), тогда и только тогда, когда
f (t) ^ fa (t) «
Иг1 — G2m-2)ta _ 0,
«-
(g: +1+Gm+2)ta _ о,
fG+1,a -Gm+2,aГ _ 0,
l (Gm+2,a + Gm+1,aУ _ 0.
«
(3. 8)
(при фиксированных 1°).
Теорема 3.1. Каждой паре плоскостей /2с/т и /22сР"_т, отвечающих точке В (и°)еМр, в центроаф-финном пространстве Ьр в общем случае соответствует (р-2)-мерное подпространство
Р-2
_ {t е Lp | f (t) ^ fa (t): 11 ^ 122} эВ.
(3. 9)
Доказательство. Будем предполагать, что на базе Мр
Rang
G m+1 s~in
la — G2,
Gm+1, /-i»
2a + G,
_ 2 (a — номер столбцов). (3. 10)
Р-2
: ta1 _ ha1ta2, a2
(3. 11)
где Н^ удовлетворяют дифференциальным уравне-
ниям: 2
?кг+нв — н°в}г =н: °в°.
Из (3. 11, 2. 13, 2. 9, 2. 23 и 2. 24) следует, что плоскость Х**сХр и (р-2)-плоскость Г^2сХр полярно сопряжены относительно гиперконуса тогда и только тогда, когда
42Ж2 + А"Л + н-+= о. (3. 12)
Если величины Н° с учётом (3. 11) и (3. 10) определить из системы (3. 8), то из системы (3. 12) в общем случае алгебраически независимых 2(р-2) уравнений можно определить величины Н: в каждой точке В (и)еМр, с которыми в силу (2. 13) ассоциируется плоскость Ц^ЬГ Таким образом, с каждой парой плоскостей ?14 и отвечающих точке В (и)еМр, ассоциируется в Ьр двумерная плоскость ХЦсХр, полярно сопряжённая (р-2)-плоскости Г^2сХр относительно гиперконуса
3.3. Случай п=р+4
Теорема 3.2. В общем случае при выполнении условий
п=р+4, 1& lt-р<-(т+1)(р+4-т) (3. 13) в каждой точке В (и°)еМр существует конечное число плоскостей ?2е/т и /& lt-^Рп-т таких, что
/() ^ /а (): /2 ^ /2, VI е Ьр. (3. 14)
Доказательство. Из (3. 8) следует, что величины ^ и ?|2, общее число которых равно
П = 2(п — 4), (3. 15)
определяют плоскости /2^/2, о которых идёт речь в (3. 14), удовлетворяют с учётом (3. 3) следующей системе неоднородных алгебраических уравнений:
С'- - ^ О +
+А? с1 — АГЛа + А4+1 — А4+2 = 0, (3. 16)
сд ga gm: 2+g? с1)+a
a 2 g 2 +
+ А4+ - & lt- = 0, (: = 1, р).
Заметим, что система (3. 16) состоит из 2р алгебраических уравнений и содержит п*=2(п-4) неизвестных и Д2-,^2. В случае же п=р+4 эта система обладает одинаковым числом 2р уравнений и п неизвестных. Можно показать, что ранг якобиевой матрицы
Поэтому система (3. 8) состоит из двух линейных однородных уравнений с р неизвестными и, следовательно, определяет в Ьр линейное подпространство (3. 9).
Замечание 3.1. Пусть в каждой точке В (и°)еМр линейное подпространство (3. 9) задаётся уравнениями:
dga о ax
9Va
3g-1
a 2
9Wa
& lt-2 дg?
при п=2р в общем случае на базе Мр равен 2р. Это означает, что система (3. 16) состоит в общем случае из 2р алгебраически независимых уравнений. Поэтому она допускает в общем случае конечное число решений относительно и ?|2=-?|2, что в силу (2. 17) и (1. 6) и в соответствии с (3. 13) и доказывает настоящую теорему.
3.4. Случай п& gt-р+4
Теорема 3.3. В общем случае при выполнении неравенств
и& gt-р+4, 1& lt-p<-(m+1)(w-m)
(3. 17)
в каждой точке В (и°)еМр существует бесчисленное множество плоскостей /2е/т и /& lt-^Рп-т таких, что
/() ^ /а (?): /2 ^ /22, Vt е Ьр.
Доказательство данной теоремы вытекает из того, что в случае (3. 17) с учётом (3. 15) система (3. 16) содержит неизвестных больше, чем уравнений, входящих в эту систему.
3.5. Случай п& lt-р+4
В предыдущих пунктах было показано существование в каждой точке В (и°)еМр в общем случае при
п& gt-р+4 конечного или бесконечного числа пар плоскостей Цс& quot- и В,^Рп-т типа (3. 14). В этом пункте будет показано существование аналогичных пар плоскостей в каждой точке Б (и& quot-)<-вМр при выполнении неравенств п& lt-р+4, 1& lt-р<-(т+1)(п-т). (3. 18) Из (3. 16) с учётом (3. 15) и (3. 18) замечаем, что в рассматриваемом случае указанные пары плоскостей Цс/т и /1& lt-^Рп-т определяются системой алгебраических уравнений, у которой число п неизвестных и gi?2=-g^l меньше числа 2р уравнений. Поэтому в данном случае существование этих пар плоскостей /2 и /2 типа (3. 14) может быть обеспечено только в некотором частном случае многообразия _ р-семейства т-плоскостей /т в Еп. Такое многообразие обозначим? р& quot-.
Имеет место следующая теорема. Теорема 3.4. Многообразие _ многообразие в Еп, у которого в каждой точке Б (М& quot-)<-еМр при п& lt-р+4 имеется хотя бы одна пара двумерных плоскостей /2е/& quot- и Р2& lt-^Рп-т типа: /(/)^Ш: /2^/2, всегда существует.
Доказательство. Точке Б (и& quot-)вМр сопоставим плоскости /1с/т и ??& lt-^Рп-т. Для упрощения дальнейших аналитических выкладок и геометрических рассуждений проведём в точке Б (М& quot-)<-еМр такую канонизацию ортонормального репера Я, при которой
= 2 = 0, ^ _ = 0, (3. 19)
6"2 '- 6 «1 «2
что в силу (2. 14) приводит к дифференциальным уравнениям:
~ ~ (3. 20)
т a2 = ga lQa 2 = g*2 ва,
a1 °a1a '- ai a1a '-
где величины gaa и g® удовлетворяют дифференциальным уравнениям:
dg, а 2 + g & quot- СО, а 2 — ga 2 С — ga 2 Qb = ga 2 Qb
u6 aa О a1^J e2Pa a 1 6a a 6a 1abu '-
dgi2 + g& quot- С — gi2 С -gi2 el = gi2 вb.
0 a1a 0 a1a & quot-2 P xa a1 °a 1b a °a 1ab
Здесь явный вид величин, стоящих при eb, для нас несущественный. Из (2. 21) и (2. 22) в силу (3. 19) получаем
/2 = (A, e1, ё2), 12 = (A, ёт+1, ёт+2). (3. 21)
Пусть плоскости (3. 21) удовлетворяют условию (3. 14). Тогда из (3. 16) в силу (3. 19) получаем, что многообразие Sm, о котором идёт речь в настоящей теореме, характеризуется соотношениями, выполняющимися на базе Ир:
AT'- - AT = 0, Am2 + 4 Г = о, (3. 22)
которые в силу (1. 5) приводят к дифференциальным уравнениям
а1т+1 -ст+2 = 0, & lt-+2 +& lt-+1 = 0. (3. 23)
Предположим, что на базе Mp выполняются с учётом (3. 20) и (3. 23) дифференциальные уравнения:
----- ----- _ п m+2 т+1 _ п
С -с2 = 0, с +ю2 = 0,
сО a 1 = 0,
a2 '-
= 0,
= 0,
С = 0,
Я1
которые определяют многообразие S& quot- - частный случай многообразия Sp& quot-. Из (1. 1) замечаем, что система (3. 24) замкнута относительно операции внешнего дифференцирования# [1]. Это означает существование многообразия Sp& quot-, а, следовательно, и многообразия Sp& quot-. Теорема 3.4 доказана.
4. Геометрические свойства многообразия Sp
4.1. Из дифференциальных уравнений (1. 5) и (3. 24) с учётом (2. 12) следует, что в случае многообразия S& quot- на базе Mp имеют место соотношения (3. 22) и
A°2а = 0, Aaa2 = 0, Aa2a = 0, Ai2 = 0. (4. 1)
a1a a1a a 1a aa
Из (2. 4, 2.8 и 4. 1) получаем
A a1=2 4» b a& quot-, Aa 2=2 4? ^ b, Aab,
A& quot- = 1 Aa A& quot-,, A& quot-2 = 1 Aa Ai2 Aab, A& quot-2 = A 1 = 0,
a1 2 a1& lt-a lajb) a2 2 a2(a a2b) '- a 1 Pi '-
A = A «1 A a1 + A «2 A a A& quot- - 1 Aa 1 Ae1 (4. 2)
Aab = ^a^ +, Ai1 = 2 A"-1(«Aa1|b), V '-
A& quot- = 1 Aa A^, Aab, A b = A& quot-2 = A^ = 0.
a-2 2 a^a Пa2lb) ab ay
Отсюда следует, что на базе Mp многообразия Sp в общем случае имеют место неравенства
det[A& quot-] = det[A& quot-1] -det[ A& quot-] * 0,
det[Aв] = det[A& quot-1] • det[A& quot-"-2] * 0, det[ Aab] * 0,
что не противоречит соотношениям [4, (2. 1)], (2. 6) и [4, (3. 10)]. Поэтому многообразие Sp& quot- п]зедставля-ет собой частный случай многообразия S& quot- - p-се-мейства (в общем случае необязательно центроаф-финных) m-плоскостей /т в E».
4.2. Из (1. 4, 2. 3, 2. 21 и 2. 23) с учётом (2. 15, 2. 16 и 4. 2) получаем, что в каждой точке B (W)eMp определены следующие линейные подпространства:
Г4 = /2 U /22 = (A, e1, ?г, em+1, ё& quot-+2),
= 1−2 U PL-! = (A, ?3,.
3,-, en),
(3. 24)
^ = /т и Рп_т2 = (А el, -, вт, вт+ 3, -, вп X
^п22 = /т2 и Рп_т = (А, ё3,-, ё,, 1,-, ^п). (4. 3)
Здесь линейные подпространства /2 и /22 являются неподвижными при центроаффинных преобразованиях П: /т^/т и II: Рп-т^Рп-т, соответственно.
Теорема 4.1. В каждой точке Б (иа)вМр многообразия? р& quot- в Еп все характеристики (п-2)-плоскостей О'-п-2 и 02"_2 вдоль любой кривой ?(/) на базе Мр, проходящей через точку Б (и)& amp-Мр, параллельны линейному подпространству Г24.
Доказательство. Из (4. __) следует, что точка Ъ& lt-еОп2 с радиус-вектором 2=_+ха2_а,+х& quot-%, отвечающая точке Б (м°)еМр, будет текущей точкой (еИО 12) чк{)) _ характеристики (п-2)-плоскости Оп2 вдоль любой кр_вой к (/) на базе Мр _ тогда и только тогда, когда (^2,_3,… ,_т,_т+3,… _п)=0, (в& quot- _ любые). Отсюда с учётом (1. 1, 1. 5, 2. 1, 3. 20, 3. 24, 2.1 и 4. 2) получаем справедливость настоящей теоремы как для (п-2)-плоскости О '-п2, так и аналогично для Оп22.
4.3. Имеет место следующая теорема.
Теорема 4.2. В каждой точке В (иа)вМр многообразия ^ в Е» («& gt-4) перспективные аффинные связности в смысле [3]: С12: Г4^Г"24 и С21: Г"24^Г4 являются локально плоскими.
Доказательство. В соответствии с [3] связность С12 |С21| отображает Г4(Г"_4|, соседнюю Г4'-{Г"_4} (бесконечно близкую первого порядка) в направлении Г"_4{Г4|. Каждая из этих связностей имеет 1-формы связности:
С, 2: а& quot-1,®*1,а"-1,а*1 = -ю& quot-~1-
21 '- '- а2 '- а2 а2 '-
которые в силу (1. 1) и (3. 24) удовлетворяют следующим структурным уравнениям:
«а — Do) al -о/1 лю1 л®?1 = 0, Л /?1
«а1 — Dюa1 -ющ л®& quot-1 -т1 л®0!1 = 0,
а1 Р1 '-
«в — Dоa -аа лав?1 -а^ ла^ = 0,
«а1 — Dо-: l1 — а* л а--1 — а* л а^ = 0, «а2 -Dma¦2-тр2 люав2-ав лаО1 = 0,
У2 У1
-Dвf ^2-а& quot-2 л®& quot-2 -а'-'-2 лаа2 = 0, «2 [& gt-2
«в — а-аа л®в, а лав = 0,
«а — Dоa — а* л а-: — а* л = 0.
Это означает, что 2-формы кручения и кривизны связностей С12 и С21 равны нулю на базе Мр многообразия что и доказывает настоящую теорему.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. — М.: ГИТТЛ, 1948. — 432 с.
2. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды московского математического общества. -М., 1953. — Т. 2. — С. 275−382.
3. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1979. — С. 7−246.
4. Ивлев Е. Т., Молдованова Е. А. О центрировании семейства линейных подпространств в многомерном евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. -2005. — Т. 308. — № 3. — С. 6−10.
5. Акивис М. А. Фокальные образы поверхностей ранга г // Известия вузов. Сер. Математика. — 1957. — № 1. — С. 9−19.
6. Александров И. А. Теория функций комплексного переменного. — Томск: Томский государственный университет, 2002. -510 с.
УДК 519. 644
К ВЫЧИСЛЕНИЮ ИНТЕГРАЛОВ ПО ПОВЕРХНОСТИ СФЕРЫ (п+1)-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
Э.А. Шамсиев
Ташкентский государственный технический университет E-mail: shamciev_tstu@mail. ru
Предлагается способ получения кубатурной формулы (2т-1)-й степени точности для многомерной сферы, когда известна формула аналогичной степени точности для сферы, чья размерность на единицу меньше.
Рассмотрим в «-мерном евклидовом пространстве Я& quot- единичную сферу 5"_1={хеЛ& quot-|х12+х22+… +х"2=1}. степени точности Для произвольного одночлена х^хр. -Х'-"-
Пусть известна кубатурная формула (2т-1)-й
J *i
xe22… xe'-dS--
2 II 2 I I 2 I есливсе pt четны
Г
в1 +Р2 +… + Р» + n
i = 1,2,3,…, n
0, в противномслучае,
да
где Г (к) = Jtk-le~'-dt — гамма-функция Эйлера.
J f (x)dS = (a (i)).
(1)
Исследуем вопрос существования кубатурной формулы аналогичной степени точности для вида
т N. -
| / (х)йБ = XТ ХС/ Ц1 -1] а (г), Л), (2)
где Т и ^ определяются как параметры некоторой весовой квадратурной формулы типа Гаусса для отрезка [-1- 1]:
S
n-1
S
n-1

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой