Об одной задаче для уравнения смешанного типа с двумя плоскостями вырождения в бесконечной призматической области

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 956
М.М. Хачев
ОБ ОДНОЙ задаче для уравнения смешанного типа с двумя
ПЛОСКОСТЯМИ ВЫРОЖДЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНОЙ ПРИЗМАТИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ
Доказана теорема об однозначной разрешимости задачи Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя ортогональными плоскостями параболического вырождения.
Постановка задачи и сведение ее к плоской задаче
Пусть О есть бесконечная призматическая область трехмерного пространства (х, у, z), ограниченная поверхностями
51 = {(х, у, z): 0 & lt- х & lt- I, у =Ь, —? & lt- z & lt- +?-
52 = {(х, у, z): 0 & lt- х & lt- I, у = - а, —? & lt- z & lt- +?}-
S 3 = {(x, y, z): x = 0, — a & lt- y & lt- ?, -?& lt- z & lt- +?}-
S4 = {(x, y, z): x = l, — a & lt- y & lt- ?, —? & lt- z & lt- +?},
где a, ?, l ° const & gt- 0.
В области W рассмотрим уравнение
I ттг I ттг I ттг r r /i
sgn y|y| Vxx + sgn x|x| Vyy + sgn xy|xy| Vzz = 0, m & gt- 0, (1)
которое является эллиптическим при x & gt- 0, y & gt- 0 и гиперболическим — при x & gt- 0, y & lt- 0 пространства (x, y, z), за исключением плоскостей x = 0 и y = 0, на которых оно параболически
вырождается.
Обозначим через W+=Wn (y & gt-0), W-=Wn (y & lt- 0) эллиптическую и гиперболическую части смешанной области W соответственно.
Задача Дирихле. Найти решение V ° V (x, y, z,) уравнения (1) в области W со следующими свойствами:
1) V е С (W)
2) V е С1 (W)n С2 (W+ uW) за исключением, быть может, плоскостей вырождения
So ={(x, y, z): 0 & lt- x & lt- l, y = 0, -?& lt- z & lt-+?},
S3 ={(x, y, z): x = 0, — a & lt- y & lt- ?, -?& lt-z<- +}-
3) V удовлетворяет краевым условиям:
V|S1 = yj (x, z), 0 & lt- x & lt- l, —? & lt- z & lt- +?-
V|S2 = y 2 (x, z), 0 & lt- x & lt- l, -?& lt- z & lt-+?-
V S3 = v|s4 = 0, — a & lt- y & lt- ?, -?& lt- z & lt-+?-
lim V = 0 равномерно относительно (x, y) e W n (z = 0).
z ®±?
Функции yj (x, z) и y2 (x, z) считаем непрерывными в областях своего определения (S] и S2 соответственно) — абсолютно интегрируемыми по z при —? & lt- z & lt- +?, 0 & lt- x & lt- l- равномерно от-
носительно x, стремящимся к нулю при z ® ±?. В дальнейшем, для того чтобы обеспечить принадлежность решения задачи требуемому классу, на yj (x, z) и y2 (x, z) будут наложены еще некоторые ограничения. Принятые же предложения относительно поведения функций y 1 (x, z), y 2 (x, z) и V (x, y, z) позволяют использовать для решения задачи Дирихле метод преобразования Фурье, рекомендованный А. В. Бицадзе [1]. В самом деле, эти ограничения позволяют ввести преобразования Фурье:
V (x, y, z) = Ju (x, y, l) e~lildX. (2)
Функция u (x, y, 1) выражается через V (x, y, z) с помощью обратного преобразования Фурье:
u (x, y-1) = -jp JV (x, y, z)e'-^dz, 1е R. (3)
Введем обозначения: D = W n (z = 0), D + = D n (y & gt- 0), D- = D n (y & lt- 0).
Справедлива следующая лемма:
1) Пусть функция u (x, y, 1), являясь решением уравнения
I |m I im 0 2 I |m Л л «//l4
sgn y y Ux + sgn x x Uyy -1 sgn xy|xy| u = 0, 1 е R, (4)
такова, что интеграл (2) допускает двухкратное дифференцирование по каждому из параметров
x, y, z. Тогда функция V (x, y, z), определяемая этим интегралом, является решением
уравнения (1) —
2) если функция V (x, y, z) есть решение уравнения (1), причем такое, что
lim V = lim Vz = 0
z ®±? z®±?
равномерно относительно (x, y) е D и интеграл (3) можно дифференцировать два раза по каждому из параметров x и y, то функция u (x, y- 1) из (3) удовлетворяет уравнению (4). Доказательство. Дифференцируя (2), найдем
m m m
0 = sgn y|y| V» + sgn x|x| Vyy + sgn xy|xy| Vzz °
i f ilz m m «2 I I m 1 j»
° J e [sgn y|y| u^ + sgn x|x| uyy -1 sgn xy|xy| uJ d1.
Отсюда следует справедливость первого утверждения леммы. Далее, из (3) имеем
m m m
0 = sgn y y uxx + sgn xx u -1 sgn xy|xy| u °
° 2p yymVxx + sgn xxmVyy — 12 sgn xyxyrV Jdz.
Проинтегрировав последнее слагаемое под знаком интеграла по частям и принимая во
внимание, что lim V = lim, Vz = 0, получим
z ®±? z®±
-p J sgn yymVxx + sgn xxmVyy — 12 sgn xyxymVzz ]?^dz = 0.
Отсюда следует справедливость второй части леммы.
Задача Дирихле. Найти решение u ° u (x, y- 1) уравнения (4) в области D, обладающее следующими свойствами:
1) u е С (D)
2) u е С1 (D) n С2 (D+ u D) за исключением, быть может, характеристик уравнения (4) —
3) удовлетворяет краевым условиям:
u (x, ?- 1) = y1 (x, 1), u (x,-a- 1) = y2 (x, 1), 0 & lt- x & lt- l, 1 е R,
u (y- 1) = 0, u (l, y- 1) = 0, — a & lt- y & lt- ?, 1 е R,
где
yj (x, 1 [y- (x, z) ei1zdz, j = 1,2- 1 е R. (5)
Таким образом, сопоставляя задачи Дирихле в областях W и D, видим, что доказательство существования решения задачи Дирихле в области для уравнения (1) сводится к доказательству разрешимости задачи Дирихле в области D для уравнения (4) при любом действительном значении параметра 1 е R.
Относительно граничных функций y 1 (x, 1) и y 2 (x, 1) предполагаем, что непериодические
функции y 1 (x, 1) и y 2 (x, 1) при фиксированных значениях 1 е R, полученные от y 1 (x, 1) и
y2 (x, 1) путем нечетного продолжения на отрезок [-1,0], а за тем на всю ось с периодом 2l,
являются трижды непрерывно дифференцируемыми на R при любом действительном значении параметра 1.
Обозначим через
i
am = U7П f t • /(t)jv (jm, ut) dt'
l jv+nJm, v! J 0
где V + -1 & gt- 0, JmV — корни функции Бесселя первого рода порядка V.
Справедлива следующая теорема.
Т е о р е м, а Гобсона [2]. Пусть:
1) / (t) произвольная функция, заданная на интервале (0, l) —
i
2) f4t/(t)dt существует и абсолютно сходится-
0
3) x — какая-нибудь внутренняя точка интервала (a, b), такого, что 0 & lt- а & lt- b & lt- l и /(t) имеет на нем ограниченное полное изменение.
Тогда ряд Фурье- Бесселя ^ a,^ (mu x)
m=1
сходится и сумма его равна 2 [f (x — 0) + f (x +0)]. Если /(0) = /(ld = 0, то сходимость имеет место в [0, l ].
Введем функцию:
еп (a i, p id ° Jap [jp (aim n (1))i — p (Am n (1)d+J- p (aim n (1))iP (pi m «(1))], где ai = 2p2pa, pi = 2p2tfP, mП (1 d=12 +1 е R, kn = Jp, n/(2p2pl), Jp, n -к°рни функции
Бесселя первого рода порядка p =.
Имеет место следующая основная теорема.
Т е о р е м а. Пусть:
1) постоянные величины a, p, l таковы, что для всех n е N и фиксированных значений
1 е R
En (a^ pi0-
2) функции y i (x, 1) и y 2 (x, 1) удовлетворяют условиям теоремы Г обсона при любом дей -ствительном значении параметра 1 е R —
3) для всех n =i, 2,3… и фиксированных значений 1 е R имеет место неравенство
inf V m n (1) I En (a^ p 11& gt-0.
n
Тогда существует единственное решение задачи Дирихле для уравнения (4) в области D, представимое в виде
/ ^ [u + (x, у- 1), если (x, у) е D +, 1 е R-
и (, у- 1 j = i
и — (x, у- 1), если (x, у) е D, 1 е R,
где
. + (. м"Ц, у) у ()+ N»
(у- Я) =? у 1″ (Я) + 1(^7 У 2п (Я [?Р, пI (6)
п=1
и — (, у-Я) =? [ЕпПетУ 1п (Я) +1ШюУ 2п (Я)Ух'-7Р [?рп 2Ф. I1 (7)
п=1
Мп (а1, у) = Л/аУ [1р (УV -р (а)+1-р (У)1р (а)] ^ (Ь1, у) = д/^У [1р (Д)1-р — - - р й кп (а1, у)=л/-ау [ (а)J-р (у)-1-р (а)1р (у)]п ], у)=4-ру [р (у)1_р () — - ()1р (Д у=2р2 $утп (Я а=а1тп (Я ь = Амп (Я)¦
Теорема доказывается методом разделения переменных с учетом свойств бесселевых функций [2]
Единственность и существование решения пространственной задачи Дирихле
Определение 1. Решением задачи Дирихле в области О для уравнения (1) класса? будем называть функцию У (х, у, ъ), определяемую формулой (2), в которой и (х, у- 1) является решением задачи Дирихле в области Б для уравнения (4) класса С (в)п С1 (В) п С2 (В + и В ~).
Т е о р е м, а 1. В классе? существует не более одного решения задачи Дирихле для уравнения (1) в области О, если У | Э = 0, где Э О — граница области О.
Доказательство. Пусть у1 (х, г) ° 0, у 2 (х, г) ° 0. Тогда из формул
следует, что уу (х, 1)° 0, у = 1,2,1 е Я. Следовательно, и (х, у- 1)° 0 в В и из вышеприведенной формулы получаем, что У ° 0 в О. Теорема доказана.
Определение 2. Функции у 1 (х, г), у 2 (х, г) принадлежат классу Q1, если:
1) они непрерывны в области своего определения («1 и 52 соответственно) — абсолютно интегрируемы по г при —? & lt- г & lt- +?, 0 & lt- х & lt- I- равномерно относительно х стремятся к нулю
при г ® ±?-
2) их преобразования Фурье
У і(х' 1) = тк І^і'- (z)elXzdz, j = 1,2
(8)
при 1 ® +? имеют оценки
Уі (x, 1) = O
y 2 (x, 1) = O
e & gt- 0.
Если функции Yj (x, z)є Q1, j = 1,2, то из формул (6) и (7) с учетом асимптотических
представлений бесселевых функций
4» 0) = 7= & gt- J±u (z) = VPi COS (z • f- - p)
и оценок (8) легко получаем оценку для функций u (x, y- 1) при 111 ® +?:
i (x, у- 1) = O
(x, у)є D,
которая обеспечивает существование интеграла (2).
Т е о р е м, а 2. Если ^ (х, ъ) е Qя ^ = 1,2), то существует единственное решение класса ?
задачи Дирихле в области О для уравнения (1).
Доказательство теоремы 2 следует из теоремы 1, леммы и формулы (5).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бицадзе А. В. Об одном трехмерном аналоге задачи Трикоми // Сибир. мат. журн. 1962. Т.3. Вып. 5.С. 642−644.
2. ВатсонГ.Н. Теория бесселевых функций. Ч.1. М.: ИЛ, 1949. 480 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой