Об одной трехмерной задаче Гурса

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК. 517. 9
Е.А. Уткина
ОБ ОДНОЙ ТРЕХМЕРНОЙ ЗАДАЧЕ ГУРСА
Для дифференциального уравнения шестого порядка в Е3 со старшей частной производной в случае двукратных характеристик разрабатывается вариант метода Римана, позволяющий получить решения задачи Гурса. Указываются частные случаи, когда функция Римана (а, следовательно, и решение рассматриваемой задачи) может быть записано в явном виде.
В области D = {x0 & lt- x & lt- x1, y0 & lt- y & lt- y1, z0 & lt- z & lt- z1 } рассмотрим уравнение с переменными коэффициентами
2 лa+p+gu
L (u)° У aaBg (x, y, z)----------ь---= Fix, y, z). (1)
a, b7=0 ab^ Эх adybdzg ^ '-
Его можно считать пространственным обобщением уравнения, изучавшегося в [1−8]. Наиболее общие результаты получены в [7]. С другой стороны, (1) можно считать усложнением уравнения из работ [8−10] со старшей производной uxyz, которое играет важную роль в теории
аппроксимации и отображений и при описании процессов вибрации [12, с. 109]. К подобному же уравнению сводится задача интегрального представления преобразований одних обыкновенных линейных дифференциальных операторов в другие [13].
1. Пусть X, Y, Z — грани D при х = х0, y = y0, z = z0 соответственно. Будем считать, что a221 ° 1, а гладкость остальных коэффициентов (1) определяется включениями
aapgG С a+b+g (D), F е С 2+м (D). (2)
Здесь Ca+b+g описывает класс непрерывных в D вместе с их производными
Эr+s+t /ЭхгЭу5Эzt (r = 0,…, a-s = 0,., b-t = 0,…, g) функций.
З, а д, а ч, а (Г у р с а). Найти в классе С2+2+2 (D) решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям
uX = j (y, z), u|Y = y (x, z), u|Z = 0(x, y),
uxx =j1 (y, z), uy | Y = У1 (^ z), uz|z = 01 (^ y), (3)
0,01 е С2+2 (Z), j, j1 е С2+2 (X), y, y1 е С2+2 (Y).
Полагаем на ребрах D выполнение условий согласования
j (y0, z) = y (x0, z), j (y, z 0) = 0(x0, y), У (x, z0) = 0(x, y0), (4)
при этом сами согласованные значения непрерывно дифференцируемы.
Решение данной задачи будем осуществлять путем развития варианта метода
Римана [8, 10].
Функцией Римана R (x, y, z, X, h, v) назовем решение интегрального уравнения
z
V (x, y, z) — J [ci221 (x, y, g[(x, y, g) -(z — g) a220 (y, g) Vy, g)]dg —
V
y x
— J [a212 (x, b, z) V (x, p, z) -(y — b) a202 (x, p, z) V (x, p, z)]dp — J [a^ (a, y, z) V (a, y, z) —
h X
x y
-(x -a)a022 (a, y, z) V (a, y, z) a + J J [am (a, p, z) V (a, p, z) —
x h
— (y — Р) сю2 (a, P, z) V (a, p, z) — (x — a) a (m (a, p, z) V (a, p, z) +
+ (x — a)(y — p) a002 (a, p, z) V (a, p, z)]p& lt-da +
+ 1 | [ «121(У, У) у (У, У)-(-у)"120(У, У) у (а, УУ) —
х V
— (х — а)"021 (а, У, у) У (а, у, у) + (х — а)(- у) а (т (а, у, у) У (а, у, у)]а +
+ | } [ а 211 (Р У) У (Р, У)-(-Р)а201 (р У) у (Р, У)
^ V
— (- У) а210(Р, У) у (р У) + (У — р)(г — т) а200 (x, Р, у) у (р т)]У^р —
х у г
— / / / [аш (а, р, У) у (a, р У)-(У -Р)аю1 (a, р, У) у (a, р, У) —
х ^ V
— (х — а) а011 (a, Р, У) у (a, Р, У) — (- у) аП0 (a, Р, У) у (a, Р, У) +
+ (У — р)(- У) аш (р, У) у (р У) + (х — а)(- у^ю (a, р, У) у (a, р, У) +
+ (х — а)(- р) а001 (a, р, У) у (a, р, У) —
— (х — а)(у — р)(- у)"000 (а, р, у) У (а, р, у)]у^р& lt-яа = 1, (5)
которое существует и единственно [14, с. 180].
Непосредственной проверкой можно убедиться в выполнении тождества для любой функции и из класса С 2+2+2 (П):
(иК)ххуугг ° К1(и) + (и41)ххууг + (иА2)ххугг + (иА3) хуугг — (иВ1 Ц — (иВ2 Ц —
-(иВ3) -(иВ4) -(иВ5) -(иВ6) +(иС,) +(иС2) +
3 / хууг V 4 / ххуу V 5 / ххгг 6 / уугг 1 хуг 2 / хгг
+ (хС3)хуу + (иС4)хху + (иС5)ххг + (С6)ууг + (иС7)угг — ((П1) ху —
— (П2 1 г — (П3)уг + (иЕ1)х + (Е2)у + (иЕ3)г — (П4 1 г — (иП5)уу --(иП6)хх +{и (а002К)г + их (а102К)г + иу (а012К)г + иху (а112К) г + ихх (а202К) г +
+ иуу (а022К)г + ихху (а212К)г + ихуу (а122К)г + иххууКг }г +{и (а202К)хг +иу (212К)хг +
+ иуАг }хг +{и (а022К)уг + их (122К) уг + иххКуг } + [иКхуг }г +{и (а200К)х +
+ иу (а210К)х + иуу (а220К)х + иг (а201 К) х + игг (202К)х + иуг (а211 К) х + иууг (а221 К) х +
+ иугг (а212К)х + иууггКх }х + {и (а020К)у + их (а120К)у + иг (а021 К) у + ихг (а121К)у +
+ ихх (а220К)у + игг (а022К)у + ихгг (а122^ху + иххг (а221ху + иххгг^у }у +
+ {и (а220{ху + иг (а221К)ху + иггЛху }, (6)
где введены обозначения:
А1 = К-г — а221, А2 = В-у — а212, А3 =х — а122 ^ ,
В1 = Кху (а212К)х (а122Кху + а112К, В2 _ Куг — (а221К)у — (а212К)2 + а211К ,
В3 = Кхг (а221 К) х (а122 К) г + а121 К, В4 = (а221К}г + а220 К ,
В5 = Куу — (а212 Кху + а202 К, В6 = Кхх — (а122 Кхх + а022 К ,
С1 = Кхуг (а221К хху (а212 К) хг (а122 К) уг +(а112 К) г +
+ (а211 К) х +(а121К ху — а111К,
С2 = Кхуу (а212 К) ху (а122 К) уу (а112 Кху + (а202 Кхх — а102 К ,
С3 = Кхгг (а221К)хг (а122 К)22 (а121К+ (а220 Кхх — а120 К ,
С4 = Кугг (а221Кхуг (а212 К) гг + (а211К)г + (а220 Кху — а210 К ,
С5 = Кууг — (а221К)уу — (а212 К) уг + (а211К)у + (а202 К) г — а201К ,
С6 = Кххг (а221К)хх (а122 К) хг + (а121К)х + (а022 Кху — а021К ,
С7 = Кхху — (а212 К) хх — (а122 К) ху + (а112 Кхх + (а022 Кху — а012 К ,
Д1 = Яхугг (а221Я)хуг (а212 Я) хгг (а122 Я) угг + (а112 Я) гг + (а211 Я) хг + (а121Я) уг +
+ (а220 Я) ху (а111 Я) г (а120 Я) у (а210 Я ^ + а110 Я,
Д2 = Яхууг (а221Я ^ - (а212 Я) хуг (а122 Я) ууг + (а112 Я) уг +(а211Я)ху + (а121Я ууу +
+ (а202Я)хг (а111Я)у (а102Я (а201Я)х + а101Я,
Д3 = Яххуг — (а221Я)хху ~ (а212 Я) ххг ~ (а122 Я) хуг + (а112 Я) хг + (а211Я)хх + (а121Я)ху +
+ (а022Я'-}уг — (а111Я)х — (а021Я)у — (а012Я + а011Я,
Д4 = Яххуу — (а212 Я ххху — (а122 Я) хуу + (а112 Я) ху + (а202Я'-)хх + (а022Я ууу — (а102 Я ^ -- (а012Я + а002Я,
Д5 = Яххгг (а221Я)ххг (а122 Я) хгг + (а121Я)хг + (а220 Я) хх + (а022 Я) гг (а120 Я^ -
(а012 Я + а020 Я,
Д6 = Яуугг (а221Я уууг ~ (а212 Я уугг + (а211Я ууг + (а220 Я ууу + (а202 Я) гг (а210 Я уу —
— (а201Я }г + а200Я,
Е1 = Яхуугг — (а221Я)хууг — (а212Я)хугг — (а122Я)уугг + (а112Я)угг + (а211Я)хуг +
+ (а121Я)ууг +(а220Я)у +(а202Я)хгг (а111Я)уг (а102Я)гг (а120Я)уу —
— (а210Я)ху — (а201Я)хг + (а110Я)у + (а101Я)г + (а200Я)х — а100Я,
Е2 = Яххугг — (а221Я)ххуг — (а212Я)ххгг ~ (а122Я)хугг + (а112Я)хгг + (а211Я)ххг +
+ (а121Я)хуг +(а220 Я) хху + (022 Я '-) угг (а111Я)хг (а120 Я) ху (а210 Я) хх -(а021Я'-}уг (а012Я'-}гг + (а110Я)х +(а011Я)г + (020Я Уу — а010Я,
Е3 = Яххууг — (а221Я)ххуу ~ (а212Я)ххуг ~ (а122Я)хууг + (а112К)хуг + (а211К)хху +
+ (а121К ^ + (а202 К) ххг + (022 К) ууг — (а111К)ху — (а102 К) хг — (а201К)хх —
— (а021К)уу — (а012К'-}уг + (а101К хх + (а011К + (а002К)г — а001(7)
Здесь аару зависят от (х, у, г), а Я и ее производные- от (х, у, г, X, Л, V) • Получение (6) представляет собой эвристическую задачу. Само же тождество проще всего проверить непосредственным вычислением. При этом учитываем, что Я по первой тройке аргументов удовлетворяет сопряженному с (1) уравнению
Ь (у)° Уххуугг -(а221У)ххууг -(а211У)ххугг -(а121У)хуугг +(а112У)хугг +
+ (а211У)ххуг + (а121У)хууг + (а220У)ххуу + (а202У)ххгг + (а022Уууугг —
— (а110У)хуг — (102У)хгг — (а120У)хуу — (210У)хху — (а201У)ххг — (021У хууг +
— (а012У)угг +(а110У)ху + (а101У ххг +(а011У)уг + (а002У угг +
+ (а020У)уу +(а200У)хх — (а100У хх —
-(а010У)у -(а001У уг — а000У = 0. (8)
Из (5) непосредственно следует, что
А (х, у, г, х, у, г) ° ^ (х, у, г, х, у, г) ° Л& gt- (х, у, г, х, у, г) ° В1 (х, у, г, х, у, г) °
° В2 (, у, г, х, у, г) ° В3 (, у, г, х, у, г) ° В4 (х, у, г, х, у, г) ° В5 (, у, г, х, у, г) °
° С1 (х, у, г, х, у, г) ° С2 (х, у, г, х, у, г) ° С3 (х, у, г, х, у, г) ° С4 (, у, г, х, у, г) °
° С5 (, у, г, х, у, г) ° С6 (х, у, г, х, у, г) ° С7 (, у, г, х, у, г) °1 (х, у, г, х, у, г) °
° В2 (х, у, г, х, у, г) ° Д, (х, у, г, х, у, г) ° ВА (, у, г, х, у, г) °5 (х, у, г, х, у, г) °
°6 (х, у, г, х, у, г) ° Е (х, у, г, х, у, г) ° Е2 (х, у, г, х, у, г) ° Е3 (х, у, г, х, у, г) ° 0 (9)
Положим теперь в (6) х = а, у = Р, г = у, Х = х, Л = у, V = г и вычислим от правой и левой части тройной интеграл в пределах х0 & lt-а<- х, у0 & lt-Р<- у, г0 & lt-у<- г. Учитывая при этом тождества (9), граничные условия (3) и то, что и (х, у, г) является решением уравнения (1), приходим к соотношению:
X у z
ux*z = j j j R (p, y, x, У, z) dydpda + ф^ (У, z) R (xo, У, z, x, У, z x +
xo У0 zo
+ Mlxz (x, z) R (X, У0, X, У, zx — Ф^ (у0, z) R (X0, У0, z, X У, zx +
+ 0lxv (x, у) R (x, у, z 0, x, У, z x — Ф^ (y, zo) R (xo, У, z 0, x, У, z x —
— У lxz к zo) R (x, У0, zo, x, У, zx + Ф^ (У0, z0) r (xo, Уo, zo, X У, zx —
— A1 (x0, У, z) Фіу (У, zx — A1 (x, У0, z) Уіу (x, zx+ A1 (x0, У0, z) Фіу (У0, zx —
— A1(У, zo)0 XV (x, Уx + A1 (x0, У, zo фіу (у, zox + A1 (x, У0, zo Vlx (x, zox —
— A1 (X0, Уo, z0 ф1у (У0, z0 x — A2 (X0, У, z XФlz (У, z x — A2 (X, У0, z) y xz (x, z) +
+ A2 (X0, У0, zXФlz (0, zx — A2 X У, z0)01x (x, У x + A2 (X0, У, z0 ф1у (У, z0 x +
+ A2 (X, У0, z0)01x (x, У0 x — A2 (X0, Уo, z0 XФlz (У0, z0 x — A3 (X0, У, z) ф jz (У, z x —
— A3(x, У0, z V lz (x, z x + A3 (xo, У0, z Vlz (xo, z x — A3 (x, У, z0)01у (x, Уx +
+ A3 (X0, У, z0)01у (Xo, У x+ A3 (x, Уo, z0 Vlz (x, zo) — A3 (Xo, Уo, zo Vlz (Xo, zo x + + B1 (xo, У, z) ф z (У, z x + B1 (x, У0, z) y z (X z x — B1 (xo, У0, z) ф z (o, z x +
+ B1 (x, У, zo)01(x, Уx — B1 (xo, У, zo)01 (xo, Уx — B1 (x, У0, zo)01(x, У0x +
+ B1 (X0, Уo, z0)01 (X0, У0 x + B2 (X0, У, z) Фі (У, zx + B2 (X, У0, z) y lx (x, zx —
— B2 (xo, У0, z) Фі (У0, zx + B2 (x, У, z0)0(x, Уx — B2 (xo, У, z0) Фі (У, z0x —
— B2 X У0, z0)0x (x, У0x + B2 (X0, У0, zo) фі (o, z0x + B3 (xo, У, z) фу (У, zx +
+ B3 (x, У0, zVi (x, zx — B3 (xo, У0, zVi (xo, zx + B3 (x, У, z0)0у к Уx —
— B3 (Xo, У, z 0) фу (у, zo) — B3(У o, zo Vl (x, z 0 x+ B3 (Xo, У o, zo V1 (Xo, z 0) —
— Cl (x0, У, z) Ф (У, z x — C1 к У0, z Ж X z x + C1 (xo, У o, z) Ф (У 0, z x —
— Cl (x, у, zo Уx + Cl (xo, у, zo) ф (у, zox + Cl (x, Уo, zo Ж- zox —
— C1 (Xo, У o, z 0 zo x +
x
+ j (B6 (У0, z) m 1 z (a, zx + B6 (У, z0)01 у (a, Уx + B6 (У0, z0) m 1 z (x z0x —
x 0
— C 6 (a, У 0, z) m 1 (a, z) — C 6 (a, У, z 0)0 у (a, У x + C 6 (a, У 0, z 0) y 1 (a, z0) —
— Ci (a, у o, z) y z (a, z x — Ci (a, у, z0)01 (a, у x + Ci (a, у0, z0)01 (a, у 0 x +
+ D3 (a, уo, z) y (a, z) + D3 (a, у, z0)0(a, у) — D3 (a, у0, z0) y (a, z0)}da +
+ j {B5 (Xz p, z0)01 x (x, p) + B5 (x0, p, z) ф 1 z (p, zx — B5 (x0, p, z0) ф 1 z ((, z0 x —
У о
— C2 (x0, p, z) ф z (p, z) — C2 (x, p, z0)01 (x, p)+ C2 (x0, p, z0)01 (x0, p) —
— C5 (x0, p, z) ф 1 (p, zx — C5 (xz p, z0)0 x (x, p) + C5 (x0, p, z0) ф 1 ((, z0 x +
+ D2 (x0, p, z) ф (p, zx + D2 (x, p, z0)0(x, p) — D2 (x0, p, z0) ф (у, z0)}dp +
z
+j {B 4 (X0, У, у) фіу (У, у) + B4 (X, У0, y) Mlx (x, y) — B4 (X0, У0, у) фіу (У0, y) —
z0
— C3 (x0, У, у) ф у (У, yx — C3(У0, yxMl (x, yx+C3 (x0, Уo, y) Ml (x0, yx —
— C4 (x0, У, У) Фі (У, У)-C4 (x, Уo, y) y x (x, yx+ C4 (x0, Уo, У) Фі(Уo, yx +
+ D1 (0, У, У) Ф (У, yx + D1 (x, У0, уМ-^ yx — D1 (x0, У0, У) ф (У0, y)}dy +
+
+
j j {D4 (a, p, zo 001 (a, p) — El (a, p, zo0(a, p)}dftx-
xo У0 X z
j j {D5 (Уo, У0Уі (У) — E2(Уo 5 У) МХ j)}djd (x
+
У z
+
j j {D6(x0,p, У0Фі(p, у0-E1 (x0,p, У0Ф (Р, У)}Р.
У0
(і0)
Отсюда, обозначив через Н (х, у, г, х, у, г) правую часть (10) без первого слагаемого, приходим к решению рассматриваемой задачи (1), (3):
и (X У, г) = Ф (У, г у + У (X г у + 0(х у) — Ф (у0, г у — ?(х г0) — 0(х0, уу + Ф (у0, г0у +
х у 6
+ j j j H (a, p, y, a, p, y) dydpda
+
У0
(іі)
х, а у р г у
+ 1 I I I I I Я (, (2, t3, а, Р, у)/7(^1,12, t3)3 ёуё2 ёрл^а.
х0×0 у0 у0 г0 г0
Условия гладкости (2) на коэффициенты уравнения (1) обеспечивают принадлежность ре-
шения классу С2+2+2 (д). Если считать функции ф, ф1, у, у1,0,01 произвольными, то можно рассматривать (10)-(11) как общее представление решения уравнения (1), подобно тому, как это делается в книге [15, с. 66] для уравнения со старшей производной и.
2. Формулы (10)-(11) дают решение задачи (1), (3) в квадратурах, если известен явный вид Я. Укажем некоторые случаи, полученные путем непосредственного решения (5).
Пусть семь коэффициентов уравнения (1) а221, а212, а122, а112, а211, а121, а111 отличны от нуля, а все остальные тождественно равны нулю. При этом (5) имеет тот же вид, что и уравнение (4) из [11]. Будем считать, что дополнительно выполняются тождества:
Эa
220
ЭУ
+ a220 a121 — a120
ЭУ
+ a220 a211 a210 ° 0:
Эa21 Э^^ 120 r
+ al 21 a211 — al 11 = 0, ^ + al20 a211 — al10 = 0
-V 121 211 111 ' -4
оу оу
Тогда из [11] следует, что функция Римана имеет вид:
(12)
R (x, у, z, Х, h, V0 = exp
I а210 (X, Л, у) +1 аш (а, р, г) ёа +1 аш (х, р, г)
_ V Х л _
Если последнее тождество (12) равно не нулю, а произведению 1(х)|а (у)п (г) и при этом а220 = А (г) + 6ху, а121 = В (х) + 5уг, а211 = С (у) + 6хг, то используя формулы (18), (25) из [11], получим
Я (х y, г X, л Vх = Я0(x, y, г х л v) o р2(1,1, ю),
где 0 Е — обобщенная гипергеометрическая функция [16, с. 20], а
xz
j B (a)da + j С (p)dp + j A (y)dy+5(xуz —
ю = I 1(а)ёа! п (у)ёу.
х Л V
Аналогично можно вычислить V и в других случаях, когда в (5) лишь один из коэффициентов аару, имея определенную структуру, отличен от тождественного нуля.
x
z
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // J. Different. Equations. 1972.T. 12. № 3.- P. 559−565. 34
2. Rundell W., Stecher M. Remarks concerning the supports of solution of pseudoparabolic equation // Proc. Amer. Math. Soc. 1977. T. 63.№ 1. P. 77−81.
3. Rundell W. The construction of solutions to pseudoparabolic equation in noncilyndrical domains// J. Different. Equations. 1978. Т. 27. № 3. P. 394−404.
4. Rundell W., Stecher M. The uniqueness class for the Cauchy problem for pseudoparabolic equation // Proc. Amer. Math. Soc. 1979. T. 76. № 2. P. 253−257.
5. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения// Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 2. С. 280−285.
6. Шхануков М. Х. Об одном методе решения краевых задач для уравнений третьего порядка// ДАН СССР. 1982. Т. 265. № 6. С. 1327−1330.
7. Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псев-допараболических уравнений высокого порядка// ДАН СССР. 1987. Т. 297. № 3. С. 547−552.
8. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка// Изв. вузов. Матем. 1999. № 10. С. 73−76.
9. ФагеМ.К. Задача Коши для уравнения Бианки// Матем. сборник. 1958. Т. 45. № 3. С. 281−322.
10. Жегалов В. И. Трехмерный аналог задачи Гурса// Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа.
Новосибирск: МГУ. 1990. С. 94−98.
11. Жегалов В. И. О трехмерной функции Римана// Сибирский матем. журнал. 1997. Т. 36. № 5. С. 1074−1079.
12. Бондаренко Б. А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных. Ташкент: ФАН, 1987. 146с.
13. Фаге М. К. Операторно-аналитические функции одной независимой переменной// Тр. Моск. матем. об-ва. 1958. Т.7. С. 227−268.
14. Мюнтц Г. Интегральные уравнения. Л. — М.: ГТТИ, Т.1. 1934. 330с.
15. БицадзеА.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
16. Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. М.: ГИФМЛ,
1963. 102с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой