Об одной задаче А. А. Карацубы

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 511
ОБ ОДНОЙ задаче а. а. карацубы ON A KARATSUBA'-S PROBLEM
До Дык Там Do Duc Tam
Белгородский национальный исследовательский университет, Россия, 308 015, г. Белгород, ул. Победы, 85 Belgorod National Research University, 85 Pobedy St, Belgorod, 308 015, Russia E-mail: doductam140189@gmail. com
Аннотация. Настоящая работа посвящена проблеме распределения нетривиальных нулей дзета-функции Римана ?(s) на критической прямой Ms = ½. В 1984 г. А. А. Карацуба доказал, что почти все отрезки прямой Ms = ½ вида [T, T + X ], где 0 & lt- X0(e) & lt- X & lt- T & lt- 2X, содержат более c0(s)Ts lnT нулей нечетного порядка функции ^(½ + it). В настоящей работе автор уменьшил
длину отрезка осреднения. Мы доказали результат Карацубы для отрезка (X, X+X//s+s). Доказательство главной теоремы основано на получении оценки сверху для специальной кратной тригонометрической суммы.
Resume. In this paper, we study the distribution of non-trivial zeros of the Riemann zeta function ?(s), which are on the critical line Ms = ½. In 1984, A. A. Karatsuba proved that almost all intervals of
line Ms = ½ of the form [T, T + XS ], where 0 & lt- X0 (s) & lt- X & lt- T & lt- 2X, contain more than C0 (s)T? ln T zeros of odd orders of the function ?(1 / 2 + it). In this paper, the length of the averaging interval has reduced.
We proved Karatsuba'-s result for interval (X, X + X). Proof of the main theorem is based on obtaining an upper estimate for the special multiple trigonometric sum.
Ключевые слова: дзета-функция, нетривиальные нули, критическая прямая. _Keywords: the Riemann zeta function, non-trivial zeros, critical line. _
Введение
Дзета-функция Римана задаётся на полуплоскости Ms & gt- 1 рядом Дирихле
1
= 1-
n=1 П
и аналитически продолжается на всю комплексную плоскость кроме точки s=1. Леонард Эйлер доказал следующее замечательное тождество:
as) = П p

Ms & gt- 1,
Р
с помощью которого он дал аналитическое доказательство теоремы о бесконечности количества простых чисел.
Бернхард Риман стал изучать дзета-функцию как функцию комплексного переменного. Хорошо известно, что все комплексные нули расположены симметрично относительно прямой
Мя = ½, которая называется критической. В 1859 г. Б. Риман [1] высказал гипотезу о том, что все
комплексные нули ?(я) дзета-функции лежат на критической прямой Мя = ½.
В 1914 г. Г. Харди доказал, что на критической прямой лежит бесконечно много нулей C (s) дзета-функции. Пусть N0(T) — число нулей нечетного порядка функции, лежащих на промежутке (0, T ]. В 1921 г. Г. Харди и Д. Литтлвуд [2] доказали следующую теорему:
Для любого s& gt- 0 существуют T0 = T0(s) & gt- 0, c = c (s) & gt- 0 такие, что при T & gt- T0, H = T°'-5+г справедливо неравенство:
N0(T + H) — N0(T) & gt- cH.
В 1942 г. А. Сельберг [3] улучшил результат Харди и Литтлвуда. Он доказал, что при условиях теоремы Харди и Литтлвуда справедливо неравенство:
N0(T + H)-N0(T) & gt- cHlnT. (1)
Сельберг [3] высказал гипотезу о том, что оценка (1) имеет место при меньших h, то есть, при H = та+е,
где, а положительная постоянная, меньшая ½.
Ряд замечательных работ о нулях дзета — функции Римана выполнил А. А. Карацуба [4−11]. В 1984 г. А. А. Карацуба установил, что неравенство (1) справедливо при H = T27/82+s. Тем самым он доказал гипотезу Сельберга о числе нулей дзета-функции Римана, лежащих на критической прямой. А. А. Карацуба [6] решил задачу о числе нулей дзета-функции Римана на очень коротких промежутках критической прямой & lt-<-в среднем& gt->-. Доказана следующая теорема:
Пусть ?& gt-0 произвольно малое фиксированное число, X & gt-X0(s) & gt- 0, н = Xs, х& lt-t<-2X. Рассмотрим соотношение:
N0 (T + H) — N0 (T) & gt- c1H ln T, (2)
где ci = ci (s) & gt- 0 — некоторая постоянная, зависящая только от s, и через Ei обозначим множество тех t из промежутках & lt- t & lt- 2X, для которых (2) не выполняется. Тогда для меры этого множества /и{Ei) справедлива оценка:
?(E1) & lt- X1−05s.
В 1988 г. Л. В. Киселёва [12] получила результат подобного рода, но для отрезка
(X, X + X. в настоящей работе автор уменьшил длину отрезка осреднения. Сформулируем основные теоремы:
Теорема 1. Пусть s& gt-0 — произвольно малое число, X & gt- X0(s) & gt- 0, H = Xs,
v v7/8+s
X1 & gt- X, x & lt- T & lt- X+X1.
Через e обозначим множество тех t из промежутка [X, X+X1], для которых интервал [T, T+H] содержит меньше, чем c0 H ln T число нулей нечетного порядка функции С (0,5+it), гдеc0 = c0(s) & gt- 0 — некоторая постоянная, зависящая только от s. Тогда для меры этого множества ?(E) справедлива оценка
ju (E) & lt- X1X& quot-0'-5s.
Теорема 2. Пусть0 & lt-s — произвольно малое число, X & gt- X0(s) & gt- 0, H = Xs, X1 & gt- X7/8+s, Х& lt-Т<-Х+Х, М = [Х/Щ, М1=[Х1/Я]. При ш = М + .М + 2. ---.М + М} рассмотрим интервалы вида [mH, mH+H].
Тогда в каждом из указанных интервалов, за исключением не более M1M из них, содержится более чем c1H ln T нулей нечетного порядка функции С (0,5+it), где c1 = c1(s) & gt- 0 — некоторая постоянная, зависящая только от s.
Вспомогательные утверждения
В дальнейшем будем употреблять следующие обозначения: е, е1---& gt-0 — произвольно малые
7/8+s 1_
фиксированные числа, х — растущий параметр, X1 & gt- X, х & lt- T & lt- X+X1, P = л/T /2л, H = Xs,
Ы = 1п X, У = Н0,01,0 & lt- к & lt- А1 & lt- 1 — параметры, зависящие от т, значение которых будет определено позднее, & quot-'- ~ положительные рациональные числа, знаменатель которых не превосходит г,
действительные числа а (у) находятся из соотношения
1

а (у)
и=1 у
числа ру) и а (-) определяются следующим образом:
Мя & gt- 1,
а (Л)= у РУШУ* т _ [а (у)(1 — 1ПУ/1пу)Л & lt-У<- Y,
у- у2, 10, у^ Y.
Лемма 1. Пусть при ] = 1,2 суммы (т) определяются равенствами:
щ (т) = 1 П^
а (-)а (-,) -*
ч-,
ехр
((н ^ Н 1п -2 2 —
ч 1
^(Т) = I
— & lt--<-Р
а (-)с1 (П)а (-)а (-2) (V ^


V-у
ехр
Н 1п
2
ч-/
2
где
гк е-(и/к)2 Г р
-к1 Ч-
Тогда справедливы следующие оценки:
а (-) = /к1 е-(и'-к| ?и.
Х1У11!10
г X+Х1 о
X 1) ат & lt-<- н
сХ+Х- о
X 12(Т)& lt-г & lt-<-
ь4ХУ & quot-?10
н
где постоянные в знаке & lt-<- зависят только от
Схема доказательства. Пусть Ш (Т) — одна из двух сумм ш. (Т), ] = 1,2 и ?1 (-) = 1,
к2 = 1, еслиШ (Т) = Ш1(Т), а?? К-) = а (-), к2 = к, если Ш (Т) = Ш2(Т). Пользуясь определения числа а (-) и неравенством Коши, получаем:
2
1-Х+Х, |2 о, — X+Х,
I 1 Ш (Т)2аг & lt-<- У8 Г 1
Ф («1, «2,Т)
п1& lt-аР п1Р& lt-п2<-п1Р (1+Ь/Н)
где
ФЦ, Й2, Т) =
?1(п1У1 / У2) а1(п2У3 / у4)

ч П1У
«2 & lt-уР Т (ехр
аг,
(3)
(
Н 1п
2
«2
2
пр
V 1 уу
л/п1п2У1У2У3У4
/
а = у2 / У1, Р = У1У4 / (у2уз), х = У4 / У3 и У1, У2, У3, У4 — некоторые фиксированные натуральные числа, не превосходящие У. Пусть ^ =^Х /(2я-). Разбивая промежуток суммирования по «1 на два промежутка точкой Р) а, приходим к неравенству:
(2
X х+Х1 ш (Т)|2 аТ & lt-<- у 8
лХ +Х1 ?X
I I ф (П1, П2, Т)
п1& lt-Р0а п1Р& lt-п2 & lt-п1Р (1+ЫН) п2 & lt-Ру
аТ+
|-Х+X- ХХ
I
I
Ф (П1, П2, Т)
Р0а& lt-п1<- Ра пф& lt-п2 & lt-п1Р (1+Ы/Н) п2 & lt-Рх
2

(4)
Будем обозначать два интеграла в правой части выражения (4) через J1 и J2, соответственно,
п & lt- Р0а и Р0 а & lt- п & lt- Ра.
Пользуясь тем, что промежуток суммирования по короткий, оценим интеграл J2 так:
•2 & lt-<-¦
к Ь X!
н
(5)
Оценим интеграл • сверху. Разбивая промежуток суммирования по в этой формуле на & lt-<- ь промежутков вида N & lt- п & lt- N1 & lt- 2И & lt- Р0а, приходим к неравенству:
2
X X Ф (пЬп2,Т) ОГ.
N& lt-щЩ п1Р& lt-п2<-пф (+Ь/Н) Применяя к последней сумме по пь П2 преобразование Абеля, пользуясь оценками
к
1 рХ+Х1
• & lt-<- Ь Ь
d

& lt- к-
d'-

к
& lt-- ¦
d & quot-
у2
приходим к неравенству:
где
{Х+Х!
11 -)х
X X
• & lt-<- к4ь21ъ
-(Н 1п (П2/пф)/2)2 (ЛГ
(6)
V п1 У
Е (П1, П2)
N& lt-п1<-N2 N^^2^& lt-^р ^п1п2у1у2у3у4
1, если N & lt- п1 & lt- N и п1 $ & lt- п2 & lt- п1Р (1+Ъ/Н),
dГ,
Е (пъ п2) —
[О, в остальных случаях, N & lt- N2 & lt- N и N & lt- N3 & lt- N1(1+Ь / Н) — некоторые фиксированные числа. Далее, применяя к ?1 известный прием [7], получаем:
11 & lt-<- Х1
X X
М& lt-п1,п3 & lt-М2 Мр& lt-п2,п4 & lt-М3Р
0& lt-п2п3-п1п4 & lt- N 2РЬ/Х1
(п2 п3
IX
Vп1п4 у
г/(п1, п2, пз, щ) Е (п1, п2) Е (пз, п4)
+ 0е
(е-'-т1ь),
(7)
где
1](щ, «2, пз, пА) -¦
-(Н 1п (п2/(пф))/2)2 -(Н 1п (пА/(пъР))/2)2 -(Х^п^/^))/2)2
фцп^пзп^
Разобьем последнюю сумму на две суммы: е — часть этой суммы, отвечающая таким слагаемым, у которых п2п3 — пщ, а Щ — слагаемым, у которых
1 & lt- - & lt-
N 2РЬ X '-
Оценим сумму е количеством возможных наборов чисел пх, п2, п3, п4
Е& lt--
Ы
Н
(8)
Так как в W присутствует множитель
г '-Х п2 п3
п1п4
то можно воспользоваться осцилляцией. Оценим сумму W так:
Щ & lt-<- ¦
у3 Ь
Н
(9)
Из (3−9) следует утверждение леммы.
Следствие 1. Пусть 8 — произвольное положительное число, не превосходящее 1, Е2 — множество таких г из интервала [X, X+Х1], для которых выполняются неравенства
2
и
и
2
у1−8у11г10 ?, 41--11,10
Ш2(Т)& gt-Х У Ы, Ш2(Т)& gt->- У Ы
Н 2 Н
Тогда для меры множества Е2 справедлива оценка М (Е) & lt-<- Х. Лемма 2. При обозначениях теоремы 2 справедливы неравенства:
м+ь м^Ы М+ к4М1У11Ы11
I Ш1(тН) & lt-<- 1, I Ш1(тН)

т=М+1 Н т=М+1 Н
Лемма 2 доказывается по аналогии с доказательством леммы 1.
Доказательство основной теоремы
В следствии 1 полагаем 8 = 1 — 4 / 7 а. Будем рассматривать те числа т из X & lt- Т & lt- X+Х1, которые не принадлежат множеству Е2 — для них выполняются оценки:
Ш2(т)& lt-
УПЫ10
Ш22(Т)& lt-
4у11Ь10
4н '- 1 ^ '-
Из рассматриваемых чисел т выбросим те, для которых выполняется неравенство:
(10)
?2 + КТ + Н -1))^2 (а + 1(Т + Н — 1))ао-
Х'-2 + '-(Т +1))^2 (а +1 (Т + 1))аа
я
& gt--. Ы
(11)
В силу леммы 7 статьи [13] следует, что мера выброшенных чисел есть величина порядка ОХцХ ?).
Далее, доказательство проводится по схеме работы А. А. Карацубы [5]. Введём следующие параметры к = А / (с 1п Т), = 2к, Т & gt- X & gt-0. Будем считать, что х так велико, что 0 & lt- к & lt- к1 & lt- 1. Числа 0& lt-с & lt-1 и 0 & lt- А будут определены позднее. При Т & lt- I & lt- Т+Н рассматриваются интегралы Л1(1) иЛ»:
д (0 = Хе& quot-(и/к)>- (I+и) ?и, ?(О =Хк1'-
где Р (I) — функция Харди-Сельберга [13, гл. 3].
Обозначим через Е4 подмножество интервала (Т, Т+Н), на котором выполняется неравенство у1(/) & gt-у2(/). Так как вне Е4 два интеграла) и л2(1) равны, то имеем:
Г гТ+Н г гТ+Н ГТ+Н
X 71 (I)Л = Х л (№ 72(1)а лСаа
Применяя интегральное неравенство Коши, приходим к соотношению:
^^ +Н & gt-/3, (12)
где Е4) — мера множества Е4,
гГ., ^ г рТ +Н,, , чЧ2.. Т +Н
хт
Ы +Н, 2 г* +Н, 2 г*
/1 = Хт (л (О)2, /2 = Хт (72 (О)2, /3 = Хт

Пользуясь способом, указанным в работе [5, с. 572], и неравенством (11), оценим интеграл
/3 так:
/3 & gt-кН+с4кНГ1.
(13)
Интеграл /1 оценен [5, а 576]:
/1& lt-<-к2 Н ОпУ+щт)),
где Ш[(Т) — тригонометрическая сумма леммы 1. Для суммы Щ (Т) справедлива оценка, которая следует из (10):
+
+
Щ (Г) & lt- Н ~°25Т 5'-5ь5.
Таким образом, получаем оценку сверху для:
Л & lt- с5к2Н+ Н-^Т5515). (14)
Интеграл 12 оценим сверху, пользуясь способом работы А. А. Карацубы [14, с. 195]. Получа-
ем:
U & lt-<- H
((2lnT
1n Y
Л
c + -
V
V
+ W2(T)
2UT -0,02
+ h2 HT
(ск пТ)2е2(к11кУ е2(ксЫТУ где Щ (Т) — тригонометрическая сумма леммы 1. Сумма Щ (Т) оценивается с помощью (10):
Ш2(Т) & lt- к2Ни°'-25Т5'-5ь5.
В силу определения т, к, получаем:
h Z ceh2H Возьмем теперь
1П T ¦ 100e1
1n X
11
c + «» +
A2e8 e2A2
+ H -0'-25Y 5'-5 L5 + T-0'-02
c = -
4800c,
, 4800c6
, A = 6
6
0,5
и число x выберем так, чтобы выполнялось неравенство:
В итоге получаем:
H-0'-25y5'-5L5 + T-002 & lt- -L 8c.
1 7 12 & lt- - к2H. 2 4
(15)
Из оценок (12−15) получаем неравенство /и (Е4) & gt- е7Н, сп = с1(е) & gt- 0, откуда следует утверждение теоремы.
Доказательство теоремы 2 проводится по аналогии с доказательством теоремы 1 и с использованием леммы 2.
s
Список литературы
1. Риман Б. Сочинения / Б. Риман. — М. -Л.: ОГИЗ, 1948. — 479 c.
Riemann B. The works / B. Riemann. — Moskva-Leningrad: OGIZ, 1948. — 479 p.
2. Hardy G.H., Littlewood J. E. The zeros of Riemann'-s zeta-function on the critical line // Mathematische Zeitschrift. — 1921. — V. 10. — P. 283−317.
3. Selberg A. On the zeros of Riemann'-s zeta-function // Skr. Norske Vid. Akad. Oslo. — 1942. -V. 10. — P. 1−59.
4. Карацуба А. А. О расстоянии между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой / А. А. Карацуба // Тр. МИАН СССР. — 1981. — Т. 157. — С. 49−63.
Karatsuba A. A. On the distance between consecutive zeros of the Riemann zeta function that lie on the critical line / A.A. Karatsuba // Trudy Mat. Inst. Steklov. — 1981. — V. 157. — P. 49−63.
5. Карацуба А. А. О нулях функции ?(s) на коротких промежутках критической прямой / А. А. Карацуба // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1984. — T. 48. — № 3. — С. 569−584.
Karatsuba A. A. On the zeros of the function ?(s) on short intervals of the critical line / A.A. Karatsuba // Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math. — 1984. — V. 48. — No. 3. — P. 569−584.
6. Карацуба А. А. Распределение нулей функции ?(½+it) / А. А. Карацуба // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1984. — Т. 48. — Вып. 6. — С. 1214−1224.
Karatsuba A. A. The distribution of zeros of the function ?(1 / 2+it) / A.A. Karatsuba // Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math. — 1984. — V. 48. — No 6. — P. 1214−1224.
7. Карацуба А. А. О нулях дзета-функции Римана на критической прямой / A.A. Karatsuba // Тр. МИАН СССР. — 1985. — Т. 167. — С. 167−178.
Karatsuba A. A. Zeros of the Riemann zeta function on the critical line / A.A. Karatsuba // Trudy Mat. Inst. Steklov. — 1985. — V. 167. — P. 167−178.
8. Карацуба А. А. О вещественных нулях функции ^(½ + it) / А. А. Карацуба // УМН. -1985. — Т. 40. — № 4. — С. 171−172.
Karatsuba A. A. On the real zeros of the function ^(1 /2 + it) / A.A. Karatsuba // Uspekhi Mat. Nauk. — 1985. — V. 40. — No. 4. — P. 171−172.
9. Карацуба А. А. Дзета-функция Римана и ее нули / А. А. Карацуба // УМН. — 1985. — Т. 40. -№ 5. — С. 23−82.
Karatsuba A. A. The Riemann zeta function and its zeros/ A.A. Karatsuba // Uspekhi Mat. Nauk. -1985. — V. 40. — No 5. — P. 23−82.
10. Карацуба А. А. О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой / А. А. Карацуба / / Изв. РАН. Сер. матем. — 1992. — Т. 56. -№ 2. — С. 372−397.
Karatsuba A. A. On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line/ A.A. Karatsuba // Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math. — 1992. — V. 56. — No 2. -
P. 372−397.
11. Карацуба А. А. Уточнение теорем о количестве нулей, лежащих на отрезках критической прямой, некоторых рядов Дирихле / А. А. Карацуба / / УМН. — 1992. — Т. 47. — № 2. — С. 193−194.
Karatsuba A. A. A refinement of theorems on the number of zeros lying on intervals of the critical line of certain Dirichlet series/ A.A. Karatsuba // Uspekhi Mat. Nauk. — 1992. — V. 47. — № 2. — P. 193−194.
12. Киселева Л. В. О количестве нулей функции ?(s) на & quot-почти всех& quot- коротких промежутках критической прямой / Л. В. Киселева / / Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1988. — Т. 52. — Вып. 3. — С. 479 500.
Kiseleva L.V. The number of zeros of the function ?(s) on & quot-almost all'-'- short intervals of the critical line / L.V. Kiseleva // Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. — 1988. — V. 52. — № 3. — P. 479−500. Translation in Math. USSR-Izv., 1989. — V. 32. — № 3. — P. 475−499.
13. Воронин С. М. Дзета-функция Римана / С. М. Воронин, А. А. Карацуба. — М.: Физматлит,
1994. — 376 c.
Voronin S. V., Karatsuba A. A. The Riemann zeta-function. — M.: Fizmatlit, 1994. — 376 p.
14. Карацуба А. А. Новый подход к проблеме нулей некоторых рядов Дирихле / А.А. Карацу-ба // Труды Международной конференции по теории чисел, посвященной 100-летию со дня рождения академика И. М. Виноградова: Сборник статей. Тр. МИАН 1994. Вып. 207. — С. 180−196.
Karatsuba. A.A. A new approach to the problem of the zeros of some Dirichlet series / A.A. Kar-atsuba // Trudy Mat. Inst. Steklov., 1994. V. 207. — P. 180−196- translation in Proc. Steklov Inst. Math. ,
1995. — V. 207. -№ 6. — P. 163−177.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой