Обоснование и выбор модели оптимального управления проектами в условиях риска

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Кибернетика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 519. 8
ОБОСНОВАНИЕ И ВЫБОР МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
ПРОЕКТАМИ В УСЛОВИЯХ РИСКА
ИВ. Петрова
В статье предложен комплекс моделей оптимального управления проектами в условиях риска, что позволяет провести классификацию ситуаций принятия управленческих решений в зависимости от специфики проекта и конкретных условий его реализации
Ключевые слова: модели, управление проектами, риск
Модель управления проектами в условиях риска, позволяющая оценить некоторый аспект риска и в соответствии с этим принять управленческое решение, представлена в виде уравнения:
у = 1/)(х +е ' (1)
. =1
где у — измеряемый показатель, позволяющий оценить некий) -й аспект, например, экологический, политический и др., и отражающий основную цель проекта- X = (х1,_, хк) — вектор управляемых переменных
х, воздействием на которые осуществляется целенаправленное управление проектом, например, реализуемость, эффективность и т. п. Предполагается, что управляемые переменные меняются в некоторых ограниченных пределах, х е X:
х: х- & lt- х,. & lt- х+, = 1, к, (2)
где xi х + - нижнее и верхнее значения, -й управляемой переменной соответственно. В каждом случае значения пределов х- х+
устанавливаются ЛПР, исходя из специфики проекта и целей оценки его рисков.
е — неизмеряемая случайная помеха, характеризующая действие неучтенного,
неконтролируемого фактора. Предполагается,
что помеха имеет нормальное распределение с независимыми отсчетами, нулевым
математическим ожиданием и постоянной дисперсией а2.
У,., 0 т — набор (вектор 0) неизвестных параметров (коэффициентов),
характеризующих действия управляемых
переменных на выходной показатель (ВП) у-
Петрова Ирина Вячеславовна — ВИВТ, аспирант, тел. (4732) 34−98−96
/1(х),…, /т (х) — набор (вектор /(х))
известных функций от входных переменных. Например, если известно, что имеет место квадратичная зависимость ВП от входных переменных, то вектор / (х) имеет вид:
/(х)= I1, X1,…, хк, х1×2 ^.^ хк-1хк, хк2||.
Построению модели должен
предшествовать предварительный анализ предметной области в соответствии с шагами:
1) выбрать ВП проекта, отражающий в количественном виде главную цель оценки) -го аспекта риска-
2) из априорных соображений выделить группу управляемых переменных х1з…, хк и
определить ограничения х, х+ по каждому из
них (в общем случае некоторые из ограничений могут быть односторонними) —
3) определить вид зависимости ВП от управляемых переменных х1, хк, определить
вид функций У1(х),…, /т (х) —
4) используя экспериментальные данные,
собранные на объекте, например, результаты аудита, построить статистическую
(регрессионную) модель и провести ее анализ. При этом:
— определить оценки 0),) = 1, т, неизвестных параметров 0^ управления-
— определить дисперсию помехи а2 или ее оценку Б2-
— определить ковариационную матрицу С оценок и параметров.
С
где элемент С) означает дисперсию оценки- 0., С = Си — ковариация оценки 0, и 0. -
С11. •• С 1т
С т.1 • С тт
— проверить значимость коэффициентов
0. ,) = 1, т и адекватность полученной модели.
Для дальнейшего изложения
предполагается, что построенная
статистическая модель является адекватной.
1. Полученная модель позволяет для любого набора управляющих переменных х е X рассчитать:
о предсказанное значение ВП:
у (х)=1/(х)0. -
)=1
о дисперсию предсказания:
т
й (х) = а2 + 1/ (х)/(х С.
г,)=1
(2)
(3)
Дадим теперь общую постановку задачи оптимального управления проектами в
условиях риска, которая является задачей оптимизации в условиях неопределенности, вызванной действием двух факторов: наличием случайной помехи е и наличием лишь
приближенных оценок 0. неизвестных
истинных параметров 0. Эти факторы
приводят к тому, что для любого
фиксированного набора управляемых
переменных невозможно точно предсказать ожидаемое значение ВП проекта. Учитывая эти обстоятельства, необходимо сформулировать
критерий оптимизации и ограничения задачи применительно к возможным последствиям от неточного решения ЛПР и с учетом его реальных требований. В зависимости от
конкретных условий риска могут возникать
задачи оптимизации двух типов: когда
необходимо устранить недостатки в работе по реализации проекта и не допустить уменьшение ВП ниже пороговой границы требований ЛПР (например, срока реализации некой операции) — когда необходимо обеспечить увеличение ВП (например, процент прибыли).
Рассмотрим оба случая указанных задач оптимизации в условиях неопределенности. Выбор той или иной модели (той или иной постановки задачи оптимизации) требует
тщательного предварительного анализа.
1. Математические модели оптимизации, при которых предполагается, что при управлении проектом в условиях риска
желательно обеспечить нижнюю границу
требований ЛПР.
Здесь возможно использование следующих моделей:
1.1. Модель с гарантированным порогом.
При использовании данной модели устанавливается пороговое значение
кг требований ЛПР, ниже которого значение ВП является нежелательным. Модель
формируется в виде задачи:
хе Б р
-& gt-Ш1П,
(4)
где Бр: х) & lt- х. & lt- х+ ,) = 1, к, Р (у & lt- кг) & lt- X (5)
Приняты следующие обозначения: кг -заданный порог- Р (у & lt- кг) — вероятность, при которой значение ВП ниже порога кг.
Решение задачи является набор х0 = {х0, х0,., х0 } управляемых переменных, который при воздействии на ресурсы проекта обеспечивает минимальную вероятность X того, что значение ВП не будет ниже порога кг. В дальнейшем будем называть набор х0, полученный как решение задачи оптимизации -оптимальным управлением. В данном случае оптимальное управление х0, обеспечивает минимальную вероятность, например, снижение прибыли.
Для нахождения оптимального управления
х 0 необходимо решать условно-экстремальную задачу:
у (х) — кГ
хеХ
-& gt-шах.
(6)
у/й (х)
Решение задачи может быть найдено с использованием одного из численного метода оптимизации. Рассчитав оптимальное уравнение х0, по таблицам функции нормированного нормального распределения можно определить соответствующую ему вероятность Х0. Для этого необходимо вычислить величину:
z =
у (х) — кг
(х0)
(7)
где у (х0) и Х (х0) рассчитываются путем
0
подстановки оптимального управления х. Затем необходимо найти по таблицам Ф^) и рассчитать Х0 = 1 — Ф (2). При этом для рассчитанного оптимального управления вероятность превышения значения ВП порога кг будет не больше X0,
Р[(хо) & lt- кг]& lt-Хо. (8)
Любое другое (неоптимальное) значение уравнение х даст большую величину вероятности этого неблагоприятного события.
1.2. Модель с минимальным порогом и гарантированной вероятностью.
Математическая модель указанной задачи формулируется в виде:
к-
XGSk
-& gt- min,
(9)
Бк: х е X, Р (у & lt- к) & lt- Хг, где Хг — заданная (гарантированная) вероятность (достаточно малая).
Указанную модель целесообразно применять, когда необходимо выяснить, например, процент издержек и др., но при расчете оптимального управления
гарантировать, что вероятность ошибочного решения ЛПР, связанного с неточностью коэффициентов модели и наличием шумов, будет не больше заранее заданной величины Xг. В этой задаче ищется управление, обеспечивающее, например, минимальный процент издержек, при условии, что вероятность получения неблагоприятного результата не превосходит Xr, задается допустимый риск от принятия ошибочного решения ЛПР.
Для нахождения оптимального уравнения х 0 необходимо решить условно-
экспериментальную задачу:
У (х)+ Я (^ Х№) хеХ & gt- Ш1П (10)
где Я (Xг) — квантиль (положительное число), находимый по таблицам нормированного нормального распределения, если известна дисперсия помехи а2, или по таблицам распределения, Стьюдента, если известна лишь её оценка Б2 с числом степеней свободы V.
Для решения задачи (10) вместо у (х) и X (х) подсчитываются их математические выражения. Рассчитав оптимальное управление х0, можно определить соответствующее значение минимального порога по формуле:
кс = у (х0)+ Я (X г) й (х0), (11)
где у (х0) и X (х0) рассчитываются путем подстановки в них управления. При этом для оптимального управления выполняются условия:
р[у (х0)& lt- к0]& lt- Лг, (12)
вероятность, что значения ВП ниже порога к0,
но больше заданной X г. Любое другое неоптимальное управление будет давать большую вероятность, большой риск от принятия ошибочного решения ЛПР.
1.3. Модель с гарантированной дисперсией.
При использовании данной модели устанавливается гарантированная дисперсия ВП в виде величины dr, выбранной из априорных соображений ЛПР. Модель целесообразно применять, когда необходимо минимизировать ВП в среднем, но разброс ВП относительно среднего в обе стороны не должен превышать заданную величину. Особенно это важно при оценке ВП проекта в одном профиле риска.
Для нахождения оптимального управления необходимо решить условно-экстремальную задачу вида:
min, (13)
у (лУ
хеБл
Бл: х е X и й (х) & lt- йг.
После решения задачи (13), нахождения оптимального решения х0, можно рассчитать ожидаемое среднее значение ВП по формуле:
_ т _
у (х0) = 1 / (х°)0] (14)
1=1
и, задавшись вероятностью X (X) & gt- 0,5, определить разброс (интервал ошибок) ВП относительно среднего по формуле:
У (-х°) — ЯМ^/йСх& quot-) & lt- у (х) & lt- у (х0) + я (к)^1(х0), (15) где Я (X) определяется для вероятности X.
При этом оптимальное управление х 0 с вероятностью X обеспечивает попадание ВП в указанный интервал. Любое другое не оптимальное управление будет давать больший разброс ВП относительно среднего значения.
2. Математические модели оптимизации, при которых предполагается, что при управлении проектами в условиях риска желательно обеспечить верхнюю границу требований ЛПР.
Приведем математические модели оптимизации для случая, когда ЛПР, например, увеличил верхнюю границу своих требований или когда необходимо увеличить значения ВП проекта, приблизив их как можно ближе к существующему порогу требований.
2.1. Модель с гарантированным порогом.
Если значения ВП ниже некоторой верхней границы требований ЛПР, что является нежелательным для расчета оптимального 0
управления х, минимизирующего вероятность этого явления, необходимо решить задачу:
кг — у (х)
yjd (x)
хєХ
-& gt-min.
(16)
Рассчитав оптимальное управление x, можно определить соответствующему ему
вероятность
Лп
для
чего
вычислить Л по формуле:
kr -Я (x)
Jd (x
Л = 1 —
e 2 dt
необходимо
(17)
и по таблицам нормированного нормального распределения определить X0 = Ф^Z). При
этом для оптимального управления выполняются условия:
p[y (x0)& lt- kr ]& lt-Хо, (18)
которые означают, что вероятность, что
значение ВП меньше kr, будет не больше X 0.
2.2. Модель с минимальным порогом и гарантированной вероятностью.
Модель аналогична модели (16−18), но в этом случае желательна максимизация ВП и необходимо, чтобы вероятность ошибочного решения ЛПР была не больше заданной X r, должно выполняться условие:
P[(x)& lt- k ]& lt-X, (19)
где k — максимизирующий порог, X r —
заданная вероятность.
Для нахождения оптимального управления x 0 необходимо решить условно-
экстремальную задачу:
y (x) — g (Xr Уd (x) xeX & gt- max, (20)
где g (Xr) — положительное табличное
значение.
После вычисления решения x 0 можно рассчитывать величину максимального порога:
ko = У (x°)-g (X r X/d (x 0) — (21)
для которого выполняется условие:
p[y (x)& lt- ko]& lt-Xr,
x0
(22)
2.3. Модель с гарантированной дисперсией.
В этом случае необходимо максимизировать ВП в среднем и обеспечить допустимую (не больше заданной величины dr) дисперсию ВП, допустимый разброс ВП
относительно среднего. Оптимальное управление определяется как решение условноэкстремальной задачи:
у (х тах& gt- (23)
Sd: х- & lt- х1 & lt- х± і = 1, к- d (х) & lt- dr. (24) Среднее значение ВП при рассчитанном оптимальном управлении х вычисляется по формуле (2), а разброс относительно х 0 среднего по заданной вероятности X по формуле (14).
Для решения всех изложенных выше условно-экстремальных задач нахождения оптимального управления проектами в условиях риска могут быть использованы различные численные методы математического программирования: квадратичного, выпуклого или нелинейного программирования. Выбор того или иного метода управления проекта в условиях риска во многом определяется миссией и целями проекта, амбициями ее руководителей и др. Еще раз подчеркнем, что каждый проект уникален и специфичен.
В заключении статьи следует отметить, что проблема управления проектами в условиях риска связана со многими аспектами его реализации.
оптимальное управление обеспечивает
максимально возможный порог k0 и
гарантирует, что вероятность ошибочного решения ЛПР будет не больше Xr.
В оронежский институт высоких технологий
SUBSTANTIATION AND THE CHOICE OF MODEL OF OPTIMUM MANAGEMENT OF PROJECTS IN THE CONDITIONS OF RISK
I.V. Petrova
The article presents the complex of models of optimum management of projects in the conditions of risk that allows to spend classification of situations of acceptance of operating decisions depending on specificity of the project and definite conditions
2
Key words: models, management of projects, risk

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой