Об ортоподобных системах разложения в пространстве аналитических функций и задаче описания сопряженного пространства

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ISSN 2074−1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 1 (2011). С. 31−42.
УДК 517. 5
ОБ ОРТОПОДОБНЫХ СИСТЕМАХ РАЗЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВБ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ЗАДАЧЕ ОПИСАНИЯ СОПРЯЖЕННОГО ПРОСТРАНСТВА
В.В. НАПАЛКОВ (МЛ.)
Аннотация. В гильбертовых пространствах аналитических функций мы изучаем ортоподобные системы разложения. Доказано, что система воспроизводящих ядер {Кн (?, t)}teG является ортоподобной системой разложения с мерой у в гильбертовом пространстве аналитических функций Н тогда и только тогда, когда пространство Н есть пространство Б2(С, ц). В работе рассмотрена задача об описании сопряженного пространства к гильбертову пространству аналитических функций Б2(С, ц) в терминах преобразования Гильберта. Доказано, что эта задача сводится к вопросу существования в пространстве Б2(С, ц) специальной ортоподобной системы разложения. Также доказано, что пространство Б2(С, у) — это единственное пространство с воспроизводящим ядром, состоящее из функций, заданных в области СС, в котором система {(х-(,)2 }?eG есть ортоподобная система разложения с мерой у.
Ключевые слова: пространство Бергмана, гильбертовы пространства, воспроизводящее ядро, ортоподобные системы разложения, преобразование Гильберта.
1. Введение
Пусть О — односвязная область в С и ^ - неотрицательная борелевская мера на О. Через В2(О,^) обозначим пространство голоморфных в О функций, для которых
II/ 1И2(ЗД = / I/(?)12Ф (?) & lt- т. е.
За
На меру ^ наложим условие, чтобы пространство В2(О,^) было гильбертовым, то есть чтобы пространство В2(О,^) с нормой || • ||в2(а,^) было полным.
Скалярное произведение в пространстве В2 (О,^) имеет вид:
(Л#)в2& amp-,") = /(г) ¦ д (г) ^(г).
J G
Дополнительно потребуем, чтобы система функций {(з-^)2, С? СС) была полна в пространстве Б2(0,^).
Замечание. Мы не требуем сепарабельности пространства Б2(0,^). Подробное изложение теории несепарабельных гильбертовых пространств можно найти в [1], [2].
V.V. Napalkoy (Jr.), On orthosimilar systems in a space of analytical functions and the problem of describing the dual space.
© Напалков В. В. (мл.) 2011.
Поступила 17 января 2011 г.
ЗІ
Каждому линейному непрерывному функционалу f * на В2(0,ц), порожденному функцией f Е В2(С, ^), поставим в соответствие функцию:
def ?* (1 А / 1 ?/-,\ I 1
/© =f f * ((Z-)2) = (, f (z))b2(g, m) = J f (z) • (z —)2 d^{z), С G CG.
Определение 1. Функция f называется преобразованием Гильберта функционала, порожденного функцией f G B2(G,^).
В силу полноты системы функций {(z_1g)2, С G CG} в пространстве B2(G,^,) отображение f * ^ f инъективно. Совокупность функций f образует пространство
{/: 7© = ((Z_)2, f (z)Ыад} 006 B2(G,^),
в котором мы рассматриваем наведенную структуру гильбертова пространства, то есть
(I'-,^9)b2(g^ == (g, f) b2(g, m)
и
ll/ll B2 (G,^) = llf lB2(G, M).
В этой работе мы изучаем вопрос: когда в пространстве B2(G, ц) можно ввести норму вида
|/(С)|2 dv (с),
l€G
где v — неотрицательная мера на CG, эквивалентную наведенной норме ||/||_§ 2(gm)? Более подробно, существует ли неотрицательная борелевская мера v в CG и постоянные A1, A2 & gt- 0 такие, что выполняются соотношения
Ai||/|Ib2(G,) & lt- ll/ll & lt- A2|/Hb2(G, m), f G B2(G, m)?
Тем самым мы рассматриваем задачу об описании сопряженного к B2(G, ц) пространства в терминах преобразования Гильберта.
Задачи об описании сопряженного к различным пространствам аналитических функций в терминах преобразования Коши, Гильберта, Фурье-Лапласа рассматривались ранее в работах многих авторов. Мы отметим здесь лишь наиболее близкие к теме данной статьи работы [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] и др.
2. Вспомогательные сведения
Определение 2. (см. [10]) Пусть H — гильбертово пространство над полем R или C, а Q — пространство со счетно аддитивной мерой ^ (см. [15], c. 109−116) Система элементов {вш}^еп называется ортоподобной (подобной ортогональной) системой разложения в H с мерой, если любой элемент у G H представляется в виде:
У = (у, еш) неш d^(u),
JQ
где интеграл понимается как собственный или несобственный интеграл Лебега от функции со значениями в H, причем в последнем случае есть такое исчерпывание {Пк}?=1 пространства Q (все Qk измеримы по мере, Qk С Пк+1 для k G N и (J^=1 QK =, быть может, зависящее от у и называемое подходящим для у, что функция (у, вш) н • вш интегрируема по Лебегу на Qk и
У = (у, еш) неш d^(u) = lim (L) (у, вш) неш d^(u).
Jn Jnk
Примеры:
1. Любой ортогональный базис {е^}^=1 С Н в произвольном гильбертовом пространстве Н является ортоподобной системой разложения- любой элемент у Є Н может быть представлен в виде:
ГО
у = ^2(у,Єк)бк ¦ к = 1
Здесь в качестве П можно взять множество N, а в качестве меры ^ считающую меру, т. е. мера множества из N есть количество различных натуральных чисел, попавших в это множество.
2. Пусть Н гильбертово пространство, Н1 -подпространство Н, а Р -оператор ортогонального проектирования элементов из Н на Н1. Пусть {вк}?=1 С Н — ортогональный базис в Н. Тогда система элементов {Р (вк)}^=1 С Н1 будет ортоподобной системой разложения в Н1. (см. [10], теорема 9). Заметим, что если {вк}?=1 ортогональный базис в Н, то система {Р (вк)}?=1, вообще говоря, не будет ортогональным базисом в
Н1.
3. Пусть Н = Ь2(К). Функция ф Є Ь2(К), ||ф|І?2(м) = 1. Система вейвлетов Морле
фа, ъ (х) = ~г= Ф (^^г), а Є м{0}, Ь Є К является ортоподобной системой разложе-
V |а|
ния в пространстве Ь2(К) — любая функция и Є Ь2 (К) может быть представлена в виде:
г г вЬва
f (х)= и (т), фа, Ъ (т))Ь2(Ж)фа, Ъ (х) |2 ,
JлoJК Сф |а|
где Сф & gt- 0 — некоторая постоянная. В качестве пространства П здесь берется множество (К{0}) х К с мерой СЬ|0|2. (см. [11],[10]).
Разложение элементов гильбертова пространства по ортоподобным системам может быть не единственным. В то же время ортоподобные системы разложения обладают многими свойствами ортогональных систем, например, для них выполняется аналог равенства Парсеваля и имеет место экстремальное свойство коэффициентов для ортоподобных систем разложения.
Определение 3. ([10]) Ортоподобную систему будем называть неотрицательной, если мера ^ - неотрицательная.
Нам понадобятся следующие две теоремы из работы [10] - теоремы 1 и 3.
Теорема Л. (Аналог равенства Парсеваля) Пусть {вш}^еп С Н — неотрицательная ортоподобная система разложения с мерой ^ в Н.
Тогда для любого элемента у Є Н
ІІУІІЯ = [ 1(у, в*)|2 ФМ, ип
и для любых двух элементов х, у Є Н имеем
(х, у) н = (х, вш) ¦ (у, вш) й^(ш).
п
Теорема В. (Экстремальное свойство коэффициентов разложения) Пусть {вш}Ш?П — неотрицательная ортоподобная система разложения в Н, а о (и) — функция на П со значениями в К или С (в зависимости от того, над каким полем рассматривается Н) и
у = е (ш)вш й^(ш).
п
где интеграл понимается как собственный или несобственный интеграл Лебега от функции со значениями в Н, причем в последнем случае есть такое исчерпывание {Пк}?=1
пространства О (все измеримы по мереС Пь+1 для к Е N и и^=1 0К = О, что функция о (и) ¦ вш интегрируема по Лебегу на 0ь и
у = I е (и) ¦ вш д,^(ш) = Ііш (Ь) I е (и) ¦ вш в, р,(и).
Тогда
/п к^~ Jпk
НА & lt- кМ12 dlJ,(u),
Jn
причем равенство имеет место лишь в случае, если о (и) = (у, еш) н почти всюду на О по мере.
В этой работе мы изучаем функциональные гильбертовы пространства, состоящие из функций в некоторой области О С С.
Определение 4. Гильбертово пространство Н, состоящее из функций f (г): Е ^ С, заданных на некотором множестве Е, называется функциональным, если для любого г0 Е Е функционал 5Х0: f ^ f (г0) является линейным и непрерывным функционалом над Н.
По теореме Рисса-Фишера всякий линейный непрерывный функционал над Н порождается некоторым элементом из Н. Отсюда найдется функция Кн (г, г0) Е Н такая, что выполнено равенство f (г0) = ^(г), Кн (г, г0))н.
Таким образом определяется функция Кн (%,?), г,? Е Е, которая называется воспроизводящим ядром пространства Н (см., например, [12]). Основные свойства функциональных пространств и воспроизводящих ядер описаны в [12].
3. Основные результаты
В этой работе мы докажем утверждение:
Теорема 1. Пусть Н — функциональное гильбертово пространство функций в области О С С. Норма в пространстве Н будет иметь интегральный вид
н =1 (012 dv (?)
тогда и только тогда, когда система функций {Кн (?,і)}гєо будет неотрицательной ортоподобной системой разложения с мерой V в пространстве Н.
Замечание. Очевидно, что если норма в пространстве Н определена как в (1), то
и, 9) н = f (?) ¦ д (?) ^(?).
За
Доказательство. Достаточность. Пусть система функций {Кн (?,?)}*еа — неотрицательная ортоподобная система разложения с мерой V в пространстве Н. Это означает, что любой элемент f Е Н может быть представлен в виде:
f (0= [и (т), Кн (г, г))нКн (?, г) dv (г),? е о.
а
В силу теоремы А
ІН = IV (т), Кн (т,і))н |2 *"(і)= и (і)|2 dv (і).
и о и о
Необходимость. Пусть для любого V Є Н верно
н = IV (?)12 dv (?).
о
Тогда
V (§ = и (і), Кн (і, С))н = V (і) ¦ Кн (і, С) dv (і).
о
По свойству воспроизводящих ядер (см. [12]) Кн (і, С) = Кн (С,і), поэтому
и (С)= / и (і) ¦ Кн (С,і) ^(і) =
Зо
= [ (V (т), Кн (т,і))н ¦ Кн (С,і) dv (і), С Є С. (2)
о
Таким образом, система функций {Кн (С,і)}гео — неотрицательная ортоподобная система разложения в пространстве Н с мерой V.
Теорема доказана.
Следствие. Функциональное гильбертово пространство Н, состоящее из аналитических в области О функций, совпадает с пространством В2(О, у) для некоторой меры ^ тогда и только тогда, когда семейство воспроизводящих ядер {Кн (?,і)}гєо пространства Н есть неотрицательная ортоподобная система разложения в Н с мерой, т. е. любая функция д Є Н представляется в виде:
д© = [ (д (т), Кн (т,і))нКн (С,і) ^(і), С Є О о
Теорема 2. Функциональное гильбертово пространство Н, состоящее из функций от переменной С Є СС, совпадает с пространством В2 (О, у) тогда и только тогда, когда семейство функций { }іє0 есть ортоподобная система разложения в Н с мерой ^,
т. е. любая функция д Є Н представляется в виде:
д (С)=[(д (т),)н ^(і), С Є СО (3)
о
Необходимость. Пусть пространство Н совпадает с В2(О, у). Пространство В2(О, у) состоит из функций, представимых в виде:
f (?) = ((5-)2,f (г))в2(а,") = f (г) (г-р d^(t), f Е В2(О,^). (4)
а
При этом мы рассматриваем в В2 (О, ц) наведенную структуру гильбертова пространства
и, 9) в2 (а,^) = (д^)в2(а, м).
Рассмотрим функцию Кв2(а,^) (?, г) от переменной? при фиксированном г. В наших обозначениях
Кв2(а,^)(?, г) = ((т-)2, КВ2(а, ц)(т,?))В2(а, ц) = (?-^2 Поэтому для любого f Е В2(О,^)
f (і) = и (т), КВ2 (О,") (т,і))в2(о,") =
= (KB2(о,")(т,і), f (т))В2(о,") = и (т), (Т-)2)в2(о,").
Отсюда и из (4) вытекает, что для любого д Є В2(С, ц)
д© = [ (д (т), (т-)2)в2(о")т-?Mі), С Є С, д Є ЩО^).
о
Таким образом, система функций {(^)2 }*ео есть ортоподобная система разложения с мерой ^ в пространстве В2(О, у).
Достаточность. Пусть система функций { есть ортоподобная система разло-
жения в пространстве Н с мерой. Это означает, что любой элемент пространства Н может быть представлен в виде:
f (0= U (т), (Т-)2)н (^=1*52 dKt),? е CG.
.j с), ~г1 N 1
'-О
Вычислим воспроизводящее ядро пространства H:
кн (?, П) = (кн (т, n), (Т=)2)нd^(t) =
О
= (n-t)2 ¦ (J-1*)2 d^(t) = ((^_=t)2, (n-1*)2)в2(О, м),? е CG (5)
О
С другой стороны, из (3) вытекает, что
кб2(о,^(?, п) = ((ё-*2, (П=?)в2(о, ri = кн (?, п).
По теореме Мура-Ароншайна (см. [13],[12]) пространство H совпадает с B2(G, у). Теорема 2 доказана.
Определение 5. ([14], стр. 280) Линейный непрерывный оператор A, действующий в гильбертовом пространстве H, называется положительным, если величина (x, Ax) H положительна для любого x е H, x = 0.
Определение 6. ([14], стр. 281). Числа
(x, Ax) (x, Ax)
Ci = ml, 62 = sup
xeH INI2 хен ||x||2
x=0 x=0
называются нижней и верхней гранью самосопряженного оператора A.
Очевидно, что выполнены неравенства
CJxH2 & lt- (x, Ax) & lt- 62||x||2, Vx е H.
Лемма 1. Пусть H — гильбертово пространство со скалярным произведением (x, y) и предположим, что в H определено еще одно скалярное произведение (x, y)1.
Следующие условия эквивалентны:
1. Нормы, определяемые скалярными произведениями (x, y), (x, y)1, эквивалентны, т. е. найдутся постоянные 61,62 & gt- 0 такие, что для любого элемента x е H выполнены неравенства:
61|x| & lt- ||x|1 & lt- 62||x||.
2. Существует линейный непрерывный самосопряженный оператор A, являющийся автоморфизмом банахова пространства H с нормой || ¦ ||, такой, что
||x|2 = (x, Ax), Vx е H. (6)
Доказательство. Докажем, что из 1 следует 2. Для некоторого элемента x е H в гильбертовом пространстве H рассмотрим линейный функционал
h ^ (h, x)1, Vh е H.
Поскольку
I (h, x)1l & lt- ||h| 1 ¦ ||x| 1 & lt- 62 ¦ ||h| 1 ¦ ||x||, функционал h ^ (h, x)1 будет линейным и непрерывным функционалом на гильбертовом
пространстве H. По теореме Рисса — Фишера найдется единственный элемент yx е H
такой, что выполнено тождество:
(h, x)1 = (h, yx), Vh е H. (7)
Определим отображение А: Н ^ Н по формуле А (х) = ух. Очевидно, что, А — линейный оператор. Кроме того,
и и (к, ух) ^ п (к, х)і, || 2 и и
\Ух\ = вЦР и, и & lt- с2 вИр-- = 62ІХІ1 & lt- 62 УХУ. ьеи \щ Ьеи ||к||і
Н=0 Н=0
Аналогично,
II || (к, ух) ^ ^ {к, х)і || 21| ||
||Ух|| = вИр & gt- 6і вИр7- = 6іхі & gt- 61 \Х\.
ьеи ||к|| ьеи ||к||і
Н = 0 Н = 0
Из последних двух оценок следует, что
62||х|| & lt- ||Ах|| & lt- С22||х||.
В частности, А — инъективный линейный ограниченный оператор. Из того, что в наших рассуждениях нормы || • ||, || • і равноправны, следует сюръективность оператора А. Таким образом, А — автоморфизм банахова пространства Н (как и пространства Н с нормой
Тогда из определения (7)
(к, х)і = (к, Ах)
и
СЩхЦ2 & lt- ||х||і = (х, х)і = (х, Ах).
Значит, оператор, А имеет положительную нижнюю грань и, тем самым, А — положительный самосопряженный оператор (см. [14], стр. 247).
Докажем, что из условия 2 вытекает условие 1. Если, А — самосопряженный оператор такой, что выполнено равенство (6), то, А есть положительный оператор и существует единственный положительный квадратный корень из оператора А, т. е. такой оператор Б, что, А = Б о Б (см., например, [14], стр. 282). Оператор Б также будет взаимнооднозначным самосопряженным (см. [14], стр. 247). Воспользуемся теоремой из [14], стр. 285.
Теорема С. Для того чтобы линейный оператор Т в гильбертовом пространстве имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы нашлась постоянная Сі & gt- 0 такая, что выполняются неравенства
(Т* о Тх, х) & gt- Сі||х||2, (Т о Т*х, х) & gt- Сі||х||2,
где Т* - сопряженный оператор к оператору Т.
Применим теорему С к оператору Б. В качестве оператора Т возьмем самосопряженный линейный непрерывный взаимнооднозначный оператор Б. Применяя теорему С и учитывая, что оператор, А ограничен, получим, что оператор Б о Б* = Б о Б = А имеет положительную нижнюю и верхнюю грань, т. е. найдутся постоянные Сі, С2 & gt- 0 такие, что выполнены неравенства
Сі|х|2 & lt- (х, х)і = (х, Ах) & lt- ||А||||х||2 = С2||х||2, Ух є Н.
Последнее означает, что выполнено условие 1. Лемма доказана.
Следующая теорема конкретизирует теорему 1 в случае, когда гильбертово пространство Н есть пространство Б2(0,^).
Теорема 3. Для того чтобы в пространстве Б2(О, у) можно было ввести эквивалентную исходной норму
11/11* = * // 1Ш12 (?),
V ,/сс
где V — неотрицательная борелевская мера на СС, необходимо и достаточно, чтобы
СУ '-1 о Г
существовал линейный непрерывный оператор Ь, задающий автоморфизм банахова пространства В2(С, у), такой, что система {Ь ^^}?есс является ортоподобной системой разложения с мерой V в пространстве В2(0, у), т. е. любой элемент / € В2(0, у) можно представить в виде:
/(?) = ! _(/(т), БТ^)В2(С,")ЬЯ^ ^©, г € & lt-СС. и сс
Доказательство. Необходимость. Предположим, что в пространстве В2(С, у) можно ввести эквивалентную интегральную норму вида
/ 1Ш12 ^ (і),
1са
т. е. банаховы пространства В2(С, у) и В2(СС, V) изоморфны. На функциях / € В2(С, у) рассмотрим следующий оператор:
Т/© = (/(г). & lt---от)В-2(СМ.
Обозначим
Мса^) = {/, / € В2(Со^)},
где черта над / означает комплексное сопряжение.
Гильбертово пространство /2(СС, V) можно рассматривать как банахово пространство с нормой || • ||^.
Функция /© = ((^_1^)2,/(г))в2(а, р) принадлежит пространству В2(0,у). По условию нормы || • ||в2(с,^) и || • ||^ эквивалентны, поэтому пространства В2(0,у) и В2(С^) изоморфны. Это означает, что /© принадлежит пространству В2(СС, V) и, следовательно,
/© принадлежит пространству. ]2(С^).
Из равенства
ТІ(і) = Ц{г),)б2(о, М) = (, 1 (г))В2(с^ = /(і),
вытекает, что оператор Т действует из пространства В2(О, у) в пространство. ]2(СО, и) и является линейным непрерывным взаимнооднозначным оператором.
Сопряженный оператор Т* к оператору Т определяется из равенства
(ТІ (і), Щ))и = (І (г), Т *ВД)В2(ЗД, І Є В2(О, у), к є & lt-І2 (СО, V).
Найдем явный вид оператора Т*
(ТІ (і), к (і))" = ТІ (і) • к (і) Ли (і) =
І (г),--------------мо Іїу (г) • к (і) ^ (і) =
ІСо за
]са
1
(г 1 і) 2
1
(г — і)2
1
= І(г) 7=^7 • к (і) ^(і) йу (г) =
= І(г) -1−72 • к (і) (і) АУ (г) =
За Зса (г — і)
/ І(г) • Т*к (z), йу (г) = (І(г), Т*к (г))В2(а, ц). а
V
Таким образом, сопряженный к Т оператор Т* действует из пространства 72(СС, и) на пространство В2(С, у) и имеет вид:
гад = / _к (0--Ц-ісІ, и (і), к є. 72(СО, и).
•/са (г — і)
В частности это значит, что оператор Т* о Т = Е есть (см, например, [2], стр. 222) самосопряженный оператор, действующий в пространстве В2(С):
ЕІ(г) =} (І(т), (Т-F)В2(а^)(-)2 Ли (і).
Кроме того, оператор Е — автоморфизм пространства В2(С, у). Оператор Е как самосопряженный оператор имеет единственный положительный квадратный корень К: В2(С, у) ^ В2(С, у) (см., например, [14], стр. 281, 282) такой, что Е = К о К. Оператор К — также автоморфизм пространства В2(С, у).
Тогда
К о КІ(г) = I _(І(т), (Г-)2)В2(а))2 Ли (і).
и са
Используя взаимооднозначность оператора Е и рассуждения, как в ([15], стр. 128), можно показать, что
І(г) = / (І(т), (Г-)2)В2(а, м)^ о Б (т=|)5 Ли (і) =
= _(І(т), Б (Т-)2)В2(а, м)^(т-о* Ли (і), (9)
л са
где оператор Б есть обратный оператор к оператору К, т. е. К-1 = Б. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть система {Б }^есс является ортоподобной системой разложения в пространстве В2(С, у). Это означает, что любой элемент І Є В2(С, у) может быть записан в виде:
І(г) = / (І(т), Бт1"^)В2(а^)Бг (Т=ёр- (і), г є С.
Используя ([15], стр. 128), можно показать, что
І(г) = / (І(т), Бт (Т-F)В2(а, м) Б^ Ли (і) =
= I _(Б о БІ(т), (Т-ё?)В2(а, м)(^2 Ли (і), г є С. (10)
л са
Обозначим Б о Б = А. Поскольку оператор Б имеет непрерывный обратный оператор, то по теореме С оператор, А имеет положительную нижнюю грань, и, следовательно, в пространстве В2 (С, у) можно ввести эквивалентную интегральную норму
Iі ііі = ] (АІ,І'-)В2(а, ц), (11)
которая порождает скалярное произведение
(І, д)і = (AІ, g) Б2(а^), І, д є В2(С, у).
Заметим, что
(А-1І, д)і = (І, д) В2(а,").
Для любого / € В2(С, у) имеем
/(г) = /^(/(т), (Т_ё?)1(^_^ ^©,? € °.
Последнее означает, что система функций { (т_^2 }^есс является ортоподобной системой разложения по мере V в пространстве В2(С, у) с нормой || • |1. По теореме А
ЦЛ_7112 = [ _(А-1/(т),^)1|2dv© =
•/сс
= [ _(/(т), (Т_р)В2(0,)2 ^ (С)= [ _Т (С)2 ^ © = ||/||2. (12)
•/сс. /сс
Далее Ц/Ив-2(с^) = II/Нв2(с, м). По лемме 1 (см. равенство 11) нормы || • ||в2(с,^) и || • Ц1 эквивалентны. Очевидно, найдутся постоянные С3, С4 & gt- 0 такие, что
Сз/1|1 & lt- ||А-1/1|1 & lt- С4||/1|1, / € В2(С, у).
Из равенства (12) следует, что нормы || • ||в2(с м) и || • ||^ эквивалентны. Теорема доказана.
Теорема 4. Пусть существует оператор Ь, осуществляющий автоморфизм пространства В2(С, у), который переводит семейство воспроизводящих ядер {Кн (г, г)}1^с на семейство ядер Гильберта { (^_1т)2 }ТеСа. Тогда в пространстве В2(С, у) можно ввести эквивалентную интегральную норму вида
иПи = х/Т /(С)2 ^ ©,
у ЗВ2(0, м)
где мера V определяется следующим образом: оператор Ь определяет отображение
т = р (г) — р: С ^ СС
из равенства
ЬКн (г, Ь) = (х_1р (1))2, г € С
Пусть Р — множество в С. Тогда О = р (Р) есть множество в СС, и мера V (О) = у (Р).
Доказательство. Система элементов {Кн (г, г)}1^с есть ортоподобная система разложения в пространстве В2(С, у) с мерой у (см. следствие к теореме 1). Это означает, что любая функция / € В2(С, у) может быть представлена в виде:
/(?) = [ (/(т), Кн (т^))нКн (г, г) Лу (г), г € С.
За
По условию теоремы оператор Ь осуществляет автоморфизм пространства В2(С, у) и переводит семейство воспроизводящих ядер {Кн (г, г)}1еа на семейство ядер Гильберта { (х_т)2 }тесо. Тогда
Кн (г, 1) =, г€ С
и
/(г) = I (/(т), Ь11{В))2)нЬ_ {г1{1))2 dу (t), г € С.
V а
Сделав замену переменной в последнем интеграле С = р (г) и учитывая, что dу (р1(С)) = dv©, приходим к выражению
/(г) = !с (/(т), Ь1 (Т_)*)нЬ1(^_02 ^©, г € С.
Последнее по теореме 2 означает, что в гильбертовом пространстве В2(С, у) можно ввести эквивалентную интегральную норму вида
/ І(і)12 Ли (і).
, В2(а,^)
Теорема 4 доказана.
4. Пример
В качестве области С возьмем верхнюю полуплоскость и = {г Є С: & gt- 0}, в качестве
меры у плоскую меру Лебега V.
Рассмотрим пространство В2(и, V), состоящее из функций голоморфных в и и суммируемых с квадратом модуля по плоской мере Лебега, т. е.
11 ПВ2(и,") = [ 11 (г)|2 ^(г) & lt- ж.
В пространстве В2(и, ь) полна система функций (см. [7]). Известно (см., напри-
мер, [16]), что если С произвольная односвязная область и р: С ^ О — конформное отображение области С на единичный круг О, то воспроизводящее ядро пространства В2(С, V) имеет вид:
К (г Ґл = 1 Р (г)р'-(і) г Ґ г С
кВ2(а, ь)(гЛ) = - •---------, г ^ Є °.
п (1 — Р (г)Р (і))2
Функция р (г) = ^_| конформно отображает верхнюю полуплоскость и на единичный круг
О. Отсюда нетрудно показать, что
Кв2(и, ф,0 = • ~, =ет2, г,і є и. (13)
п (г — і)2
По теореме 1 любую функцию І Є В2 (и, V) можно представить в виде:
1 (г) = (І(т), кВ2(и^)(т,і))Б2(и^)КБ2(и^)(і,і) dv (t), і є и.
а
На функциях І из В2(и^) рассмотрим оператор Б
БІ(г) = -п • 1 (z), г є и.
Очевидно, что Б есть автоморфизм пространства В2(и^). Далее из (13) следует, что БКв2(иМг,і) = (-п) • (^ • - =Т2 = ~, =72, г,і є и.
V п) (г — і)2 (г — і)2
Если і Є и, то і Є Си. Таким образом, оператор Б удовлетворяет условию теоремы 4- переводит семейство функций {Кв2(и, а)(г,і)}?єи на семейство функций { (^_1Т)2 }ТеСи. Очевидно, что р (і) = і (см. формулировку теоремы 4). По теореме 4 в пространстве В2(и^) можно ввести эквивалентную интегральную норму вида
/С)2 dv© = J /(С)2 dv©.
Iси у Зси
Последнее означает, что пространства В2,(и, ь) и В2(Си, V) изоморфны.
Автор выражает глубокую благодарность Р. С. Юлмухаметову за полезное обсуждение работы и ценные замечания.
V
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1966. 544 с.
2. Канторович Л. В., Акилов А. П. Функциональный анализ. М.: Наука. 1984. 752 с.
3. G. Kothe Dualitat in der Funktionentheorie // J. Reine Angew. Math., 191. 1953. P. 30−49.
4. Левин Б. Я., Любарский Ю. И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент // Изв. АН СССР. Сер. матем., 39:3. 1975.
С. 657−702.
5. Любарский Ю. И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функциями специальных классов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 52: 3,1988. C. 559−580.
6. Луценко В. И., Юлмухаметов Р. С. Обобщение теоремы Винера-Пэли на функционалы в пространствах Смирнова // Труды МИАН, 200. Наука, М., 1991. С. 245−254.
7. Напалков В. В. (мл.), Юлмухаметов Р. С. О преобразовании Гильберта в пространстве Бергмана // Математ. заметки. Т. 70, вып 1. 2001. С. 68−78.
8. Напалков В. В. (мл.), Различные представления пространства аналитических функций и задача описания сопряженного пространства // Доклады РАН. 2002. С. 164−167.
9. Исаев К. П., Юлмухаметов Р. С. Преобразования Лапласа функционалов на пространствах Бергмана // Изв. РАН. Сер. матем., 68: 1, 2004. С. 5−42.
10. Лукашенко Т. П. О свойствах систем разложения подобных ортогональным // Известия РАН, серия математическая. Т. 62, № 5. 1998. С. 187−206.
11. A. Grossmann, J. Morlet Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape // SIAM J. Math. Anal. 1984. V. 15. P. 723−736.
12. N. Aronszajn Theory of reproducing kernels // Transactions of the AMS. 1950. V. 68, № 3. P. 337−404.
13. H. Hedenmalm, B. Korenblum, K. Zhu, Theory of Bergman spaces. Springer-Verlag, New York, Inc. 2000. 289 p.
14. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир. 1979. 588 с.
15. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ. 1962. 896 с.
16. Гайер Д. Лекции по теории аппроксимации в комплексной области. М.: Мир. 1986. 216 с.
Валерий Валентинович Напалков,
Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,
450 008, г. Уфа, Россия E-mail: vnap@mail. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой