Об одной задаче продолжения потенциального поля в непериодической модели

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 519. 6
DOI: 10. 20 310/1810−0198−2016−21−1-82−88
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ПОЛЯ В НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
© Е. Б. Ланеев, М. Н. Муратов, Н. С. Сибелев, А. В. Герасимова
Получено устойчивое решение задачи продолжения поля потенциала с неплоской поверхности в рамках непериодической модели.
Ключевые слова: некорректно поставленная задача- продолжение потенциального поля- метод регуляризации Тихонова.
В данной работе обратная задача потенциала [1] решается в рамках концепции регуля-ризованного [2] аналитического продолжения поля потенциала [3]. В отличие от работ [4], [5], [6], [7], использующих периодические модели [4], здесь рассматривается поле непериодического потенциала. Тем не менее, продолжение осуществляется с поверхности общего вида в пределах той же области, что и в [4] - цилиндре прямоугольного сечения, что позволяет, использовать разложения в ряды Фурье, удобные для приложений при численных рассчетах. Задача некорректно поставлена. Устойчивое решение строится с использованием метода регуляризации Тихонова [2]. Отметим, что в работе [3] продолжение осуществляется с плоской поверхности.
1. Постановка задачи
Рассмотрим в пространстве R3 потенциальное поле E, источники которого имеют плотность р с ограниченным носителем
rot E = 0, M е R3 (1)
div E = -4пр. (1
Если плотность р известна, поле E может быть найдено как градиент ньютонова объемного потенциала
E (M) = -V [ dVp = - [ Vm-p (P)dVp, M е R3.
J TMP J TMP
Suppp Suppp
Будем считать, что носитель плотности р располагается в бесконечном цилиндре прямоугольного сечения
Dx = {(x, y, z): 0 & lt-x & lt-lx, 0 & lt-y & lt-ly, -ж & lt- z & lt- то}.
Если построить нечетно-периодическое продолжение относительно Dx плотности р на все пространство R3, то соответствующее такой модели поле является решением задачи [5]
rot E (M) = 0, M е Dx, div E (M) = -4пр, [n, E]x=o, ix =0, [n, E]|y=o = 0, E ^ 0 при z ^
Пусть в области D^ задана поверхность S
S = {(x, y, z): 0 & lt-x<-lx, 0 & lt-y & lt-ly, z = F (x, y)} ,
F € C2, S П Suppp = 0. (3)
Будем считать, что поверхность S такова, что ее пересечение с боковыми гранями цилиндра D^ лежит на плоскости z = 0, то есть
F (0, у) = 0, F (lx, y) = 0, F (x, 0) = 0, F (x, ly) = 0.
Рассмотрим область
D (F, H) = {(x, y, z): 0 & lt-x & lt-lx, 0 & lt- y & lt- ly, H & lt-z<- F (x, y)} ,
где H такое, что носитель плотности находится вне рассматриваемой области D (F, H), а именно в области z& gt- H.
Предположим, что в рамках модели (2) плотность р неизвестна, а значение поля E на поверхности S задано в виде известной вектор-функции E0 = (EX, E^, E°)
E|s = E0.
Тогда в области D (F, H), то есть в области вне источников, плотность которых неизвестна, получаем задачу продолжения поля [5]
rot E (M) = 0, M € D (F, H), div E (M)=0,
E|S = E0, (4) [n, E] |x=o, i, =0, [n, E] |y=o, zy =0,
В [5] построено устойчивое решение задачи. Информация о плотности р может быть получена интерпретацией поля, полученного как решение задачи (4), при z = H, то есть вблизи носителя плотности.
Пусть теперь в рамках модели (1) плотность р неизвестна, а задано значение поля E на поверхности S
и на боковых гранях цилиндра D (F, H)
E|x=0,lx, y=0,ly = E
Тогда в области D (F, H), т. е. как и в задаче (4) в области вне источников, плотность которых неизвестна, получаем задачу продолжения поля в модели (1), т. е. в непериодической модели:
rot E (M) = 0, M € D (F, H), div E (M)=0,
E|S = E0, (5)
E|x=0,lx, y=0,ly = E
В отличие от задачи (4) в задаче (5) продолжения непериодического поля условия на боковых гранях цилиндра неоднородны. Функция E1, как и E0, предполагается известной.
Для компоненты поля Ez аналогично [5] получаем смешанную задачу, по сути — задачу Коши для уравнения Лапласа [8]
AEz (M)=0, M € D (H, F),
Ez ^ = E0,
E|s = E0.
QEz =! (QEx + dEy n =(F F 1) (6)
& quot-T- S = -[-. --+ ^^, n1 = (Fx, Fy, -1) ,
дп щ V dx dy J
Ez и=0,1х = Ez, Ez ^=0,1^ = Ez,
Задача продолжения (6) компоненты поля Ех с поверхности 5, также как и задача (5) некорректно поставлена.
Построим точное решение задачи (6).
2. Решение задачи в случае точно заданного поля Е0 и Е1
Рассмотрим функцию ф (М, Р) — функцию источника задачи
Ди (М) = р, М € Б™, их=о, 1х =0, иу=о, 1у =0, и ^ 0 при
т. е.
ф (м, Р) = --- + W (М, Р), 4пгмр
где W (М, Р) — гармоническая функция по Р.
Функцию источника можно получить [9] в виде ряда Фурье
оо # + тZM-zp
2 e У x y. ппхм. птум. -nxp. -myp ф{М, p) = -- -1 2 2-sm -i-sm---sin -- sin-i-, (7
-lxly n, m=l +T 1x 1y 1x 1y
или в виде суммы источников с периодом 2lx по х и 2ly по у
Ф (М, Р) = 4-? (--------- + -), (8
4- Vr1, nm r2, nm r3, nm r4, nm'-
n, m=-oo
где
ri, nm = [(хм — xp + 2lxn)2 + (ум — yp + 2lym)2 + (zm — zp)2]½ r2, nm = [(хм + xp + 2lxU)2 + (ум — yp + 2lym)2 + (zm — Zp)2]½ Гз, пт = [(хм — xp + 2lxu)2 + (ум + yp + 2lym)2 + (zm — Zp)2]½ Г4, пт = [(хм + xp + 2lxu)2 + (ум + yp + 2lym)2 + (zm — Zp)2]½.
Следуя работе [5] можно получить точное решение Ez задачи (6) в виде Ez (M) = vz (M) — '-^z (M) — Bz (M) =
? (Фz, nm (a)+ Bznm (a))eVf+?(zMsinM sin п_шу_M — $z (M) — Bz (M), (9)
xy
n, m=1 & quot-
где a& lt- min F (x, y), а функции Фz и Bz с учетом (7), (8), (3) имеют вид
(x, y)
Ix ^V
т0(т, А д W, T& amp-f — д
iz (М) = | J[E°x (xp, yp) дРФ (М, P)|pes + E0(xp, yp) дУрф (М, Р) р& amp-S+ о 0
+ E0(xp, yp)(ni, Vpф (М, P))|pgsjdxpdyp, (10)
Н 1х
В, (М)=/ / - Е (хр, 0, гр)
дф (М, Р)
о о
+
Е](0,ур, гр)
дур дф (М, Р)
у=о
+ Е (хр, 1у, гр)
дф (М, Р)
дхр
х=0
+ Е, (1х, ур, гр)
дур дф (М, Р)
у=1у-!
(1хр +
дхр
х-1Х
(ур (гр (11)
Фг, пт (а) и В, ппт (а) — коэффициенты Фурье функций Ф, и В,, в частности
1-х 1У
— 4 /* С ппх пшу
Фг, пт (а~) = - Ф,(х, у, а) 8П~- ЭШ --(х (у
1хЛу J J 1×1у
оо
Точное решение задачи (5), т. е. полный вектор Е, может быть получено на основе компоненты (9) с помощью двумерного преобразования Гильберта [10].
4. Решение задачи в случае приближенно заданного поля Е0 и Е1
Пусть теперь вместо точных вектор-функций Е0 и Е1 в задаче (6) известны функции Е0'-5 и Е1'-5 такие, что
||Е0,5 — Е°||Ь2(п (°)) & lt-8, ||Е15 — Е1^ & lt-5
1,5 T7. 1l
В этом случае функции Ф, вида (10) и В, вида (11) вычисляеются приближенно:
1-х 1У
Ф,(М) = Х- [ АЕX'-5(хр, ур) дхдрф (М, Р) Ыз + Е°/(хр, ур) ду-ф (М, Р)^^+
1×1у
О О
д_
дур'-
+ Е°/(хр, ур)(щ, Урф^Р^р^](хр (ур- (12)
У
Н I-
В5 (М) =
Е1/(хр, 0, гр)
дф (М, Р)
о о
+
Е1/ (0, ур, гр)
дур дф (М, Р)
+ Е,& quot- (хр Л, гр) дфМР1
у-0 дур
у=1у
(хр +
дхр
х=0
+ Е" (хур, гР) дф (М'-Р & gt-
дхр
х-1х
(ур (гр (13)
при этом устойчивое приближенное решение задачи (6) продолжение составляющей поля Ег с поверхности 5 может быть получено аналогично [5] с использованием метода регуляризации Тихонова [2] и имеет вид
У
Е'-(М) = V5 (М) — Ф, (М) — В (М) =
п 2 + т2
^ (Ф, пт (а)+ Щ, пт (а))е* '-Х 1у. ППхм. ПШум ^Гл^ г& gt-5,Л/Г^ (ллЛ
& gt- -!-!-,-2−2-8Ш --8Ш ---Ф, (М) — в5 (М), (14)
+ 1 Г (Н-а) 1×1у
1 + ае V? х ?у
^?Х + уг (, м-а)
л 2Я. /п2 + т2 (Н — а) 1х I
п, т=1 _. + У
где фz, nm (a) и B& amp-Znm (a) — коэффициенты Фурье функций B5Z|ща) и ФZ|щ") вида (12) и (13).
Сходимость приближенного решения (14) задачи (6) к точному решению (9) обеспечивает теорема
Теорема [5]. Для любого, а = а (5) & gt- 0 такого, что а (5) — 0 и 5/у/аЩ — 0 при 5 — 0 функция Ez, а вида (14) равномерно сходится к точному решению задачи (6) на любом замкнутом множестве в D (F, H).
Устойчивое приближенное решение задачи (5), то есть полный вектор Ea, может быть получено на основе компоненты (14) с помощью двумерного преобразования Гильберта [10].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Прилепко А. И. Обратные задачи теории потенциала // Матем. заметки. 1973. Т. 14. № 5. С. 755−767.
2. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
3. Тихонов А. Н., Гласко В. Б., Литвиненко О. К., Мелихов В. Р. О продолжени потенциала в сторону возмущающих масс на основе метода регуляризации // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1968. № 1. С. 30−48.
4. Ланеев Е. Б. О некоторых постановках задачи продолжения потенциального поля // Вестник РУДН. Серия Физика. 2000. № 8 (1). С. 21−28.
5. Ланеев Е. Б. Устойчивое решение одной некорректно поставленной краевой задачи для потенциального поля // Вестник РУДН. Серия Прикладная математика и информатика. 2000. № 1. С. 105−112.
6. Ланеев Е. Б. О погрешности периодической модели задаче продолжения потенциального поля // Вестник РУДН. Серия Физика. 2001. № 9 (1). С. 4−16.
7. Ланеев Е. Б. Об особенностях применения метода Фурье при численном решении задачи продолжения потенциального поля // Вестник РУДН. Серия Прикладная и компьютерная математика. 2002. № 1 (1). С. 8797.
8. Ланеев Е. Б., Васудеван Бхувана Об устойчивом решении одной смешанной задачи для уравнения Лапласа // Вестник РУДН. Серия Прикладная математика и информатика. 1999. № 1. С. 128−133.
9. Ланеев Е. Б. Некорректные задачи продолжения гармонических функций и потенциальных полей и методы их решения. М.: Изд-во РУДН, 2006. 139 с.
10 Ланеев Е. Б. Двумерный аналог преобразования Гильберта в задаче продолжения потенциального поля // Вестник РУДН. Серия Прикладная математика и информатика. 2001. № 1. С. 110−119.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 15−01−5 134).
Поступила в редакцию 15 декабря 2015 г.
Ланеев Евгений Борисович, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: elaneev@yandex. ru
Муратов Михаил Николаевич, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: finger@ramler. ru
Сибелев Никита Сергеевич, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, аспирант, кафедра нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: elaneev@yandex. ru
Герасимова Алена Валерьевна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, студент магистратуры кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: olena. gerasimova@gmail. com
2016. T. 21, Bbm. 1. MaTeMaTHKa
UDC 519. 6
DOI: 10. 20 310/1810−0198−2016−21−1-82−88
ON A PROBLEM OF CONTINUATION OF THE POTENTIAL FIELD
IN NON-PERIODIC MODELS
© E.B. Laneev, M.N. Muratov, N. S. Sibelev, A. V. Gerasimova
A stable solution to the problem of the continuation of potential fields with non-planar surfaces under non-periodic models was obtained.
Key words: ill-posed problem- linear inverse problem of the potential- method of Tikhonov regularization.
ACKNOWLEDGEMENTS: The present work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 15−01−5 134).
REFERENCES
1. Ppilepko A.I. Obpatnye zadachi teopii potenciala // Matem. zametki. 1973. T. 14. № 5. S. 755−767.
2. Tihonov A.N., Arsenin V. YA. Metody resheniya nekorrektnyh zadach. M.: Nauka, 1979. 288 c.
3. Tihonov A.N., Glasko V.B., Litvinenko O.K., Melihov V.R. O prodolzheni potenciala v storonu vozmushchayushchih mass na osnove metoda regulyarizacii // Izv. AN SSSR. Fizika Zemli. 1968. № 1. S. 30−48.
4. Laneev E.B. O nekotoryh postanovkah zadachi prodolzheniya potencial'-nogo polya // Vestnik RUDN. Seriya Fizika. 2000. № 8 (1). S. 21−28.
5. Laneev E.B. Ustojchivoe reshenie odnoj nekorrektno postavlennoj kraevoj zadachi dlya potencial'-nogo polya // Vestnik RUDN. Seriya Prikladnaya matematika i informatika. 2000. № 1. S. 105−112.
6. Laneev E.B. O pogreshnosti periodicheskoj modeli zadache prodolzheniya potencial'-nogo polya // Vestnik RUDN. Seriya Fizika. 2001. № 9 (1). S. 4−16.
7. Laneev E.B. Ob osobennostyah primeneniya metoda Fur'-e pri chislennom reshenii zadachi prodolzheniya potencial'-nogo polya // Vestnik RUDN. Seriya Prikladnaya i komp'-yuternaya matematika. 2002. № 1 (1). S. 87−97.
8. Laneev E.B., Vasudevan Bhuvana Ob ustojchivom reshenii odnoj smeshannoj zadachi dlya uravneniya Laplasa // Vestnik RUDN. Seriya Prikladnaya matematika i informatika. 1999. № 1. S. 128−133.
9. Laneev E.B. Nekorrektnye zadachi prodolzheniya garmonicheskih funkcij i potencial'-nyh polej i metody ih resheniya. M.: Izd-vo RUDN, 2006. 139 c.
10. Laneev E.B. Dvumernyj analog preobrazovaniya Gil'-berta v zadache prodolzheniya potencial'-nogo polya // Vestnik RUDN. Seriya Prikladnaya matematika i informatika. 2001. № 1. S. 110−119.
Received 15 December 2015.
Laneev Evgeniy Borisovich, Peoples'- Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: elaneev@yandex. ru
Muratov Mikhail Nikolaevich, Peoples'- Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: finger@ramler. ru
Sibelev Nikita Sergeevich, Peoples'- Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Post-graduate Student of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: elaneev@yandex. ru
Gerasimova Alyona Valer'-evna, Peoples'- Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, M. Sc. Student of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: olena. gerasimova@gmail. com
УДК 517
DOI: 10. 20 310/1810−0198−2016−21−1-88−95
НАКРЫВАЮЩИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ С ВЕКТОРНОЗНАЧНОЙ МЕТРИКОЙ
© Е. А. Плужникова
Предложено распространение понятий накрывания и метрической регулярности на отображения пространств с векторнозначной метрикой (под такой «метрикой» понимается функция со стандартными свойствами метрики, значениями которой являются элементы конуса линейного пространства). Получена теорема о точках совпадения накрывающего и липшицева (относительно векторнозначной метрики) отображений. Это утверждение является аналогом теоремы А. В. Арутюнова о точках совпадения. На примере исследования одного класса разностных уравнений в пространстве измеримых существенно ограниченных функций иллюстрируются некоторые приложения полученных результатов.
Ключевые слова: точки совпадения отображений- накрывающие отображения- метрически регулярные отображения- пространства с векторнозначной метрикой- итерации.
А. В. Арутюновым в [1]-[4] получены утверждения о существовании и свойствах точек совпадения накрывающего и липшицева отображений, действующих в метрических пространствах. Эти работы положили начало ряду исследований свойств множеств точек совпадения, приложениям результатов о накрывающих отображениях к неявным дифференциальным и интегральным уравнениям, задачам управления и др. (см., например, [5]-[7]). В работах [8]-[13] было предложено распространение понятия накрывания и теорем о точках совпадения на произведения метрических пространств.
Данная статья продолжает исследования [8]-[13]. Предлагается определение векторного аналога свойства накрывания (метрической регулярности) для отображений, действующих в пространствах с векторнозначной метрикой. Этим термином мы называем функцию со стандартными свойствами метрики, но значениями которой вместо неотрицательных чисел являются элементы конуса линейного пространства. Отображения в пространствах с вектор-нозначной метрикой оказываются полезными при исследовании конечных и бесконечных систем уравнений, в том числе, краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, интегральных уравнений относительно функций нескольких переменных.
Для метрического пространства X = (X, px) обозначаем через Вх (u, r) замкнутый шар {х € X: рх (x, u) ^ r} с центром в точке u € X радиуса r ^ 0.
Пусть X, Y — метрические пространства с метриками рх, Py ¦ Пусть заданы отображения Ф: X — Y, Ф: X — Y. Рассмотрим уравнение
Ф (х) = Ф (х). (1)
Решение этого уравнения называют точкой совпадения отображений Ф и Ф. Вопрос о существовании и свойствах точек совпадения исследован А. В. Арутюновым (см. [1]-[4]) в предположении, что отображение Ф является накрывающим, а Ф — липшицевым.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой