Об одной задаче оптимального управления с функционалом качества общего вида

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Дифференциальные уравнения
УДК 517. 977. 57
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ФУНКЦИОНАЛОМ КАЧЕСТВА ОБЩЕГО ВИДА
Н. А. Манакова1, А. Г. Дыльков2
1 Южно-Уральский государственный университет,
454 080, Челябинск, пр. Ленина, 76.
2 Магнитогорский государственный университет,
455 038, Магнитогорск, пр. Ленина, 114.
E-mails: manakova@hotbox. ru, dylkov@yandex. ru
Найдены достаточные условия существования оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейного уравнения соболевского типа с функционалом качества общего вида.
Ключевые слова: уравнения соболевского типа, оптимальное управление, на-чально-конечная задача.
Введение. Пусть X, 2) и 11 — гильбертовы пространства, операторы L, М € ?(ЗЕ-2)), а оператор В € С{И- 2)), функции и: [0, г) С М+ -& gt- 11, у: [0, г) С М+ -& gt- 2) (т & lt- оо) подлежат дальнейшему определению. Введём в рассмотрение L-резольвентное множество рь (М) = {ц € С: (цЬ — М)~1 € ?(2)-ЗЕ)} и L-спектр аь (М) = С рь (М) оператора М (см. [1, гл. 4]).
Пусть оператор М (Ь, р)-ограничен, тогда существуют аналитические группы операторов
= ^/^(М)е^ И = где t € К, Г С С — замкнутый контур, ограничивающий область, содержащую aL (M), Rji (M) = (цЬ — M)_1L, Lj^(M) = Ь (цЬ — М)~1 -соответственно правая и левая L-резольвенты оператора М. Положим 3?°(2)°) = kerX*(ker Y*), = im X*(im7*) и обозначим через сужение оператора L (M)
на %к, к = 0,1.
Пусть далее, L-спектр оператора М представим в виде
сТЬ{М) = (М) U & lt-7fln (M), & lt-т?(М) n crfln (M) = 0.
Операторы Р = -Q = -[L^(M)d/j, — проекторы, Р € ?(ЗЕ), 27гг Ур м 27гг Ур м
Qg ?(?)).
Наталья Александровна Манакова (к.ф. -м.н., доц.), доцент, каф. уравнений математической физики. Андрей Геннадьевич Дыльков, аспирант, каф. математического анализа.
Аналогично построим проекторы Pfin и Р-п:
Pfm = j R^M)d, Pin = Р — Pfln.
Здесь контур 7 € С ограничивает область, содержащую & lt-7дп (М).
Теорема. Пусть aL (M) = & lt-Тдп (М) U ^(М), причём а^п (М) содержится в ограниченной области Q С С с кусочно гладкой границей дП и дГ1Раь (М) = = 0. Тогда существуют проекторы Р^п € ?(Н) и Qfm € ?(30 такие, что операторы L € ?(ker -Pfln- ker Qfln) U ?(im Pfln- im Qfln) и M € ?(ker Pfln- ker Qfln) U C (m Pfln- im Qfln).
Для линейного уравнения соболевского типа
Lx = Mx + y + Bu (1)
рассмотрим начально-конечную задачу
Рт (х (0) — Хо) = о, Ръп (х (т) — хт) = 0, (2)
где т € R+ (для определённости можно считать т € R {0}), Хо, хт € X.
Задача (2) для линейных уравнений соболевского типа впервые появилась в работах Г. А. Свиридюка и С. А. Загребиной [2]. В дальнейшем данная задача была названа «начально-конечной», и в настоящее время уже есть результаты о начально-конечных задачах для уравнений соболевского типа высокого порядка [3].
Нас будет интересовать задача оптимального управления, которая заключается в отыскании такой пары (xq, Uq) € X х ilacj, где Хо является решением задачи (1), (2) и выполняется соотношение
J (xo, Uo) = inf J (x, u). (3)
(ж,")€ЖхЯаа
Здесь J (х, и) — некоторый функционал качества- управление и € ilacj, где ilad — некоторое замкнутое и выпуклое множество в пространстве управлений И. Таким образом, оптимальное управление решениями задачи (1)-(3) даёт возможность минимизировать штрафные санкции.
Впервые задача оптимального управления для линейных уравнений соболевского типа (1) появилась в работах Г. А. Свиридюка и А. А. Ефремова [1, гл. 7]. В данных работах рассматривается специальным образом построенный функционал стоимости
[ (NqU^ln^) dt, (4)
J O'- '- & amp-
где p является высотой М-присоединённых векторов оператора L [1, гл. 3]. В дальнейшем Г. А. Свиридюком была выдвинута гипотеза о том, что можно рассматривать функционал стоимости более общего вида
Е
д=0& quot-'-и о=0
J (x, u) =2 [ \z^ - zif1 W^dt +
где, а ^ О, /30, а + /3 = 1, 0 к р + 1. В прикладных задачах функционал стоимости (4) накладывает дополнительные условия на отыскание оптимального управления. При данной постановке минимизируется не только само управление, но и р + 1 производная функции и, что в прикладных задачах не всегда имеет смысл.
Уравнения соболевского типа составляют обширную область неклассических уравнений математической физики (см. обстоятельные обзоры в [4,5]). Оптимальное управление линейными уравнениями с условиями Коши, как уже было сказано, впервые изучалось в [1, гл. 7]. Задача (2) является обобщением задачи Шоуолтера-Сидорова [2]. В работе [6] предложен численный алгоритм нахождения решения задачи оптимального управления для линейных уравнений соболевского типа. Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера-Сидорова для полулинейных уравнений соболевского типа рассматривалось в [7]. Наш подход основан на идеях и методах [1,8,9].
1. Сильные решения. Для линейного неоднородного уравнения соболевского типа
Ьх = Мх + у (5)
рассмотрим начально-конечную задачу (2).
Теорема [2]. Пусть оператор М (Ь, р)-ограничен, причём выполнены условия теоремы из введения. Тогда для любых Хо, хТ € X и вектор-функции у € Ср ([0, Т]- 2)) П Ср+1((0,Т) — 2)) существует единственное решение задачи (5), (2), которое имеет вид
р № Г*
х (г) = -^(м0_%)9м01−2/°(*) + и^хо + д[~Уп (в)^+
+ и1п Тхг~1 Ейп^Йп («)^ (6)
где
и1 = (2тгг)"1 ^ д?(М)е^?^ - J д?(М)е^?^ ,
В? т = (27тг)-1 (/{?хЬ — М)~1е^& lt-1ц — J (цЬ — М)_1ем*с^ ,
[/?п = (27тг)-1 J Е^(М)ем*с?/х, Едп = (27п)-1 J (цЬ — М)~1е^(11л,
у° = (1-Я)у, уйп (1п) = ЯЫ1п) У-
Определение. Вектор-функцию х € Н1(Х) = {х € 1^(0, т-ЗГ): х € ?2(0, т- X)} назовём сильным решением уравнения (5), если она п. в. на (0, г) обращает его в тождество. Сильное решение х = х (Ь) уравнения (5) назовём сильным решением начально-конечной задачи, если оно удовлетворяет (2).
В силу непрерывности вложения Н1(Х) ¦-& gt- С ([0,г]-3?) наше определение корректно. Термин «сильное решение» введён для того, чтобы отличать решение уравнения (5) в данном смысле от решения (6), которое теперь уместно
называть «классическим». Заметим, что классическое решение (6) является также и сильным решением задачи (5), (2).
Построим пространство
Теорема. Пусть оператор М (Ь, р)-ограничен, р € {0} и N. Тогда для любых Хо, хТ € X и у € Нр+1(2)) существует единственное сильное решение задачи (2) для уравнения (5).
Доказательство. Поскольку мы уже имеем классическое решение (которое является сильным), покажем его единственность. Действуя на уравнение (5) последовательно проекторами I — & lt-5 и & lt-3яп (т) и пользуясь теоремой из введения, сведём его к эквивалентной системе из трёх независимых уравнений:
Где Н -Мд ?0) & gt-5п (йп) (йп)~^11п (йп) ^ ЗдвСЬ х (Ь) Х (Ь)
— Х2^), где Х{1), Жг (?) -два решения задачи (5), (2).
В силу нильпотентности оператора Н из уравнения (7) получаем Нр+1х° = Нрх° = 0. Продолжая этот процесс, убеждаемся, что х° = 0. Равенство нулю решений задач (8), (9) следует из ограниченности операторов
?йп- ?
Пусть у € Нр+1{2)). Введём в рассмотрение операторы
д=0
Лемма. Пусть оператор М (Ь, р) -ограничен. Тогда
(і) єС (Нр+її)), НХ) У,
(п) при любом Хо € X вектор-функция к € С1([0, г) — X) —
(ііі) А2єС (Нр+її)), НХ) У,
(?у) при любом хТ € X вектор-функция к2 € С1([0, г) — X) —
(у) С{Нр+її)), Н1{Х)).
Нх° = х°, х°(0) = 0, жйп = 5йп жйп, жйп (т) = 0, %1П = & lt-5іпЖ1п, жш (0) = 0,
(7)
(9)
2. Оптимальное управление. Для линейного неоднородного уравнения со-болевского типа
Ьх = Мх + у + Ви (10)
рассмотрим начально-конечную задачу (2). Операторы е ?(ЗЕ-2)), опе-
ратор В € ?(Я- 2)), оператор М (Р, р)-ограничен.
Введём в рассмотрение пространство управлений
Нр+1(й) = {и е Ь2(0,т]й): и (р+1) е Ь2(0,т]й), р е {0}иЩ.
Пространство НР+1(И)-гильбертово в силу гильбертовости И. Выделим в пространстве НР+1(1Х) замкнутое и выпуклое подмножество Нд+1(1Х)-множество допустимых управлений.
Введём в рассмотрение 3 — некоторое гильбертово пространство наблюдений и оператор С € С (Х] 3), задающий наблюдение г (Ь) = Сх (Ь). Заметим, что если х € Н1(Х), то г € Н1{3).
Определение. Вектор-функцию щ € ^/^+1(11) назовём оптимальным управлением решениями задачи (10), (2), если
,](хо, ио) = тт^г^еЖхЯр+1(^у](х, ь),
где пары (х, и) € X х Я^+1(И) удовлетворяют соотношениям (10), (2).
Нашей целью является доказательство существования единственного управления щ € Нд+1(И), минимизирующего функционал стоимости
1 ?. -у к ?. -у
¦1(х, и)=аУ~] / \г^ - г^\сИ + ?3 У'-'- / 1мди^, М, (11)
д=0 д=0 ^ /Я
где, а ^ 0, /30, ск + /5 = 1, 0^/г^р + 1, ?(Н), & lt-? = 0,1,…, А: — самосо-
пряженные и положительно определенные операторы, го = го (Ь) -желаемое наблюдение. Справедлива
Теорема. Пусть оператор М (Ь, р)-ограничен, р € {0}иМ. Тогда для любых у € Нр+1{2)), Жо, жг € X существует единственное оптимальное управление решениями задачи (10), (2).
Доказательство. По теореме из предыдущего пункта при любых у € Нр+1{2)), хо, хТ? X и и? НР+1(1Х) существует единственное сильное решение х € Н1(Х) задачи (10), (2), имеющее вид
ж (?) = (Аг + А2 + А3) (у + Ви)(г) + к (?) + /г2(г), (12)
где операторы А2, Аз и вектор-функции Л?!, к2 заданы в лемме из преды-
дущего пункта.
Зафиксируем у € Нр+1{2)), Жо, жг € X и рассмотрим (12) как отображение -О: и -& gt- х (и). Тогда отображение И: НР+1(1Х) -& gt- Н1(Х) непрерывно. Поэтому функционал стоимости зависит только от и, т. е. Ли) = J (ж, и,). Так как решение (6) уравнения (10) зависит не только от и, но и от р--1 производной функции и, то можно рассматривать функционал качества вида (11), что не ограничивает общности рассмотрения задачи.
Перепишем функционал стоимости (11) в виде
J (u) = a IICx (t]u) — -гоііяі(з) + P[v, u],
где
v^9t) = Nqu (gt), q = 0,…, к. Отсюда
J (u) = 7 Г (u, u) — 2(u) + I|г0 — Cx (t- 0)||#i (3) ,
где
ir (u, u) = a ||C (x (t] u) — x (t] 0))||Hi (3) + /3[v, u]
— билинейная непрерывная коэрцитивная форма на Нр+1(И),
{u) = a (zo — Cx (t- 0), C (x (t- u) — x (t- 0)))Hi^
— линейная непрерывная на Hp+l{И) форма. Значит, условия теоремы [10, гл. 1] выполнены. ?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Sviridyuk G. A., Fedorov V. Е. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht, Boston: VSP, 2003. 216 pp.
2. Свиридюк Г. А., Загребина С. А. Задача Шоуолтера-Сидорова как феномен уравнений соболевского типа// Изв. Иркут, гос. ун-та. Сер. Математика, 2010. Т. 3, № 1. С. 51−72. [Sviridyuk G.A., Zagrebina S. A. The Showalter-Sidorov problem as a phenomena of the Sobolev type equations // Izv. Irkut. Gos. Un-ta. Ser. Matematika, 2010. Vol. 3, no. 1. Pp. 51−72].
3. Замышляева А. А., Юзеева А. В. Начально-конечная задача для уравнения Бусси-неска — Лява на графе// Изв. Иркут, гос. ун-та. Сер. Математика, 2010. Т. 3, № 2. С. 18−29. [Zamyshlyaeva A. A., Yuzeeva А. V. The initial-finish value problem for the Boussinesque-Love equation defined on graph // Izv. Irkut. Gos. Un-ta. Ser. Matematika, 2010. Vol. 3, no. 2. Pp. 18−29].
4. Demidenko G. V., Uspenskii S. V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest-order derivative. New York, Basel, Hong Kong: CRC Press, 2003. 511 pp.
5. Свешников А. Г., Алъшанский А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007. 736 с. [Sveshnikov A. G., Al’shanskiy А. В., Korpusov М. О., Pletner Yu. D. Linear and nonlinear equations of Sobolev type. Moscow: 2007. 736 pp. ]
6. Келлер А. В. Численное решение задачи стартового управления для системы уравнений леонтьевского типа// Обозрение приклад, и пром. математики, 2009. Т. 16, № 2. С. 345−346. [Keller А. V. Numerical solution of start control problem for a Leontief type system of equations // Obozrenie Priklad. Prom. Matematiki, 2009. Vol. 16, no. 2. Pp. 345−346].
7. Манакова И. А. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации// Дифференц. уравнения, 2007. Т. 43, № 9. С. 1185−1192- англ. пер.: Manakova N.A. Optimal control problem for the Oskolkov nonlinear filtration equation// Differ. Equations. Vol. 43, no. 9. Pp. 1213−1221.
8. Лионе Ж. -Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 414 с. [Lions J. -L. Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations. Moscow: Mir, 1972. 414 pp. ]
9. Фурсиков А. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. 350 с. [Fursikov А. V. Optimal Control of Distributed Systems. Theory and Applications. Novosibirsk: Nauchnaya Kniga, 1999. 350 pp. ]
Поступила в редакцию 01/VII/2011- в окончательном варианте — 24/VIII/2011.
MSC: 49J20- 47N20, 46Е35
ON ONE OPTIMAL CONTROL PROBLEM WITH A PENALTY FUNCTIONAL IN GENERAL FORM
N. A. Manakova1, A. G. Dylkov2
1 South Ural State University,
76, Lenin prospekt, Chelyabinsk, 454 080, Russia.
2 Magnitogorsk State University,
114, Lenin prospekt, Magnitogorsk, 455 038, Russia.
E-mails: manakova@hotbox. ru, dylkov@yandex. ru
The sufficient conditions for the existence of optimal control over solutions of the initial-finish value problem for the linear equation with a penalty functional in general form, are found.
Key words: Sobolev type equation, optimal control, initial-finish value problem.
Original article submitted 01/VII/2011- revision submitted 24/VIII/2011.
Natal’ya A. Manakova (Ph.D. (Phys. & amp- Math.)), Associate Professor, Dept, of Equations of Mathematical Physics. Andrey G. Dylkov, Postgraduate Student, Dept, of Mathematical Analysis.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой