Об оптимальности метода установления

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ОБ ОПТИМАЛЬНОСТИ МЕТОДА УСТАНОВЛЕНИЯ *
В. П. Танана, Е.В. Худышкина
Доказывается оптимальность по порядку метода установления для решения операторных уравнений первого рода с линейным вполне непрерывным оператором. Параметр регуляризации выбирается по невязке.
1. Введение
Пусть Н- сепарабельное гильбертово пространство, А- линейный вполне непрерывный оператор, отображающий Н в Н такой, что Л (А) = II. Н (А*) = Н и ЦАЦ & gt- 1. Рассмотрим операторное уравнение первого рода
Предположим, что при / = /о существует точное решение щеН уравнения (1), но /о неизвестно. Задано его приближение Н и уровень погрешности 8 & gt- 0 такие, что Ц/г — /о|| & lt-5- Требуется построить приближенное решение и$ уравнения (1) такое, что и$ -& gt-• щ при? -& gt-• 0. Применим к обеим частям уравнения (1) оператор А* и будем рассматривать уравнение
где обозначим А* А = А]_.
2. Метод установления.
Метод установления [5] заключается в сведении задачи нахождения приближенного решения уравнения (2) к задаче Коши для уравнения
Ли = /- и,/'(II.
(1)
А*Аи = А* и,
(2)
— + Л* Ли — .1 *,/'). и|& lt-=0 — 0. т
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант Л*4 01−01−300).
Так как для оператора, А выполнены все условия теоремы Гильберта-ТТТмидта [3], то существует полная ортонормированная система {е"} собственных векторов оператора Ai, соответствующих собственным значениям Х2п. Решение уравнения (3) может быть представлено в виде
ОО
u (t) = - е_А& quot-*)е", (4)
п=1 п
где сп = (A*fg, en), Из (4) видно, что V/0 = Аи$ u (t) -& gt-• и$ при t -& gt-•
оо, Таким образом, задача (3) порождает регуляризующее семейство
операторов {Rt: t & gt- 0}, Параметр регуляризации t будем выбирать по принципу невязки [1], то есть из условия
\Aus (t)-fs\2 = 9\A\2S2, (5)
где us (t) = Rtfs-
Лемма 1. При условии ||/, 51| & gt- 3||А||5 существует единственное значение t = Щ, удовлетворяющее принципу невязки (5).
Доказательство. Рассмотрим функцию \Au$(t) — f$\2 = (p (t). Имеем Rt = Ж А*. Для оператора, А существует полярное разложение [4]
А = QB,
где В = А12. Здесь Q — унитарный оператор, i.e. Q* = Q 1. Таким образом,
Aus (t) — fs = QBRtA*fs -fs = QHIuHQ — fs = = Q (B2RtQ-lfs — Q-lfs) = QiAjkfs — fs), где fg = Q_1fs- Откуда & lt-p{t) = ||QiAjitfs — fs)\2 = \AiRtfs — fs\2 =
oo oo
= & lt-T, fn = ІІЛІІ2 = Wfsf & lt- oo,
71 = 1 71= 1
л 22 где fn = (fg, en). Так как для любого п функция еГ2Хпі fn непрерывна
по t и W & gt- 0
e-^fn2 & lt- їй& quot-,
а ряд
ОО
ХЖ = н/*н2
п=1
сходится, то по признаку Вейерштрасса ряд
ОО
= X/'- (6)
П= 1
сходится равномерно на [0,оо) и непрерывна при? е[0, оо). Продифференцируем почленно ряд (6), Тогда ряд из производных
ОО
-2 ^ А *е-2А-'/"2
п=1
состоит из непрерывных слагаемых и сходится равномерно на [0, оо). Поэтому
ОО
?& gt-'-(*) = -2 Е Л"^2А5'/"2 & lt- 0, (7)
п= 1
значит у& gt-(?) — строго убывающая непрерывная функция. Из равномерной сходимости ряда (6) следует, что -& gt-• 0 при t -4- оо и у& gt-(?) -& gt-• \fsl2 при ?-& gt-•(). Таким образом, решение уравнения (5) существует и единственно, ?
3. Оценка погрешности метода установления
Рассмотрим множество Мг = А^2БГ, где р & gt- О, Бг = {г: ||т-|| & lt- г}. Методом решения [6] поставленной задачи будем называть любое отображение Т с областью определения П (Т) = Н и областью значений /& gt-'('/'-) С II. а количественную характеристику, А (Г) его точности определим формулой
Д (Т) = вир{||гл0 — ТII: и0еМг, ||/г — Аи0|| & lt- 6}.
Определение 1. Метод Гор& lt- будем называть оптимальным на классе Л/,. если Д (Тор& lt-) = Дор4, где Дор& lt- = тГ{Д (Т): 1(1(11. //)}•. о Т (Н, Н)-множество всех методов.
Определение 2. Метод Т назовем оптимальным по порядку на классе Л /,. если существует величина I та, кая, что АТ & lt- 1Аорг.
Для оценки величины Дор& lt- будем использовать модуль непрерывности [2] в нуле обратного оператора
и& gt-(т, г) = эир{||гг||: и& lt- Л/,. ||Аи|| & lt- т].
Данная функция является непрерывной. Она не убывает по т, г при
условии т & lt- \АВ\г, и Ук & gt- 1 выполяется неравенство ш (кт, кг) & lt-
ки& gt-(т, г). Кроме того, Аор1 & gt- ш (6,г).
Оценим погрешность А (Кщ) метода установления Кщ, определяемого формулами (4),(5). Пусть? & gt- 0, а щ (?) = тогда при
условии, что щеМг
1М^) — щ\ & lt- Аг (*) + АгС*, 5), (8)
где
Д^) = вир{11г*о — ЩАщ\: щеМг}, (9)
А2Ц, 6) = ||Д*||5. (10)
Оценим величины Дг (^) и Дг (?, 6).
Лемма 2. При сформулированных выше условиях на операторы, А и В4 справедлива оценка
т & lt- ща\.
Доказательство. Из (4) следует, что
оо 2 00
I/"% I2 = -р^ д'-- (1 — е-А"4)2: & lt- 1И1ГК
п=1 п п=1
а при t & gt- 0
зир{ -т-г- (1 — е~*): X & gt- 0} & lt- t,
К
то
М& lt-ф4||. (п)
?
Лемма 3. При сформулированных выше условиях на операторы, А и Rt и класс равномерной регуляризации Мг справедлива оценка
Ai (t) & lt- г (-)р/2Гр/2. (12)
Доказательство. Из формул (4) и (9) получим
оо
RtAu0 — щ = RtA*Ащ — щ = КгАр/2+1у0 — A{/2v0 = - ^ Д'-& gt-- Х- /'-'-/*& lt- /*•
П= 1
где vn = (v$, en). Так как
ТР! УЛ
sup — = (-)Р,
х& gt-0 е е
то
д?(*& gt- =
71= 1
откуда и следует утверждение леммы, ?
Пусть t выбрано из условия Дх (?) = А2^, 5), то есть
ад ^ & lt-13'
Для метода установления Лцв) справедлива оценка погрешности
Д (%") & lt- Щ\А\6 + т (^у1г[Щ}~г1г,
откуда с учётом (13) следует существование величины 12 & gt- 0 такой, что
А (Пщ) & lt- 12г^+*5^+2.
Так как в нашем случае
и)(6, г) = гр+2(5р+2, (14)
то метод установления Ящ с параметром 1(5) оптимален по порядку на классе Мг и
А (Нт) ~ш (5,г).
Оценим невязку ||Аи$^(6)) — /г|| приближенного решения
щ (Цё)) =
Для этого заметим, что
1И^(5)) — 1в\ & lt-6+\АЕшф — /о|| + \АНт/0 — АНт/6|. (15)
Лемма 4. Если 1,(6) определено формулой (13), то
\АЩ{6ф — АЩ{6ф\ & lt- 8.
Доказательство. Имеем
АПт/0 — АПти = ЛЛад (/" - /5) = 6АПт7 =
= & amp-с1внтвсг4 = бдвщт/, где 7 = 11 711 & lt- 1. / = Я~Ч- Тогда
тятМП? = & lt->-11 Е (1 — ^Л5')/"е"||2 = - е-л-')2Й
2 & gt- П ?
п=1 п=1
где /" = (/, еп). Таким образом, так как 1 — е А" & lt- 1 и ||/|| & lt- 1, то \АКщ/0 — АПщ/з\ & lt- 6, что и доказывает утверждение леммы. ?
Лемма 5. Если и0еМг, а 1,(6) определено формулой (13), то
\АНт/0^М& lt-5\А\.
Доказательство. Имеем
АП{($) /о — /о = ащ^а*/0-/о = двятвд-1двА^%^двА^^й
б'-у
__ р+3 р+1
Я (Щд)АI2 Щ^А12 По),
где /о =. Ь/о =. 1. 1/|'--2/о. В = Ар/2. Откуда
^(НщА^ ^)0-А12 va)\2 = \^?^(1-еГх^пеп-^рп+1?)пе & quot-2
п=1 п п=1
P+l, v+1 1
71 = 1
так как
жр+1 р+1 +i
sup -- = (---------)р+.
х& gt-0 6 в
Таким образом, \АПщ/0 — /0|| & lt- r (p^±)E^~ir~г1. Подставив в это выражение t (S), определённое формулой (13), получим утверждение леммы, ?
Из условия ЦАЦ & gt- 1, формулы (15) и лемм 4 и 5 следует, что
||Aus (t (6)) — fs|| & lt- 3||А||5. (16)
Лемма 6. Пусть значения параметров i (8) и t (6) определены формулами (5) и (13) соответственно, а Ц/^Ц & gt- 3||А||5. Тогда i (5) & lt- t (6).
Доказательство. Пусть u§(i) = Rtfs, a \Au$(t) — f$\2 = (p (t), Выше показано, что
ОО
?/(& lt-) = -2^л2е-2Л.!. '/2(г) & lt-о,
п= 1
Vi & gt- 0, значит функция ip (t) строго убывает. Так как из формул (5) и (16) следует, что & lt-p (i (6)) & lt- & lt-p (t (6)) = 9||А||252, то t (S) & lt- i (S), что и доказывает лемму, ?
Лемма 7. Пусть и0еМг, а Ц/^Ц & gt- 3||А||5. Тогда существует число h & gt- 0 такое, что
||ий (*(5)) — м0|| & lt- г).
Доказательство. Обозначим и$([(5)) = Rt (g)fo = Rt (6)A*fo- Тогда
00 r°
uQ (t (S)) =2 -|(1 — e_A"*w)e",
n=l n
где c° = (A*f0,en). Так как ЦАиД^б)) — fg|| = 3||A||5, a ||Aus (i (S)) — Auom)\2 = \ARmfs — ARmf01|2 = 52|ИДад/||2 =
= S2\QBRmBQ-lfY = бЦКщАгД2 = S2^(1 — е~хЩ2% & lt- S2,
П = 1
то, используя формулу (16), получим
IIAu0(i (S)) — fs\ & lt- 4ЦАЦ5,
откуда
\Auo (t (5)) — Ащ\ & lt- 5||A||5, (17)
Обозначим v0(i (S)) = A^p^2u0(i (S)). Тогда, используя /0 = AA^2vо, получим
|Ы^))Ц2 = \A-p/2Rmf0\2 = II A-p/2R-mBQ-lQBAp/2v0\2 =
OO
= \Ri (s)AiVo\2 = Jj-1 «& lt- Л
n= 1
где r» = (& gt-o. («). так как Vn |l^e_A"*^ | & lt- 1, a ||wo|| & lt- г. Таким образом,
ытп & lt-r. (is)
Из (7) и (18) имеем
||uo (t (5)) — м0|| & lt- w (5||A||5, 2r),
Из формулы (8) и леммы 6 получаем
||^(t (5)) — uo (t (5))|| & lt- t (5)||A||5 & lt- f (5)||A||5,
Тогда точность рассматриваемого метода характеризуется величиной
Д (Дад) = ||м#(5)) — м0|| & lt- (||^||^(^~) + 5||А||)ш (5,г).
?
Теорема 1. Метод установления R^g) с параметром регуляризации i (S), выбранным по невязке, оптимален по порядку на классе решений Л /,. а его точность характеризуется величиной
A (Rt (6)) & lt- (1И11Р+2 2е)
Список литературы
1. Иванов В. К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1966. Т. 6, № 6. С. 1089−1094. '-
2. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М.: Наука, 1978.
3. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.
4. Менихес Л. Д., Танана В. П. Конечномерная аппроксимация в методе М. М. Лаврентьева // Сиб. журн. вычисл. математики. 1998. Т. 1, № 1. С. 59−66.
5. Морозов В. А. О регуляризующих семействах операторов //Вычисл. методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1967. С. 63−93.
6. Танана В. П. О классификации некорректно поставленных задач и оптимальных методах их решения // Изв. вузов. Математика. 1977. № 11. С. 106−112.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой