Исследование зависимости линейной поляризации излучения заряда в электромагнитном поле плоской волны от ее интенсивности и поляризации

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 530. 12: 531. 51 ББК 22. 313 Ж 86
И.Н. Жукова
Исследование зависимости линейной поляризации излучения заряда в электромагнитном поле плоской волны от ее интенсивности и поляризации
(Рецензирована)
Аннотация
Исследована мгновенная степень линейной поляризации глобального излучения заряда в поле эллиптически поляризованной электромагнитной волны как функция трех переменных: времени, интенсивности внешней волны и ее поляризации. Средняя по времени степень линейной поляризации глобального излучения исследована в зависимости от поляризации и интенсивности внешней волны. Вектор поляризации ориентирован вдоль направления распространения внешней волны.
Ключевые слова: вектор поляризации, степень линейной поляризации, а и п компоненты излучения, мощность глобального излучения.
Задача о движении заряда в поле эллиптически поляризованной электромагнитной волны представляет интерес в связи с общностью постановки [1, 2]. Меняя параметр поляризации волны можно рассмотреть большой спектр частных случаев, включая линейную и круговую поляризации. Кроме того, при исследовании излучения можно различным образом ориентировать вектор поляризации.
Пусть плоская эллиптически поляризованная электромагнитная волна распространяется вдоль оси г лабораторной системы координат со скоростью с. Вектор напряженности электрического поля волны имеет вид:
Е = 42е0(собусоб (о? + ] ,$ту$та)?), (1)
где Е0 — амплитуда напряженности электрического поля- а — частота волны- у -параметр, характеризующий поляризацию волны (О & lt-у & lt- п/ 2),? — момент излучения.
еЕ
Интенсивность волны будем характеризовать параметром у = --. При у & gt->- 1 волна
аст
считается сильной, при у & lt-<- 1 — слабой.
В электромагнитном поле заданной плоской волны заряд е движется по определенной траектории. С зарядом удобно связать мгновенно сопутствующую систему координат (, у, г'-), начало которой совпадает с той точкой лабораторной системы координат (, у, г), в которой находился заряд в момент излучения ?. Положение заряда в лабораторной системе координат задается радиус — вектором г (рис. 1). Точка А, в которой в момент времени ^ наблюдается излучение заряда, удале-
вующая системы координат
на на большое расстояние Я (?) от заряда по сравнению с длиной волны излучения. Моменты излучения? и наблюдения ^ связаны соотношением:? = ^ -Я (?)/с.
При изучении линейной поляризации излучения вектор напряженности электрического поля излучения обычно раскладывают по двум ортогональным единичным ортам линейной поляризации [4, 5]:
Е = Е212 + Е31з, (2)
где 12 3 связаны с произвольно ориентированным единичным вектором поляризации у
и единичным вектором п = ^?), направленным от заряда к точке наблюдения т.о. :
Jn
I /"у • = [1 її • & quot- = [і 312 ]. Й 3)=Й2)=(і 213)= 0. (3)
Vу — (& quot-. /у Vу — (& quot-. //
Компоненты Е2 и Е3 определяют соответственно, а и ж компоненты излучения,
а — компонента характеризует проекцию Е на плоскость, ортогональную вектору у.
Угловое распределение мгновенной мощности излучения определяется выражением [3, с. 258]:
= СЕ2К2 (у-(& quot-)), (4)
dW
ёО. 4п
где в (?) = и (?)/с, и (?) — скорость заряженной частицы.
Для описания поляризации излучения вводится специальная величина — степень линейной поляризации (далее — СЛП) р:
W2 — W3 _ W2 -(W — W2) _ W W2 + W3 ~ W ~ W
-1, (5)
где W2 3 — мгновенные мощности компонент глобального излучения, полученные из (4) интегрированием по телесному углу Q [2]. Из (5) следует, что значения СЛП находятся в пределах [-1,1].
Мгновенная мощность глобального излучения, очевидно, не зависит от ориентации вектора поляризации j и равна [7]:
W = W2 + W3 = 2e3 W (l (в, (6)
2 3 3c5 (1 -в2) ' V '-
где W — ускорение заряда.
Как следует из (3) и (5), мощность, а — компоненты и СЛП существенно зависят от
ориентации вектора поляризации j.
Вектор поляризации излучения j направим вдоль направления распространения внешней волны:
j =(0,0,1). (7)
Для этого выбора вектора поляризации в работе [6] приведены уравнения движения r (?), полученные в системе отсчета, в которой частица в среднем покоится
((= Pz = 0). Данный выбор системы отсчета дает дополнительную связь между инте-
1 -в,
гралом движения, а =, = = const и параметром интенсивности внешней волны у:
а2 = 1 + у2. (8)
Полученными в работе [6] точными аналитическими выражениями для мгновенной Ж2 и средней по времени Ж2 мощности, а — компоненты глобального излучения мы воспользуемся для нахождения мгновенной р = р (у, /, х) и средней по времени р = р (у, /) СЛП глобального излучения и проведем анализ полученных функциональных зависимостей.
Мгновенная мощность, а — компоненты излучения для 7 = (0,0,1) имеет вид [6]:
е2 а2
W2 =-T'-A0 + (1 cos х + А2 cos2x + A3 cos3x + A4 cos4 х + A5 cosJx),(9)
2 12c CK • CK03 v h j
где введены обозначения: АО = 2а2(7а8 -8аб + а4 — 6^2а4 -2^2а2 -22) —
А1 = ца2(З5аб — 52а4 + 5а2 -30а22 -42) — А2 = 2а22(13а4 + 4 -29а2 -12^) —
АЗ =П (- 28а2 + 2а4 +1 — 62) — А4 = -24 (з + 2а2) — А5 = -П-
П = -у2 cos (2y) — CK = 2а2 +ncosх- CK0 = а2 +ncosх.
Мощность глобального излучения W в нашем случае равна:
т" 2е2ю2а2 (2, ле^
W =----------(-ncos х). (10)
3c
Подставляя W2 и W в выражение для СЛП (5), получаем зависимость мгновенной СЛП от интенсивности у, поляризации внешней волны у и времени:
1 [P0 + P1cos х + P2 cos2 х + P3 cos3 х + P4 cos4 х + P5 cos5 х), 11Ч
Р = -•------------------------Ti-s------------------------, где (11)
4 CK• CK03 •(у2-ncosх)
P0 = 2а2 (3а8 — 4а6 + а4 — 6ц2а4 — 2п2а2 —) —
P1 = r/а2(15а6 -24а4 + 5а2 — 30а2ц2 -4ц2) — P2 = 2а2П (а4 — 11а2 + 4- 12ц2) —
P3 = ц3 (18а4 — 8а2 +1 — 6ц2) — P4 = 2ц4 (ба2 -1) — P5 = 3ц5.
Фазовую переменную х = 2а? будем для краткости называть фазой, определяю-
щей положение заряда на орбите в момент времени ?.
Проверка выражения (11) для частного случая волны круговой поляризации (у = п/4) приводит к известному в теории синхротронного излучения результату:
Р=' (12)
т. е., мгновенная глобальная СЛП не зависит от времени (от положения на орбите) и в нерелятивистском пределе ру0 ^ 1 / 2, а в релятивистском пределе рг^х ^ 3 / 4.
Как следует из выражения (10) для мгновенной мощности глобального излучения, при движении электрона в поле линейно поляризованной электромагнитной волны в определенные моменты времени излучение отсутствует, т. к. в эти моменты времени ускорение заряда равно нулю. Для линейно поляризованной волны с у = 0 мгновенная мощность глобального излучения принимает нулевые значения при х = п + 2пт, а для линейно поляризованной волны с у = п / 2 это имеет место при х = 0 + 2пт (т е N):
w =2е, а •((-ncosх)=0 ^ (1+cos^^^s^))=0 ^{у — -
3с [у = п/2- х = 0.
В указанных точках понятие СЛП теряет смысл.
На рисунках 2 -4 представлены зависимости мгновенной СЛП от времени р = р (х) для внешней волны конкретной поляризации и интенсивности.
Рис. 2. Зависимость мгновенной СЛП глобального излучения заряда от положения на орбите для различных значений параметра интенсивности у внешней линейно поляризованной (/ = 0) электромагнитной волны. При х = п заряд не излучает.
Рис. 3. Зависимость мгновенной СЛП глобального излучения заряда от положения на орбите для различных значений параметра интенсивности у внешней линей, но поляризованной волны (/ = п/2) электромагнитной волны. При х = 0, 2п заряд не излучает.
зованной (/ = п/8) электромагнитной волны.
В нерелятивистском пределе у ^ 0 выражение (11) для СЛП после разложения в
ряд по малому параметру q = у/у2 / (+1) с точностью до членов второго порядка малости принимает вид:
1 q2{l + 9 cos 2 (2у) cos 2 (x) -10 cos 2 (2у)^
P 2 4(1 + cos (2y)cos (x)) ' ()
откуда следует, что независимо от поляризации внешней волны мгновенная СЛП стремится к значению Ру0 = 0. 5, что хорошо видно на рисунках 2 -4 при у = 0. 01.
В таблице 1 приведены предельные значения мгновенной СЛП в «контрольных» точках (у, x), вычисленные по формуле (13) при у = 0. 01, а также результаты вычисления СЛП по точной формуле (11).
Таблица 1
(0 0 п/2 п/2
x 0 п 0 п
Ру0 по формуле (13) 1 + 0 ¦ q2 2 1 9q = 0. 49 955 2 2 (= 0, x ^п) 1 9q = 0. 49 955 2 2 (= п/2, x0) 1 + 0 ¦ q2 2
1 + q- = 0. 50 005 2 2 ((^ 0, x = п) 1 + q- = 0. 50 005 2 2 ((^п/2, x = 0)
РУ0 по формуле (11) 0. 5(0) 0. 49 955 (= 0, x = 0. 99п) 0. 49 955 (= п/2, x = 0. 01) 0. 5(0)
0. 50 005 (= 0. 01, x = п) 0. 50 005 (= 0. 99п/ 2, x = 0)
Графики зависимости мгновенной СЛП от положения на орбите р (х) в нерелятивистском пределе при у = 0. 01 для различных значений поляризации внешней волны приведены на рисунке 5.
В релятивистском пределе (у) СЛП (11) после разложения в ряд по малому
параметру 1 /у2 с точностью до членов первого порядка малости принимает вид:
Рис. 5. Зависимость мгновенной СЛП глобального излучения заряда от положения на орбите в пре-
деле слабой волны. Кривая с номером п соответствует внешней волне с поляризацией /п:
Номер кривой 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
(n 0 п п 3п п 3п п 5п 3п 7п 63п п
256 32 32 8 16 4 16 8 16 128 2
p = p0 + pH y1, (14)
_ 3 3 cos 2 (2/) ¦ sin 2 (x)
где p0 =------------------------. ,
4 2 (] - cos2 (2/)cos2 (x)j
cos (x)^ 6 cos3 (2/) — cos (2/)^ + cos 2 (2?){6 cos2 (x) — 8^ - 5 cos3 (2/) ¦ cos3 (x) + 2 43 cos (2/) cos (x) — 2 + cos2 (2/) cos2 (x) — 3 cos3 (2/) cos3 (x) + cos4 (2/) cos4 (x)^
Из (14) следует, что для волны любой поляризации, кроме линейной, в моменты x = 0 и x = п мгновенное значение СЛП равно pY= 3 / 4. Это видно, например, на
рисунке 4 для эллиптически поляризованной волны с параметром / = п / 8.
Предельные значения мгновенной СЛП в точках (/, x) = (0,n) и (/x)=(п/2, 0), вычисленные по формуле (14), приведены в таблице 2.
Формула (14) не применима для двух пар значений (/, x): (0, 0) и (к/2, п). Предельные значения мгновенной СЛП в этих точках также приведены в таблице 2.
Для оценки надежности результатов, полученных по формуле (14), в таблице 2 приведены результаты вычисления СЛП по точной формуле (11) при у = 100.
Таблица 2
/ 0 0 п/2 п/2
x 0 п 0 п
Рг^~ по формуле (14) 1 0 3 11 +, = 0. 74 995 4 24Y Ww = 0, х ^ п) 3 11 +, = 0. 74 995 4 24Y (w = п/2, х ^ 0) 1 0
22 3 1 =+0. 74 999 4 8у2 (х = п, W ^ 0) 3 1 =+0. 74 999 4 8у2 (х = 0, у^п/2) 2 + у1
PY^ по формуле (11) 0. 5(0) — 0. 74 995 Xw х 0, х = 0. 99п) — 0. 74 995 (w = п/2, х = 0. 01) 0. 5(0)
+ 0. 74 999 (х = п, W = 0. 01) + 0. 74 999 (х = 0, W = 0. 99п/2)
Wn:
Номер кривой 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 п п 3п п 3п п 5п 3п 7п 30п п
W" 64 16 32 8 16 4 16 8 16 64 2
Графики зависимости мгновенной СЛП от времени в релятивистском пределе при у = 100 для различных поляризаций внешней волны приведены на рисунке 6.
Все указанные в таблицах 1 и 2 особенности поведения ЛСП р = р (, /, х) вблизи контрольных точек (/, х): (0, 0), (0, п), (/2,0) и (/2,п) хорошо видны на графиках (рис. 5 и 6).
Размах значений мгновенной СЛП глобального излучения при изменении интенсивности волны иллюстрирует рисунок 7.
Рис. 7. Зависимость мгновенной СЛП глобального излучения заряда от интенсивности внешней волны. Характеристики кривой с номером п приведены ниже в таблице.
п = 1: [(у/ = 0, х = 0) — п = 2: (/ = п/32, х = 0).
= п/2, х = п). п = 3: (/ = п/8, х = 0).
п = 4: {{/ = 0. 999п/ 2, х = 0) — [(/ = 0, х = 0. 999п). п = 6: (/ = п/2, х = 7п/8).
п = 5: Г (/ = п/2, х = 0. 001) — [(/= 0. 001, х = п). п = 7: (= п/ 2, х = 15п/16).
п = 8: (= п/2, х = 31п/32)
Качественный характер зависимости СЛП от поляризации волны в точках, близких к контрольным точкам (/ х)=(п/ 2 0) и (/ х)=(0, п) сохраняется в волне любой интенсивности (рис. 8 и 9), но интервал значений СЛП существенно различен в нерелятивистском и релятивистском случаях.
Р
0. 4999
(у = 0. 01)
?.Є 0.8 1 1.2 1. 4
/
Рис. 8. Зависимость мгновенной СЛП глобального излучения от поляризации внешней волны в момент х = 0. 001 в нерелятивистском у = 0. 01 и релятивистском у = 10 пределах.
(у = 0. 01)
? 0.2 0.4 0.6 0.0 1 1.2 1. 4
Рис. 9. Зависимость мгновенной СЛП глобального излучения от поляризации внешней волны в момент х = 0. 999п в нерелятивистском у = 0. 01 и релятивистском у = 10 пределах.
Наконец, отметим еще одну особенность функциональной зависимости СЛП от поляризации внешней волны, которая наглядно представлена на рисунке 10. Здесь приведены зависимости р (/) в различные моменты времени (для различных положений заряда на орбите) для нескольких значений интенсивности внешней волны. Видим, что в момент х = 0 (а также х = п) функция р (/) является монотонной. Заметим, что этот вывод справедлив и в нерелятивистском пределе: при у = 0.1 СЛП изменяется от р?=о = 0. 500 до р/п/2 = 0. 505. При всех иных значениях х функция р (/) не является монотонной. В момент х = ж/2 функция р (/) является симметричной.
Рис. 10. Зависимость мгновенной СЛП глобального излучения заряда от поляризации внешней
волны заданной интенсивности в фиксированный момент времени.
Теперь перейдем к обсуждению средней за оборот СЛП глобального излучения, которая определяется выражением:
Средняя по времени мощность глобального излучения имеет вид [6]:
— 2e2a& gt-2f 2
Ш =------------ & lt- а2
3с I
у2 СОБ2 (2/)
4
(15)
(16)
Точные аналитические расчеты для случая у = (0,0,1) дают для средней по времени о — компоненты мощности глобального излучения Ж2 следующее выражение [6]:
а2 + 6а2(-а2 -ц2) 2а2ц2
2 2
ІГг ЄЮ
Ш2 = -----------
24с
8а4 —
22 — 10 а2 +1 + -
4 13п, л ,
(а4 -П)
(а4 -П)2
Подставляя Ш из (16) и Ш из (17) в выражение для р (15), получаем:
2
р _
1
(а2 у2
(2 — 4а2 — 9ц2))а2 — 6а4)
+ 2{с
4
22
а2п
а -п
(
а
п2 у
/ 2
+
3 а2 -у/|
а -п
(18)
Для волны круговой поляризации (п _ 0) средняя по времени СЛП (18) равна:
(19)
^½) и релятивистском
__ 3 1
Р 4 4(1 + у2)'-
Предельные значения СЛП (19) в нерелятивистском (рг0 '- ^ 3 / 4) пределах согласуются с результатами работы [7]. Как видим, в случае
круговой поляризации внешней электромагнитной волны мгновенная (12) и средняя (19) СЛП глобального излучения совпадают для любых значений у. Этот вывод очевиден из общих соображений и позволяет судить о надежности результатов (11) и (18).
На рисунке 11 представлена зависимость р (у) для различных интенсивностей внешней волны. Видим, что функция р (у) является немонотонной и симметричной. Насколько быстро меняется угол наклона касательной к графику р (у) вблизи граничных значений параметра у с ростом интенсивности волны видно из рисунка 11 б.
------------------------------------------- Ф
р 7 = 01

! ч_ 1
'- 0. 2/ 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 У
/ а) у =10 у _ 1000-й
0. 6
0. 4
0. 2
0
-0. 2
-0. 4
-0. 6
Рис. 11. Зависимость средней СЛП глобального излучения р (рис. а) и производной ф / & amp-у (рис. б) от поляризации внешней волны для различных значений интенсивности у.
Значения параметра поляризации (0 & lt-у<-п/ 2) можно разделить на три области: при фиксированном значении у СЛП может возрастать с ростом интенсивности внешней волны, может убывать и может иметь экстремум. На рисунке 11 а области значений у, соответствующие немонотонному характеру зависимости р (у?, выделены пунктирными линиями: (0. 39 & lt- у & lt- 0. 56) и (1. 01 & lt- у & lt- 1. 18). Значения параметра интенсивности волны у, при которых функция р (у) имеет минимум, а также минимальные значения самой функции р (у) приведены в таблице 3. На рисунке 12 область кривых р (у), имеющих минимум при некотором значении ут, помечена звездочкой.
Таблица 3
2
У Гт р (?, 7т) У Гт р (?, 7т)
0. 3900 23. 07 0. 2783 0. 5600 0. 2032 0. 4998
п/8 _ 0. 3927 10. 29 0. 2846 1. 010 0. 1863 0. 4998
п/ 6 _ 0. 5236 0. 6628 0. 4864 1. 180 15. 66 0. 2802
п/4 = 0. 785
Рис. 12. Зависимость средней СЛП глобального излучения от интенсивности волны для различных значений параметра поляризации волны.
В нерелятивистском пределе поведение СЛП р70 = р (у, у) описывается приближенной формулой, полученной при разложении (18) в ряд по малому параметру q:
Ру0
2
— +
cos2 (2у)
q2.
(20)
В таблице 4 сопоставлены значения средней СЛП, полученные по точной (18) и приближенной (20) формулам при различных значениях интенсивности волны у. Жирным шрифтом выделены те значения средней СЛП, которые с точностью до 5 значащих цифр совпали по результатам использования точной и приближенной формул.
Таблица 4
*
Y У 0, п/2 п/3 п/4 п/8
0.2 ру^ по формуле (23) 0. 45 673 0. 49 639 0. 50 962 0. 48 317
0. 01 0. 49 989 0. 49 999 0. 50 003 0. 49 996
0. 001 0. 50 000 0. 50 000 0. 50 000 0. 50 000
0.2 ру^ по формуле (21) 0. 45 738 0. 49 666 0. 50 962 0. 483 363
0. 01 0. 49 990 0. 49 999 0. 50 002 0. 49 996
0. 001 0. 50 000 0. 50 000 0. 50 000 0. 50 000
В релятивистском пределе для линейно поляризованной волны (у = 0, п/ 2) средняя СЛП глобального излучения с точностью до членов первого порядка малости имеет вид:
Р =9 9 I 1 (cos2 (2У)) =_3+_^. L (21)
4 4 _ cos2 (2у) Y 22 (4- cos2 (2у)) 4 62 у
Для остальных значений параметра поляризации (0 & lt-у<-п/ 2) средняя СЛП гло-
бального излучения с точностью до членов второго порядка малости равна:
= 9 + 3 sin (2y) _ 9 +1Г 3 sin (2y) _ 1 ^
Ру^ 4 4 _ cos2 (2у) у2 {4 _ cos2 (2у)). ()
В таблице 5 приведены предельные значения средней СЛП, вычисленные по формулам (21) и (22) для различных значений интенсивности волны у. Здесь же приведены результаты вычисления средней СЛП по точной формуле (18), которые позволяют
оценить надежность результатов, полученных по формулам (21) и (22). Жирным шрифтом выделены те значения СЛП, которые с точностью в 5 значащих цифр совпали по результатам использования точной (18) и приближенных (21) и (22) формул.
Таблица 5
У V 0, п/2 п/3 п/4 п/8
10 Ру- по формулам (24) и (25) — 0. 69 107 0. 54 708 0. 75 500 0. 28 787
100 — 0. 74 411 0. 54 286 0. 75 005 0. 28 469
1000 — 0. 74 941 0. 54 282 0. 75 000 0. 28 466
10 Ру^ по формуле (21) — 0. 68 468 0. 54 132 0. 74 752 0. 28 464
100 — 0. 74 404 0. 54 281 0. 74 998 0. 28 466
1000 — 0. 74 941 0. 54 282 0. 75 000 0. 28 466
В таблице 6 приведены предельные значения СЛП, вычисленные по формуле (22) для значений параметра поляризации /, использованных при построении графиков, приведенных на рисунке 12. Видно, что приведенные в таблице 6 значения СЛП хорошо согласуются с рисунком 12.
Таблица 6
V Р 9 3 8Іп (2у) — 9 р- 4 + 4 — Сов2 (2у) V Р 9 3 sin (2v) — 9 Р- = 4 + 4 —2 (2у)
п — - 0. 785 3 п — - 0. 3927 0. 28 466
4 4 8
0. 56 0. 59 661 0. 20 — 0. 23 497
п — - 0. 5236 6 0. 5428 0, — 2 _ 3 р--- 4
Как видно из рис. 12, в слабой волне поляризация не влияет на среднюю по времени СЛП глобального излучения заряда. В этом случае при всех значениях / излучается преимущественно, а — компонента и р = 0.5. В сильной волне (у & gt->- 1) поляризация существенно влияет на среднюю СЛП. Например, в поле линейно поляризованной волны заряд излучает преимущественно п — компоненту, а при у ~ 0. 974 излучение не поляризовано и р = 0. Для волны эллиптической поляризации, например, при / = п / 3 или / = п / 6 СЛП при изменении интенсивности волны изменяется незначительно вблизи значения р ~ 0.5 и при любом значении параметра у излучается преимущественно, а — компонента. А, например, при значениях / = 0. 282 или / = 1. 288 излучение в релятивистском пределе не поляризовано вовсе (р = 0)!
Таким образом, мгновенная р (у,/, х) и средняя по времени р (у,/) степени линейной поляризации глобального излучения заряда в общем случае различны и существенно зависят от интенсивности и поляризации внешнего электромагнитного поля волны.
Автор благодарит профессора Томского госуниверситета В. Г. Багрова за интерес к работе и полезные обсуждения.
1. Багров В Т. Некоторые вопросы классической теории излучения / ВТ. Багров, Ю. А. Маркин // Изв. вузов. Физика. — 1967. -Вып. 5. — С. 37−42.
2.. -ния произвольно движущегося заряда /
.. ,.. // Московского университета. — 1969. — № 3. -С. 104−107.
3. .,..
физика. Т. 2. Теория поля. — М.: Наука, 1988. — 512 с.
4.:. /
. …. — .: Наука, 1966. — 228 с.
5. /.. . —. :
, 2002. — 576.
6.. -
нейной поляризации излучения заряда в
//
Труды ФОРА — 2005. — № 10. — С. 36−43.
7..
заряда в электромагнитном поле плоской /.. ,.. ,.. Хапаев // Изв. вузов. Физика. — 1967. -. 8. -. 77−84.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой