Об определении собственных и определенных функций дифференциальных операторов краевых задач изгиба тонких плит в рамках дискретно-континуальных постановок

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ВЕСТНИК МГСУ
2/2010
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ИЗГИБА ТОНКИХ ПЛИТ В РАМКАХ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ ПОСТАНОВОК
А. Б. Золотов, П. А. Акимов, В.Н. Сидоров
МГСУ
Рассматривается проблема определения собственных и присоединенных функций дифференциальных операторов краевых задач изгиба тонких плит в рамках дискрет-но-континуалъных постановок.
Eigen functions and adjoined functions of boundary problems of plate analysis in terms of discrete-continual formulations are under consideration in the distinctive paper.
Проблема определения присоединенных функций дифференциальных операторов краевых задач расчета строительных конструкций возникает при решении соответствующих задач при помощи дискретно-континуального методов [2]. На этапе дискретной реализации это выражается в необходимости нахождения корневых векторов матрицы коэффициентов разрешающей системы дифференциальных уравнений. Несмотря на то, что в настоящее время не существует численно устойчивого алгоритма их определения, в [2] предложен специальный подход, учитывающий специфику строительных задач. Тем не менее, для качественного анализа результатов расчета и их наглядного аналитического представления задача определения собственных и присоединенных функций указанных дифференциальных операторов, соответствующих нулевым собственным значениям, представляет несомненный интерес. Исследованиями в данной области занимались А. Г. Костюченко [6−8], М. Б. Оразов [6−7], A.M. Гомилко [1−2], A.A. Шкаликов [8−13], A.B. Шкред [14−15] и другие. Следует отметить, что настоящая статья является идейным продолжением работы [3].
1. Об используемых обозначениях. Будем использовать ниже следующие обозначения: Q — область, занимаемая конструкцией с границей Г = дО. — - расширенная область, окаймляющая исходную- в — характеристическая функция области Q — Sr — дельта-функция границы Г = дО. — xl, x2 — используемые координаты- w -прогиб плиты- D = Eh3 /[12(1 -v2)] - цилиндрическая жесткость плиты- h — толщина плиты- v — коэффициент Пуассона материала плиты- q — плотность нагрузки- Q, Ml, M2 — поперечная сила и крутящие моменты на границе плиты- дk =д / dxk, k = 1,2.
2. Постановка задачи. Пусть физико-геометрические характеристики плиты остаются неизменными вдоль переменной x2 (основное направление). Тогда операторная постановка задачи в рамках дискретно-континуального подхода может быть представлена в следующем виде [4−5]: _
U& quot- = LU + F ,
0 E
w ff~ w tf
где U = - U & quot- = dU = - L =
v v
La L LA L
'-42 2 и
'- 0 & quot-
— F =
L F _
L4 =0D — L2 =-[d-eDv + 2ojeD (1-v)oj +Ж& lt-]- L0 = +6c —
(1) (2) (3)
2/2010
ВЕСТНИК _МГСУ
Р = 0} -5Ге -д,(ЗгИ,) -52(5ГМ2) — (4)
Е — тождественный оператор.
Итак, требуется вычислить собственные и присоединенные функции оператора (2), соответствующие нулевым собственным значениям.
3. Понятие о собственном значении, собственной и присоединенной функциях оператора. Скалярная величина, А называется собственным значением оператора Ь, а векторная ненулевая функция й& lt-0) = й& lt-0)(х1) соответствующей собственной функцией, если они связаны уравнением:
(5)
(6)
Ь й& lt-°>- = Ай (0) или (Ь — АЕ) й (0) = 0, где й (0) = [ м (0 Для случая, А = 0, переписываем (5) в следующем виде:
. (0) -. т
]т.

0 Е
ь-Ь Ь--Ь2
Векторная ненулевая функция й (к'- = й{к'-(х1) называется присоединенной функцией высотой к для собственного значения, А оператора Ь, если существует набор натуральных чисел ^ такой, что
(Ь-АЕ)'-ык) = 0, ^ = 1,2,…, к — (~-АЕ)'-+1йт Ф 0. (7)
В частности, при, А = 0 будем иметь:
Ькм (к) = 0
(0 Е ^ к (к) у
V _ Г1 Г, Г1 ь2 _ У -(к) V '- 0
где й (к) = [ м{к) V (к) ]т. (8)
4. Рекуррентные соотношения. Присоединенная функция высоты к +1 оператора Ь, й (к+1) = й& lt-к+1)(х1), соответствующая собственному значению, А связана с предыдущей присоединенной функцией й (к) = й (к)(х1) высоты к той же цепочки рекуррентным соотношением
(~ -АЕ)й (к+1) = й (к), к = 0,1,…, шк, (9)
при этом в общем случае величина шк может не быть конечной.
Соответственно, принимая во внимание (2) и равенство нулю, А ,
0 Е
или
Г1 Г Г1 Г
4 0 4 2
(к+1) м& gt- 1
,(к+1)
(к)
м
(к)
0 1 (к) & quot- 0 1 & quot- & quot-м (к+1)"- м (к) & quot-
откуда у ХР V (к+1) (к) или «Р_ V (к+1). г (к).
(10) (11)
где, а = Ьй- Р = Ь2- у = Ьл. (12)
На основании уравнений системы (11) можем получить формулы, лежащие в основе предлагаемого подхода определения собственных и присоединенных функций оператора
Ь (здесь доопределяется, что м (~2) = = 0):
аж (к) = -р™(к+ уМ
Лк-2)
к = 0,1,
5. Вспомогательная задача. Рассмотрим вспомогательную задачу вида: '- а47 / ах4 = Р, X е (0,1) а3у / ах3 = /0, х = 0- - а3у / ах3 =, х = I а2у / ах2 = ?0, х = 0- - а2у / ах2 =, х = /,
(13)
(14)
ш
к
(к) (к-1) V '- = м '-
ВЕСТНИК 2/2010
где у = у (х) — искомая функция- р — Р (х) — функция правых частей- /0, /1, g0, — заданные правые части граничных условий.
Можно показать [4−5], что соответствующая операторная постановка имеет вид:
а 2 а2
^Г^ у = / (х), (15)
ах ах
где Р (х) = Р (х) + /вб (х) — /, 8(х -/) + gвS'-(х) — glS'-(х -/) — (16)
с& gt-(х) — дельта-функция Дирака- ?'-(х) = а8(х)/ах — д'-(х -/) = а3(х -/)/ах. Условия разрешимости задачи записываются следующим образом:
|Р (х)ах = 0- |[ х--)р (х)ск = 0. (17)
0 0 V 2)
Последовательно интегрируя (22) по х, определяя из граничных условий константы, пользуясь формулой Коши, получаем выражение для решения задачи (21):
у = 6 |(х — ?)3Р (№ + 6/0х! -1/ (х — 01 + -2goх+2 — 2gl (х -1)1 + Сх + С2, (18)
где х+ = х • х (х) — х (х) — функция Хэвисайда.
6. Определение собственных функций. Очевидно, что у'-00) = у (0) = 0 и [51у]00) = [51у](0) = 0. На основании (12), (13) и формулы
Ь2у = -2двГ& gt-у + (2 -у)Г& gt-8'-{х)у, — (2 — у) Б5'-(х — !)у1 + 8(х)Бп& gt-'-0 — 5(х -/)Бы'-, (19) определяем две собственные функции оператора Ь:
й?& gt- = [ у®]г, где и/0) = С^- у-0) = 0- (20)
и2(0) = [ & lt->-, где & lt->- = С20дх1 + С20,0- = 0, (21)
где С100 Ф 0, С200 — любое, С201 Ф 0 — произвольные постоянные. В частности, из соображений симметрии и условий нормирования можем принять:
С00 = 1/л/7- С20д =) — С2°, 0 =-43/4~1. (22)
7. Формулы построения собственных и присоединенных функций. Преобразовывая первое соотношение (13) к виду
5Ж^'- = Да& gt-<-м) +Р2д'-(x1)w (н)(0)-р2д'-(хх -/Vн)(/) + (23)
+дедзум)](0)-ръ5(хх — /)[зум)](/) + ()
где Д = 2г- рг =-(2-у) — Д =-у, (24)
и принимая за основу данные, полученные из решения вспомогательной задачи, находим окончательную формулу построения собственных и присоединенных функций:
х1 1×1 н/к& gt- = Д |(х1 + -6 |(х1 -?)3
0 60 + 2 Л (х0! ^& gt-(0) — |д (х — о: ^к-1) + к = 0,1,…, тк (25)
+1 АМ^ДО) — 1Дз (х1 — /)1[51^(к-1)](/) + Сх + С2-
6 2
/к & gt- =
8. Условия разрешимости. Согласно (17), (19) условия разрешимости имеют вид: /
|^(к-2)ох1 +д{[аук-1)](0) — [аум)](/)} = 0, к = 0,1,…, тк- (26)
2/2010 ВЕСТНИК
_МГСУ
w («& gt-dxx + x-dx, -h (A + A){[^iw& lt-M)](0) + (27)
+ [51w (i-1)](/)] + (Д + A){w (M)(0) — w (M)(/)} = 0, k = 0,1,…, mk. Отметим, что для k = 0 условия (26)-(27) удовлетворяются тождественно, при этом принимается, что w (= w4 = 0 — w{~2) = w21) = 0.
9. Построение присоединенных функций. Руководствуясь (13), (25)-(27) устанавливаем, что высота первой цепочки присоединенных функций равна единице, т. е. m1 = 1, а высота второй цепочки равна нулю, т. е. m2 = 0.
Присоединенная функция первой цепочки определяется формулами:
й™ = [ w (1) v (i)]T, (28)
где wf = -2 С°0(Д +А) x2 + С^X1 + C-, 0- v» = C°0- (29)
C100 Ф 0, C111, C10 — произвольные постоянные. В частности, из соображений симметрии и условий нормирования можем принять:
С С1 = ?(W* +А)2 — С1,0 f0Km +А)2. (30)
Замечания. Исследования проводились в рамках следующих работ:
1. Грант МД-4641. 2009.8 Президента Российской Федерации для государственной поддержки научных исследований молодых российских ученых-докторов наук «Разработка и развитие корректных дискретно-континуальных методов статического и динамического расчета строительных конструкций, зданий и сооружений на основе построения точных аналитических решений многоточечных краевых задач строительной механики» на 2009−2010 гг. -
2. Грант № 09−08−13 697 Российского фонда фундаментальных исследований «Разработка, исследование и развитие корректных численно-аналитических методов расчета строительных конструкций, зданий и сооружений регулярной структуры» на 20 092 010 гг. -
3. НИР «Разработка теории и алгоритмов построения корректных аналитических решателей многоточечных краевых задач применительно к расчетам строительных конструкций», выполняемой по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009−2010 годы)» (регистрационный номер: 2.1. 2/6414) —
4. Грант НШ-8684. 2010.8 Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации «Многоуровневые численные, аналитические и экспериментальные методы исследования прочности зданий и сооружений с учетом конструктивных и физических особенностей» на 2010−2011 гг.
Литература
1. Гомилко A.M. Некоторые вопросы спектральной теории операторов и квадратичных пучков операторов и их приложения: Дис. на соиск. уч. ст. канд. физ. -мат. наук: М.: МГУ, 1982.
2. Гомилко A.M. О спектре, примыкающем к вещественной оси, в одной задаче теории упругости. // Функциональный анализ и его приложения, 1982, т. 16, вып. 1, с. 70−71.
ВЕСТНИК 2/2010
3. Золотов А. Б., Акимов П. А., Сидоров В. Н. Об определении собственных и присоединенных функций дифференциальных операторов краевых задач теории упругости в рамках дискретно-континуальных постановок. // Вестник МГСУ, № 1, 2010, с. 150−154.
4. Золотов А. Б., Акимов П. А., Сидоров В. Н., Мозгалева М. Л. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений. — М.: Издательство «Архитектура — С», 2010. — 336 с.
5. Золотов А. Б., Акимов П. А., Сидоров В. Н., Мозгалева М. Л. Численные и аналитические методы расчета строительных конструкций. — М.: Издательство АСВ, 2009. — 336 с.
6. Костюченко А. Г., Оразов М. Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки. // Труды семинара им. И. Г. Петровского. Т. 6. М.: Издательство МГУ, 1981. с. 97−146.
7. Костюченко А. Г., Оразов М. Б. О некоторых свойствах корней самосопряженного квадратичного пучка. // Функциональный анализ и его приложения, 1975, т. 9, вып. 4, с. 28−40.
8. Костюченко А. Г., Шкаликов А. А. Самосопряженные квадратичные пучки операторов и эллиптические задачи. // Функциональный анализ и его приложения, 1983, т. 17, № 2, с. 38−61.
9. Шкаликов А. А. Задача об установившихся колебаниях трансверсально изотропного полуцилиндра со свободной границей. // Функциональный анализ и его приложения, 1991, т. 17, № 2, с. 86−89.
10. Шкаликов А. А. К спектральной теории пучков операторов и разрешимости операторно-дифференциальных уравнений: Дис. на соискание уч. ст. докт. физ. -матем. наук. М.: МГУ, 1985.
11. Шкаликов А. А. Некоторые вопросы теории полиномиальных операторных пучков. — УМН, 1983, т. 38, № 3.
12. Шкаликов А. А. Эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве и спектральные задачи, связанные с ними. // Труды семинара им. И. Г. Петровского. Т. 14. М.: Издательство МГУ, 1989. с. 140−224.
13. Шкаликов А. А., Шкред А. В. Задача об установившихся колебаниях трансверсально-изотропного полуцилиндра. // Математический сборник, 1991, т. 182, № 3, с. 1222−1246.
14. Шкред А. В. Задача о колебаниях упругого трансверсально-изотропного полуцилиндра // УМН, 1989, т. 44, № 5, с. 183−184.
15. Шкред А. В. О линеаризации спектральных задач с параметром в граничном условии и свойствах производных цепочек М. В. Келдыша // Математические заметки, 1989, т. 46, № 4, с. 99−109.
Ключевые слова: дискретно-континуальные методы, расчеты строительных конструкций, изгиб тонких плит, краевая задача, собственное значение, собственная функция, присоединенная функция.
Keywords: discrete-continual methods, structural analysis, plate analysis, boundary problem, eigen functions, adjoined functions
Рецензент: Андреев Владимир Игоревич, доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН (ГОУ ВПО МГСУ).
Адреса электронной почты авторов: pavel. akimov@gmail. com, sidorov. vladimir@gmail. com

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой